VI. De relativiteit en de moderne theorieën over het heelal. Slotsom.

De laatste vijftien jaar hebben ons de meest merkwaardige ontwikkeling in de physische en astronomische theorieën en in onze opvattingen over het heelal laten beleven. Het ligt buiten het bestek van dit boek de nieuwe theorieën der atoomphysica en de daarmede correspondeerende nieuwe ontwikkeling in de astrophysica te beschouwen, maar wij moeten eenige woorden aan de relativiteitstheorie wijden, die nu bijna twintig jaar oud is.

Men kan de relativiteitstheorie zien als de logische afsluiting van Newton's gravitatietheorie, de directe voortzetting van de gedachtegang die de ontwikkeling van de wetenschap der mechanica beheerscht, van Archimedes af, die als de eerste relativist beschouwd mag wor-

den, via Galileï tot Newton. Newton's theorie had haar grootste triomfen gevierd in de achtiende en negentiende eeuw; alle onregelmatigheden in de bewegingen der planeten en van de maan waren de één na de ander uit de onderlinge zwaartekrachtwerking dezer lichamen verklaard. In het begin van de negentiende eeuw voltooide het monumentale werk van Laplace de toepassing van de theorie op de bewegingen der planeten.

De uiteindelijke triomf kwam in 1846 door de ontdekking van Neptunus, waardoor de voorspelling van Adams en Leverrier, die gebaseerd was op de gravitatietheorie, werd bevestigd.

Langzamerhand was Newton's gravitatiewet een model geworden, volgens hetwelk alle physische wetten gevormd werden, en alle physische verschijnselen werden tot wetten teruggebracht die als aantrekkingen of als afstootingen, omgekeerd evenredig met de een of andere macht van de afstand geformuleerd werden, zooals bijv. de theorie over de capillariteit van Laplace, die zelfs als een hoofdstuk in zijn ‘Mécanique céleste’ gepubliceerd werd. Langzamerhand echter, in de tweede helft van

de negentiende eeuw begon het onplezierige gevoel van tegenzin dat men gevoelde tegen een werking op een afstand en dat zoo sterk geleefd had in Huygens en andere tijdgenooten van Newton, maar dat gedurende de achtiende eeuw tot zwijgen was gekomen, weer op te komen en het won snel in kracht.

Dit werd begunstigd door de zuiver wiskundige transformatie (in zekere zin vergelijkbaar met die van het stelsel van Ptolemaeus in dat van Copernicus), die Newton's eindige vergelijkingen verving door de differentiaalvergelijkingen, waarin de potentiaal het primaire begrip werd inplaats van de kracht, die slechts de gradient van de potentiaal is. Deze ideeën kwamen, zooals bekend is, het eerst in de theorie van de electriciteit en het magnetisme op - of misschien moet men liever zeggen in het brein van Faraday. In het electromagnetisme is de wet van het omgekeerd evenredig zijn met het kwadraat van de afstand ook souverein geweest, maar dank zij het werk van Faraday en Maxwell werd deze verdrongen door het veld. En dezelfde verandering vond plaats in de gravitatietheorie. Langzamerhand komt men er toe materieele deeltjes, electrisch geladen licha-

men en magneten - hetgeen de dingen zijn die wij werkelijk waarnemen - slechts als ‘singuliere’ punten in het veld te beschouwen. Tot zoover is deze transformatie van de kracht in de potentiaal, van de werking op een afstand in het veld niet meer dan een zuiver wiskundige bewerking. Of wij van een ‘materiedeeltje’ of van een ‘singulier punt in het gravitatieveld’ spreken is slechts een questie van nomenclatuur. Maar dit geven van namen is niet zoo onschuldig als het er uitziet. Het heeft de poort geopend waardoor de hypothesen zijn binnengetreden. Zeer gauw daarop is het veld gematerialiseerd en aether genoemd. Van een wiskundig gezichtspunt uit is ‘aether’ natuurlijk nog steeds niets anders dan een ander woord voor ‘veld’ of misschien beter voor ‘ruimte’ - de absolute ruimte van Newton -, waarin al of niet een veld kan voorkomen. Wat de physische kant van de zaak betreft, (en het is speciaal in de theorie van het electromagnetisme dat deze revolutie plaats vond), is de ‘aether der ruimte’, zooals hij ongeveer veertig jaar geleden speciaal in Engelsche boeken veel genoemd werd, niet eenvoudig ruimte, maar iets substantieels; hij is de drager van het veld, en mecha-

nische modellen bestaande uit hefboomen en tandraderen werden uitgedacht om te verklaren hoe hij het draagt. Deze mechanische modellen heeft men natuurlijk lang geleden laten varen: zij waren te grof. Maar hypothesen zijn van alle kanten blijven opduiken: electronen, atoomkernen, protonen, golfpaketten enz. Eerst ging men door zich mechanische modellen voor te stellen. Vijftien, of zelfs nog tien jaar geleden dacht men zich atomen, electronen en protonen, (ofschoon een atoom niet langer was, wat de naam impliceert, een stukje materie dat niet in kleinere deeltjes verdeeld kon worden), nog steeds van een mechanische structuur en men maakte zich een atoom-model dat de mechanische eigenschappen der gewone materie bezat. De inconsequentie, die er in, lag eerst materie te verklaren met behulp van atomen en daarna atomen met behulp van materie, drong slechts langzaam tot ons bewustzijn door, en het is pas betrekkelijk kort geleden dat wij er toe gekomen zijn in te zien dat er niets paradoxaals ligt in het feit, dat een atoom of een electron, die geen materie zijn, andere eigenschappen kunnen bezitten dan die van de materie en dat men de mogelijkheid moet aanvaarden dat zij dingen

doen, die een materieel deeltje niet kan doen.

Terwijl echter in alle andere gebieden der physica hypothesen met succes rekenschap bleken te kunnen geven van de waargenomen feiten, en de formeele wetten konden vervangen, bleef het geval der zwaartekracht apart staan. De gravitatie bleef onvatbaar voor deze algemeene infectie. Door dit woord te gebruiken is het niet mijn bedoeling te suggereeren, dat de weelderige groei der hypothesen in de physica een besmettelijke ziekte is, - het is geen ziekte, maar een natuurlijke ontwikkeling, - maar het is zeker besmettelijk. De zwaartekracht echter schijnt er immuun voor te zijn. In de loop der geschiedenis heeft men een groot aantal hypothesen voorgesteld om de zwaartekracht te ‘verklaren’, maar geen van deze heeft ooit het geringste succes gehad; zij zijn alle mislukkingen geweest. Waarom? Hoe komt het dat wij in staat zijn geweest bevredigende hypothesen te maken om de electriciteit en het magnetisme, het licht en de warmte, in het kort alle physische verschijnselen te verklaren en alleen in het geval der zwaartekracht geen succes hebben kunnen boeken? De verklaring moet gezocht worden in de bijzondere plaats die de

zwaartekracht tusschen de wetten der natuur inneemt. In het geval der andere physische verschijnselen is er iets waar men houvast aan heeft, zijn er omstandigheden waarvan de werking afhangt. De zwaartekracht is volkomen onafhankelijk van alles wat andere natuurverschijnselen beïnfluenceert. Zij is niet onderworpen aan absorptie of refractie, geen voortplantingssnelheid heeft men ooit waargenomen. Men kan doen wat men wil met een lichaam, men kan het electriseeren of magnetiseeren, men kan het verhitten, smelten of verdampen, men kan het chemisch ontleden, zijn gedrag ten opzichte van de gravitatie blijft ongewijzigd. De zwaartekracht werkt op alle lichamen op dezelfde wijze; overal en altijd vinden wij haar volgens dezelfde strenge en eenvoudige formule werkzaam, en dit maakt al ons pogen in haar inwendige mechanisme door te dringen vruchteloos. De zwaartekracht gelijkt in haar algemeenheid en strengheid geheel op de traagheid, die men nooit heeft beschouwd als iets dat een bepaalde hypothese ter verklaring noodig had, zooals alle gewone speciale physische wetten of verschijnselen. De traagheid heeft men van den beginne af opgevat als één van de fundamen-

teele feiten van de natuur, die men zonder verklaring had te accepteeren, evenals de axiomata der geometrie.

Maar de zwaartekracht gelijkt niet alleen op de traagheid in haar algemeenheid, zij wordt ook door hetzelfde getal gemeten, massa genaamd. De trage massa is wat Newton de ‘hoeveelheid materie’ noemt: zij is de maat voor de weerstand die een lichaam biedt aan een kracht, die zijn bewegingstoestand tracht te veranderen. Zij zou de ‘passieve massa’ genoemd kunnen worden. De zware massa aan de andere kant is een maat voor de kracht, die door een lichaam wordt uitgeoefend wanneer het andere lichamen aantrekt. Wij zouden haar de ‘actieve’ massa kunnen noemen. De gelijkheid van actieve en passieve massa, of van de zware en trage massa was in Newton's systeem een zeer opmerkelijke toevallige coïncidentie, zooiets als een wonder. Newton zelf voelde het zeer gedecideerd als zoodanig, en deed proefnemingen om deze te verifieeren, door een slinger met een holle schijf, die met allerlei verschillende materialen gevuld kon worden, te laten slingeren. De kracht die op de slinger werkt is evenredig aan de zware massa ervan,

de traagheid aan de trage massa: de trillingsperiode hangt dus af van de verhouding tusschen deze beide massa's. Het feit, dat de periode altijd dezelfde is bewijst dus, dat de zware en de trage massa even groot zijn. In de achttiende eeuw gewenden de natuurkundigen en de philosophen zich langzamerhand zoo aan Newton's gravitatiewet en aan de gelijkheid van de zware en trage massa, dat de wonderbaarlijkheid ervan vergeten werd en alleen een scherpe geest zooals die van Bessel voelde nog de noodzakelijkheid deze proeven te herhalen. Door de proeven van Bessel in ongeveer 1830, van Eötvös in 1909 en van Zeeman in 1917 is de gelijkheid van de zware en de trage massa één van de best bekende empirische feiten of misschien wel het best bekende in de physica geworden.

In Einstein's algemeene relativiteitstheorie is de identiteit van deze twee coëfficienten, de zware en de trage massa, niet langer een wonder, maar een noodzakelijkheid omdat zwaarte en traagheid identiek zijn.

Er is een andere kant aan de relativiteitstheorie. Wij hebben er in het begin op gewezen hoe de wetenschap zich ontwikkelt in een rich-

ting die haar minder subjectief maakt, die meer en meer in de waargenomen feiten datgene, wat tot de realiteit achter de verschijnselen behoort, het absolute, scheidt van het subjectieve element, dat door de waarnemer is aangebracht, het relatieve. De theorie van Einstein is een groote stap in die richting. Wij kunnen zeggen dat de bedoeling van de relativiteitstheorie is het relatieve geheel in al te verwijderen en het zuiver absolute bloot te leggen.

De physische wereld heeft drie ruimte-afmetingen en één tijdafmeting; de plaats van een materieel deeltje op een zeker oogenblik t is bepaald door drie ruimtecoördinaten x, y, z. In Newton's systeem der mechanica wordt dit zonder aarzelen als een eigenschap van de buitenwereld aangenomen: er is een absolute ruimte en een absolute tijd. In Einstein's theorie zijn tijd en ruimte dooreengeweven en de wijze waarop zij dooreengeweven zijn hangt af van de waarnemer. Inplaats van drie plus één hebben wij vier dimensies.

Is het feit dat wij de uitwendige wereld waarnemen als een vierdimensionaal continuum een eigenschap van de buitenwereld, of is dit een gevolg van de bijzondere aard van ons be-

wustzijn? Behoort dit tot het absolute of tot het relatieve? Ik geloof niet dat het antwoord op die vraag reeds gegeven kan worden. Voor het oogenblik moeten wij het accepteeren als een empirisch vaststaand feit.

De reeks verschillende posities van hetzelfde deeltje op verschillende tijden vormt een één-dimensionaal continuum in de vierdimensionale tijdruimte, dat de wereldlijn van het deeltje genoemd wordt. Alles wat de physische experimenten of waarnemingen ons kunnen leeren heeft betrekking op de snijpunten van de wereldlijnen van verschillende materieele deeltjes, lichttrillingen enz., en hoe de loop van de wereldlijn tusschen deze snijpunten is, is geheel onbepaald en ligt geheel buiten het gebied der physica. Men kan dus het stelsel der elkaar snijdende wereldlijnen vervormen zooals men wil, zoolang maar geen snijpunten vernietigd of geschapen worden en hun volgorde niet veranderd wordt. Hieruit volgt dat de vergelijkingen die de natuurwetten uitdrukken invariant moeten zijn voor willekeurige transformaties.

Dit is de wiskundige formuleering van de relativiteitstheorie. De metrische eigenschappen van het vier-dimensionale continuum worden,

zooals in verhandelingen over differentiaalmeetkunde aangetoond wordt, beschreven door een zeker aantal, (in feite tien) grootheden, als g_αβ geschreven en gewoonlijk ‘potentialen’ genoemd. De physische toestand der stof en der energie aan de andere kant wordt door tien andere grootheden, T_αβ, beschreven, die samen de zg. ‘materieele tensor’ te vormen. Men heeft deze speciale tensor gekozen omdat zij een eigenschap heeft, die mathematisch uitgedrukt wordt met de woorden: de divergentie is nul, wat beteekent dat zij iets permanents voorstelt. De fundamenteele grondslag van de mechanica is de wet der traagheid, die men het eenvoudigst kan weergeven als de eisch dat de fundamenteele natuurwetten differentiaalvergelijkingen van de tweede orde zijn. Zoo was dus het probleem geworden, een differentiaalvergelijking van de tweede orde te vinden die een verband gaf tusschen de metrische tensor g_αβ en de materieele tensor T_αβ. Dit is een zuiver wiskundig probleem, dat men zonder de physische beteekenis van de symbolen in aanmerking te nemen kan oplossen. De eenvoudigst mogelijke vergelijking (of liever stel van tien vergelijkingen, omdat er tien g's zijn) van die aard, die men

vinden kon werd door Einstein als de fundamenteele vergelijking van zijn theorie aangenomen. Zij bepaalt het tijdruimte continuum, of het ‘veld’. De wereldlijnen der materieele deeltjes en lichtquanta zijn de geodetische lijnen in het vier-dimensionale continuum, bepaald door de oplossingen g_αβ van deze veldvergelijkingen. De vergelijkingen der geodetische lijnen zijn op die manier aequivalent aan de bewegingsvergelijkingen der mechanica. Wanneer wij de veldvergelijkingen trachten op te lossen en de oplossingen in de bewegingsvergelijkingen substitueeren, vinden wij, dat in eerste benadering, d.i. voor kleine materieele snelheden (klein vergeleken met de lichtsnelheid) deze bewegingsvergelijkingen dezelfde zijn als die uit Newton's gravitatietheorie volgen.

Het verschil tusschen zwaarte en traagheid is verdwenen; de zwaartekrachtswerking tusschen twee lichamen volgt uit dezelfde vergelijking en is hetzelfde als de traagheid van een lichaam. Een lichaam dat niet aan een uitwendige kracht onderworpen is (d.i. aan een andere dan de gravitatiekracht), beschrijft een geodetische lijn in het continuum, op dezelfde manier als het een geodetische oftewel een rechte lijn

in de absolute ruimte van Newton beschreef onder de invloed van de traagheid alleen.

De veldvergelijkingen en de vergelijkingen van de geodetische lijn bevatten samen de geheele wetenschap der mechanica, met inbegrip van de gravitatie.

In eerste benadering, hebben wij juist gezegd, geeft de nieuwe theorie dezelfde resultaten als de gravitatietheorie van Newton. De enorme massa experimenteele verificaties van Newton's wet, die zich gedurende twee en een halve eeuw heeft opgehoopt, is daarom terzelfdertijd een even sterke verificatie van de nieuwe theorie. In tweede benadering zijn er kleine verschillen, die door de waarnemingen zijn bevestigd voor zoover zij groot genoeg zijn om een dergelijke bevestiging mogelijk te maken. Zoo is bijvoorbeeld nu van de anomale beweging van het perihelium van Mercurius, die alle pogingen om haar te verklaren gedurende meer dan een halve eeuw weerstand had geboden, volkomen rekenschap gegeven. Verder had de relativiteitstheorie eenige nieuwe verschijnselen voorspeld, zooals de afwijking van de lichtstralen die vlak langs de zonsrand scheren, wat werkelijk bij verschillende gelegenheiden gedurende eclipsen

is waargenomen; en de verschuiving van de spectraallijnen naar het rood, die in een sterk gravitatieveld hun oorsprong hebben, wat ook door de waarnemingen bevestigd is, bijv. in het spectrum van de zon en ook in het spectrum van de begeleider van Sirius, die een zoogenaamde witte dwerg is, d.i. een kleine ster met een zeer groote dichtheid en dientengevolge een sterk gravitatieveld. Deze geeft een belangrijke verschuiving naar het rood. Wij kunnen niet blijven stilstaan bij een verklaring van deze verschijnselen in details. Het zij voldoende dat wij ze hier genoemd hebben.

Op twee punten in verband met de algemeene relativiteitstheorie moet speciaal de nadruk gelegd worden.

Ten eerste dat zij een zuiver physische theorie is, uitgevonden om empirische physische feiten te verklaren, speciaal de identiteit van de zware en de trage massa, en om de verschillende hoofdstukken van de physische theorie samen te voegen en tot een harmonisch geheel te maken, en om de verklaring der fundamenteele wetten te vereenvoudigen. Er is niets metaphysisch aan haar onstaan. Zij heeft natuurlijk zeer de aandacht der philosophen getrokken en heeft

in het algemeen een zeer heilzame invloed op de metaphysische theoriëen gehad. Maar hiertoe was zij niet ontworpen en men moet dit slechts als een bijproduct beschouwen.

Ten tweede dat zij een zuivere generalisatie, of abstractie is evenals Newton's theorie der mechanica en zijn gravitatiewet. Zij bevat geen hypothese, in tegenstelling met andere moderne physische theorieën, de electronentheorie, de quantentheorie enz. die vol hypothesen zijn. Zij moet, zooals wij reeds zeiden, beschouwd worden als het logische vervolg op en de voltooiïng van Newton's Principia.

Een speciale trek in de ontwikkeling der physica in de negentiende eeuw is het opkomen van algemeene principes naast de bijzondere wetten geweest. Zooals de principes van het behoud van massa en van energie, het principe van de kleinste werking, en dergelijke. Deze verschillen van de bijzondere wetten niet alleen omdat zij algemeener zijn maar zij streven om zoo te zeggen naar een hoogere plaats dan de wetten. Zij maken er aanspraak op fundamenteele natuurfeiten tot uitdrukking te brengen, algemeene regels, waaraan alle bijzondere wetten zich hebben te onderwerpen. En zij sluiten dienten-

gevolge a priori alle pogingen ter ‘verklaring’ door hypothesen of mechanische modellen uit. Het is karakteristiek voor de relativiteitstheorie dat zij het ons mogelijk maakt al deze ‘behoud-principes’ in één enkele vergelijking samen te vatten.

Wij hebben slechts van dat gedeelte van het heelal, dat wij kunnen waarnemen, directe kennis. Ik heb dit reeds ‘onze nabuurschap’ genoemd. Zelfs binnen de grenzen van dit gebied vermindert onze kennis zeer snel als wij ons van onze eigen speciale plaats in tijd en ruimte verwijderen. Alleen binnen het zonnestelsel strekt zich onze empirische kennis van de grootheden, die de toestand van het heelal bepalen, de potentialen g_αβ, uit tot de tweede orde van kleinheid (en dat nog maar alleen voor de g₄₄ en niet voor de anderen), waarbij de eerste orde correspondeert met ongeveer één eenheid in de achtste decimaal. Hoe de g_αβ buiten onze omgeving eruit zien, weten wij niet en hoe zij zich in het oneindige gedragen, hetzij in ruimte, hetzij in tijd, zullen wij nimmer weten, anders zou het geen oneindigheid meer zijn. Dat is het wat Archi-

medes bedoelde toen hij zeide dat het heelal niet oneindig kon zijn. Het heelal dat wij kennen kan niet oneindig zijn, omdat wijzelve eindig zijn. Oneindigheid is niet een physisch, maar een mathematisch begrip, dat ingevoerd is om onze vergelijkingen symmetrischer en eleganter te maken. Van physisch standpunt gezien, is alles wat buiten onze omgeving valt zuivere extrapolatie, en wij zijn volkomen vrij te extrapoleeren, zooals wij willen, om onze philosophische of aesthetische voorkeur - of onze vooroordeelen te bevredigen. Het is waar dat sommige van deze vooroordeelen zoo diep verworteld zijn dat wij nauwelijks kunnen ontkomen aan het geloof, dat zij boven iedere mogelijke verdenking van twijfel verheven zijn, maar deze overtuiging berust op geen enkele physische basis. Een van deze overtuigingen waarop de extrapolatie natuurlijkerwijze gebaseerd wordt, is, dat het speciale gedeelte van het heelal waarin wij ons toevallig bevinden op geen enkele wijze uitzonderlijk of gepriviligieerd is; met andere woorden, dat het heelal, wanneer de schaal waarop men het beschouwt maar groot genoeg is, isotroop en homogeen zal blijken te zijn. Men moet echter niet vergeten dat er tijden

geweest zijn in de evolutie van het menschdom waarin dit in het geheel niet vanzelf sprak en waarin men eerder algemeen de tegengestelde overtuiging was toegedaan.

Gedurende de laatste jaren zijn de grenzen van onze ‘nabuurschap’ geweldig uitgebreid door de waarneming der extra-galactische nevels, die hoofdzakelijk in de Mount Wilson Sterrewacht gedaan zijn. Deze wonderbare waarnemingen hebben ons in staat gesteld tamelijkbetrouwbare schattingen van de afstanden van deze objecten te maken, en iets over hun verdeeling in de ruimte te zeggen. Het blijkt dat zij bij benadering gelijkelijk over ‘onze nabuurschap’ verspreid liggen. Zij hebben ook alle ruwweg dezelfde afmetingen, zoodat wij een schatting kunnen maken van de dichtheid der materie in de ruimte. Verdere waarnemingen hebben ons het opmerkelijke feit geopenbaard dat er in hun spectra een verplaatsing van de lijnen naar het rood is, die correspondeert met een snelheid van ons af gericht, die toeneemt met de afstand en wel, voor zoover de afstandsbepalingen betrouwbaar zijn, evenredig er mede. Indien de snelheid evenredig is met de afstand, dan is niet alleen de afstand, die iedere nevel

van ons heeft, bezig aan te groeien, maar zijn alle onderlinge afstanden tusschen ieder tweetal van hen in dezelfde mate bezig toe te nemen. Ons eigen melkwegstelsel is slechts één van een groot aantal, en waarnemingen van ieder van de andere uit zouden precies hetzelfde effect vertoonen: alle stelsels zijn bezig zich te verwijderen, niet van een bepaald middelpunt maar van ieder ander: het geheele stelsel van melkwegstelsels dijt uit.

Wij moeten hier de onderstelling die somtijds geopperd is, vermelden, nl. dat de waargenomen verschuiving van de spectraallijnen naar het rood niet op een beweging van ons af van de spiraalnevels zou wijzen, maar dat daar op een of andere andere wijze rekenschap van gegeven kon worden. Inderdaad, alles wat de waarnemingen ons leeren is, dat licht dat van groote afstanden tot ons komt - en dat daardoor een lange tijd onderweg is geweest - rooder is dan toen het zijn bron verliet. Licht wordt rooder naarmate het ouder wordt, het verliest energie naarmate het langer door de ruimte reist. Of mathematisch uitgedrukt: de golflengte van het licht is evenredig met een zekere grootheid R, die met de tijd toeneemt. Volgens de

algemeene vergelijkingen van de relativiteitstheorie zijn dan de in natuurlijke maat gemeten afstanden in een homogene en isotrope wereld noodzakelijk evenredig met dezelfde grootheid R, tenzij er de een of andere van buiten komende oorzaak voor de vergrooting van de golflengte of het energieverlies aanwezig is. Met van buiten komend bedoel ik vreemd aan de relativiteitstheorie en aan de opvatting over de aard van het licht, die in deze theorie past. Bovendien zou deze hypothetische oorzaak geen andere waarneembare gevolgen mogen hebben; in het bijzonder zou zij een energieverlies moeten veroorzaken zonder eenige daarmee samengaande dispersie, die de beelden zou verdoezelen en de zwakke nevels onwaarneembaar zou maken. Het zou een hypothese ad hoc vereischen, en een zeer zorgvuldig opgestelde ook, om niet het doel voorbij te streven. Geen dergelijke hypothese, die ernstige overweging verdient, is tot op heden verschenen.

Het is misschien wat moeilijk zich de uitdijïng van een drie-dimensionale ruimte voor te stellen. Een twee-dimensionale analogie kan misschien ter verduidelijking dienen. Laat het heelal slechts twee dimensies hebben, en

laat het het oppervlak van een caoutchouc bal zijn. Het is alleen het oppervlak, dat het heelal voorstelt, niet de bal zelf. Alleen langs het oppervlak kunnen waarnemingen worden gedaan, en afstanden worden gemeten en het is duidelijk dat geen enkel punt van het oppervlak verschilt van eenig ander punt. Men stelle zich voor dat er kleine stofdeeltjes op het oppervlak zijn bevestigd die de verschillende melkwegstelsels voorstellen. Indien de bal wordt opgeblazen, dijt het heelal uit en deze stofdeeltjes zullen zich van elkander verwijderen; hun onderlinge afstand, langs het oppervlak gemeten, zal indezelfde mate toenemen als de straal van de bal. Een waarnemer in ieder van de stofdeeltjes zal de anderen zich van hem zien verwijderen, maar daaruit volgt niet dat hij het middelpunt van het heelal is. Het heelal (dat het oppervlak van de bal is, niet de bal zelf) heeft geen middelpunt.

Het is natuurlijk niet essentieel dat wij als voorbeeld een caoutchouc bal gekozen hebben. Wij hadden even goed ieder ander oppervlak kunnen kiezen; het is zelfs niet noodig dat het een gesloten oppervlak is. Zelfs een vel rubber zou even goed kunnen dienen,

als de uitrekking, waaraan het onderworpen moet worden ter illustratie van het uitdijend heelal, maar dezelfde is in alle richtingen.

Dit zijn dus de twee waarnemingsfeiten in onze nabuurschap, waarvan door de theorie rekenschap gegeven moet worden: er is een eindige dichtheid van materie en er is uitdijïng, d.i. de onderlinge afstanden nemen toe, en dus neemt de dichtheid af. Natuurlijk kunnen wij slechts zeker van deze feiten zijn voor zoover onze waarneming reikt, d.i. voor onze ‘nabuurschap’, maar wij breiden deze waarnemingen uit over het geheel van het heelal in overeenstemming met ons principe van extrapolatie.

Wij moeten dus een heelal vinden, d.i. een stel potentialen g_αβ, dat voldoet aan de veldvergelijkingen van de algemeene relativiteitstheorie en dat zoowel een eindige dichtheid der materie heeft als uitdijt. En omdat wij het heelal alleen op zeer groote schaal beschouwen, en afzien van alle details en plaatselijke onregelmatigheden, moet ons heelal homogeen en isotroop zijn. Uit deze voorwaarde der homogeniteit en isotropie volgt direct dat de driedimensionale ruimte ervan, wat de mathematici

een ruimte van constante kromming noemen, moet zijn. Zelfs met deze beperking bieden de mathematici ons nog de vrije keuze uit verschillende soorten ruimten. De kromming kan positief, negatief of nul zijn. Het is niet mogelijk deze verschillende soorten drie-dimensionale ruimten uit te beelden of zich voor te stellen. Wij denken dat wij een beeld van een Euclidische of vlakke ruimte, d.i. van een ruimte waarvan de kromming overal nul is, in onze geest hebben, maar ik ben er niet zeker van dat dit geen zelfbedrog is, te danken aan het feit dat de meetkunde van deze speciale ruimte op de scholen gedurende de laatste twee duizend of meer jaren onderwezen wordt. Het staat vast dat de Euclidische ruimte voor physische verschijnselen op de schaal die onze zintuigen vermogen waar te nemen, d.i. niet te groot en niet te klein, een zeer dichte benadering is van de werkelijke physische ruimte, maar voor het electron en voor het heelal schiet deze benadering te kort. Tweedimensionale analogieën kunnen zeer nuttig zijn om ons te helpen drie-dimensionale ruimten te begrijpen (alhoewel zij ook somtijds misleidend zijn). Wij kunnen ons verschillende soorten twee-dimensionale ruimten voorstellen, om-

dat wij ons daarbuiten kunnen plaatsen. Een twee-dimensionale ruimte met een kromming nul is een plat vlak, bijv. een vel papier. De tweedimensionale ruimte met positieve kromming is een convex oppervlak, zooiets als het oppervlak van een ei. Het is van het platte vlak in alle richtingen naar dezelfde kant weggebogen. De kromming van het ei is echter niet constant: zij is het grootste aan de punt. Het oppervlak van constante positieve kromming is de bol, bijvoorbeeld onze caoutchouc bal van een oogenblik geleden. De twee-dimensionale ruimte van negatieve kromming is een oppervlak dat convex is in sommige richtingen en in andere concaaf, zooals het oppervlak van een zadel of het middelste gedeelte van een zandlooper. Van deze twee-dimensionale ruimten kunnen wij een beeld in onze geest vormen omdat wij ze van buiten kunnen zien, daar wij in een drie-dimensionale ruimte leven. Maar voor een wezen, dat niet in staat is het oppervlak waarop het leeft te verlaten, zou dit onmogelijk zijn. Hij zou slechts kunnen uitmaken op welk soort oppervlak hij zich bevond, door de eigenschappen der geometrische figuren die daarop geteekend zijn te bestudeeren. Want de meet-

kundige figuren hebben op de verschillende oppervlakken verschillende eigenschappen. Op een vel papier is de som van de drie hoeken van een driehoek gelijk aan twee rechte hoeken, op het ei of de bol is deze som grooter, op het zadel kleiner. Op het vlakke papier - en op het zadelvormige oppervlak - kunnen wij onbepaald in dezelfde richting voortgaan, op het ei en de bol moeten wij, als wij ons voortdurend in dezelfde richting bewegen, ten slotte in ons beginpunt terugkeeren. De ruimten met een kromming, die nul of negatief is, zijn oneindig, die met een positieve kromming zijn eindig. Op deze wijze zou een bewoner van het twee-dimensionale oppervlak zijn kromming kunnen bepalen indien hij in staat was zeer groote driehoeken of zeer groote lijnen te meten. Indien de kromming zoo klein was dat de som van de hoeken van de grootste driehoek die hij kon meten nog steeds een bedrag, te klein om meetbaar te zijn met de hulpmiddelen die hem ter beschikking staan, van de som van twee rechte hoeken zou verschillen, dan zou hij niet in staat zijn de kromming te bepalen, tenzij hij over een of ander middel beschikte om zich in verbinding te stellen met iemand die in de derde dimensie leefde. Nu is

ons geval met betrekking tot de drie-dimensionale ruimte precies hetzelfde. Wij hebben geen intuïtieve kennis van de ruimte waarin wij leven. Wij moeten dus uitvinden van welke aard zij is door driehoeken of andere meetkundige figuren erin te bestudeeren. Daar wij bezig zijn met de bestudeering van de physische ruimte zijn de driehoeken en lijnen, die wij moeten onderzoeken, door de banen van materieele deeltjes en lichtstralen gevormd, en natuurlijk moeten wij, om in staat te zijn de verschillende soorten ruimten goed te onderscheiden, zeer groote driehoeken en lichtstralen die van zeer groote afstand komen bestudeeren. De beslissing hangt dus noodzakelijker wijze af van astronomische waarnemingen.

Zelfs de meest verfijnde astronomische waarnemingen echter vertoonen niet het minste spoor van kromming. De driehoeken, die wij meten kunnen, zijn nog niet groot genoeg, en zullen naar ik vrees, nimmer groot genoeg zijn om de kromming te ontdekken. Wij zijn echter zoo fortuinlijk in zekere zin verbinding te kunnen krijgen met de vierde dimensie. De relativiteitstheorie heeft ons een inzicht in de structuur van het werkelijke heelal gegeven: het

bestaat niet uit een drie-dimensionale ruimte en een één-dimensionale tijd die onafhankelijk van elkaar bestaan, zooals in Newton's mechanica maar is een vier-dimensionaal bouwwerk. De studie van de wijze waarop de drie ruimteafmetingen verweven zijn met de tijd-afmeting verschaft ons een soort kijk van buiten af op de drie-dimensionale ruimte, en het is denkbaar dat wij van dit uitwendige gezichtspunt uit, in staat zouden zijn de kromming van de drie-dimensionale wereld te leeren kennen.

Er is een tijd geweest dat men dacht dat dit het geval was en dat wij werkelijk bewijzen konden dat de kromming positief moest zijn. De jongste mathematische onderzoekingen echter hebben aangetoond dat dit een vergissing was. Wij kunnen niets over de kromming van het heelal zeggen zonder zekere hypothesen in te voeren. Deze tamelijk vage woorden zullen duidelijker worden als wij dieper doordringen in de aard van het onderlinge verband tusschen tijd en ruimte in het vier-dimensionale heelal. Het is natuurlijk moeilijk dit zonder gebruik van wiskundige formules uit te leggen, maar ik zal pogen door de historische ontwikkelingslijn te volgen tot een

begrip van de huidige stand van zaken te komen zonder een al te technische taal te gebruiken.

Beginnen wij met de beschouwing van de eindige dichtheid der materie in het heelal. De gemiddelde dichtheid is zeer klein. De materie is in werkelijkheid zeer ongelijkmatig verdeeld, zij is opeengehoopt in sterren en melkwegstelsels. De gemiddelde dichtheid is de dichtheid die wij zouden krijgen als al deze groote stelsels in waterstofatomen of protonen konden worden opgelost en wanneer deze gelijkmatig over de geheele ruimte gedistribueerd werden. Er zou dan waarschijnlijk niet meer dan één proton in iedere tien of twintig liter voorkomen. Dat is inderdaad een zeer geringe dichtheid: zij is ongeveer een billioen maal zoo klein als die van het volkomenste luchtledig dat wij in onze physische laboratoria kunnen verwezenlijken. Het heelal bestaat dus voornamelijk uit leegheid en het ligt wel voor de hand een leeg heelal als een goede benadering te beschouwen om mee te beginnen bij het bouwen van ons model op groote schaal. De melk wegstelsels zijn details die wij later kunnen aanbrengen. Maar ook kunnen wij als eerste benadering een heelal nemen dat dezelfde hoeveel-

heid aan materie bevat als het werkelijke, maar gelijkmatig gedistribueerd, d.i. dus met een eindige dichtheid van één proton per tien of twintig liter. De plaatselijke afwijkingen van het gemiddelde, veroorzaakt door de opeenhooping van materie in sterren en sterrestelsels, worden dan in het model op groote schaal verwaarloosd en pas in rekening gebracht wanneer wij de details gaan bestudeeren.

Vijftien jaar geleden nu, in het begin van 1917 had men twee oplossingen van de veldvergelijking voor een homogeen isotroop heelal gevonden, die ik voorloopig de oplossingen ‘A’ en ‘B’ zal noemen. Men moet bedenken dat men in die tijd slechts zocht naar statische oplossingen. Men meende dat het heelal een stabiele structuur moest hebben, zoodat het zijn eigenschappen op groote schaal in alle tijden onveranderd zou behouden, of tenminste ze zoo langzaam zou veranderen, dat de verandering verwaarloosd mocht worden. In een van deze oplossingen (B) was de gemiddelde dichtheid nul, het was leeg; de andere (A) had een eindige dichtheid. Beide waren natuurlijk, zooals men zich zeer wel bewust was, slechts benaderingen van het wer-

kelijke heelal. In B zouden wij om het werkelijke heelal te verkrijgen een paar melkwegstelsels moeten inbrengen, in A zouden wij de gelijkmatig verdeelde materie tot melkwegstelsels hebben te condenseeren. Het heelal A is waarlijk en essentieel statisch; geen systematische bewegingen zijn daarin mogelijk. Het heeft een gemiddelde dichtheid, doch geen expansie. Het wordt daarom het statische heelal genoemd. B aan de anderen kant is niet waarlijk statisch, het expandeert, en het kon zich slechts vertoonen in de vermomming van een statisch heelal omdat het niets bevat, dat de uitdijïng kenbaar maakt. B wordt daarom het ledige heelal genoemd. Wij hebben zoo de twee benaderingen: het statische heelal met materie en zonder expansie, en het leege zonder materie en met expansie. Het werkelijke heelal bezit, zooals wij zagen, zoowel materie als expansie en kan dus noch door A noch door B vertegenwoordigd worden. In 1917 was het dilemma nog niet urgent geworden en nog nauwelijks gerealiseerd. De werkelijke waarde van de dichtheid was nog geheel onbekend, en de expansie nog niet ontdekt.

Nu is in beide oplossingen A en B de krom-

ming positief, in beide de drie-dimensionale ruimte eindig: het heelal heeft eindige afmetingen, wij kunnen van zijn straal spreken en in geval A, van zijn totale massa. In het geval A, het statische heelal, bestaat er een bepaalde relatie tusschen de kromming en de dichtheid; inderdaad is de kromming evenredig met de dichtheid waarbij de evenredigheidsfactor een zuiver getal is (1/4π indien geschikte eenheden gekozen worden). Indien wij dus een eindige dichtheid in een statisch heelal willen hebben, moeten wij een eindige positieve kromming hebben.

Op dit punt moeten wij een paar woorden over de beroemde lambda zeggen. De veldvergelijkingen bevatten in hun algemeenste vorm een term, met een constante vermenigvuldigd, die met de Grieksche letter λ (lambda) wordt aangeduid, en die somtijds de ‘cosmische constante’ genoemd wordt. Dit is een naam zonder eenige beteekenis, die er alleen aan toegekend is, omdat men het geschikt oordeelde dat zij een naam zou hebben, en omdat zij iets met de bouw van het heelal scheen te maken te hebben; maar men moet daaruit niet concludeeren, dat nu wij de λ een

naam hebben gegeven, wij ook weten wat zij beteekent. Wij hebben inderdaad niet het geringste vermoeden wat haar werkelijke beteekenis is. Zij is in de vergelijkingen gezet om deze wiskundig zoo algemeen mogelijk te maken, maar zij is voor zoover het haar wiskundige functie betreft volkomen onbepaald: zij kan positief of negatief, zij kan ook nul zijn. Zuivere mathematische symbolen hebben geen beteekenis op zich zelf; het is het privilege van de zuivere mathematici, zooals Bertrand Russell zegt, niet te weten waarover zij spreken. Zij - de symbolen - krijgen pas beteekenis door de wijze waarop de vergelijkingen geïnterpreteerd worden, wanneer zij op de oplossing van physische problemen toegepast worden. Het is de physicus, en niet de mathematicus, die weten moet waarover hij spreekt. Oorspronkelijk, in Einstein's publicatie van November 1915, waarin de theorie haar definitieve gestalte kreeg, was de term met λ eenvoudig weggelaten, had men dus met andere woorden ondersteld dat λ de speciale waarde nul had. Dat was de eenvoudigste manier om de verantwoordelijkheid, er een naamkaartje aan te moeten vasthechten, te vermijden,

en natuurlijk een volkomen gewettigde manier: het is physisch niet verantwoord, meer willekeurige constanten in te voeren dan men noodig heeft om de verschijnselen weer te geven. Maar vijftien maanden later, in Februari 1917, vond men dat een statische oplossing met een positieve kromming - oplossing A - niet mogelijk was zonder de λ. In een statische oplossing is de kromming namelijk evenredig met λ (in oplossing A is λ gelijk aan de kromming, in B, wanneer men deze behandelt als een statische oplossing, is zij driemaal de kromming). In den tijd dus dat wij slechts twee statische oplossingen A en B hadden, en meenden dat deze de eenig mogelijke waren, bestond er een plausibele interpretatie voor de beteekenis van λ: zij was de wereldkromming, en men kon zich denken dat de vierkantswortel uit haar omgekeerde, de straal van de wereld, ons een natuurlijke eenheid voor de lengtemeting verschafte. Zij gaf het electron iets om zichzelf aan af te meten, zoodat het zou weten hoe lang het behoorde te zijn, zooals Sir Arthur Eddington het uitdrukte.

Weyl heeft het eerst aangetoond dat er een standaardmaat voor de lengte (en voor de tijd)

in de structuur van het heelal verweven moest zijn, omdat anders de vergelijking van lengten op verschillende plaatsen en tijden iedere beteekenis zou missen. In een niet-statische oplossing, waar de afstanden met de tijd varieeren, is een alomtegenwoordige en onveranderlijke standaardeenheid natuurlijk a fortiori een vereischte. Eddington drukt dit alleraardigst uit in zijn boekje: ‘Het Uitdijend Heelal’ (1933)1). Om er zeker van te zijn dat er een verschil in afmetingen tusschen de Lilliputters en de bewoners van Brobdingnag bestaat, zijn de bezoeken van een van buiten komende standaardeenheid - een Gulliver - aan beide eilanden noodzakelijk. Nu bestaat er in ieder heelal, hetzij statisch hetzij niet-statisch, dat materie (of energie) bevat, een zekere grootheid R₁, die een maat is voor de materieele inhoud van het heelal, en die constant blijft dank zij de wet van behoud van energie. Deze ‘eenheidsstraal’ R₁ is daarom uitstekend geschikt voor de rol van Gulliver. Indien λ niet nul is, heeft de verhouding tusschen R₁ en de vierkantswortel uit het omge-

keerde van λ - of van minus λ indien λ negatief zou zijn - een vaste waarde (verschillend voor iedere oplossing), en zijn wij vrij, deze of gene tot onze standaardeenheid te kiezen. In dien λ nul is hebben wij nog steeds onze eenheid R₁ In leege universa echter is R₁ nul, onafhankelijk of λ positief, negatief of nul is. Dit ligt tamelijk voor de hand: als er geen eilanden om te bezoeken zijn, is er ook geen behoefte aan een Gulliver. De bestudeering der leege universa is een wiskundige oefening, geen physisch probleem.

Na deze uitweiding over λ, in de loop waarvan wij op eenige overwegingen hebben vooruitgegrepen, die wij later zullen noodig hebben, nemen wij de draad van ons verhaal weer op, waar wij haar een wijle geleden lieten vallen. Wij hadden dus twee mogelijke oplossingen: het statische heelal met materie en zonder expansie en het leege heelal met expansie, doch zonder materie.

Nu leert de waarneming dat de snelheid waarmede het heelal expandeert, groot is: het heelal verdubbelt zijn afmetingen in ongeveer anderhalf milliard jaar, wat astronomisch gesproken een korte tijd is. In het ‘statische’ heelal

is expansie onmogelijk, het ‘leege’ heelal dijt uit. Wij zouden daarom geneigd zijn het leege heelal als de meest nabijkomende benadering op te vatten; en wij kunnen verder gaan en de kromtestraal van het heelal berekenen uit de waargenomen grootte der expansie in de onderstelling dat het van het leege type is. Zij blijkt ongeveer twee milliard lichtjaren te zijn.

Het heelal is echter niet leeg maar bevat materie. De quaestie is, hoeveel materie. Benadert de dichtheid ongeveer de waarde dien correspondeert met het statische heelal, of is zij zoo klein dat wij het leege heelal als een goede benadering kunnen beschouwen? Wij hebben gezien dat het heelal eenige billioenen malen leeger is dan het meest volkomene luchtledig op aarde. Maar dit is niet de juiste manier de leegheid van het heelal te meten. Wij moeten niet onze aardsche ondervinding als vergelijkingsstandaard gebruiken, maar de theoretische dichtheid van het statische heelal. Het is gemakkelijk de dichtheid van een statisch heelal met een straal van twee milliard lichtjaar te berekenen en deze blijkt maar weinig grooter te zijn dan de waargenomen

dichtheid. Het werkelijke heelal is dus verre van ledig; het is integendeel bijna vol.

Wij komen zoo tot de conclusie, waarop wij boven al even doelden, dat het werkelijke heelal noch statisch noch leeg is. Het verschilt zoo zeer van beide, dat geen van de twee als een passend model op groote schaal gebruikt kan worden. Wij moeten dus naar andere oplossingen van de algemeene veldvergelijkingen uitzien. Om rekenschap te geven van de expansie moet onze oplossing niet-statisch zijn en een eindige dichtheid geven. Er is slechts één mogelijke statische oplossing, die een eindige dichtheid bezit, nl. onze oude vriend A, maar van de niet-statische oplossingen met eindige dichtheid bestaat een groote variëteit. Ik zal nu de zuiver historische lijn van het verhaal loslaten en deze verschillende mogelijke oplossingen opsommen, niet in de volgorde waarin ze ontdekt zijn, maar in de volgorde van haar natuurlijke classificatie.

In de oplossingen A en B was de kromming der drie-dimensionale ruimte noodzakelijk positief en de geheimzinnige ‘cosmische constante’ λ was ook positief. In de niet-statische

universa is dit niet het geval. Dit realiseerde men zich in het eerst nog niet. Wij waren er zoo aan gewend geraakt λ als een essentieel positieve grootheid te denken, en een eindige wereld met positieve kromming, dat de gedachte, om te onderzoeken of oplossingen met negatieve of nul-waarden van λ en de kromming mogelijk waren, eenvoudig bij niemand opkwam. Maar toen deze vergissing hersteld werd bleek direct, dat in het niet-statische geval zoowel de λ als de kromming niet positief behoefden te zijn, maar evengoed negatief en nul konden zijn. Ik zal daarom de waarde van λ, of liever van R₁² λ, waarbij R₁ de eenheidsstraal is, en het teeken van de kromming als de hoofdkenmerken voor de classificatie gebruiken. De staat van het heelal op een bepaald oogenblik is gekarakteriseerd door een zekere grootheid die in de vergelijkingen voorkomt en aangeduid wordt met de letter R, en die, als er een kromming is, geinterpreteerd kan worden als de kromtestraal, of kortweg ‘de straal’. De wijze waarop het heelal expandeert is bepaald door de variatie van deze R met de tijd. Er zijn drie typen of families van niet-statische universa, die ik de

oscilleerende universa en de uitdijende universa van de eerste en de tweede soort wil noemen. Zij worden graphisch voorgesteld in figuur 11. De horizontale coördinaat is de tijd, de verticale de ‘straal’. Er is van ieder type


Figuur 11
De drie families van niet-statische universa

slechts één voorbeeld in de figuur gegeven maar men moet zich realiseeren dat ieder van hen een geheele familie vertegenwoordigt, die een oneindig aantal leden, in vorm en afmeting verschillend, omvat.

In de oscilleerende universa neemt de ‘straal’ R toe van nul tot een zekere maximale waarde, die voor ieder lid van de familie verschilt, en dan weer af tot nul. De oscillatieperiode heeft een zekere (en tamelijk kleine) waarde, die voor ieder lid van de familie verschillend is. In de uitdijende familie van de eerste soort neemt de straal voortdurend toe van een zeker begin-oogenblik af, waarop zij nul was, om na oneindige tijd oneindig groot te worden. In de uitdijende reeks van het tweede type heeft de straal op het begin-oogenblik een zekere minimale waarde, die voor de verschillende leden van de familie verschilt, en neemt dan toe, om oneindig te worden na oneindige tijd.

Indien λ negatief is, zijn er alleen oscilleerende universa mogelijk, ongeacht of de kromming positief, negatief of nul is. Men heeft dan slechts de keuze tusschen de verschillende leden van de oscilleerende familie en met iedere speciale waarde van λ correspondeert een lid van de familie.

Indien λ nul is, en de kromming positief hebben wij nog een oscilleerend heelal; indien de kromming nul of negatief is, behoort het heelal tot de eerste familie der uitdijende universa.

Indien λ positief is, dan zijn voor positieve kromming alle drie families mogelijk; is de kromming negatief of nul dan bestaat slechts de eerste familie der uitdijende universa. De verschillende mogelijkheden zijn weergegeven in de volgende tabel.

Tabel VII

Wij weten niet tot welke van de drie mogelijke families ons heelal behoort, en er is niets in onze waarnemingen dat ons leiden kan bij het doen van een keuze. En zelfs indien wij een beslissing aangaande de familie genomen hebben, staat het ons nog altijd vrij ieder speciaal lid ervan uit te kiezen. Dit is niet het geval omdat de gegevens niet nauwkeurig genoeg zijn, maar omdat zij ontoe-

reikend in aantal zijn. De waarnemingen geven ons twee gegevens, nl. de mate der uitdijïng en de gemiddelde dichtheid, en er zijn drie onbekenden: de waarde van λ, de kromming en de schaal van de figuur, d.i. de eenheidsstraal R₁. Om deze drie onbekenden te bepalen zouden wij een derde gegeven noodig hebben, zooiets als bijvoorbeeld de versnelling, d.i. de mate waarin de grootte der uitdijïng verandert. Zoolang wij dit of een ander equivalent missen is het probleem onbepaald. Indien wij een hypothese aangaande λ of de kromming maken, kunnen wij de andere uit de waargenomen gegevens vinden, of liever dat zouden wij kunnen indien de gegevens voldoende nauwkeurig waren. Wij zouden bijvoorbeeld a priori kunnen beslissen dat de kromming nul moet zijn, dus dat de driedimensionale ruimte Euclidisch is. Indien wij deze hypothese maken, hebben wij een voldoende aantal gegevens tot onze beschikking om de waarde van λ te bepalen. Wij zouden aan de andere kant kunnen wenschen λ te verwijderen op grond van de overweging dat deze er nooit had moeten zijn, dat zij ongelukkigerwijze in de vergelijkingen is ingevoerd

in een vroeger stadium in de ontwikkeling van de theorie, toen wij nog foutievelijk trachtten een statische oplossing te vinden. Met andere woorden, wij zouden de hypothese kunnen maken dat de ware waarde van λ nul is. In dat geval zullen de waarnemingsgegevens indien zij voldoende nauwkeurig zijn, ons in staat stellen de kromming te bepalen.

Intusschen zijn noch de gemiddelde dichtheid, noch de mate der uitdijïng op het oogenblik met voldoende nauwkeurigheid bekend, om een werkelijke bepaling mogelijk te maken, zelfs indien een dergelijke hypothese aangenomen werd. Alles wat wij kunnen zeggen is, dat indien de kromming klein is (zooals wij weten dat zij zijn moet omdat zij onmerkbaar is in onze omgeving met de gewone geometrische methoden) dat dan ook λ klein moet zijn, en indien de kromming zeer klein is, dat dan ook λ zeer klein moet zijn. Aan de andere kant moet, indien λ zeer klein of nul is, ook de kromming zeer klein zijn en kan zij zelfs nul zijn voor zoover wij op het oogenblik kunnen zeggen.

Op het oogenblik is de quaestie van de bepaling van λ en de kromming slechts van zuiver

academisch belang. Totaan de afstanden die wij met onze tegenwoordige middelen kunnen bereiken, d.i. in ‘onze nabuurschap’ en zelfs op eenige afstand daarbuiten zijn de waarneembare verschijnselen inderdaad dezelfde voor alle universa. Het lijkt echter niet onwaarschijnlijk dat wij, wanneer wij de vijf-meter telescoop tot onze beschikking hebben, zulke groote afstanden zullen kunnen bereiken, of wat op hetzelfde neerkomt, zoo ver in de geschiedenis van het heelal zullen kunnen terugzien, dat het effect van de kromming en de versnelling meetbaar wordt, en het is mogelijk dat wij zoo in staat zullen zijn het derde gegeven, dat een vereischte is om tusschen de verschillende mogelijke universa te kunnen beslissen, te vinden.

Eddington heeft een theorie ontwikkeld die een verband geeft tusschen λ en de massa's van het proton en het electron. De theorie is gebaseerd op de hypothese dat het aantal electronen en protonen in het heelal eindig is, d.w.z. dat de kromming van de drie-dimensionale ruimte positief is. E. neemt ook aan dat λ positief is, maar voor zoover ik kan zien, zou het aan de theorie niets afdoen als λ in minus λ

veranderd werd, ofschoon zij alle beteekenis zou verliezen indien λ nul was. Ik wil deze theorie hier niet bespreken - ik voel mij niet competent haar verdienste, van de physische kant bezien, te beoordeelen. Indien zij geaccepteerd werd zou zij ons het vereischte derde gegeven verschaffen, en dit zou leiden tot een uitdijend heelal van de eerste soort.

De interpretatie van het uitdijend heelal, het ontwerpen van een beeld of een model ervan in onze geest, wat gemakkelijk was of scheen te zijn, toen wij wisten of meenden te weten dat het heelal eindig was, is niet zulk een eenvoudige zaak nu wij zelfs niet weten of de kromming positief, nul of negatief is, of het heelal eindig of oneindig is. Het klinkt tamelijk vreemd van een oneindig heelal dat nog steeds uitdijt te hooren spreken. Als wij zeker waren dat de kromming negatief was, zouden wij, evenals in het geval van positieve kromming, de zin: ‘het heelal dijt uit’ nog kunnen vervangen door zijn equivalent ‘de kromming van het heelal neemt af’. Maar indien de kromming nul is en altijd nul blijft, welke beteekenis moeten wij dan aan de ‘uitdijïng’ toekennen? De werkelijke beteekenis is natuurlijk dat de onderlinge af-

standen van de melkwegstelsels, in de zoogenaamde natuurlijke maat uitgedrukt, nl. in veelvouden of onderdeelen van de eenheidsstraal R₁, toenemen, evenredig met een zekere grootheid R, die in de vergelijkingen optreedt en met de tijd varieert. De interpretatie van R als de ‘kromtestraal’ van het heelal dringt blijkbaar, als is zij wel mogelijk voor een heelal met kromming, toch niet door tot de fundamenteele beteekenis ervan. De wijze waarop tijd en ruimte met elkander verbonden zijn in het vier-dimensionale continuum is veranderlijk. Het is moeilijk deze veranderlijkheid van de onderlinge relaties tusschen ruimte en tijd in eenvoudige taal uit te drukken, bovendien zijn er verschillende interpretaties mogelijk, die correspondeeren met verschillende mathematische transformaties van het fundamenteele lijnelement, dat wil zeggen die verschillen naar mate wij andere veranderlijken als de ‘tijd’ interpreteeren. Misschien is de beste manier waarop wij het kunnen uitdrukken deze, dat wij zeggen, dat de oplossing van de veldvergelijkingen van de relativiteitstheorie laat zien dat er in het heelal een kracht bestaat die zijn schaal verandert, wat in de tegenwoordige tijd een uit-

dijïng ten gevolge heeft, maar misschien op andere tijdstippen tot een inkrimping kan leiden of geleid kan hebben. Dit geldt voor het model van het heelal op groote schaal. Indien wij de details er inbrengen, de singuliere punten in het veld, nl. de melkwegstelsels en de sterren, dan vinden wij dat er ook een kracht, de gravitatie genaamd, bestaat, die de onderlinge afstanden van deze ‘singuliere punten’ kleiner doet worden. Op korte afstanden, binnen de grenzen van het melkwegstelsel, is deze tweede kracht verreweg de sterkste en de melkwegstelsels behouden hun afmetingen onafhankelijk van de uitdijïng of contractie van het heelal; op groote afstanden, zooals de afstanden die de melkwegstelsels scheiden, overheerscht de eerste.

De theorie van het uitdijend heelal is op het huidige oogenblik veel minder zeker dan wij een korte tijd geleden nog meenden, maar dat raakt haar werkelijke beteekenis niet - het brengt alleen maar duidelijker aan het licht wat haar beteekenis wel en wat zij niet is.

Sommige consequenties van de theorie verdienen speciaal, al is het maar kort, genoemd te worden.

Een vraag die de sterrekundigen en physici

lang heeft bezig gehouden is: wat wordt er van de energie, die voortdurend door de zon en de sterren in de ruimte wordt uitgestraald? Op deze vraag is door de nieuwe theorie een volkomen bevredigend antwoord gegeven. Zij wordt opgebruikt, verzwakt of gedegradeerd door de uitdijïng van het heelal. Evenals een man, die rent om een bus of een tram in te halen, buiten adem raakt en zijn energie verspilt, of een projectiel, dat een bewegende trein achterna wordt geschoten, deze met minder kracht treft, dan waarmee het op een stilstaand object gestooten zou zijn, zoo verliest ook het licht, dat door het uitdijend heelal reist en als het ware bepaalde sterren of sterrestelsels tracht te bereiken, die met groote snelheid voortdurend terugwijken, zijn energie bij zijn pogingen om in te halen. Het is deze degradatie van het licht, technisch bekend als de roodverschuiving der spectraallijnen, waardoor wij de snelheden der extra-galactische nevels van ons af bemerken. Men kan aantoonen dat het totale bedrag, waarmede de stralingsenergie in het heelal dank zij deze degradatie vermindert, de vermeerdering tengevolge van de uitstraling der sterren overtreft. Het zou echter niet juist zijn hieruit

te concludeeren dat de expansie veroorzaakt wordt door de bij de uitstraling verloren gegane energie, evenmin als het juist zou zijn te zeggen dat de tram voortbewogen wordt door de energie verloren door de man die haar achterna holt.

Eén consequentie van de theorie heeft in het bijzonder tot vele discussies aanleiding gegeven gedurende de laatste drie of vier jaar, nl. de zgn. paradox van de korte tijdschaal.

In alle oplossingen is er een zekere minimum waarde voor de ‘straal’ R, hetzij nul, hetzij, in de uitdijende familie van de tweede soort, een eindige waarde, die het heelal op een eindig tijdstip in het verleden bezat. Er schijnt een bepaald ‘begin van de tijd’ te zijn, een paar milliard jaar geleden in de geschiedenis zooals er ook een bepaald ‘absoluut nulpunt’ van de temperatuur is, dat correspondeert met minus 273 graden op de gewone schaal (Celsius). Wat beteekent dit?

De verleiding is groot dit oogenblik, waarop de uitdijïng begint, met het ‘begin van de wereld’ wat dit ook beteekenen moge, te identificeeren. Nu vond, astronomisch gesproken, dit begin van de uitdijïng eerst gisteren plaats, niet veel langer geleden dan de formatie van de

oudste rotsen op aarde. Volgens al onze moderne inzichten vereischt de evolutie van een ster, of een dubbelster of een sterrehoop enorm veel grootere tijdsintervallen. De sterren en de sterrestelsels moeten eenige duizenden malen ouder zijn dan het heelal.

Hoe moet onze houding tegenover deze paradox zijn? Het ligt voor de hand dat, als twee theorieën elkander tegenspreken, wij of de ééne of de andere moeten opgeven. Het conflict schijnt te bestaan tusschen de moderne theorieën over de evolutie der sterren en de dynamische theorieën over de evolutie van dubbelsterren en sterrehoopen aan de eene kant, en de algemeene relativiteitstheorie aan de andere kant. Indien dit het werkelijke geschilpunt was, zou er geen twijfel bestaan aangaande de uitslag: de relativiteitstheorie zou als overwinnaar uit de strijd komen en de evolutietheorieën zouden herzien moeten worden. Dit schijnt Sir Arthur Eddington's standpunt te zijn als hij schrijft: ‘wij moeten deze beangstigend snelle verspreiding der nevels aanvaarden met de belangrijke consequenties vandien nl. dat de tijd beschikbaar voor de evolutie belangrijk ingekort wordt’. Ik vrees echter dat zeer weinige astronomen,

om van de geophysici niet te spreken, bereid zullen zijn deze drastische reductie van de tijdschaal te accepteeren.

Het is belangrijk te bedenken dat ons geloof in de lange tijdschaal voor de leeftijden der sterren niet op eenige theorie aangaande haar constitutie gebaseerd is, maar op een waarnemingsfeit, door Eddington in 1914 ontdekt, nl. de zgn. massa-lichtkracht-relatie. Er bestaat een bepaalde verband tusschen de massa en de lichtkracht der sterren en dientengevolge tusschen de massa en het spectrum, de temperatuur enz. Dientengevolge kan een ster alleen van het eene type in het andere overgaan als zij massa verliest, en aangezien er geen andere wijze voor een ster schijnt te bestaan haar massa te verliezen dan door straling, moet de verandering noodzakelijkerwijze langzaam gaan. Zoodra dit empirische feit ontdekt was werden er theorieën ontwikkeld, of kwamen, indien zij reeds bestonden, in de gunst, die rekenschap gaven van een lang leven voor de sterren. Later, na de ontdekking van de korte ‘levensduur van het heelal’ kwamen andere theorieën in de mode, die een levensduur voor de sterren gaven van dezelfde orde van grootte als die

van het heelal. Maar deze theorieën zijn in klaarblijkelijke tegenspraak met de massalichtkracht-relatie: zooals wij reeds opmerkten, volgt uit deze relatie dat indien er een evolutie is, zij langzaam moet zijn. Of de sterren zijn ouder dan het heelal, of er is geen evolutie, en alle sterren zijn bij het ‘begin van de wereld’ geschapen vrijwel zooals zij nu zijn.

Het is mogelijk het tijdstip van het begin van de uitdijïng naar minus oneindig over te brengen, door inplaats van de gewone tijd de logarithme van de tijd, die sinds het begin verloopen is, te gebruiken. Maar dit is slechts een wiskundige kunstgreep. Wij noemen nul minus oneindig, maar dat beteekent alleen dat wij het heelal een oneindige tijd toestaan om aan de gang te komen op zijn weg ter expansie, maar het maakt de tijd gedurende welke er werkelijk iets gebeurt niets langer.

Niet alleen is de tijdschaal voor het verleden kort, zij is even kort voor de toekomst. Voor de oscilleerende universa is dit direct duidelijk aangezien de geheele periode van het eene minimum van R tot het volgende slechts een paar milliard jaar bedraagt. Maar ook voor de uit-

dijende universa heeft de tegenwoordige constitutie van het heelal een zeer ephemeer karakter. Na een paar milliard jaar zullen de onderlinge afstanden tusschen de melkwegstelsels tot eenige duizenden malen hun tegenwoordige waarde toegenomen zijn, en het heelal zal praktisch opgelost zijn in afzonderlijke melkwegstelsels die hun geschiedenis onafhankelijk van elkander vervolgen.

Het komt mij voor dat de goede verklaring van de paradox is, dat de identificatie van het tijdstip van het minimum van R met het ‘begin van de wereld’, en van de tijd die sedert dit minimum verloopen is met de ‘ouderdom van het heelal’ te voorbarig was en in werkelijkheid volkomen ongegrond is. Het heelal is eeuwig en heeft geen ouderdom. Het minimum van R is slechts een bijzonder oogenblik in zijn geschiedenis, evenals het oogenblik van perihelium doorgang in het leven van een planeet of komeet.

Indien wij figuur 11 beschouwen zien wij dat, indien ons heelal een uitdijend heelal van de tweede soort is, de onderlinge afstanden der melkwegstelsels een minimumwaarde gehad moeten hebben eenige milliarden jaren geleden.

Maar deze minimum-afstanden waren vermoedelijk nog van de orde van verscheidene malen de diameter van ons melkwegstelsel. In het geval van de uitdijende universa van de eerste soort en van de oscilleerende universa was er in die tijd een zeer sterke opeenhooping der melkwegstelsels, waarbij de minimum afstanden mathematisch nul werden. Aangezien de snelheden terzelfdertijd gelijk aan die van het licht werden, kan de opeenhooping slechts een moment geduurd hebben. De contractie van het heelal tot op een mathematisch punt is natuurlijk een physische onmogelijkheid. De atomen, de sterren en de melkwegstelsels zelve veranderen niet van afmeting. De melkwegstelsels kunnen elkaar gemakkelijk doordringen - indien wij een milliard melkwegstelsels samenproppen in de ruimte die nu door één stelsel wordt ingenomen, zullen de onderlinge afstanden tusschen de sterren nog van de orde van tien tot honderdduizend maal hun diameters zijn - maar het heelal kan nimmer kleiner dan één melkwegstelsel worden. Het heelal moet dientengevolge een middel vinden om aan de contractie tot op een mathematisch punt te ontsnappen, m.a.w. om de scherpe knik in de

kromme zooals hij door de gestippelde lijnen in figuur 11 is aangegeven af te ronden.

De mathematische vergelijking, waaruit de krommen in figuur 11 werden geconstrueerd, is natuurlijk een benadering, die daarin bestaat dat de onderlinge gravitatiewerking tusschen de verschillende melkwegstelsels vervangen werd door de gemiddelde werking van de combinatie van alle melkwegstelsels in het heelal. Deze benadering is volkomen voldoende, zoolang de onderlinge afstanden groot zijn, maar houdt op een benadering te zijn, wanneer deze afstanden zeer klein worden. De onderlinge werking van de verschillende melkwegstelsels op elkaar moet dan in rekening gebracht worden, en men kan aantoonen, dat het effect zal zijn dat zij de minimumafstanden vermeerdert tot een eindige waarde, de snelheden vermindert, zoodat zij kleiner worden dan de snelheid van het licht en de absolute gelijktijdigheid vernietigt. Op deze wijze vinden wij dat alle melkwegstelsels, inplaats van op één en hetzelfde oogenblik met de snelheid van het licht door één en hetzelfde punt te vliegen, elkander gedurende een kort tijdsinterval zeer dicht naderen, elkander gedeeltelijk doordringen en

zich met snelheden bewegen, die, alhoewel groot, toch kleiner blijven dan die van het licht.

Deze groote opeenhooping vond een paar milliard jaar geleden plaats. Nu is het zeer opmerkelijk, dat tenminste twee andere, van elkaar geheel onafhankelijke gedachtengangen ditzelfde tijdstip als een kritiek moment aanwijzen.

De ouderdom van de aardkorst is van de orde van twee of drie milliard jaar. Deze bepaling, die berust op de chemische analyse van mineralen en op de wetten der radio-actieve processen, laat ons slechts een kleine marge van onzekerheid. De ouderdom van de aarde zelve is waarschijnlijk niet meer en mogelijk veel minder dan tweemaal de ouderdom van de korst. Alle moderne theorieën over den oorsprong van het zonnestelsel komen daarin overeen, dat zij deze toeschrijven aan een dicht elkaar naderen of een botsing van de zon met een andere ster. Dientengevolge is de ouderdom van de aarde ook die van het planetenstelsel - de zon zelf is veel ouder en haar constitutie verschilde in die tijd niet aanmerkelijk van die van tegenwoordig. Dichte naderingen zijn in ons melkwegstelsel, zooals het er nu uitziet, uiterst zeld-

zaam. Tenzij wij ons eigen stelsel als een speling der natuur willen beschouwen, practisch eenig te midden van de sterrewereld, moeten wij gelooven dat de ontmoetingskansen ongeveer vijf milliard jaar geleden veel grooter zijn geweest dan nu. De dichte nadering en het elkaar onderling doordringen van vele melkwegstelsels in die tijd verschaft ons deze vergroote ontmoetingskans.

De bouw van ons eigen melkwegstelsel en van die extra-galactische stelsels, die dicht genoeg bij ons zijn om ons in staat te stellen hun structuur te bestudeeren, is, zooals wij in het vorige hoofdstuk gezien hebben, uiterst gecompliceerd. De dichtheidsverdeeling is zeer onregelmatig en zeer ver van homogeen. De stelsels roteeren alle met perioden die van de orde van een paar honderd millioen jaar zijn. Tengevolge van deze rotatie kan het gebrek aan homogeniteit in de structuur niet altijd blijven bestaan, maar moet langzamerhand uitgedoezeld worden. De ouderdom der melkwegstelsels in hun tegenwoordige vorm kan daarom niet grooter zijn dan een klein aantal omwentelingsperioden. Waarschijnlijk kan men in dit verband tien nog als een klein aantal op-

vatten, maar het is bijna zeker dat honderd een te groot aantal zou zijn. Ons melkwegstelsel en de spiraalnevels moeten dus hun tegenwoordige structuur op een bepaald oogenblik in het verleden, een paar duizend millioen jaar geleden, verkregen hebben, dit is in dezelfde tijd als het planetenstelsel geboren werd en het heelal zijn minimum-afmeting had. Weer geeft het dichte naderen van alle melkwegstelsels op dat oogenblik voldoende verklaring voor het beginnen der rotatie, voor de vorming der spiraalarmen en de niet-homogene verdeeling der materie.

De groote toename der dichtheid en de tengevolge daarvan vergroote kans op ontmoetingen, die men noodig heeft ter verklaring van de oorsprong der melkwegstelsels en het planetenstelsel krijgen wij echter alleen op het oogenblik van het minimum, indien het heelal hetzij een oscilleerend, hetzij een uitdijend heelal van de eerste soort is. In de uitdijende universa van de tweedesoort is de toename van de dichtheid nauwelijks voldoende om deze effecten voort te brengen, aangezien de minimale afstanden tusschen de melkwegstelsels waarschijnlijk nog verscheidende malen hun diameters waren.

Het lijkt daarom waarschijnlijk dat ons heelal een uitdijend heelal van de eerste soort is. Het tijdstip, waarop het door zijn minimale-afmeting ging, was zooals wij reeds aantoonden niet het ‘begin van de wereld’ maar een incident in haar geschiedenis, dat min of meer belangrijke gevolgen voor eenige van de haar samenstellende deelen gehad heeft. Deze gevolgen waren zeer ver reikend voor vele der melkwegstelsels, die hun spiraalvormige structuur en hun rotatie verkregen, minder ver reikend voor onze zon, en waarschijnlijk voor enkele andere sterren, die van planeten werden voorzien, terwijl het op haar kleinste bestanddeelen, de atomen, waarschijnlijk in het geheel geen effect gehad heeft.

Onze opvatting over de bouw van het heelal draagt alle kenmerken van een voorloopige structuur. Onze theorieën bevinden zich ongetwijfeld in een toestand van voortdurende en juist in deze tijd van zeer snelle evolutie. Het is niet mogelijk te voorspellen hoe lang onze tegenwoordige inzichten en interpretaties onveranderd zullen blijven en hoe snel zij door misschien geheel andere vervangen zullen worden, die op

nieuwe waarnemingsgegevens en op een nieuw kritisch inzicht in hun verband met andere gegevens berusten.

Ondertusschen gaan de eenvoudige werkers in de wetenschap rustig verder, ieder werkende aan zijn eigen bijzondere probleem, ongestoord door de vele vreemde en tegenstrijdige dingen die rondom hen heen en in hun eigen huis gebeuren. En het is op dit rustige werk zonder eenig vertoon, dat de groote vooruitgang der wetenschap berust. Speciaal in de sterrekunde hebben alle gegevens, die de oplossing der groote problemen bepalen, twee eigenschappen gemeen. De eerste is de uiterste kleinheid van de grootheden die gemeten moeten worden. De bepaling van de afstanden, van de eigenbewegingen en de radieele snelheden, die het materiaal vormen, waarmede de groote constructies van de theorieën over het melkwegstelsel en het heelal worden opgebouwd, vragen alle een nauwkeurige meting van uiterst kleine grootheden. Het is altijd een strijd om de laatste decimaal, en de groote triomphen der wetenschap zijn dan behaald, wanneer dank zij nieuwe instrumenten of nieuwe methoden de laatste decimaal tot de voorlaatste is gemaakt. Zooals wij gezien

hebben werd zoo een nieuw tijdperk ingeleid bij het begin van de zeventiende eeuw door de uitvinding van de telescoop en in het laatste derde gedeelte van de negentiende eeuw door de uitvinding van de photographie en de spectroscopie.

De andere eigenschap is, dat de sterrekunde altijd een zeer groot aantal gegevens vraagt. Ten gevolge van het feit, dat het directe experiment in de sterrekunde onmogelijk is, moeten wij waarnemingen hebben van zeer veel sterren en die zich over steeds zwakkere objecten uitstrekken, om ons in staat te stellen betrouwbare conclusies te trekken.

Deze twee eigenschappen van de gegevens die de astronoom noodig heeft om zijn wetenschap op te bouwen maken twee dingen in de sterrekunde meer noodig dan in eenig andere wetenschap: geduld en georganiseerde samenwerking. Geduld omdat vele der verschijnselen zich zoo langzaam ontwikkelen dat het een lange tijd vereischt voor zij meetbaar worden; samenwerking omdat het materiaal te groot en te verschillend is om door één mensch of zelfs door één instelling beheerscht te worden. En samenwerking niet alleen tusschen de ver-

schillende werkers en instellingen over de geheele wereld, maar ook samenwerking tusschen voorgangers en opvolgers om de problemen op te lossen die juist uit de aard der zaak meer dan de levensduur van één mensch vragen. De astronoom is zich, terwijl hij werkt aan zijn eigen taak, hetzij hij lange berekeningen uitvoert, theorieën en hypothesen opstelt, of geduldig waarnemingen verzamelt in dagelijksche routine, altijd bewust tot een gemeenschap te behooren, welker leden, gescheiden in ruimte en tijd, zich desondanks verbonden voelen door een zeer reëele band, bijna een van bloedverwantschap. Hij werkt niet voor zichzelf alleen, hij laat zich niet uitsluitend, en zelfs niet in de eerste plaats leiden door zijn eigen inzicht of voorkeur; zijn werk is altijd gecoördineerd met dat van anderen als een deel van een georganiseerd geheel. Hij weet, dat wat zijn speciale werk ook mag zijn, hij altijd een schakel is in de keten die haar waarde ontleent aan het feit, dat er een andere schakel aan de linker en een aan de rechter zijde is. Het is de ketting die belangrijk is, niet de afzonderlijke schakels.

Het is niet twijfelachtig dat op het huidige

oogenblik de wetenschap groote populariteit geniet, veel grooter dan zij dit zelfs een korte tijd geleden deed. Maar ik vrees dat de massa dikwijls niet voldoende scherp onderscheid heeft gemaakt tusschen de wetenschap en de toepassing van de wetenschap voor practische doeleinden. De wetenschap wordt geprezen en geacht omdat de wonderbaarlijke technische ontwikkeling, waarvan wij in de laatste eeuw getuige zijn geweest, de spoorweg en de stoomboot, de auto en de vliegmachine, telefoon en radio, lucifers, badkamers, en zoo voort, aan haar te danken zijn. Dit alles is waar natuurlijk, en zeer wonderbaarlijk en belangrijk. De algemeene levensstandaard is ontzaglijk gestegen; iedere burger geniet nu als dagelijksche comfort en gemakken, wat honderd jaar geleden zelfs voor de kieskeurigste millioenair ongedroomde luxe zou geweest zijn en neemt dit als iets heel gewoons aan. Als wij ons echter afvragen waarom deze vermeerdering van comfort en deze verhooging van de algemeene levensstandaard goed is, kan het eenige antwoord zijn, dat het ons meer vrije tijd geeft om onszelve te wijden aan die dingen, die de werkelijke waarde aan het leven geven, het be-

oefenen van de wetenschap en de kunst. Het is zooals Poincaré gezegd heeft: ‘je ne dis pas: la Science est utile parce qu'elle nous apprend à construire des machines; je dis: les machines sont utiles, parce qu'en travaillant pour nous, elles nous laisseront un jour plus de temps pour faire de la science’. En natuurlijk verschaft, zooals wij al herhaaldelijk aantoonden, ook de verbeterde techniek machtige werktuigen aan de wetenschap en stimuleert zij daardoor haar ontwikkeling. Het is een belangrijk feit, dat in de geschiedenis wordt bewezen, dat alle groote technische vooruitgang gebaseerd is geweest op wetenschappelijke ontdekkingen, die in die tijd volkomen nutteloos schenen te zijn, en door menschen gedaan werden die de wetenschap om haar zelfswille beoefenden, zonder de geringste gedachte aan haar toepassing te wijden. Zij zijn de belooning, die de menschheid toevalt, dank zij de onbaatzuchtigheid van haar grootste vertegenwoordigers.

Een oogenblik geleden verbond ik wetenschap en kunst in één zin. Zij zijn de hoogste manifestaties van de menschelijke geest, de wetenschap van zijn intellectueele, de kunst van zijn emotioneele kant. Er heerscht echter

veel misverstand. Het komt nu en dan voor dat zij, in wie de natuurlijke aanleg of de omstandigheden een uitsluitend artistieke of emotioneele kijk op het leven hebben ontwikkeld, met medelijden vervuld zijn met de ongelukkige wetenschapsmenschen zonder eenige verbeelding, die rondkruipen in het stof der feiten, metingen en berekeningen, inplaats van in de zuivere ether der mystieke contemplatie omhoog te stijgen. Aan de andere kant komt het ook zoo nu en dan voor, maar misschien niet zoo vaak, dat menschen met een speciaal wetenschappelijk inzicht en uitsluitend in die richting opgevoed, neerzien op de arme en onpractische en onlogische artisten. Beide deze oordeelen liggen natuurlijk zeer ver bezijden de waarheid. De wetenschap en de kunst benaderen de groote problemen van het begrijpen der natuur ieder op haar eigen wijze, maar beide vereischen en gebruiken ook de volledige attributen van de menschelijke geest. Verbeelding is even onmisbaar voor de physicus en de astronoom als voor de dichter; logica even noodzakelijk voor de architekt of de componist als voor de wiskundige.

De groote wetenschapsmenschen zoowel als

de groote artisten zijn vervuld met een geest van deemoed; zij zijn zich steeds bewust dat het mysterie en het verhevene in de eenvoudigste en kleinste zoowel als in de grootste dingen en verschijnselen aanwezig is en zij gelooven in de orde en de eenheid aller dingen. Alleen de weg waarlangs zij tot begrip van deze orde trachten te komen en in zijn diepere beteekenis trachten door te dringen is verschillend.

Het is een tamelijk veel voorkomende misvatting dat de wetenschap, doordat zij de natuur analyseert en ontleedt, haar aan de strenge regels der wiskundige formules en de numerieke berekening onderwerpt, alle gevoel voor haar schoonheid en verhevenheid zou verliezen. Het tegendeel is waar. Zelfs de zuiver aesthetische waardeering van een landschap of een onweersbui wordt naar mijn meening eerder bevorderd dan belemmerd door de kennis, voorzoover deze reikt, van de innerlijke structuur en het verband dier verschijnselen, die de wetenschappelijke beschouwer heeft. En het meten en het reduceeren tot getallen, ‘wijzeraflezingen’ zooals Sir Arthur Eddington zegt, is niet het uiteindelijke doel

der wetenschap, maar slechts haar middel. Door de wiskunde te gebruiken, dat zuiverste, meest immaterieele hulpmiddel van de menschelijke geest, trachten wij zooveel mogelijk de begrenzingen, die ons door onze eindigheid en stoffelijkheid gesteld worden, te overwinnen en steeds dieper door te dringen tot het begrijpen van de mysterieuse eenheid van de Kosmos.