IX. De eerste helft der twintigste eeuw

1.

Wanneer onze eeuw begint, staat de wiskunde in volle bloei. Wel waren de leidende figuren nog steeds mannen, en die mannen waren van Europese afkomst. De voornaamste landen waren nog steeds Frankrijk en Duitsland, met Parijs als het wiskundige hart van Frankrijk, terwijl in het minder gecentraliseerde Duitsland Göttingen en Berlijn vooraan stonden. Maar ook elders kon men verdienstelijke wiskundigen aantreffen, in Scandinavië, Rusland, Zwitserland, België, Engeland en in Nederland, en reeds toonden de Verenigde Staten en Japan, dat het monopolie dat Europa sinds de Renaissancedagen had genoten, aan het verdwijnen was. Van personen gesproken: de meest vooraanstaande internationale figuren waren wel Felix Klein in Göttingen en Henri Poincaré in Frankrijk, maar ook elders kon men wiskundigen van grote verdienste vinden, als Vito Volterra in Italië, of Hermann Minkowski in Zürich, terwijl ook in Göttingen David Hilbert en in Parijs Gaston Darboux en Jacques Hadamard een vooraanstaande rol speelden.

Ofschoon wetenschappelijke academies in de negentiende eeuw de belangrijke plaats hadden verloren die ze in de eeuw van Euler en D'Alembert hadden genoten, waren sommige nog zeer actief, zoals de Franse Académie des Sciences of de Italiaanse Accademia dei Lincei. Toch waren nu bijna alle wiskundigen voornamelijk in het onderwijs betrokken, en de wetenschappelijke geesten onder hen in hogescholen en technische universiteiten. Sommige van hen, bijvoorbeeld in Nederland en Scandinavië, waren als adviseurs aan verzekeringsmaatschappijen verbonden. Doch ofschoon polytechnische instituten en technische hogescholen wiskundige faculteiten hadden, waren er toch maar weinige mathematici direct in het produktieproces betrokken. Een begin vormde de loopbaan van Charles Proteus Steinmetz, student in Breslau en Zürich, en van 1895 verbonden aan de General Electric Co. in Schenectady (V.S.) als consulting engineer. Zijn wiskundig werk omvatte de toepassing van complexe functies op de wisselstroomtechniek. Dat deed ook Arthur Kennelly, vanaf 1902 aan Harvard, later ook aan Mass. Institute of Technology (MIT), beiden in Cambridge, Massachusetts. In Engeland leerde Oliver Heaviside, in de

1880's en later adviseur van telefoon- en andere elektrische organisaties, hoe moderne wiskunde, als in de zgn. telegraafvergelijking, op elektromagnetische theorie kan worden toegepast. Hij hield er onorthodoxe ideeën op na, als op het gebied van vectoren en operatoren, doch die later streng wiskundig konden worden gerechtvaardigd. Heaviside had de reputatie van een zonderling, een kluizenaar, te zijn. Hij en Kennelly hebben hun naam gegeven aan wat we nu doorgaans de ionosfeer noemen.

Felix Klein, die een goed begrip had van de belangrijke rol die de moderne wiskunde in de industrie begon te spelen, sprak met industriëlen en verkreeg hun financiële steun voor de organisatie van wiskundig onderzoek op technische problemen. Een van zijn successen was het Instituut voor Aerodynamisch en Hydrodynamisch Onderzoek in Göttingen, met als directeur de werktuigkundige ingenieur Ludwig Prandtl (1908). Toenmaals waren er nog weinig instellingen van dien aard.

De belangrijkste wiskundigen van deze tijd moeten we dus aan de universiteiten zoeken. Evenals hun vakgenoten waren ze doorgaans in genootschappen georganiseerd. Twee ervan waren eerwaardige overlevenden uit de oude tijd, de wiskundige kring in Hamburg, die van 1690, en het Wiskundig Genootschap in Amsterdam, dat van 1776 dateert. Nieuwere vakorganisaties vinden we in Moskou (1860), Londen (1865), Frankrijk (1870), Edinburgh (1883), Palermo (1884), Duitsland (1890), New York (1888, de kern van de American Mathematical Society, 1894). Tot de nieuwe eeuw behoren die van Indië (1907, en een andere in 1908), en van Spanje en Polen (1911). Wiskundigen konden zodoende elkaar op congressen ontmoeten en hun werk bespreken.

Als de eerste internationale bijeenkomst van belang kan men de verzameling van wiskundigen beschouwen die in 1893 naar Chicago ter gelegenheid van de wereldtentoonstelling aldaar waren uitgenodigd. Hier gaf Klein de voordrachten gepubliceerd als de Evanston Colloquium Lectures. Daarop volgde in 1897 in Zürich het eerste werkelijk internationale congres, met ongeveer 200 deelnemers. De congrestalen waren Frans en Duits. Een der voornaamste voordrachten was die van Adolf Hurwitz, professor in Zürich, over analytische functies. Onderwerpen van discussie waren de toen nog nieuwe leer der verzamelingen van Cantor, de logische grondslagen der wiskunde (Peano, Schröder) en functies van functies (Volterra). Jacques Hadamard stelde hiervoor de naam fonctionelles voor.

Het volgende internationale congres, weer tijdens een wereld-

tentoonstelling, kwam in 1900 bijeen te Parijs, en is in de herinnering gebleven door de 23 problemen die waren naar voren gebracht door Hilbert. Dat congres was een der vele die dat jaar in Parijs plaatsvonden, waaronder het eerste filosofencongres dat ook voor de wiskunde van belang was. Hier discussieerden Peano, Russell en Whitehead over de grondslagen der wiskunde. Wijsbegeerte en wiskunde, in de loop der negentiende eeuw nogal vervreemd geraakt (met sommige uitzonderingen als Boole en Riemann), waren weer aan het convergeren. Emile Picard had er al in 1897 in Zürich op gewezen: Les mathématiques sont en grande coquetterie avec la philosophie.1 De vraag was maar: met wat voor soort van filosofie.

De volgende internationale congressen waren in Heidelberg (1904), Rome (1908) en Cambridge (Engeland, 1912). De Eerste Wereldoorlog onderbrak de keten, en eerst in 1928 kwam in Bologna het eerste werkelijk internationale congres na de oorlog weer bijeen.

Met de stadige groei van de verschillende takken van wiskunde werd het steeds moeilijker het gehele terrein te overzien. Dit bracht Klein en sommige van zijn Duitse collega's ertoe de Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften te organiseren, een onderneming op grote schaal, met het eerste deel, over Arithmetik und Algebra uit in 1908, en daarna voortgezet over vele jaren als een verzameling van monografieën, tot Sectie vi, 2 Astronomie. Getracht werd, niet zonder moeite, om in de geest van Klein het onderlinge verband der verschillende gebieden tot uitdrukking te brengen. In 1904 begon een herziene uitgave in het Frans, maar deze werd het slachtoffer van de Eerste Wereldoorlog.

Wie een korter overzicht wenste kon het Repertorio (1897-1900) onder redactie van Ernesto Pascal (Pavia, later Napels) raadplegen. Dit Repertorio was een soort prototype van het Duitse Repertorium der höheren Mathematik, dat tussen 1910 en 1929 in 5 delen uitkwam eveneens met artikelen van specialisten. Ook verschenen er encyclopedieën over de meer elementaire delen der wiskunde (Weber-Wellstein, Berzolari).

Wie de literatuur wilde volgen keek geregeld naar het Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, dat al in 1871 was begonnen en ieder jaar korte berichten gaf over de recente literatuur. In het Jahrbuch van 1900 vinden we ongeveer 2000 titels en 1500 auteurs.

Aangezien drie jaren moesten verlopen voordat het Jahrbuch verslag over een publikatie bracht, begon het Wiskundig Genootschap in 1892 de Revue Semestrielle des Publications Mathématiques uit te geven, gewoonlijk alleen met titels, maar die dan gepubliceerd met een korter interval. In 1938 werd de uitgave gestaakt, maar de Fortschritte bleven doorgaan. Vele wiskundigen werkten aan deze berichtgeving mee.

Het aantal wiskundige tijdschriften was ook aan het groeien. ‘Crelle’ en ‘Liouville’ bestonden al lang, en zo ook sommige meer lokale publikaties als het ‘Nieuw Archief’, dat van 1875 stamt als voortzetting van het ‘Archief’, begonnen in 1856 - beide uitgaven van het Wiskundig Genootschap.

Nu kwamen, in regelmatige successie, andere tijdschriften uit, te beginnen met de Annali di Matematica (1858), gevolgd door de Matematičeskiǐ Sbornik (Moskou, 1866), de zeer gezaghebbende Mathematische Annalen (1868), het Bulletin des Sciences mathématiques (1870), het American Journal of Mathematics (1878), de Acta mathematica (1882, Zweden), de Rendiconti di Palermo (1885) en de Transactions of the American Mathematical Society (1899). Later kwamen o.a. de Mathematische Zeitschrift (1918) en de Poolse Fundamenta mathematica (1920). Al deze tijdschriften bestaan nog, en er komen er geregeld bij.

Ook academies publiceerden, sommige van hun tijdschriften waren al oud, zoals de Comptes Rendus van de Franse Académie, en ook de Göttinger Nachrichten. Ook sommige scholen hadden hun organen, als de Parijse Ecole Normale, en in 1922 kwam MIT erbij. Het was een heel karwei om bij te blijven, en daar was ook kennis van talen voor nodig; want Latijn was verdwenen als internationale taal. Gauss en Jacobi waren wel zowat de laatsten die althans somtijds in het Latijn schreven. Maar sommige tijdschriften hadden groot prestige. Met een artikel in de Mathematische Annalen kon men een brede kring van invloedrijke lezers bereiken.

De meeste leerboeken uit die tijd zijn nu wel wat verouderd. Een aantal hebben evenwel hun aantrekkingskracht behouden, zoals die van Hilbert, Hausdorff, Borel, Russell, Whitehead, Lebesgue, Sierpinski. Brouwers dissertatie is van 1907.

2.

Jan Romein, de Amsterdamse historicus, heeft in een zeer gedocumenteerde studie de aandacht gevestigd op de vele en diepe veranderingen in onze cultuur, die tussen 1890 en 1910 op bijna alle gebieden hebben plaatsgevonden, van economie en geschiedenis

tot muziek.1 De wiskunde was geen uitzondering. De oorzaken van de vernieuwing waren voornamelijk van inwendige aard, zoals de groeiende invloed van Cantors leer der verzamelingen (dit ging niet zonder moeilijkheden), de daarmee verwante studies (en debatten) over de grondslagen der wiskunde (wat is waarheid?) en de ontwikkeling van abstracte structuur in algebra, logica en ruimteleer. De aloude opvatting van de wiskunde als de leer van de kwantiteit kwam meer en meer op de achtergrond, althans in leidende kringen, en meer en meer zag men daar de wiskunde als de algemene theorie van structuur, met vele variaties. Nieuwe gebieden werden geopend, zoals de integratietheorie van Lebesgue, de functie-analyse, de operatorenrekening, tensors en dit begeleid door de debatten tussen de intuïtionisten (Brouwer), formalisten (Hilbert) en logistici (Russell), debatten die soms zelfs een persoonlijk karakter aannamen. Maar al deze veranderingen werden ook van buiten beïnvloed, vooral door de diepgaande omwentelingen in de fysica, waar na 1905 relativiteitstheorie en quantumtheorie de hoogste eisen begonnen te stellen aan wiskundige scheppingskracht. Eisen kwamen ook in van schei- en sterrenkundigen, filosofen en theologen speelden mee. En laten we ook niet de biologen (biometrica) en de ingenieurs, vooral de elektrotechnische ingenieurs, niet vergeten.

De leidende figuur van de oudere generatie werd meer en meer Hilbert, vooral na de dood van Poincaré in 1912 en door de afnemende rol van Klein, die in 1925 stierf. (Hilbert zelf leefde tot 1943). Een vrij goed begrip van de toestand in de wiskunde omstreeks 1900 kan men uit de studie van de 23 problemen verkrijgen die Hilbert in 1900 in Parijs aan de wereld had voorgedragen. We zullen ze hier de revue laten passeren. Ze dragen sterk de stempel van Hilberts werk, maar dit was veelomvattend. Hier zijn ze:

‘Du hast die Mathematik für das 20.te Jahrhundert in Generalpacht genommen’ schreef Minkowski in een brief aan zijn vriend Hilbert na zijn Parijse voordracht.2 Die opmerking mag nu wel ietwat overdreven lijken, maar het blijft een feit dat de onderwerpen aangeroerd door Hilbert tot heel veel onderzoek van grote diepte hebben geleid, een onderzoek dat nog steeds wordt voortgezet. Sommige van deze problemen zijn opgelost, b.v. no. 3 door Max Dehn (de infinitesimaalrekening is nodig), no. 17 door Emil Artin in 1920. Andere problemen zijn gedeeltelijk opgelost, zoals no. 7, o.a. door A. Gelfond in 1929 - per slot van rekening was dit probleem meer een program dan een vraagstuk, evenals no. 16, dat de mogelijkheid van een geheel gebied van wiskunde opent.

In het jaar 1900 kwam ook het tweedelige verslag uit van Schoenfliesz over de ontwikkelingen van de leer der verzamelingen, opgesteld in opdracht van de Deutsche Mathematische Gesellschaft. Het vormde een soort triomf voor deze theorie, nu vrijwel algemeen aanvaard, en toonde haar belang voor de theorie van functies van reële veranderlijken, en het begrip maat. De auteur besprak verscheidene vormen van aanpak, zoals die van Cantor, Peano, Jordan en Borel. Het was onder de invloed van Borel dat verdere vooruitgang werd gemaakt, en nu in Frankrijk.

3.

In de latere jaren van de 19^e eeuw had deze theorie van reële functies belangrijke nieuwe resultaten opgeleverd, vooral op gebieden van functionele afhankelijkheid en kwesties van scherpe definities inzake differentiatie en integratie, vaak in verband met de theorie van trigonometrische reeksen. Uit deze theorie was ook Cantors leer der verzamelingen voortgesproten, en andere kwesties van harmonische analyse. We ontmoeten hier zulke onderzoekers als Paul DuBois Reymond in Berlijn, Ulisse Dini in Pisa en Camille Jordan in Parijs.

Jordan, in de jaren '80 en later, vooral in zijn veel bestudeerde Cours d'Analyse (3 delen, 1882-84, 3^e uitg. 1909-15) voerde het begrip fonctions de variation bornée (beperkte variatie) in en kwam, evenals Poincaré, ongeveer terzelfder tijd, met topologische beschouwingen. Hij zocht naar een streng bewijs voor wat we als stelling van Jordan kennen, een stelling die zegt dat een enkelvoudige gesloten kromme in het vlak dit vlak in twee delen verdeelt: een binnen- en een buitenzijde. Hij plaatste ook integratie binnen het begripsgebied van een ‘meetbare’ verzameling.

Deze gedachtengang werd verder gevolgd door Emile Borel aan de Parijse Ecole Normale. Hier, als een student, rond 1890, was hij extrêmement séduit1 door Cantors leer der verzamelingen. In zijn proefschrift van 1894 bracht hij het ‘theorema van Heine-Borel’2, zowel als het bewijs dat een aftelbare verzameling de maat nul heeft, ‘maat’ hier gedefinieerd uitgaande van een eindige verzameling van intervallen tot een meer uitgebreide verzameling (de ‘maat van Borel’). In 1898 publiceerde hij zijn Leçons sur la théorie des fonctions (heruitgegeven in 1950).

Dit was het uitgangspunt voor Henri Lebesgue, ook aan de Ecole Normale, toen hij daar rond 1890 studeerde. Hij was hier in nauwe betrekking tot de vier jaar oudere Borel en zijn eigen tijdgenoot Réné Baire.1 Het proefschrift van Baire Sur les fonctions de variables réelles (1899) paste Cantors leer toe op de limietfuncties van continue functies en kwam zo tot functies behorende tot verschillende ‘klassen van Baire’. Op dit proefschrift volgde het beroemde van Lebesgue Intégrale, longueur, aire (1902). Met een direct beroep op Jordan en Borel voerde Lebesgue zijn maatbegrip in. ‘Er is geen begrip meer fundamenteel dan dat van maat’ schreef hij in 1931, wijzend op de rol die dit begrip had gespeeld. Zijn op dit begrip van maat gebaseerde integratie is nu algemeen aanvaard naast de oudere integratie van Riemann, omdat ze een hogere eenheid bracht op dit veel besproken gebied. Een van Lebesgues theorema's was dat een continue functie van beperkte variatie een eindige afgeleide heeft, behalve misschien op een verzameling van maat nul.

Lebesgue, na enige provinciale betrekkingen te hebben aanvaard, keerde in 1910 terug naar Parijs, eerst als professor aan de Sorbonne, dan (1921) aan het Collège de France. Baire doceerde eerst in Montpellier, daarna in Dijon, maar slechte gezondheid belette hem na 1914 verder wiskundig werk te verrichten.

Het latere werk van Lebesgue, ook voortgezet door andere wiskundigen als Maurice Fréchet (ook van de Ecole Normale) brachten meer en meer wiskundigen ertoe zijn denkwijze te aanvaarden. Niet zonder aarzeling - waarom moet men zich met al die ‘pathologische’ functies bezighouden? - was de gedachte van vele heren van de oudere school. Maar de Lebesgue-integraal was in staat allerlei moeilijkheden te overwinnen die men sedert Riemann en Weierstrass had ontmoet. Het was in de ideeënkring van Lebesgue en Baire dat Fréchet in 1908 tot zijn begrip van abstracte ruimte kwam en Arnaud Denjoy (die in Utrecht professor werd) tot zijn generalisatie van de Lebesgue-integraal. Fréchets ideeën werden weer opgenomen door anderen, als Stefan Banach in Polen, die in 1920 de ‘Banach-ruimten’ invoerde, in dezelfde tijd dat ook Nor-

bert Wiener in Amerika met gelijksoortige ideeën speelde.

De jonge Lebesgue, zo wordt verteld, was zo kritisch ingesteld ten opzichte van de functietheorie van zijn tijd dat hij eens opmerkte dat een verfrommelde zakdoek een regeloppervlak moet zijn, omdat zijn professor in Nancy ‘bewezen’ had dat een oppervlak dat op een plat vlak kan worden afgewikkeld uit rechte lijnen bestaat. Die kritische instelling was typisch voor die tijd, ze blijkt uit andere ‘anomaliën’ als de ‘kromme van Peano’, een afbeelding van een lijnsegment op een vierkant door continue functies x en y van een veranderlijke t, dus een kromme die een vlak vult. Ook Hilbert vond zulk een ‘anomale’ kromme. Zulke vondsten leidden tot de vraag naar wat nu eigenlijk een kromme is en voerden tot onderzoek naar het dimensiebegrip.

Vanuit Duitsland kwam nu een verdere bijdrage tot onderzoek in topologie en verzamelingenleer, welke ertoe bijdroeg deze gebieden algemeen tot respectabele academische onderwerpen te maken. Bedoeld is het boek van de professor in Bonn Felix Hausdorff, in 1914 gepubliceerd als Grundzüge der Mengenlehre, later uitgegeven als Mengenlehre (1927, derde uitg. 1937). Het bevatte een axiomatische definitie van wat men een topologische ruimte begon te noemen.

Een andere generalisatie van het ruimtebegrip, zo typisch voor deze tijd, had een metrieke maat en werd naar Hilbert genoemd.

We hebben alreeds vermeld dat wiskundigen van de oude stempel nogal wantrouwend stonden tegenover al die belangstelling voor ‘pathologische’ functies en figuren die zo geheel anders waren dan de ‘gladde’ objecten waarmee ze vertrouwd waren. ‘Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions qui n'ont pas de dérivées’ schreef Hermite eens aan Stieltjes.1

Giuseppe Peano, van 1886 tot zijn dood in 1932 professor in Turijn, was een pionier in de wiskundige logica en axiomatiek, met nadruk op volle strengheid. Dit bracht hem tot zijn Formulario matematico in 5 delen (1895-1908, herdrukt in 1960), een samenvatting van de wiskundige stellingen (ze kwamen tot 4200), lo-

gisch precies met hulp van een speciaal symbolenschrift. Hij zag ook in hoe fundamenteel het werk van Grassmann was. Peano was niet in staat de hele wiskundige wereld te overtuigen, ook niet van zijn wereldtaal Latino sine Flexione, maar zijn invloed is groot geweest, o.a. op Russell en Whitehead.

4.

De theorie der reële functies nam steeds uitgebreider vormen aan, speciaal door de studie van trigonometrische reeksen en harmonische analyse. Lebesgue schreef hier in 1906 een boek over. Een ander gebied was functionaalanalyse en in het bijzonder de leer der integraalvergelijkingen. De naam fonctionelle kwam, als we zagen, van Hadamard, en nam de plaats in van het meer beperkte begrip van fonction de ligne, lijnfunctie. De idee van lijnfuncties kwam eerst uit Italië, waar Volterra, de veelzijdige leerling van Betti en Dini in Pisa, professor in Turijn van 1893 tot 1900, en daarna in Rome voor veertig jaren, deze functies in 1889 had ingevoerd. Evenals in andere gebieden waarin hij werkzaam was, werd hij door fysische beschouwingen geleid, zoals de afhankelijkheid van de stroomenergie van de vorm van de draad die in een elektrisch veld wordt bewogen of verbogen.

Hadamard, later ook Fréchet, hadden hun uitgangspunt in de variatierekening, en dit was ook één der wijzen waarop Fréchet tot zijn abstracte ruimten kwam. Hadamard, een van de meest invloedrijke en veelzijdige mathematici van zijn tijd - en die liep van zijn dissertatie in 1892 tot ver in de jaren '50 (hij werd bijna 98 jaar oud), was werkzaam in logica en getallentheorie, in analyse en hydrodynamica. Hij kan met Hilbert, Weyl en Kolmogorov tot de weinige wiskundigen van de eerste helft der 20^e eeuw gerekend worden die vrijwel de gehele wiskunde scheppend konden overzien. Zijn Série de Taylor et son prolongement analytique van 1901, een voortzetting van zijn dissertatie, is weleens de ‘bijbel’ genoemd van allen die in dit onderwerp waren geïnteresseerd.

Een andere bijdrage tot de functionaalanalyse brachten de integraalvergelijkingen. Dit gebied was al tamelijk oud, we kunnen b.v. aan de transformatie van Laplace (1792), en zeker vergelijkingen van Abel (1823) en Liouville (1832 en later) denken. Deze formules waren echter geïsoleerd. Maar het waren in het bijzonder grenswaardeproblemen in de potentiaaltheorie en andere gebieden waarin differentiaalvergelijkingen een belangrijke rol spelen, als b.v. bij trillingen in een continuüm, die leidden tot een systematische aanpak. Volterra stelde in 1887 de lineaire integraalvergelijking op die naar hem is genoemd. Zijn voorbeeld werd in 1900 en

1903 gevolgd door Ivor Fredholm in Stockholm. Het was eerder Fredholm dan Volterra die de stoot gaf en dit voornamelijk, zegt men, doordat een van zijn studenten een voordracht over zijn werk in Hilberts seminarium gaf, gedurende de winter van 1900-'01. De analogie tussen een lineaire integraalvergelijking en een stelsel van n lineaire vergelijkingen in n veranderlijken was bijzonder aantrekkelijk.1

Hilbert was gefascineerd. Hij zag het verband met potentiaaltheorie, de constructie van Greens functies voor gegeven grenswaarden en het berekenen van eigenwaarden en eigenfuncties2, en deze weer met het herleiden van kwadratische vormen in n veranderlijken tot kanonische vorm. En dit kan weer leiden tot oneindige matrices, begrippen die later zulk een rol in de mathematische fysica zouden spelen. Hilberts Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Integralgleichungen van 1912 opende dus een nieuw gebied. Verwant met deze onderzoekingen waren abstracte ruimten gedefinieerd door vectoren, abstracte metrische ruimten, als reeds gezegd naar Hilbert genoemd.

Hierin traden orthogonale functies op (generalisatie van orthogonale vectoren). Deze waren karakteristiek voor het werk van Erhardt Schmidt, die bij Hilbert in 1905 promoveerde en vele jaren professor in Berlijn was. In dit verband denken we ook aan het theorema van Riesz-Fischer over een zekere convergente reeks in de leer der orthogonale functies (1907), genoemd naar de Duitser E. Fischer en de Hongaar F. Riesz. Riesz publiceerde menig artikel over functionaalanalyse, waarbij hij ideeën van Borel en Lebesgue met die van Hilbert en zijn school verbond. Hij bracht zijn zienswijze o.a. uit in het boek Leçons d'analyse fonctionelle (samen met zijn leerling B. Szökafnalvy-Nagy, 1952, Engels 1955). Banachs bijdragen zijn weer hiermee verwant.

Ook op het klassieke gebied van reële en complexe analytische functies, waar Poincaré en Picard zo veel succes hadden geboekt,

brachten Borel, Hadamard en anderen nieuwe resultaten. Hadamard richtte zijn aandacht op de analytische getallentheorie en het probleem van Riemanns Zètafunctie, waar hij bewees dat π(x), het aantal priemgetallen ≤x, asymptotisch gelijk wordt aan x/log x, een stelling reeds door Gauss gepostuleerd. Dat was in 1896, hetzelfde jaar waarin de Leuvense professor Charles De la Vallée Poussin een ander bewijs gaf van dit ‘priemgetallentheorema’. (Beide mannen waren even oud, dertig, en leefden even lang.) Poussin verscherpte later zijn theorema en bewees het vermoeden van Legendre dat de log x in de formule log x - 1.08366 moet zijn. Zijn Cours d'Analyse infinitésimale gedurende 1903 en 1906 gepubliceerd en meermalen heruitgegeven bracht de nieuwere onderzoekingen van Lebesgue, Fréchet, Féjer en anderen als een standaardwerk. Borel, van 1909 tot 1940 aan de Sorbonne, schreef en redigeerde een aantal monografieën, zoals die van 1917, door hemzelf geschreven, over monogene functies (functies die in ieder gebied een afgeleide hebben). Die monografieën vormden de Collection de monographies sur la théorie des fonctions, gepubliceerd tussen 1898 en 1950, een verzameling van meer dan 50 delen. Borel redigeerde ook andere Collections, waaronder een in 7 delen over waarschijnlijkheidstheorie (1937-50).

Na 1880 begon Poincaré een serie (eine stürmische Publikations serie, schreef Klein, wiens werk in die dagen sterk erdoor was beïnvloed) over complexe functies die onveranderd blijven bij een groep van lineaire transformaties. Zulke functies werden automorfe functies genoemd, ze zijn generalisaties van trigonometrische en elliptische functies. Zij maken het mogelijk dat een analytische betrekking tussen twee veranderlijken kan worden geüniformeerd, d.w.z. dat de veranderlijken ieder kunnen worden uitgedrukt door een eenwaardige automorfe functie. Hilberts 22e Parijse probleem had hierop betrekking. In 1908 gaf Poincaré een bewijs en ongeveer terzelfder tijd als Kleins leerling Paul Koebe. Koebe, die eerst in Jena en daarna in Leipzig heeft gedoceerd, heeft ook over conforme afbeelding gepubliceerd.1

Paul Painlevé, negen jaren jonger dan Poincaré, eerst professor in Rijssel (1887), daarna in Parijs (1892), werkte op het gebied van algebraïsche krommen en de singuliere punten bij de oplossingen van differentiaalvergelijkingen; de resultaten ervan paste hij toe

op het gebied van rationale mechanica. Wij ontmoeten in hem een type dat in Frankrijk en Italië meer voorkomt dan elders: een man van wetenschap die ook een voorname plaats in het politieke leven inneemt. Painlevé was minister van onderwijs in 1905, van oorlog in 1917, en was verantwoordelijk voor de benoeming van generaal Foch in het Conseil Général der Geallieerden. En was weer eens minister in 1925. Hij doceerde niet alleen aeronautica, maar was een pionier vlieger. Tot zijn geschriften behoort de tweedelige Leçons sur la résistance des fluides non visqueux (1930-31).

5.

De bloei der moderne wiskunde strekte zich ook uit tot de Verenigde Staten, van waar in de jaren '80 en '90 vertegenwoordigers van een jongere generatie naar Europa, en speciaal naar Duitsland reisden, om moderne meetkunde en analyse te studeren en zo mogelijk te promoveren. De eerste Amerikaanse wiskundige school had als leider Eliakim Hastings Moore, vanaf 1892 professor aan de juist opgerichte (en door Rockefeller gefinancierde) universiteit van Chicago. Moore had in Berlijn de invloed ondergaan van de strenge bewijsvoering in de school van Kronecker en Weierstrass. En zo werd hij in Chicago een meester in abstracte vormen van wiskunde, van axiomatiek tot integraalvergelijkingen en verbond zijn naam aan een theorie van functieklassen van zeer algemene aard, beïnvloed door Cantor en Russell, de general analysis, algemeen genoeg om een eenheid in verschillende theorieën te omvatten. Hij legde ook nadruk op notatie en bracht Florian Cajori, de Amerikaanse historicus der wiskunde (en een geboren Zwitser) ertoe, zijn History of mathematical Notations (2 dln, 1928-29) samen te stellen.

Zowel als organisator en leraar was Moore gelukkig. Hij had uitstekende studenten, die op hun beurt de wiskunde in de VS moderniseerden: Robert L. Moore in Texas, Oswald Veblen in Princeton, George D. Birkhoff aan Harvard. In Chicago was Leonard E. Dickson zijn collega (na 1900), de Dickson van de monumentale driedelige History of the Theory of Numbers (1919-23) en studies over eindige groepen. Zij behoorden tot de eerste generatie van Amerikaanse wiskundigen, die hun voornaamste opleiding in hun eigen land hadden verkregen.

R.L. Moore1 en Veblen waren vertegenwoordigers van dat ge-

bied dat eerst de naam analysis situs had, doch na 1900 meer en meer als de combinatorische tak der topologie werd beschouwd, in tegenstelling tot de topologie der verzamelingen; deze gebieden werden op den duur niet altijd scherp gescheiden, o.a. in en door het werk van L.E.J. Brouwer. Die analysis situs begon met een aantal vraagstukken die meer op puzzels leken, zoals Eulers probleem van de zeven bruggen in Koningsbergen, of het beroemde eenzijdige lint van Möbius, maar met de Riemann-oppervlakken in complexe functietheorie begon ze zich tot een meer algemeen gebied te ontwikkelen. Deze ontwikkeling werd dan verder door een reeks onderzoekingen in de hand gewerkt, als die van Jordans en Peano's krommen, en vooral door de reeks van onderzoekingen door Poincaré tussen 1895 en 1904 ingesteld, met betrekking tot simplexen, complexen en de getallen van Betti in oppervlakkentheorie. Dit bracht ook de theorie der homologie met haar groepbeschouwingen, ketenen en cyclussen, en haar onderzoekers als Veblen en zijn Princetonse collega James W. Alexander met zich mee.

Speciale belangstelling wekten de publikaties van de Nederlander L.E.J. Brouwer, die zijn debuut maakte met zijn Amsterdamse dissertatie Over de grondslagen der Wiskunde (1907, met Korteweg als promotor). Zijn belangstelling richtte zich daarna op continue groepen (Hilberts 5e probleem) en topologie. Tussen 1908 en 1912 vond hij zijn theorema dat iedere continue afbeelding van een n-dimensionale bol op zichzelf minstens één punt invariant laat. Hier kwam hij tot het probleem van de invariantie van het dimensiegetal, dat al geregeld sinds de dagen van Cantor en Peano was opgekomen, en bewees dat een afbeelding van ruimten op ruimten van verschillende dimensie niet homeomorf kan zijn, d.w.z. dat geen een-eenduidige continue afbeelding mogelijk is (1910). Brouwer toonde ook aan hoe het mogelijk is een cirkelvormige schijf in drie gebieden te delen met dezelfde grenskromme.

Heel wat van de topologie van deze periode kan men vinden in Veblens Analysis situs (1922) en in L'analyse situs et la géometrie algébrique (1924) door Solomon Lefschetz, na 1928 Veblens collega in Princeton.

6.

In deze tijd veranderde algebra geheel van karakter. Vanouds was ze de leer der algebraïsche vergelijkingen geweest, en daar was dan in de 19e eeuw met de groepentheorie de leer der co- en invarianten bijgekomen. Nu werd de algebra het gebied van heden met zijn ringen, lichamen, idealen en verwante abstracte begrippen.

Dit was gedeeltelijk het gevolg van de ontwikkeling van de theorie van Galois met haar oorsprong in de oude algebra tot een zelfstandig abstract gebied, dat der groepentheorie. Men kan deze ontwikkeling volgen in het Lehrbuch der Algebra (2 dln, 1895-'96) van Heinrich Weber, eerst professor in Koningsbergen (waar hij de leraar was van Hilbert en Minkowski), later in Straatsburg.1 Dit boek heeft speciale hoofdstukken over groepen en algebraïsche lichamen. Frege en Peano deden ook hun pionierswerk op dit gebied, totdat Ernst Steinitz, toen in Breslau, in 1910 zijn Algebraische Theorie der Körper publiceerde. In dit boek waren lichamen (Körper) het centrale abstracte begrip, een stelsel van elementen met twee operaties, optelling en vermenigvuldiging, die voldoen aan associatieve en distributieve wetten. Steinitz' program was al zulke lichamen te onderzoeken. Als een invloed op zijn werk noemde Steinitz ook Kurt Hensel's Theorie der algebraischen Zahlen (1908, Hensel was in Marburg) met zijn studies over ‘padische getallen’.

Met Steinitz begint de nieuwe algebra een vlucht te nemen, vooral in de periode tussen de twee wereldoorlogen. Hier was de invloed van Emmy Noether, de dochter van Max Noether, de algebraïcus van Erlangen, naar vele zijden duidelijk. Zij promoveerde in 1907 bij Paul Gordan, collega van haar vader en de invariantentheoreticus. Haar proefschrift ging over ternaire bikwadratische vormen. In 1915 begon zij onder Hilbert in Göttingen te doceren, maar als vrouw en als Jodin had zij met zware vooroordelen te kampen. Haar hoogste titel was nicht-beambtete ausserordentliche Professor. Toen Hitler kwam, verloor zij haar slecht betaalde Lehrauftrag, ze moest uitwijken en van 1933 tot haar dood twee jaar later (ze was 53 jaar oud) had ze een betrekking aan Bryn Mawr, een vrouwenuniversiteit bij Philadelphia. In Göttingen, met haar studenten, ontwikkelde ze de ideaaltheorie en de theorie van niet-commutatieve algebra, alles streng axiomatisch.2 ‘Om dit

onderwerp grondig te begrijpen moeten we het ganz abstrakt fassen hoorde ik haar eens zeggen. Onder haar leerlingen bevonden zich Emil Artin, Richard Brauer en Bartel R.L. van der Waerden, die allen dit werk met groot succes hebben voortgezet. Het werk van Van der Waerden, neergelegd in zijn Moderne Algebra (1930 en later) was geïnspireerd door voordrachten van Emmy Noether in Göttingen en Emil Artin in Hamburg. In de Sovjet-Unie vond de nieuwe algebra een beoefenaar in Otto Schmidt, ook bekend als geofysicus en een organisator van poolonderzoek.

Er bestaan allerlei relaties tussen deze algebraïsche onderzoekingen en andere gebieden als algebraïsche meetkunde en verzamelingenleer. Steinitz zelf vestigde de aandacht op het feit dat zekere theorema's met het Auswahlprinzip, het keuzeaxioma, van Zermelo samenhingen.

Ernst Zermelo, in die tijd in Göttingen (van 1910-'16 was hij in Zürich, later in Freiburg) publiceerde zijn welorderingstheorema in 1902, dit theorema dat zegt dat in iedere verzameling een betrekking kan worden ingevoerd zodat voor elk tweetal elementen a en b ofwel a = b of a < b(a komt vóór b) of b < a, en dat voor drie elementen a, b, c uit de betrekkingen a < b en b < c de betrekking a < c volgt, terwijl iedere deelverzameling een eerste element heeft. De noodzaak van dit theorema bleek uit de algemene ontwikkeling van Cantors leer, waarin menige lacunes waren achtergelaten. Een ervan was de axiomatiek, waarvoor in 1908 Zermelo het eerste systeem opzette. Een ander was het continuümprobleem (Hilberts eerste probleem). Zermelo baseerde zijn bewijs op het keuzeaxioma, dat zegt dat in een familie van verzamelingen X er een keuzefunctie F(X) met F(X) ∊ X voor alle X in de familie bestaat. Dit ontmoette oppositie van sommige zijden omdat er geen methode kon worden aangegeven om zulk een functie te vinden. Hadamard en Hilbert waren bereid het te aanvaarden, Poincaré en Borel waren niet zo gewillig.1

Er waren meer zulke conflicten. Er werden zekere contradicties, ‘paradoxen’, in de structuur zelf van de wiskunde ontdekt - in de

wiskunde nota bene, die wetenschap van volkomen zekerheid! Maar iets dergelijks was al meer voorgekomen, in de Pythagoreische ontdekking van het irrationale dat in tegenspraak was met de natuur van het getal (arithmos), en in de moeilijkheden die men ontmoette bij de differentiaalrekening van Newton en Leibniz, waar een veronderstelde ‘infinitesimaal’ als dx in dezelfde operatie als nul en als niet-nul moest worden beschouwd. In beide gevallen werd de tegenstelling uiteindelijk opgeheven in een dialectisch proces, waarin de tegenstellingen in een wijder verband werden ‘opgeheven’. Eerlijk gesproken braken de meeste wiskundigen hun hoofd niet over die paradoxen en gingen rustig hun weg, overtuigd dat hun wetenschap toch per slot van rekening ‘waar’ was. Maar er was ditmaal weer heel wat discussie, die nog niet ten einde is gebracht.

De paradoxen die volgden uit Cantors leer waren van verschillende aard. Eén voorbeeld moge een denkbeeld geven, dat van Russell (1903). Laat S de verzameling zijn van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten. De vraag is nu: is S een element van zichzelf? Zo ja, dan is S niet een element van zichzelf. Zo neen, dan is ze een element van zichzelf. Dit herinnert ons aan de oude paradox van de Kretenzer die zei dat alle Kretenzers liegen. Het bleek maar al te duidelijk dat de verzamelingenleer met grote voorzichtigheid moet worden gehanteerd, speciaal als de term ‘alle’ wordt ingevoerd, en men semantisch onachtzaam is. Om Picard te parafraseren: de wiskunde was bezig en grande coquetterie met de semantiek te raken - eigenlijk al sinds de dagen van Boole.

Verscheidene pogingen werden aangewend om de waarheidswaarde der wiskunde te handhaven. Een strenge axiomatisering van Cantors theorie was nodig. We hebben die van Zermelo vermeld, zijn axiomatiek had een stelsel van zeven axioma's en het gebruik van slechts twee technische termen, ‘verzameling’ en ∊ (element van). Een restrictie in de formulering van de eigenschappen van een deelverzameling maakte het mogelijk de paradox van Russell te omzeilen. Het zesde axioma was het keuze-axioma. Zermelo ging niet diep in op de vraag naar de onafhankelijkheid en de consistentie der axioma's. Hierin brachten Adolf Fraenkel, toen in Marburg, en Thoralf Skolem, later in Oslo, verscherpingen aan. Toch bleef axioma 6 een punt van discussie, speciaal ook na de kritiek van Kurt Gödel (1930).

Fraenkel werd, ook buiten de kring van zijn engere vakgenoten, bekend door zijn elegante Einleitung in die Mengenlehre (1919, meer uitgebreide editie, 1923), een boek dat zijn oorsprong had in

voordrachten die Fraenkel gedurende de Eerste Wereldoorlog in de loopgraven voor zijn medesoldaten hield (dit herinnert ons aan Poncelet in zijn Russische gevangenschap). Na 1929 doceerde Fraenkel in het land dat Israël zou worden.

Hilbert, die in zijn boek over de grondslagen der meetkunde (1899) de consistentie van de meetkundige axioma's had teruggevoerd op die der rekenkunde, was diep ongerust over de moeilijkheden die zich aan het ophopen waren in de grondslagen der wiskunde. Hij trachtte die moeilijkheden te overwinnen door een methode die formalisme wordt genoemd. Hierbij werd de wiskunde in principe teruggebracht tot een eindig spel met een oneindig, eindig gedefinieerd, apparaat van formules. De regels van dit spel mochten geen tegenstrijdigheden bevatten, zodat men nooit het spel zo kon spelen dat men op zoiets uitkomt als 0 = 1. Dit leidde tot een gebied dat als metamathematica zelf buiten de eigenlijke wiskunde lag, een theorie van bewijsgeving, een wetenschap (of wijsbegeerte) waaronder geformaliseerde wiskunde kan worden beoefend zonder vicieuze cirkels en tegenstrijdigheden.

Hilberts ideeën, later neergelegd in een boek met W. Ackermann (1928) en in een ander met Paul Bernays (1934)1 werden niet algemeen aanvaard. De scherpste kritiek kwam van L.E.J. Brouwer, die in 1907 in het strijdperk trad met zijn reeds vermelde proefschrift en erop stond dat het wezen der wiskunde veeleer bestond in het vinden van de waarheid door constructief te werk te gaan dan in het leveren van consistentiebewijzen. En zo, tussen 1913 en 1919 ontwikkelde Brouwer zijn intuïtionisme, waarin de oorsprong van de wiskunde wordt gezien als een Oerintuïtie, en deze brengt ons de natuurlijke getallen. Dan worden slechts zulke begrippen erkend, waarvan een wijze van constructie kan worden aangegeven. Volgens deze gedachtengang behoeft men het principe van het uitgesloten derde niet voor oneindige verzamelingen te aanvaarden.

Dit intuïtionisme, dat heel wat klassieke wiskunde verwierp, voerde tot soms nogal scherpe meningsverschillen in de jaren '20, waarin Herman Weyl, toen in Zürich (hij was bij Hilbert gepromoveerd) de zijde van Brouwer koos. Weyl had in die tijd reeds belangrijk werk gepubliceerd over integraalvergelijkingen en grenswaardeproblemen. In zijn boek Die Idee der Riemannschen Fläche (1913) verscherpte hij, steunend op Brouwers topologische theorema's, de grondslagen der complexe functietheorie. Weyl

wijzigde in de loop der jaren zijn standpunt inzake de grondslagen enigszins; wie zijn latere ideeën wil bestuderen kan ze vinden in zijn Philosophy of Mathematics and Natural Sciences, een boek van 1949, gebaseerd op een artikel dat hij in 1926 schreef.1

Ofschoon de meeste wiskundigen Brouwer niet konden volgen in zijn verwerping van zoveel delen uit de wiskunde die niet in zijn theorie pasten, waren ze het wel eens met hem dat een aan te geven constructiemethode te verkiezen is boven een postulaat zonder meer, zelfs als deze met de axioma's consistent is. Belangstelling in Brouwers voor sommigen nog al verontrustende theorie nam af en nam toe, maar nadat Kurt Gödel in 1931 had aangetoond dat Hilberts programma onuitvoerbaar was, kon Brouwers intuïtionisme in een hernieuwde staat voortleven, in het bijzonder door het streven van Arend Heyting, professor in Amsterdam (van 1930 af).

Het artikel van Gödel dat zulk een slag toebracht aan Hilberts opzet, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme2 verscheen vóór Hilberts Grundlagen der Mathematik van 1934. Het voornaamste resultaat was dat, in het geval dat een arithmetisch systeem S geen tegenstrijdigheden bevat, men deze contradictieloosheid niet kan bewijzen binnen het raam van dit systeem. Dit artikel, met zijn beschouwingen over volledigheid, beslisbaarheid en consistentie opende een nieuwe periode in de grondslagendiscussie.

De Principia Mathematica, in drie imposante delen, van 1910-'13, waren samengesteld door Bertrand Russell en Alfred North Whitehead in Cambridge, onder de invloed, als we zagen, van Frege, Cantor en Peano. Deze Principia waren het hoogtepunt in een programma bekend als logistiek. Het verschilde van Hilberts formalisme in zoverre dat het trachtte de gehele wiskunde op te bouwen door logische deductie van een klein aantal begrippen en beginselen. Die drie delen waren in een ingewikkeld, maar precies symbolisme geschreven, en zij die het bestudeerd hebben, hebben de logische schoonheid bewonderd. Maar Gödels kritiek trof de logistiek alswel als het formalisme, en toonde aan dat in laatste instantie het doel niet kan worden bereikt. Toch is de bijdrage van

de Principia, evenals die van Hilbert, tot de wiskundige logica aanzienlijk geweest.

Whitehead, elf jaren ouder dan Russell (die van 1872 tot 1970 heeft geleefd) had reeds een Universal Algebra (1898) geschreven, op Grassmann, Boole en Hamilton gebaseerd, en had ook over de axiomatiek der projectieve en beschrijvende meetkunde gepubliceerd (1906-'07). In 1924 werd hij professor aan Harvard en maakte naam als een filosoof. Zijn veelgelezen Science and the modern World (1925) heeft een enigszins Platonisch karakter. Russell is ook de auteur van een Essay on the Foundations of Geometry (1897).

8.

Deze grondslagen der meetkunde, onderwerp van de studies van Pasch, Whitehead en Russell werden in het volle daglicht der wiskundige wereld getrokken door Hilberts Grundlagen der Geometrie. Dit boek, voor het eerst in 1899 gepubliceerd, is herhaaldelijk herdrukt, ook na de dood van Hilbert, waarbij de herziening in handen was van Paul Bernays, vele jaren Hilberts medewerker en professor in Zürich (9e uitg. 1962), zelf een grondige Grundlagenforscher. Met dit boek, dat ook buiten wiskundige kringen blijvende aandacht genoot, werd een nieuw tijdperk geopend in het onderzoek naar de grondslagen der meetkunde, en niet alleen van die van Euklides. Projectieve, affiene, niet-Pascalse, niet-Archimedische, niet-Euklidische meetkunden werden onderzocht of opgesteld. Als een voorbeeld kunnen we Max Dehns Göttinger theorema nemen, dat de noodzakelijkheid van het Archimedische postulaat voor het bewijs van Legendres theorema aantoont. (Legendres theorema zegt dat de som van de hoeken van een vlakke driehoek niet groter kan zijn dan twee rechte hoeken, 180°). We vermeldden reeds Dehns oplossing van Hilberts derde Parijse probleem.

In het voorbericht van zijn boek wijdt Hilbert aandacht aan Giuseppe Veronese, professor in Padua. Veronese was een der eersten die een niet-Archimedische meetkunde schiep, en hij was eveneens een pionier in de metrische en projectieve theorie van meerdimensionale ruimten S_n. In de S₅ ligt een oppervlak dat zijn naam draagt en dat, op een S₃ geprojecteerd, een oppervlak van Steiner geeft (zie Hoofdstuk VIII, sectie 3). Een aantal collega's volgden hem in die studies. Corrado Segre onderzocht lineaire transformaties en algebraïsche oppervlakken in zulke ruimten. Een zijner leerlingen was J.L. Coolidge, na 1908 aan Harvard, die ook, evenals C.L.E. Moore, later aan het MIT, een leerling was

van Eduard Study in Bonn. Study had vele oorspronkelijke ideeën op het gebied van meetkunde en groepentheorie, b.v. in een uitvoerige studie van boldriehoeksmeting; hij kon nogal polemisch worden als het erop aankwam slordige formuleringen in de meetkunde te verwerpen, ook op het gebied van de invoering van complexe getallen in de meetkunde, waarin vanaf de dagen van Poncelet nogal vrijmoedig consequenties waren getrokken.1

We ontmoeten op dit Italo-Duitse gebied van S_n een Nederlander: Pieter Hendrik Schoute, professor in Groningen. Hij was de auteur van een tweedelige Mehrdimensionale Geometrie. Het tweede deel (1905) gaat over polytopen, de analogie van de veelvlakken der gewone ruimten. Een der regelmatige polytopen in S₄ is de tessaract (hyperkubus). Hij werkte op dit gebied samen met Alice Boole Stott, een dochter van George Boole, de logicus. In 1913, bij gelegenheid van het 300-jarige bestaan van de universiteit, hielden Schoute en Alice Boole een tentoonstelling van hun modellen.2

Op een geheel andere en meer fundamentele wijze werd Riemann in zijn publikatie van 1854 tot het begrip van een meerdimensionale ruimte gebracht. Voor hem was zulk een ruimte een topologische uitgebreidheid, waaraan hij een metriek toekende door de introductie van een kwadratisch lijnelement, dat we nu ds schrijven, met ds² = g_ij dxⁱdx^j. Dit voerde, door het werk van Christoffel, Beltrami en anderen, tot de zgn. absolute differentiaalrekening van Gregorio Ricci-Curbastro in Padua (1883 en later). Een samenvatting van zijn resultaten en die van zijn leerling Tullio Levi-Civita, met toepassingen op differentiaal-invarianten, differentiaalmeetkunde en mechanica kwam uit in de Mathematische Annalen van 1901, met titel Méthodes de calcul différentiel absolu. Dit artikel werd na 1913 beroemd, omdat Einstein deze calcul voor zijn algemene relativiteitstheorie overnam en de naam gaf van tensorrekening. Wis- en natuurkundigen begonnen nu

deze tensorrekening toe te passen op allerlei vraagstukken in relativiteitstheorie, differentiaalmeetkunde en mechanica, vooral toen Levi-Civita, in 1917 het begrip parallellisme invoerde (evenals J.A. Schouten in 1918). Dit voerde weer tot generalisaties van Riemanns meetkunde, vooral door het werk van Herman Weyl (1918) en Arthur Eddington (1923). Een algemene classificatie van de nieuwere meetkunde werd door Schouten gegeven en samengevat in zijn Ricci-Calcül van 1924 (in het Duits, een complete herziening verscheen in het Engels in 1954).

Geleid door zijn grondige beheersing van Lie's theorie der continue groepen, reeds het onderwerp van zijn Parijse dissertatie van 1894, en zijn theorie van formes extérieures differentielles ω(d) = ν₁dx₁ + ... + ν₁₁dx₁₁, met hun directe verbinding met het probleem van Pfaff, trad Elie Cartan, na 1909 professor in Parijs, nu met zijn eigen ideeën in deze wereld van nieuwe meetkunden, waarin zijn (ω-theorie op elegante manier in de tensorrekening paste, waar ω als ν₁dx¹ covariante vectorvelden beschrijft. Hier bracht hij ook topologische beschouwingen in. Zijn artikelen en boeken over ruimten van euklidische, affiene en projectieve connecties tonen groot meesterschap in de hantering van meetkundige en analytische begrippen, in de traditie van Monge en Darboux, zoals in La Méthode du Repère mobile, la Théorie des Groupes continus et les Espaces généralisés (1935) en La Théorie des groupes finis et continus et la Géométrie différentielle traitées par la Methode du Repère mobile (1937).

De term tensor in de moderne betekenis (reeds Hamilton had deze term gebruikt in een andere zin) was ingevoerd door de natuur- en kristalkundige Woldemar Voigt in Göttingen omstreeks 1900. Voor Voigt was deze tensor een generalisatie van de vectorrekening, het werk van Gibbs en Heaviside gedurende de jaren '80, en die in kringen van ingenieurs en natuurkundigen na 1900 meer en meer gewaardeerd werd. Hier was de Vector Analysis van E.B. Wilson, een leerling van Gibbs, van grote invloed. Dit boek was van 1901, doch reeds vroeger had de fysicus-ingenieur August Föppl in Leipzig de vectoranalyse in Duitsland bekendgemaakt, ook door Grassmanns erfenis beïnvloed: Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität (1894). Met de generalisaties van vectors tot dyaden, tensoren, affinoren, rotoren enz. kwam een grote verwarring in notatie en nomenclatuur, zodat er scholen waren van Grassmannianen, Hamiltonianen, en zo meer. Toen Minkowski in zijn rede van 1908 Raum und Zeit Einsteins speciale relativiteitstheorie een vierdimensionale betekenis had gegeven,

kwamen er nu ook Vierer- en Sechservektoren op de markt. Deze anarchie werd vaak besproken en L'Enseignement mathématique van 1909 en 1910 bracht een hele discussie. De zaak raakte langzamerhand op de achtergrond door de op groepentheorie gebaseerde classificatie dezer begrippen, waarvan Klein, Schouten1 en Cartan de noodzakelijkheid aantoonden. De groeiende invloed van de tensorrekening na 1915 bracht ook meer eenheid, en ook de mogelijkheid de grondslagen van deze rekening vast te leggen.2

Sommige nieuwe theorema's werden ook in de oude elementaire meetkunde ingevoerd. In de negentiende eeuw was de zgn. nieuwere driehoeksmeetkunde door verscheidene wiskundigen ontwikkeld - we denken aan K.W. Feuerbach (de jong gestorven broer van de filosoof) en de negenpuntcirkel (1822), van Pierre Brocard en Emile Lemoine met de naar hen genoemde punten (1886, 1873). Een theorema dat omstreeks 1900 door Frank Morley werd geformuleerd en voor vele jaren een geliefd onderwerp van wiskundigendiscussie was, en vaak op verschillende wijze bewezen, stelde vast dat de drie snijpunten van corresponderende trisectrices van de hoeken van een driehoek een gelijkzijdige driehoek vormen.3

9.

Ook de klassieke getallentheorie werd belangrijk verrijkt. We hebben reeds enige ontdekkingen van Hadamard en De la Vallée Poussin in analytische getallenleer vermeld. De vertegenwoordiger van dit gebied in Göttingen was Edmund Landau met zijn gedrongen euklidische stijl, zoals blijkt uit zijn Handbuch der Lehre von den Primzahlen (1909). In Engeland ontmoeten we het beroemde tweetal G.H. Hardy en J.E. Littlewood, waarover later, in Rusland G.E. Voronoǐ, die de Nederlander J.G. van der Corput beïnvloedde. Voronoǐ beoefende ook de door Minkowski ingevoerde Geometrie der Zahlen (1896, 2e uitg. 1910), resultaat van zijn werk in ternaire kwadratische vormen. Hier vindt men ook stellin-

gen over convexe lichamen en de ‘stapeling’ van bollen en andere lichamen in een gegeven ruimte.

Minkowski, die in 1881 de Grand Prix van de Parijse Académie had verkregen toen hij 18 jaar oud was (over de samenstelling van gehele getallen door sommen van vijf kwadraten van gehele getallen) was, na een professoraat in Zürich van 1896 tot 1902, de collega van zijn vriend Hilbert tot zijn vroege dood (45 jaar) in 1909. Hij beheerste vele gebieden in de wiskunde en de mathematische fysica, zoals elektromagnetisme, zodat hij de geleerde wereld in 1908 kon verbazen met zijn Raum und Zeit: ‘Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.’1 De weg naar de algemene relativiteitstheorie was gebaand, maar deze rede heeft ook tot veel zuiver wiskundig onderzoek geleid.

Dicksons geschiedenis der getallentheorie is al vermeld.

10.

De Eerste Wereldoorlog (1914-'18) onderbrak en vernielde zelfs allerlei internationale betrekkingen. Wiskunde was geen uitzondering. Duitse wiskundigen beschuldigden hun Franse collega's (Klein deed mee, Hilbert niet), de Fransen op hun beurt beschuldigden de Duitsers. Sommige wiskundigen, als Volterra en Veblen, werden adviseurs van hun regering. Maar vergeleken met wat in de Tweede Wereldoorlog gebeurde was de wiskunde nog maar weinig in de oorlog betrokken. De ‘Internationale Commissie over het Onderwijs in de Wiskunde’, in 1908 op het congres in Rome gesticht, met Klein als voorzitter, beleefde nog net een veelbelovende conferentie in Parijs gedurende april 1914 tot ze uiteenviel en niet vóór 1928 in Bologna werd hersteld.2

Na de oorlog kwam er een internationaal congres in Straatsburg (1920) en in Toronto (1924) bijeen, maar de verslagen naties waren uitgesloten. Eindelijk, in 1928 kwam een werkelijk internationaal

congres bijeen in Bologna, met als voorzitter S. Pincherle, waar ook Volterra, een pionier in de functionaalanalyse, aanwezig was. Nog steeds was Europa overheersend; onder de 826 deelnemers waren er slechts 52 van buiten Europa, en die waren allen uit de VS. De Internationale Mathematische Unie, in 1919 in Brussel gesticht, werd nu ook in werkelijkheid internationaal.

Op het volgende internationale congres, in Zürich (1932) waren er 667 deelnemers uit 40 landen, 66 uit de VS, en 10 uit de Sovjet-Unie (die ook in Bologna met 37 afgevaardigden vertegenwoordigd was). Het congres van 1936, in Oslo, was wat kleiner (487 deelnemers, 27 landen), we zijn in de Hitlerperiode van wereldspanning. De wereldoorlog was oorzaak dat de volgende internationale conferentie pas in 1950 bijeenkwam.

Het centrum van de wiskundige wereld bleef, ook na 1918, in de traditionele gebieden van Europa, doch de VS en de nieuwe Sovjet-Unie waren grote sprongen vooruit aan het maken. Reeds waren, in de jaren '20, Cambridge (Mass.), Princeton, Moskou en Leningrad belangrijke centra. In Polen (sinds 1918 onafhankelijk) bestond een school van zeer getalenteerde wiskundigen die zich toelegden op topologische en grondslagenkwesties. De bloei der wiskunde in Italië en Centraal Europa werd echter in de jaren '30 onderbroken door de komst van het fascisme, waarvan echter andere landen, speciaal de VS, profiteerden. Moderne wiskunde kwam nu ook uit Canada, Japan, Australië en Brits-Indië. Het aantal wiskundige publikaties steeg meer en meer.

Nu kwamen er ook tijdschriften gewijd aan speciale gebieden. De Fundamenta Mathematica, een Poolse uitgave die in 1920 was begonnen, was gericht op topologie en grondslagenonderzoek. Het Duitse ZAMM (Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik) begon in 1921 en had als stichter Richard von Mises, een Oostenrijkse wiskundige die was gespecialiseerd in mechanica en aerodynamica en die, na in 1933 uit Europa te zijn verdreven, professor aan Harvard werd. Hij had ook zijn eigen waarschijnlijkheidstheorie (de zgn. frequentietheorie), o.a. in het Mathematische Zeitschrift van 1919 te vinden. Een aantal reeksen van monografieën verschenen, als de Mémorial des Sciences mathématiques (Frankrijk), de Ergebnisse der exakten Wissenschaften en de Grundlehren (Springers bekende ‘gele boeken’) in Duitsland, de Monografie Matematyczne in Polen. Er kwamen nu ook internationale conferenties over speciale onderwerpen als die in Delft over toegepaste wiskunde en mechanica van 1924, georganiseerd door professors Biezeno en Burgers. Of die in Moskou over tensors (1934) en topologie (1935).

11.

Göttingen behield gedurende de jaren van de Weimarse Republiek de leidende rol die ze al lang had gehad, vooral na Kleins komst in 1886, en na zijn dood in 1925 door Hilberts positie, zelfs na diens pensionering in 1930. Rond hem bevond zich een sterke faculteit, met Landau (getallenleer), Gustav Herglotz (verschillende gebieden van analyse en mathematische fysica), Richard Courant, Kleins opvolger (die zich bezighield met grenswaarden en het beginsel van Dirichlet), Emmy Noether, Paul Bernays, Prandtl. Een even sterke natuurkundige faculteit werd geleid door Max Born en speelde een belangrijke rol bij de ontdekking van de nieuwe mechanica der quanta door Walter Heisenberg, Wolfgang Pauli en anderen. Numerieke problemen waren het gebied van Carl Runge, en vanaf 1921 was Felix Bernstein het hoofd van het Instituut voor Wiskundige Statistiek, nadat hij alreeds naam had gemaakt in de leer der verzamelingen, met het equivalentietheorema van Cantor-Bernstein. Studenten en bezoekers bleven naar dit Mekka stromen.

Hilbert, in 1922 zestig jaar oud, kwam in 1896 naar Göttingen van Koningsbergen in Pruisen, op initiatief van Klein. Zijn eerste werk lag op het terrein van algebraïsche invarianten en algebraïsche getallenleer, waar zijn Zahlbericht, in 1897 voor de Deutsche Mathematische Gesellschaft samengesteld, voor vele jaren toonaangevend was. We hebben zijn verdere algemene onderzoekingen alreeds gevolgd, maar moeten toevoegen dat hij ook speciale problemen aanvatte, als dat van Waring (ieder positief geheel getal kan worden voorgesteld door de som van hoogstens n h^de machten, waar n alleen van h afhankelijk is, b.v. een som van hoogstens 4 tweedemachten) en de stelling dat alle oppervlakken van constante negatieve kromming in de gewone ruimte singulariteiten hebben, b.v. de pseudosfeer van Beltrami. Als gezegd, hij nam afscheid in 1930, en werd opgevolgd door-Weyl; hij stierf onder de nazi's, zijn Göttingen als een wiskundige ruïne achterlatend.

Weyl moest in 1933 Göttingen verlaten en ging naar het juist opgerichte Institute for Advanced Study in Princeton, waarheen ook Einstein en Gödel (en later Von Neumann) waren gegaan. Van zijn boeken, alle invloedrijk, noemen we nog Gruppentheorie und Quantenmechanik (1928) en Algebraïsche Zahlentheorie (1938), die al in hun titels Weyls veelzijdigheid uitdrukken. Hij stierf in 1955.

Andere Duitse universiteiten konden ook op uitstekende wiskundigen bogen. In Berlijn vinden we I. Schur (algebra en groepentheorie), zowel als Erhardt Schmidt, die zijn naam aan het

zgn. orthogonaliseringsprincipe in Hilbert-ruimten gaf (1907). Na 1924 vinden we in München Constantin Carathéodory, een Berlijner van Griekse afkomst (zijn vader was een diplomaat), die elegant werk deed in variatierekening, o.a. in zijn inleiding tot Eulers Methodus inveniendi in diens Opera Omnia.

12.

Frankrijk had vele jonge mannen in de oorlog verloren, maar behield toch nog menige belangrijke wiskundigen: Hadamard, Borel, Fréchet, Lebesgue, Gaston Julia, Paul Lévy, Cartan, wier onderzoekingen in vele richtingen gingen. Parijs bleef het centrum, met (evenals in Göttingen) grote fysici - Madame Curie, Paul Langevin, zijn student Louis de Broglie (proefschrift van 1908) naast grote mathematici. Naast de reeds vermelde series Mémorial en Actualités bevatten ook de Annales van het Institut Henri Poincaré (1930 en later) studies in zuivere en toegepaste wiskunde. De oudere generatie leefde lang genoeg om een jongere te inspireren, de generatie die in 1940 de Bourbaki-groep vormde.

Een ander centrum, weer met een eigen karakter, ontwikkelde zich in Cambridge, waar tenslotte de jarenlange Britse insulaire positie definitief doorbroken werd. Ook hier vond men naast de wiskundigen grote fysici: van 1919 af aan presideerde Ernest Rutherford (een geboren Nieuw-Zeelander) over het Cavendish Laboratorium. Alreeds vermeld is de vertegenwoordiging van de moderne analyse door J.E. (John Edensor) Littlewood en G.H. (Godfrey Harold) Hardy was vanaf zijn studententijd in 1896 tot zijn 65e jaar aan Trinity College verbonden, met uitzondering van een periode in Oxford van 1919 tot 1931; Littlewood bleef in Cambridge vanaf zijn studententijd tot 1950 (en van 1910 ook aan Trinity), met slechts drie jaren in Manchester. Hardy's Course in pure Mathematics (1908) bracht op strenge wijze de toen moderne begrippen in de analyse tot Engeland - getal, limiet, functie. In het opus van Hardy en Littlewood vindt men studies in harmonische analyse, de problemen van Waring en Goldbach, diofantische approximaties en het priemgetallenprobleem. Alles ‘zuivere’ wiskunde, bewonderend beschreven in Hardy's veelbesproken en niet altijd geapprecieerde Mathematicians Apology1 (1940). De ‘romantische gebeurtenis’ (Hardy's woorden) was zijn ontdekking van het Indische getallengenie Srinivasa Ramanujan uit Madras, die het op voorspraak van Hardy mogelijk werd gemaakt om naar

Cambridge te komen. Hier verbleef hij van 1917 tot 1919, om daarna terug te keren, een ziek man; hij stierf op 32-jarige leeftijd. Hardy en Ramanujan werkten samen aan vele problemen, meestal in partitio numerorum.1

Hardy's collega's in Cambridge waren A.E. Besikovitch en E.C. Titchmarsh (beiden analyse), de laatste de auteur van een veelgebruikte Theory of Functions (1932). Tussen de zuivere wiskunde van Hardy en deze collega's en de experimentele fysica van Rutherford stond R.H. Fowler die zich bewoog op het terrein van de toegepaste wiskunde. Tot zijn breed opgezette Statistical Mechanics (1929) hadden zowel Littlewood als zijn leerling P.A.M. Dirac bijgedragen. Dirac, die de golfmechanica met de speciale relativiteitstheorie verbond, verkreeg in 1933 de Nobelprijs tezamen met Schrödinger. Hun werk beïnvloedde vele gebieden van de wiskunde, van differentiaalvergelijkingen tot tensorrekening.

Toen in en na 1933 vele wiskundigen in Duitsland en elders tot ballingschap werden gedwongen, kwamen verscheidene van hen naar Cambridge, dat een der brandpunten der wis- en natuurkundige wetenschappen werd. Van deze uitgestotenen vertrokken een aantal naar Amerika, waar zij meehielpen het wetenschappelijk leven op hoger peil te brengen.

Edmund T. Whittaker, van 1912 tot 1946 professor in Edinburgh, was een wiskundige en mathematisch fysicus (en een Katholiek filosoof), die generaties van studenten aan zich verplichtte met de Modern Analysis van 1915, geschreven samen met G.N. Watson, toen in Cambridge. Deze ‘Whittaker-Watson’ is een mooi uitgegeven presentatie van de meest bekende functies als die van Legendre, Bessel, enz., ook in het complexe gebied. Het boek bevat oefeningen, verscheidene lastig genoeg, een eigenschap die dit boek deelt met andere Engelse boeken als die van Hardy en Titchmarsh. Dit is in een oude traditie geworteld, die verband houdt met de oude Tripos-examens met hun nadruk op de techniek van het oplossen van soms moeilijke oefeningen, een traditie die nog lang niet is vergeten.

William Henry Young, die ook in Cambridge had gestudeerd,

bekleedde verscheidene academische posten, o.a. een in Calcutta (1913-1916). Hij was het die reeds vroeg (ca. 1902) de ideeën van Lebesgue en Baire naar Engeland bracht. Met zijn vrouw, Grace Chisholm Young schreef hij de Theory of Sets of Points (1906).

Mevrouw Young behoorde tot de eerste vrouwen die in de wiskunde promoveerden (niet de eerste, Sofia Kowalewskaja was haar voorgegaan, in 1874), haar onderwerp was een groepentheoretische behandeling der boldriehoeksmeting (1895). Young publiceerde ook op het terrein van de harmonische analyse en verwante gebieden. Zij waren de ouders van Laurence Young, die ons een zeer persoonlijk verslag heeft gegeven van het Cambridge in de dagen van Hardy en Littlewood, enigszins te vergelijken met de (of-schoon niet zo persoonlijke) schets die Constance Reid ons heeft gegeven van het Göttingen in de dagen van Hilbert en Courant.1

13.

De Oktober-revolutie van 1917 gaf een machtige stoot aan de ontwikkeling der wetenschappen in Rusland en de Oekraïne, en de wiskunde deelde in die ontwikkeling. Er bestond reeds een sterke traditie, die van zulke mathematici als N.I. Lobačevskiǐ, M.V. Ostrogradskiǐ en P.L. Čebyšev (Tsjebychef), de laatste de leider van de zgn. school van St. Petersburg (nu Leningrad), waaruit A.A. Markov en A.M. Ljapoenov voortkwamen. Čebyšev was in St. Petersburg, van 1847 tot zijn dood in 1894, werkzaam op verscheidene gebieden, getallentheorie (o.a. het priemgetallenvraagstuk), benaderingsproblemen, integratie, differentiaalmeetkunde, kinematica en waarschijnlijkheidsrekening, gebieden van zuivere en toegepaste wiskunde. In de waarschijnlijkheidsrekening stelde

hij scherpe definities en bracht Markov, van 1886 tot 1905 professor in St. Petersburg, daarna emeritus, tot de bekende Markov-ketens in stochastische processen (1906 en later). Deze ketens hebben hun waarde bewezen in de statistische natuurkunde, in de erfelijkheidsleer, in de economie en andere vakken; hun theoretische basis werd versterkt door A.N. Kolmogorov.1

Ljapoenov volgde in zijn vele onderzoekingen de lijn van Laplace, in de hemelmechanica zowel als in de waarschijnlijkheidsrekening. Misschien het meest bekend is hier zijn generalisatie en verscherping van het fundamentele limiettheorema (1900-'01), dat in zijn oorsprong tot Jakob Bernoulli teruggaat.

Tot de school van St. Petersburg behoort ook G.E. Voronoǐ, na 1894 professor in Warschau (toen onder de Tsaar), reeds vermeld als een getallentheoreticus.

Na de Revolutie werd Moskou de hoofdstad van het Sovjet-bestuur. Hier bestond reeds de zgn. Moskouse school onder de sterke invloed van N.N. Loezin, een leerling van D.T. Egorov, naar wie een theorema over meetbare functies is genoemd (1911). Loezin bezocht Göttingen en Parijs (1901, 1910) en doceerde in Moskou van 1914 tot zijn dood in 1953. Hij behoorde tot de eersten die de maattheorie op reële functies toepaste; ook gaf bij veel aandacht aan trigonometrische reeksen. Door zijn seminaries, zijn colleges en zijn tekstboeken leidde hij hele generaties van jongere wiskundigen op in vele gebieden van analyse, integratie, en de leer der verzamelingen. Sierpinski, in menig opzicht voor Polen wat Loezin voor Moskou was, stond met hem in nauw contact.

Onder de jongere wiskundigen die door Loezin werden beïnvloed, waren Paul S. Aleksandrov, A. Ya. Hinčin (Chintchin), P.S. Urysohn, A.N. Kolmogorov, P.A. Ljoesternik en L.S. Pontrjagin. Aleksandrov, met Pontrjagin en Urysohn waren de stichters van de Moskouse topologische school, die met het Westen (Brouwer, Göttingen, Hausdorff) in regelmatig contact stond. Urysohn stierf reeds in 1924 op 26-jarige leeftijd (hij verdronk in Bretagne tijdens een vakantie). Kenmerkend voor deze wiskundigen, volgelingen van Loezin in de functietheorie en de topologie, was het nauwe verband tussen hun zuivere en toegepaste wiskunde, een richting reeds aangewezen door Čebyšev, en verder verwelkomd door de Sovjetregering. Waarschijnlijkheidsrekening bleef een onderwerp van intense studie, een der meest bekende resulta-

ten was de axiomatiek vanuit de verzamelingenleer, neergelegd in de Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1934) van Kolmogorov.

De leidende getallentheoreticus was I.M. Vinogradov, eerst in Leningrad, na 1934 in Moskou. Zijn vele bijdragen, beïnvloed door de oudere Voronoǐ en in menig opzicht verwant met die van Hardy en Littlewood, behandelen de klassieke en eeuwig jonge problemen van partitio numerorum, van Waring, Goldbach en Riemann - zie Hilberts achtste probleem. Na 1929 begint ook de reeks van publikaties van A.O. Gelfond in Moskou.

De meetkunde was vertegenwoordigd door V.F. Kagan, eerst in Odessa, na 1922 in Moskou. Hij begon zijn onderzoekingen van de grondslagen der meetkunde in de geest van Hilbert, en bestudeerde Lobačevskiǐ's werk, doch in Moskou wijdde hij zich aan de differentiaalmeetkunde en de tensorrekening, waaraan hij een seminarium met tijdschrift Troediǐ (1933 en later) wijdde. Zijn boek over Lobačevskiǐ is van 1944 (en 1948).

In Charkov in de Oekraïne vinden we Serge Bernstein, aldaar docent van 1907 tot 1933, waarna hij eerst naar Leningrad, en dan in 1943 naar Moskou overging. Hij had in Göttingen gestudeerd en schreef zijn proefschrift in Parijs (1907). Zijn publikaties tonen de invloed van Čebyšev (benaderingen, waarschijnlijkheidsrekening) en van Weierstrass. Bij hem zien we weer die Russische verbinding van zuivere en toegepaste wiskunde - in dit geval op het terrein van de biologie.

Reeds in 1911, voor Polen onafhankelijk werd, had Sierpinski de grondslag gelegd voor de Poolse topologische school met het tijdschrift Fundamenta Mathematica, het eerste wiskundige tijdschrift dat aan één speciaal gebied was gewijd. Onder Sierpinski studeerden Kazimierz Kuratowski en Alfred Tarski, de laatste, die in 1946 professor werd in Berkeley, Californië, werd bekend door zijn werk in logische semantiek, beslisbaarheid en waarheidsbegrip: Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen (1936).1 Naast die in Warschau kwam een tweede school tot stand in Lwów (Duits: Lemberg), van 1919-45 in Polen, geleid door Stefan Banach. Banachs naam is aan vele bijdragen tot functionaal-analyse verbonden; hij heeft geholpen deze tak van wiskunde, na Volterra en Hilbert, tot een zelfstandig gebied te maken. Dit werk was nauw verbonden met zijn beschouwingen over de genormeer-

de lineaire ruimten die naar Banach zijn genoemd (1922 en later). In het nabijgelegen Lublin, aan de nieuwe universiteit, werkte Banachs collega Hugo Steinhaus, die veel aandacht schonk aan toepassingen, op verschillende gebieden van waarschijnlijkheidsrekening alsook biologie en ingenieurswetenschappen. Hij heeft velen aan zich verplicht door zijn Mathematical Snapshots, een mooi voorbeeld van visuele wiskunde. Banach en Steinhaus publiceerden vanaf 1929 de Studia Mathematica.

De bezetting van Polen door de Nazi's, van 1939 tot 1945, was een catastrofe voor de wetenschap. Verscheidene wiskundigen zagen kans hun land te verlaten, anderen verdwenen in concentratiekampen. Steinhaus en Banach overleefden de ellende, maar Banach stierf kort na zijn bevrijding.

Sierpinski leefde tot 1969. Een van zijn eerste boeken was zijn Hypothèse du Continu (1934).

14.

Italië had een sterke meetkundige traditie, in het bijzonder in de algebraïsche meetkunde, zoals die door Brill en Noether in de jaren '70 en '80 was ontwikkeld. Wij hebben reeds C. Segre en G. Veronese vermeld. Hun werk werd voortgezet door Guido Castelnuovo, Francisco Severi en Federigo Enriques. Vele van hun resultaten kunnen in Severi's publikaties worden bestudeerd, speciaal in de Duitse Vorlesungen über algebraische Geometrie (1921). Hier behandelt de schrijver algebraïsche krommen en variëteiten van twee en meer dimensies, Riemann-oppervlakken en Abelse integralen. Enriques stelde ook veel belang in wiskundig onderricht, en zijn Problèmes de la Science et la Logique (1909) zowel als de Storia del Pensiero Scientifica (1932, met G. de Santillana) tonen hoe diep Enriques ook in de wijsbegeerte der wiskunde was geïnteresseerd - hier nam hij een rationalistische positie in tegenover positivistische en idealistische stromingen.

Al deze wiskundigen werden naar Rome beroepen, waar ook Volterra (sinds 1900) en Levi-Civita (sinds 1918) doceerden. Dit gaf Rome een atmosfeer die vele studenten en bezoekers trok, met Parijs en Cambridge een secundair Mekka naast Göttingen, (althans tot 1933). Levi-Civita leverde bijdragen aan differentiaalmeetkunde en tensorrekening, hydrodynamica, mechanica (het drielichamenprobleem) en relativiteit. Zowel Levi-Civita als Cartan waren toegewijde correspondenten van Einstein.

In Pisa vinden we, tot zijn dood in 1928, Luigi Bianchi, wiens publikaties over differentiaalmeetkunde lange jaren groot gezag hadden, o.a. door de Duitse ‘Bianchi-Lukat’: Vorlesungen über

Differentialgeometrie (vertaling van M. Lukat, 1899). Hij schreef ook over groepentheorie.1 Zowel hij als Volterra waren senatoren van het koninkrijk.

In Turijn, van 1910 tot 1938, doceerde Guido Fubini, en behandelde op zijn eigen, oorspronkelijke, wijze de tensorrekening en de differentiaalmeetkunde, hier speciaal de projectieve differentiaalmeetkunde, eerst ontwikkeld in Chicago door E.J. Wilczynski, doch uitgaande van lineaire differentiaalvergelijkingen. In 1938 moest hij Italië verlaten en nam een uitnodiging van Princeton aan.

Gino Loria, een meetkundige in Genua, is vooral bekend geworden door zijn in het Duits vertaalde boek over allerlei speciale krommen in het platte vlak, een ware encyclopedie op dit gebied.2

In Nederland begint de beoefening der moderne wiskunde in de jaren '80, gelijktijdig met het herleven van het gehele economische en intellectuele leven. In de fysica vinden we J.D. van der Waals en H.A. Lorentz, in de biologie Hugo de Vries, in de sterrenkunde J.C. Kapteyn. De Theory of Electrons van Lorentz dateert van 1909. Stieltjes moest nog naar Franrkijk gaan om waardering te vinden (1885), maar in Nederland konden D.J. Korteweg in Amsterdam, P.H. Schoute in Groningen en J.C. Kluyver in Leiden de leiding geven. Korteweg is bekend gebleven door de vergelijking van Korteweg-De Vries in de theorie van kanaalgolven (1895), hij redigeerde ook 5 delen van de Oeuvres van Huygens.3 Van de tweede generatie hebben we reeds J.A. Schouten, Van der Corput en Brouwer vermeld. G. Mannoury, een autodicact wiskundige, voerde de topologie in Nederland in. Hij was ook de stichter van dat type van semantiek dat hij significa noemde, en waarin hij in D. van Dantzig een aanhanger vond. Van Dantzig, begonnen als medewerker van Schouten in projectieve en andere vormen van differentiaalmeetkunde, werd later een leidende wiskundige statisticus.

Wij hebben ook reeds B.L. van der Waerden vermeld, wiens Amsterdams proefschrift van 1926 aftellende meetkunde kritisch behandelt. In de Naziperiode kwam Hans Freudenthal naar Nederland, in 1940 werd hij professor in Utrecht.1

In Hongarije waren er eminente beoefenaars der analyse, zoals F. Riesz in Szeged (na 1946 in Boedapest), reeds vermeld bij het Riesz-Fischer-theorema. Hier was ook L. Fejér, van 1911 tot zijn dood in 1959 (met een korte onderbreking) in Boedapest, een levendige, interessante geest wiens voornaamste onderzoekingen lagen op het terrein van Fourier-reeksen en harmonische analyse in het algemeen.

Wat het Oostenrijk van die tijd betreft denken we allereerst aan Hans Hahn, na 1921 in Wenen. Hij werkte, evenals Banach en Fréchet, op het terrein van reële functies, functionalen en abstracte ruimten. Hij was ook filosofisch geïnteresseerd en hielp de fysicus-filosoof Max Schlick naar Wenen te brengen, waar deze de leerstoel van Mach en Boltzmann verkreeg en spoedig de zgn. Wiener Kreis om zich verzamelde. Deze Weense Kring bestond uit wiskundigen en andere wiskundig-filosofisch ingestelde personen die streefden naar een wereldbeschouwing gebaseerd op wetenschap ‘zonder metafysica’. Tot deze groep van zgn. logische positivisten behoorden naast Hahn ook Rudolf Carnap, Kurt Gödel en Karl Menger. Ook Ludwig Wittgenstein, wiens Logisch-philosophische Abhandlung2 in 1921 was verschenen, had met deze groep contact. Carnap werd bekend als de semanticus, de auteur van Die logische Syntax der Sprache (1934). De deelnemers aan deze Kreis zochten, ieder op zijn manier, een wereldbeschouwing gebaseerd op semantiek, wiskundige logica en de beginselen van wetenschappelijk onderzoek.3 De meeste leden van de kring waren nogal links (en verscheidene waren Joods), zodat de komst der Nazi's het einde bracht. Schlick werd vermoord (1936). Sommigen konden zich invloedrijke posities in Engeland en Amerika verwerven, Carnap in Chicago, Menger (Dimensionstheorie, 1928) aan

Notre Dame (Indiana), later ook Chicago, Gödel in Princeton. Wittgenstein kwam naar Cambridge, Engeland.

In Scandinavië vermelden we T.A. Skolem in Noorwegen, Gösta Mittag-Leffler en zijn opvolger als directeur van het M.L. Instituut in de buurt van Stockholm: T. Carleman, en Harald Bohr (de broer van de fysicus Niels Bohr) in Kopenhagen. Mittag-Leffler, een leerling van Weierstrass, maakte het mogelijk voor Sofia Kowalewskaja een professoraat in Stockholm te krijgen (1891), het eerste vrouwelijke professoraat sinds Maria Gaetana Agnesi. Carlemans onderzoekingen lagen op het terrein van integraalvergelijkingen en zgn. quasi-analytische functies. Bohr, door zijn studie van het beginsel van Dirichlet en de Fourier-reeksen, kwam tot zijn quasi-periodieke functies (1924-'46), waardoor hij weer Weyl, Wiener en anderen beïnvloedde.

Wat Zwitserland betreft vermeldden we reeds Hurwitz en Minkowski. We voegen hier nog Andreas Speiser aan toe, al was het maar om zijn mooie boek over eindige groepen met fraaie toepassingen.1 Vanaf 1911 begon men hier ook dat grote werk, de Opera omnia van Euler, te publiceren, een taak thans nauwelijks ten einde gekomen.

Ook Japan begon van zich te laten spreken. Hier bestond een oude traditie die aanknoopte aan de ‘matrix’-methode van de oude Chinese wiskunde. De nieuwe Europese algebra vond een vertegenwoordiger in Tejii Takagi, die in Duitsland bij Hilbert had gestudeerd en in 1900 aan de universiteit in Tokyo begon te doceren. Hij stichtte een school waarin problemen in verband met het twaalfde Parijse probleem van Hilbert (Abelse lichamen) werden onderzocht. In de jaren '30 begon A. Kawaguchi de tensorrekening op algebraïsche en meetkundige problemen toe te passen, hierin gevolgd door Kentaro Yano en anderen, in het tijdschrift Tensor.

In Tsjechoslowakije werd de tensorrekening beoefend door V. Hlavaty, die met Schouten, en E. Čech, die met Fubini (in projectieve differentiaalmeetkunde) samenwerkte.

15.

De wiskunde in de Verenigde Staten na de eerste Wereldoorlog had verscheidene vertegenwoordigers die zich met de beste mathematici in Europa konden meten. Aan Harvard University vinden we George D. Birkhoff, die na zijn succes in 1913 met het bewijs van Poincaré's ‘laatste theorema’ over het drielichamenprobleem voortging in de geest van Poincaré te werken. Hier verrijkte hij diens nalatenschap met het begrip metrische transitiviteit en de studie van ergodische theorema's. Hij was een veelzijdig wiskundige, die ook een gravitatietheorie publiceerde (1944), waarin hij met Einstein instemde in de speciale, doch niet in de algemene relativiteitstheorie. Wij hebben reeds even zijn Aesthetic Measure (1944)1 vermeld, en hij bewoog zich van kunst en wiskunde tot ethiek en wiskunde. Zijn zoon Garrett Birkhoff begon zijn studies in de algebra's van Boole (lattices) in de jaren '40.

Veblen, aan Princeton, wendde zich na 1920 van topologie naar differentiaalmeetkunde en tensorrekening, aangespoord door de publikaties van Levi-Civita en Weyl. Hier, met zijn collega Luther Pfahler Eisenhart, en enige leerlingen, ontwikkelde hij een nieuwe aanpak van de meetkunde der ruimten van Riemann en hun generalisatie in de zgn. meetkunde der paden, generalisaties van geodetische lijnen. In dit gebied vormden zich dus drie scholen, die van Schouten, die van Cartan en die van Veblen. Maar hij bracht ook zijn ideeën over topologie en axiomatiek over tot dit gebied in de Foundations of differential Geometry (1932), geschreven met J.H.C. Whitehead. Verwant met Veblens werk was dat van zijn collega's J.W. Alexander en Solomon Lefschetz, die zich toelegde op algebraïsche topologie en homologische algebra.

Veblen was van 1932 tot 1950 verbonden aan het Institute for Advanced Study, een nieuwe onderneming, namelijk een instituut voor zuiver wetenschappelijk onderzoek, opgericht in Princeton naast de universiteit. Dit Instituut, financieel onafhankelijk, was gesticht in de geest van ideeën neergelegd in het kritische boek Universities, American, British, German (1930), geschreven door Abraham Flexner. Het Instituut begon met een School voor Wiskunde, geleid door Veblen, en waaraan uitstekende geleerden werden verbonden, speciaal ook toen de Nazi-vervolgingen kwamen.

Hier vonden Weyl, Von Neumann en Einstein een plaats voor ononderbroken studie. Ook Marston Morse, student en collega van Birkhoff, die in zijn geest diep in de variatierekening drong, vond zijn weg naar het Instituut.

John von Neumann, Hongaar van geboorte, kwam na een lectorschap in Göttingen naar Princeton in 1930. Tot zijn onderzoekingen behoorden studies in groepentheorie en Hilbert-ruimten, operatoren en ergodische theorema's, met bijdragen tot Hilberts vijfde probleem. Hij was een der meest geniale wiskundigen van zijn tijd, wiens veelomvattend werk zich uitstrekte tot quantum-mechanica en quantum-thermodynamica, en tot de theorie der elektronische computers. Hij was een grondlegger van de moderne speltheorie (1926), met haar vele ‘strategische’ toepassingen, vooral in economie. Zijn boek erover, met O. Morgenstern als co-auteur, is Theory of Games and economie Behavior (1944).

Er is een zekere verwantschap tussen zijn werk en dat van Norbert Wiener, vanaf 1919 verbonden aan Massachusetts Institute of Technology (MIT), evenals Harvard in Cambridge, Massachusetts. Wiener, na een begin in logica beïnvloed door Russell, vond zijn eigen terrein in de wiskunde van de Brownse beweging, in harmonische analyse en in theorema's van het Tauber-type.1 Zijn onderzoekingen, in samenwerking met leerlingen als Raymond Paley en Claude Shannon, voerden hem tot de formering van de communicatietheorie en de verbetering van computers, en na 1946 tot zijn cybernetica.

Andere wiskundigen uit deze periode waren Marshall Stone aan Harvard (later Chicago) met zijn studies over lineaire operatoren in Hilbert-ruimten en algebra's van Boole, en G.A. Bliss in Chicago, collega van E.H. Moore, wiens onderzoekingen in variatierekening zijn neergelegd in zijn Calculus of Variations (1925) en Lectures on the Calculus of Variations (1946). Zijn collega E.J. Wilczynski was, als reeds vermeld, een beoefenaar der projectieve differentiaalmeetkunde.

Aan Harvard vinden we nog Julian Lowell Coolidge, een meetkundige, leerling van Segre en Study, die goede leerboeken schreef over niet-euklidische en complexe meetkunde, zowel als een Introduction to mathematical Probability (1923), een der eerste tekstboeken over dit onderwerp in het Engels. Historici der wiskunde

vinden veel interessants in zijn History of Geometrical Methods (1940). Aan Harvard was ook William E. Osgood verbonden, die bij Klein had gestudeerd en in Göttingen was gepromoveerd (1890). Zijn Lehrbuch der Funktionentheorie (1907) was een der meest gebruikte leerboeken van zijn tijd, het had een pedagogische precisie die typerend was voor zijn onderwijs.

De wiskunde in de VS profiteerde geweldig van de komst van eminente mathematici die uit Europa door de Nazi's waren verdreven. Naast degenen die we reeds genoemd hebben als Weyl, Courant, Emmy Noether en Von Mises, denken we aan E. Artin, G. Polyá, H. Rademacher, V. Hurewicz, O. Neugebauer, André Weil en O. Scász. J.D. Tamarkin, aan Brown University in Providence, bevond zich daar reeds als emigrant uit Rusland.

16.

De grote tijd van de computer kwam eerst na de Tweede Wereldoorlog, maar er was een lange voorbereidingsperiode, die, zo men wil, met de abacus in de Oudheid aanvangt. In de moderne periode kunnen we beginnen met Wilhelm Schickard, een vriend van Kepler, met een instrument van 1623-'24, gevolgd door Pascal (1641) en Leibniz (1673). In 1808 vond de Franse wever Joseph-Marie Jacquard een methode uit om een weefgetouw van buitenaf te besturen met behulp van geponste kaarten. Deze gedachte werd door Charles Babbage overgenomen voor zijn ‘analytical engine’ (1833), hierbij ondersteund door Byrons dochter Lady Ann Lovelace. In deze nooit voltooide rekenmachine waren vele ideeën belichaamd die in de moderne automatische computer verwezenlijkt zijn, ze kon opslaan (store, het geheugendeel), besturen (control) en bewerkingen uitvoeren (mill). Maar deze machines waren geheel mechanisch en stelden eisen die alleen de elektronica van de tegenwoordige tijd in praktijk heeft kunnen brengen.1

Tussen 1884 en 1890 ontwikkelde Herman Hollerith, een statisticus in de V.S. die aan de volkstelling van 1890 werkte, een systeem waarbij uit geponste kaarten gegevens mechanisch konden worden gelezen, één kaart voor iedere persoon waarbij iedere ponspositie een toestand (beroep, leeftijd, enz.) voorstelde. Konrad Zuse, een Duitser, verbeterde dit systeem in 1934 door ideeën van Leibniz over het gebruik van het tweetallig stelsel over te nemen.

Onafhankelijk hiervan bouwde Vannevar Bush, een ingenieur

en professor aan het MIT, ondersteund door Wiener en andere collega's, in de jaren '30 een analog-computer om zekere integralen uit te werken en zekere differentiaalvergelijkingen op te lossen. In Princeton, in 1936, definieerde Alan M. Turing, een jonge Engelsman, de ‘Turing-machine’, een abstract model van een mogelijke logische machine, geconstrueerd om zulke vraagstukken als Hilberts beslissingsprobleem in de grondslagendiscussie aan te brengen.1 In 1945 paste Turing, na 1948 in Manchester, zijn ideeën toe op de bouw van een werkelijke computer (MADAM).2 Claude E. Shannon, toen aan het MIT, werkte deze ideeën verder uit in zijn communicatietheorie.

Het nieuwe tijdperk in praktische computers begon met de Mark I, waaraan in 1937 aan Harvard werd begonnen door Howard H. Aiken, met hulp van de International Business Machine Corporation (IBM). Computers begonnen de belangstelling te wekken van grote ondernemingen. De Mark I had de voordelen van moderne technologie en moderne financiering. Er waren evenwel nog vele mechanische operaties. In de Mark II (1945, 1947) werden alle rekenkundige en overdrachtoperaties verricht door elektromagnetische relays. De eerste zuivere elektronische computer, de ENIAC, werd tussen 1943 en 1946 in Philadelphia aan de Universiteit van Pennsylvanië gebouwd. Dit was nog altijd academisch geëxperimenteer. In de jaren '50 begonnen computers in de handel te komen, en het computertijdperk was aangebroken.

Literatuur

Er zijn algemene overzichten van bepaalde gebieden van de wiskunde van deze eeuw in de reeds geciteerde boeken van Boyer, Kline, Bourbaki en Wussing, zowel als in de bijdrage van Pogrebysski tot de Russische en Duitse vertaling van de Concise History of Mathematics.

Verder, naast de publikaties die in de voetnoten zijn geciteerd:

De levensbeschrijvingen in de vijftien delen van de D.S.B. bevatten een schat van gegevens over wiskundigen en hun werk, en vaak goede bibliografieën. Ook sommige encyclopedieën hebben gegevens met korte bibliografie, o.a. de Grote Winkler Prins. Korte schetsen vindt men ook in Meschkowski's Mathematiker-Lexikon (Mannheim etc., 3e Aufl. 1980). Zie ook

Levensbeschrijvingen van gestorven of jubilerende wiskundigen vindt men geregeld in de maandelijkse nummers van de Mathematical Reviews.