Wisconstighe gedachtenissen. Deel 4: van de weeghconst Simon Stevin GEBRUIKT EXEMPLAAR exemplaar universiteitsbibliotheek Utrecht, signatuur: Mag. P. Fol. 15 ALGEMENE OPMERKINGEN Dit bestand biedt, behoudens een aantal hierna te noemen ingrepen, een diplomatische weergave van Wisconstighe gedachtenissen. Deel 4: van de weeghconst van Simon Stevin uit 1605. REDACTIONELE INGREPEN Bij de omzetting van de gebruikte bron naar deze publicatie in de dbnl is een aantal delen van de tekst niet overgenomen. Hieronder volgen de tekstgedeelten die wel in het origineel voorkomen maar hier uit de lopende tekst zijn weggelaten. Ook de blanco pagina's (p. 56, 58, 86, 88, 120, 176, 190 en 220) zijn niet opgenomen in de lopende tekst. [pagina 1] VIERDE STVCK DER WISCONSTIGHE GHEDACHTNISSEN VAN DE WEEGHCONST. Inhoudende t'ghene daer hem in gheoeffent heeft DEN DOORLVCHTICHSTEN Hoochgheboren Vorst ende Heere Mavrits Prince van Oraengien, Grave van Nassau, Catzenellenbogen, Vianden, Moers &c. Marckgraef vander Vere, ende Vlissinghen &c. Heere der Stadt Grave, ende S'landts van Cuyc, St. Vyt, Daesburch &c. Gouverneur van Gelderlant, Hollant, Zeelant, Westvrieslant, Zutphen, Vtrecht, Overyssel &c. Opperste Veltheer vande vereenichde Nederlanden, Admirael Generael vander Zee &c. Beschreven deur Simon Stevin van Brugghe. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} TOT LEYDEN, By Ian Bouwensz. woonende op de hoogelantsche Kerckgraft. Anno cIɔ Iɔ cv. 2010 dbnl stev001wisc04_01 unicode scans Simon Stevin, Wisconstighe gedachtenissen. Deel 4: van de weeghconst. Ian Bouvvensz., Leiden 1605  DBNL-TEI 1 2010-06-04 CB colofon toegevoegd Verantwoording Dit tekstbestand is gebaseerd op een bestand van de Digitale Bibliotheek voor de Nederlandse Letteren (https://www.dbnl.org) Bron: Simon Stevin, Wisconstighe gedachtenissen. Deel 4: van de weeghconst. Ian Bouvvensz., Leiden 1605  Zie: https://www.dbnl.org/tekst/ques002lauw01_01/colofon.php In dit bestand zijn twee typen markeringen opgenomen: paginanummering en illustraties met onderschriften. Deze zijn te onderscheiden van de rest van de tekst door middel van accolades: {==13==} {>>pagina-aanduiding<<} {==Figuur. 1: Onderschrift van de afbeelding.==} {>>afbeelding<<} {==2==} {>>pagina-aanduiding<<} Cortbegryp deses vierden stucx. Also ick voormaels beschreven had een vveeghconst, van vviens voorstellen sijn Vorstelicke Ghenade hem somvvijlen noodich bevant kennis te hebben, tot verscheyden saken die hem indePraxi. daet ontmoeten, soo is hy seer begheerich ghevvorden daer in ervaren te sijn, inder voughen dat hy na ander vvisconstighe stoffen die voor moesten gaen hem tot oeffening deser stof vlietelick begeven heeft: Ia soo dat daer deur den eersten druck benevens verbetering der fauten, noch vermeerdert vviert van soodanighe vonden als inden volghenden Byvovgh blijcken sal: Sulcx dat my oirboor ghedocht heeft alles by sijn Wisconstighe ghedachtenissen te stellen, daer af beschrijvende ses boucken: T'eerste vande beginselen der VVeeghconst: Het tvveede vande vinding der svvaerheyts middelpunten: Het derde vande VVeeghdaet: Het vierde vande beginselen des vvatervvichts: Het vijfde vande vvatervvicht daet: Het seste vande Byvough. {==3==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste bovck der weeghconst, van de beginselen der weeghconst. {==4==} {>>pagina-aanduiding<<} Cortbegryp des eersten boucx. De beginselen der Weeghconst, vvelcke van svvaerheyt sijn deur t'ghedacht van natuerlicke stof ghescheyden, sullen in tvvee deelen verspreyt vvorden: T'eerste deel sal sijn van 14 bepalinghen, T'ander van 28 voorstellen vande gedaente der gevvichten, die tvveederhande sijn, als rechtvvichten en scheefvvichten. Der rechtvvichten sijn tvveeSpecies. afcomsten, te vveten rechtdaelvvichten en rechthefvvichten, beschreven inde achtien eerste voorstellen. Der scheefvvichten sijn oock tvvee afcomsten, als scheefdaelvvichten en scheefhefvvichten, verclaertinde rest der voorstellen, t'vvelck vvy tot meerder claerheyt int corte tafelvvijs aldus vervaten. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==5==} {>>pagina-aanduiding<<} Het eerste deel vandeDefinitionibus. bepalinghen. 1 Bepaling. Weeghconst is die, vvelcke leert de Redenen, Everedenheden, ende gedaenten vande gevvichten ofte svvaerheden der lichamen. Verclaring. Ghelyck deGeometria. Meetconst aensiet der formen grootheden niet hare swaerheden, houdende die alleenlick voor even ofte oneven, diens grootheden even ofte oneven sijn; Alsoo aensiet ter contrarie de Weeghconst haer swaerheden, niet haer grootheden, houdende die voor even ende oneven, diens gewichtē even ofte oneven sijn: Ende ghelijck diens voornamelicke wercking bestaet int ondersoucken derRationum, Proportionē & qualitatum. Redenen, Evercdenheden, ende Gedaenten haerder grootheden, Alsoo desens int ondersoucken der Redenen Everedenheden, ende Ghedaenten haerder swaerheden ofte ghewichten, welcker beschrijving t'voornemen is deses handels. 2 Bepaling. Svvaerheyt eens lichaems, is de macht sijnder daling in ghestelde plaets. Verclaring. De swaerheyt ofte lichticheyt die wy ghemeenlick segghen een lichaem te hebben, en is niet sijn eyghen wesentlicke ghedaente, maer veroirsaeckt uyt sijn ghemeenschap met een ander (wiens breeder verclaring wy elders gheschickt hebben) want veelMateriae. Stoffen die swaer sijn inde locht, worden licht bevonden int water, ende de lichte inde locht, sijn elders swaer; daerom als wy segghen een hout te wegen hondert pont, wy verstaen daer by de macht sijnder daling in gestelde plaets, dat is in dienSubiecto. Grondt daert in gheweghen was. Door t'verkeerde deser bepaling is te verstaen, dat lichticheyt eens lichaems de macht is sijnder rijsing, maer in ghestelde plaets, want eyghentlick is alle lichaem swaer. 3 Bepaling. Bekende svvaerheyt is diemen door bekent ghevvicht uytet. Verclaring. Als wanneermen seght een lichaem ofte swaerheyt te weghen ses pont, ofte acht marck, oft drie oncen, &c. Om datse door sulck bekent ghewicht gheuytet wort, wy noemense bekende swaerheyt. {==6==} {>>pagina-aanduiding<<} 4 Bepaling. Contrum gravitatis. Svvaerheyts middelpunt is, an t'vvelck het lichaem door ons ghedacht hanghende, alle ghestalt hout diemen hem gheeft. Verclaring. Laet A B C een cloot sijn, diens stof over al eveswaer is, welcke {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} wy met haer middelpunt D door ons ghedacht nemen te hanghen ande lini E D; Ende is kennelick dat dien cloot ghekeert wordende, sal houden alle ghestalt diemen haergheeft, want soomen B keerde daer A is, B sal daer blijven, ende voort yder deel op sijn plaets, want soo dat niet en gheschiede, de stof soude an d'een sijde swaerder sijn als an d'ander, t'welck teghen t'ghestelde waer. D dan naer luyt deser bepaling is Swaerheyts middelpunt des cloots A B C; Ende also salmen verstaen dat binnen alle lichamen soo wel ongheschicter form ende van stof oneenvaerdigher swaerheyt als gheschicter ende eenvaerdigher, is eenich sulcken punt, waer an t'lichaem also hanghende, alle ghestalt hout diemen hem gheeft, welck punt genoemt wort sijn Swaerheyts middelpunt. Ende op dattet door eenighe sijne eyghenschappen kennelicker sy, sullender noch dit toe seggen: Het Swaerheyts middelpunt der oirdentlicke lichamen als Pylaren, Clooten,Sphaeroidalium. Lanckworpighe Clooten, der vijf geschickte lichamen, &c. over al evewichtigher Stof sijnde, is t'selve der form ofte grootheyt, datmen anders Meetconstich middelpunt noemt. Maer die niet over al evewichtigher Stofen sijn, en hebben dese twee punten niet nootsaeckelick tot een selfde plaets. Wat dePyramides. naelden, ende ongheschicte lichamen belangt, sy en hebben geen formens ofte grootheyts middelpunt, maer alleen des swaerheyts. Het ghebeurt oock in veel lichamen als Rynghen, Haecken, Beckens, ende dier ghelijcke, dat haer swaerheyts middelpunt niet en valt inde stof des lichaems, maer binnen t'lichaem uyt de stof. Daer wort inde bepalinggheseyt Door ons ghedacht reden datmen int bepalen moet nemen, t'ghene den aert van t'bepaelde best verclaert, t'welck Pappus daer hy int 8 bouck het swaerheyts middelpunt bepaelt door t'gedacht oock bequamelick ghedaen heeft. Men souder oock meughen aldus bepalen: Swaerheyts middelpunt eens lichaems, is door t'welck alle plat, t'lichaem deelt in twee evestaltwichtighe deelen. Wat Evestaltwichticheyt is sal door de 11 Bepaling verclaert worden. 5 Bepaling. Svvaerheyts middellijn eens lichaems, is alle oneyndelicke rechte lini door sijn svvaerheyts middelpunt: En de svvaerheyts middellijn rechthouckich op den sichteinder hanghende, heet hanghende svvaerheyts middellijn. Verclaring. Als inde form der 4 bepaling, alle oneyndelicke rechte lini streckende door het swaerheyts middelpunt D, heet des lichaems A B C swaerheyts middellijn. {==7==} {>>pagina-aanduiding<<} Maer die swaerheyts middellijn welcke rechthouckich op den sichteinder comt of hangt als A D, heet hanghende swaerheyts middellijn. Merckt. Wy hadden inden eersten druck de swaerheyts middellijn eens lichaems, bepaelt te wesen de oneyndelicke hanghende door sijn swaerheyts middelpunt, als schijnende genouch te doen tottet ghene alsdoen ons voornemen was te beschrijven: Maer nu inden volghenden byvough de wichtighe ghedaenten dieper doorgrondende, heb noodich bevonden alle rechte linien door t'swaerheyts middelpunt streckende voor swaerheyts middellijnen te houden, en onderscheyt te maken tusschen de hanghende swaerheyts middellijn, en d'ander die gheen hanghende en sijn: T'welck d'oirsaeck is van t'verschil tusschen de 5 en 13 bepaling des eersten drucx en dese. 6 Bepaling. Svvaerheyts middel plat eens lichaems, is alle plat hem deelende door sijn svvaerheyts middelpunt. Verclaring. Als eenich plat snyende den Cloot der 4 bepaling door sijn middelpunt D, wort des selfden Swaerheyts middelplat gheseyt, ende alsoo met allen anderen. Sijn eyghenschap is t'lichaem alsins te deelen in twee evestaltwichtige stucken. 7 Bepaling. Alle rechte lini begrepen tusschen tvvee hanghende svvaerheyts middellinien, noemen vvy dier svvaerheden Balck. Verclaring. Laet A ende B twee lichamen wesen, ende haer hangende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} swaerheyts middellinien C D ende E F, tusschen de welcke ghetrocken sijn, eenighe linien soot valt als G H, A B, I K, yder van dien, ende alle ander soo begrepen tusschen twee hanghende swaerheyts middellinien, noemen wy den Balck der swaerheden A B, alsoo lijckspreucklick ghescyt na den eyghen balck des waeghs. 8 Bepaling. Wesende den Balck ghedeelt met de hangende svvaerheyts middellini daer de tvvee svvaerheden evestaltvvichtich an sijn, vvy noemen de deelen Ermen. {==8==} {>>pagina-aanduiding<<} Verclaring. Laet A B twee lichamen wesen, diens balcksy C D, welcke {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ghedeelt is in E, met de hanghende swaerheydts middellini F G, daer de twee swaerheden evestaltwichtich an hangen; de twee deelen des balcx als E C ende E D worden Ermen ghenoemt. 9 Bepaling. Ende die hanghende svvaerheyts middellini der tvvee svvaerheden, heeten vvy Handthaef. Verclaring. Als F E, der 8 bepaling wort Hanthaef ghenoemt. 10 Bepaling. Ende des Hanthaefs puntinden balck, Vastpunt. Verclaring. Als E, der 8 bepaling wort Vastpunt gheseyt. 11 Bepaling. Ende die tvve svvaerheden noemen vvy Evestaltvvichtighe. Verclaring. Als A ende B, inde form der 8 bepaling, t'sy haer eyghenwichten even ofte oneven sijn, wy noemen die Evestaltwichtighe, overmidts sy naer de gestalt evewichtich sijn, want A doet anden balckPer Hypothesin. door t'ghestelde soo grooten ghewelt als B, ende B als A. Dese Evestaltwichticheyt dient nootsaeckelick verstaen, ende onderscheyden vande Eveneyghewichticheyt, anghesien dit al wat anders is als dat, want om by voorbeelt daer af te spreken, t'ghewicht ande cortste sijde des onsels hanghende, is somtijts thienmael swaerder als t'ander, nochtans hebben sy een ghelaet van evewichticheyt, maer ten is niet eyghen, dan alleenlick na de ghestalt. 12 Bepaling. Hefvvicht is t'ghene oirsaeck is van eens svvaerheydts verheffing, ende Daelvvicht van eens svvaerheyts daling. {==9==} {>>pagina-aanduiding<<} Verclaring. Laet den pylaer A, een {== afbeelding 1 Form.==} {>>afbeelding<<} {== afbeelding 2 Form.==} {>>afbeelding<<} {== afbeelding 3 Form.==} {>>afbeelding<<} {== afbeelding 4 Form.==} {>>afbeelding<<} swaerheyt wesen, diens lini daer sy alsoo by ghehouden wort sy B C, ende t'punt daer sy op rust D, ende E, sy t'ghewicht dat t'lichaem A in die ghestalt houdt. Wy noemen E der eerste ende tweede Form Hefwicht, overmidts t'selve wicht, het lichaem A verheft, oft in die verheven ghestalt hout. Maer E der derde ende vierde Form, Daelwicht, om dattet het lichaem an sijn ghehechte sijde B doet dalen, ofte in die ghedaelde gestalt hout. 13 Bepaling. En de rechte lini vande verheven svvaerheyt na t'hefvvicht, begrepen tusschen een svvaerheyts middellijn deur t'vastpunt en haer evevvijdege, noemen vvy heflini: Maer vande ghedaelde svvaerheyt na het daelvvicht, oock begrepen tusschen een svvaerheyts middellijn deur t'vastpunt en haer evevvijdeghe, daellijn. Als de rechte lini C B der 12 bepaling, begrepen tusschen een swaerheyts middellijn die deur t'vastpunt gaet als D B en een evewijdeghe mette selve B D noemen wy inde 1 en 2 form heflini, maer inde 3 en 4 form daellini. 14 Bepaling. Ende als de Heflini ofte daellini rechthouckich is op denHorizon. Sichteinder, so noemen vvy die Rechtheflini, Rechtdaellini, ende hare ghevvichten Rechthefvvicht, Rechtdaelvvicht: Maer op den Sichteinder scheefhouckich vvesende, alsdan Scheefheflini, Scheefdaellini, ende hare ghevvichten Scheefhefvvicht, Scheefdaelvvicht. Verclaring. Als de Heflini en̄ Daellini C B der 1 en̄ 3 form vande 12 bepaling, om dat syPer Hypethesin. door t'gestelde rechthouckich sijn op dē sichteinder, wy noemē die Rechtheflini, en dese Rechtdaellini, en̄ haer gewichtē E Rechthefwicht, Rechtdaelwicht: {==10==} {>>pagina-aanduiding<<} Maer wesende de Heflini ofte Daellini C B, scheefhouckich op den sichteinder, als inde 2 ende 4 form, dan heeten wy die Scheef heflini, ende dese Scheefdaellini, ende haer ghewichten E Scheefhefwicht, Scheefdaelwicht. Merck. De form vanden WeeghconstigenColumna. Pylaer, is de selve derGeometriae. Meetconst, maer wy nemen hier sijn stof eenvaerdigher swaerheyt te wesen, ende sijn grondt ende decksel viercanten. Wat de ghemeene constwoorden belangt int Latijn aldus ghebruyct. Materia} {Stof Forma} {Form Effectus} {Daet Subiectum} {Grondt Adiunctum} {Ancleving Genus} {Gheslacht Species} {Afcomst Definitie} {Bepaling Propositio} {Voorstel Problema} {Werckstick Theorema} {Vertooch Ratio} {Reden Proportio} {Everedenheyt AEquales} {Even Similes} {Ghelijcke Exemplum} Daer voor sullen wy soodanige Duytsche stellen {Voorbeelt Centrum gravitatis} {Swaerheyts middelpunt Axis} {As Diameter} {Middellini Circumferentia} {Omtreck Parallelae} {Evewijdeghe Homologa latera} {Lijckstandighe sijden Superficies} {Vlack Planum} {Plat Columna} {Pylaer Arithmetica,} {Telconst Geometria} {Meetconst Ars Mathematica} {Wisconst Mathematicus} {Wisconstnaer Mathematicè} {Wisconstlick. Welcke Latijnsche met eenighe ander dieder by meughen vallen wy tot meerder claerheyt, somwijlen inden cant sullen schrijven neven haer duytsche: Dese drie letteren v.b.E. altemet inde cant gestelt beteeckenen om cortheyt, voorstel, bouck, Euclides, als 2 v.6.b.E. dat is te segghen het 2 voorstel des 6 boucx van Euclides. {==11==} {>>pagina-aanduiding<<} Begheerten. Angesien sommige saken als beginselen door gemeene wetenschap bekent sijn, ende gheen bewijs en behouven; Ander bedectelicker den berispers tot stof souden dienen, om te straffen t'ghene gheen straf en verdient, wy sullen naerMathematicorum more. Wisconstnaers ghebruyck, eer wy tot de voorstellen commen, begheeren dat ons alsulcke toeghelaten worden. 1 Begheerte. Wy begheeren datmen toelate even ghevvichten an even ermen oock evestaltvvichtich te sijne. 2 Begheerte. Ende andeMathematica. vvisconstige lini alle ghevvicht te connen hangen ofte daer op te connen rusten, sonder dat sy breke ofte buyghe. 3 Begheerte. Ende de svvaerheyt hoogher ofte leeger {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} hangende, altijt van een selfde ghevvicht te blijven. Verclaring. Als de swaerheyt A neerghetrocken sijnde tot B, aldaer even so swaer te wesen, ofte sulcken macht an C D te doen, als sy ter plaets van A dede. 4 Begheerte. Ende datmen by des pylaers beschreven plat t'vvelck hem door de langde des as deelt, verstaen sal den voorghestelden pylaer. Als wesende A B een pylaer diens as C D, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} de selve doorsneen met eenich plat als E F G H, datmen door t'beschreven plat E F G H, al de rest achterghelaten, verstaen sal den ghegheven pylaer. 5 Begheerte. Ende allePerpendiculares. hanghende linien voorParallelis. evevvijdighe ghehouden te vvorden. {==12==} {>>pagina-aanduiding<<} Verclaring. De reden is dese; Laet A B C D den eertscloot sijn, wiens middelpunt E, endeHorizon. sichteinder A C, ende F G een balck, evewijdich vanden sichteinder A C, diens balcx even ermen H F, H G, ende even swaerheden daer an I, K; alwaer het blijckt, dat de hanghende linien F I, ende G K, gheen evewijdighe en sijn, maer onder naerder malcander dan boven; Laet {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} daer na den balck F G ghekeert worden op t'vastpunt H, alsoo dat G comme daer nu Lis, ende F daer M, ende K sal commen daer nu N, ende daer nu O is, ende den houck L M E is naerder dē rechthouck dan M L E, waer deur O (als in het volgende 24 voorstel blijcken sal) naer de ghestalt swaerder is dan N. Uyt desen volght oock dat onder alle lichamelicke formen die inde natuer bestaen, soo en isser gheen ander,Mathematicè. Wisconstelick sprekende, dan den cloot, an wiens swaerheyts middelpunt het lichaem door ons ghedacht hanghende, alle ghestalt houdt diemen hem gheeft; Ofte door t'welck alle plat, t'lichaem deelt in evestaltwichtighe deelen, maer om de oneyndelicke verscheyden ghestalten, sullender oneyndelicke verscheyden swaerheyts middelpunten in sijn. Oock en soude (teghen t'volghende 1 voorstel) de swaerste swaerheyt niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, maer d'eene soude naer de ghestalt swaerder sijn, om dat haer houck plomper ende den rechthouck naerder is dan des anders houck. Maer om t'selve by voorbeelt te verclaren, laet A B den cortsten erm sijn, diens ghewicht C, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende A D den langsten erm, diens gewicht E in sulcken reden sy tot t'ghewicht C, als A B tot A D, ende F sy t'swerelts middelpunt; Alwaer blijckt dat den houck F B A plomper ende den rechthouck naerder is, dan den houck A D F, waer uyt volght (door t'voornoemde 24 voorstel) dat C naer de ghestalt swaerder sal sijn dan E. Alle dese onghevallen spruyten daer uyt, dat F E met G E in d'eerste form, ofte B F met D F der tweede form, gheen evewijdighe linien en sijn: Maer overmidts dat verschil in alle t'gene de menschen weghen, onbemerckelick is, want den balck soude al veel mijlen lanck moeten sijn eer hem dat can openbaren, soo begheeren wy datse voor evewijdighe ghehouden worden. Wel is waer dat wy die ansiende voor t'ghene sy sijn, volcommelick souden connen wercken na heurlieder ghedaente, maer want dat moeyelicker soude wesen, ende tot de saeck, dat is dePraxis. Weeghdaet nochtans niet voorderlicker, so ist beter ghelaten. {==13==} {>>pagina-aanduiding<<} Het ander deel vande voorstellen. 1 Vertooch. 1 Voorstel.Theorema. Propositio. Wesende tvvee evestaltvvichtighe svvaerheden, de svvaerste heeft sulcken reden tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een pylaer sijn weghendeDatum. 6 ℔. welcke ghedeelt sy in 6 even deelen, doorPlana parallela. platten evewijdich van sijn grondt A D, als E F, G H, I K, L M, N O, snyende den as P Q in R, S, T, V, X: Laet ons nu nemen L M D A voor de swaerste swaerheyt, wiens swaerheyts middelpunt is S, ende L M C B voor de lichste swaerheydt, wiens swaerheydts middelpunt is X, ende S X is {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dier deelen balck door de 7 bepaling, ende T is t'swaerheydts middelpunt des heelen pylaers, ende T I d'hanthaef, waer an L M D A ende L M C B evestaltwichtich hanghen, ende T X is den langsten erm, ende T S den cortsten door de 8 bepaling. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen Quaesitum. dat ghelijck de swaerste swaerheydt L M D A, tot de lichtste L M C B, alsoo den langsten erm T X, tot den cortsten T S. Tbewys.Demonstratio. De swaerste swaerheyt L M D A weeght 4 ℔, ende de lichtste L M C B 2 ℔, ende den langsten erm T X heeft sulcken reden tot de cortste T S, ghelijck 2 tot 1 door t'ghegheven: Maer ghelijck 4 tot 2, also 2 tot 1, ghelijck dan de swaerste swaerheyt L M D A, tot de lichtste L M C B, alsoo den langsten erm T X, tot den cortsten T S. Maer op datmen niet en dencke dit daer alsoo by ghevalle gheschiet te sijne, wy sullenderMathematicam demonstrationem. Wisconstich bewijs af doen aldus: 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D wederom een pylaer sijn, ghedeelt met een plat evewijdich van A D, als E F, snyende den as G H, waert sy in I, ende het swaerheyts middelpunt van het deel E F D A sy K, int middel van G I, ende van het deel E F C B, sy L int middel van I H, ende des heels A B C D sy M int middel van G H, ende M N sal der deelen E F D A ende E F C B hanthaef sijn, daer an sy evestaltwichtich hanghen. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck het lichaem ofte de swaerheydt (t'welck hier een selfde is om haer {==14==} {>>pagina-aanduiding<<} everedenheydt, want ghelijck t'lichaem {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} E F D A, tot t'lichaem E F C B, also diens swaerheydt tot desens, overmidts den pylaer1 Ghestalt. door t'ghestelde overal eenvaerdiger swaerheydt is) van E F D A, tot E F C B, alsoo den langsten erm M L, tot den cortsten M K. Tbewys. 1 Lidt. M H is even an M G door t'ghegheven, laet tot elck doen K M, soo sal dan K H even sijn an M G met K M; daer naer van d'eene getrocken G K, ende van d'ander K I (welcke G K ende K I even sijn door t'ghegheven) soo sal K M met K M even blijven an I H; Ende haer helften als K M ende I L sullen oock even sijn. 2 Lidt. Laet tot elck (te weten K M ende I L) doen M I, Ende M L sal even sijn an I K. 3 Lidt. Ghelijck G I tot haer helft K I, alsoo I H tot haer helft I L, ende doorAlternam proportionē. overanderde everedenheyt ghelijck G I tot I H, alsoo K I tot I L, maer K I is even an M L door het 2 lidt, ende I L an M K door het 1 lidt, daerom ghelijck G I tot I H, alsoo M L tot M K; Maer ghelijck G I tot I H, alsoo het lichaem ofte de swaerheyt E F D A, tot E F C B. Ghelijck dan de swaertste swaerheyt E F D A, tot de lichtste E F C B, also den langsten erm M L, tot den cortsten M K. NV mocht yemant segghen, ghy hebt dat voorstel wel bewesen in deelen die t'samen een heel pylaer maken een vaerdigher swaerheyt, maer wie weet of dat alsoo plaets sal houden in allen anderen verscheyden deelen van ongeschicter form, ende oneveswaerder stof, daerom sullen wy de gemeenheyt des voorstels aldus bethoonen: Laet ons achten dat den balck K L der 1 ghestalt hier boven, in haer plaets blijve, ende dat het stick E F D A neerghetrocken wort, ende dat het blijve hangende met een lini uyt sijn swaerheyts middelpunt an t'punt K, ende dat insghelijcx oock neerghetrocken {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sy het ander stick E F C B, ende dat het blijve hanghende by sijn swaerheyts middelpunt an t'punt L, ende dat E F C B niet en ghenake an E F D A, ende haer gestalt sy dan soo dees form uytwijst. Nu doen het lichaem in d'eerste gestalt hinck ande hanthaef M N, alsdoen was E F D A evestaltwichtich met E F C B; Maer t'ghewicht E F D A in dees tweede ghestalt2 Ghestalt. neerghetrocken sijnde, en brengt an K L gheen meerder noch minder swaerheydt dan in d'eerste ghestalt door de 3 begeerte. S'ghelijcx en brengt t'ghewicht E F C B {==15==} {>>pagina-aanduiding<<} der tweede ghestalt, an L K gheen meerder swaerheyt dan in d'eerste ghestalt, waer door de ghewichten der tweede gestalt an K L de selfde sijn die sy in d'eerste waren, daerom oock de balck K L blijft noch inde selve eerste ghestalt, waer door E F D A noch evestaltwichtich blijft met E F C B. De sticken dan des pylaers blijven so wel evestaltwichtich verscheyden, als doen sy an malcanderen waren, ende de ermen oock inde selve reden. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Dit soo sijnde, laet ons de lichamen E F D A ende E F C B der tweede ghestalt ander formen gheven, die alsoo duwende (neemt dat de stof sy van was, cleye, ofte yet soodanich t'welck sulcx lijde) dat E F D A der tweede ghestalt, sy E F D A3 Ghestalt. deser derde ghestalt, ende dat E F C B der tweede ghestalt, sy E F C B deser derde ghestalt; Ende is openbaer dat K L noch in haer selve ghestalt sal blijven, ende de ermen M L, M K, inde selve reden, ende vervolgens E F D A noch evestaltwichtich met E F C B, want dees verandering der form (al de stofblijvende) en veroirsaeckt gheen verandering des ghewichts. Laet ons ten laetsten weeren E F D A der derde ghestalt ende hanghen in diens plaets een lichaem van loot des selfden ghewichts, ende inde plaets van E F C B een houten lichaem des selven ghewichts, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} wiens vierde gestalt alsdan sy als hier nevens. Ende is kennelick dat K L noch inde selve gestalt sal blijven, ende vervolgens E F D A noch evestaltwichtich4 Ghestalt. met E F C B, ende de ermen noch inde selve reden. 3. Voorbeelt. Men can t'voorgaende oock bethoonen, blijvende twee swaerheden hanghende an eenen lichamelicken balck, in deser voughen: Laet den pylaer A B C D ghesneen sijn in twee deelen, met een plat door den as E F, ende den as des ondersten {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} deels E C sy G H, ende E C sy doorsneen met een plat I K evewijdich vanden gront E D, snyende den as G H in L, ende het swaerheydts middelpunt van het deel I K D E sy M int middel van G L, ende van het deel I K C F sy N int middel van L H, en̄ des heels A B C D sy O int middel van E F, ende O P sy swaerheyts middellini des heels A B C D, ende M Q van I K D E, ende N R van I K C F. Dit soo sijnde tis kennelick dat des heels pylaers rechter sijde, evewichtich is teghen haer slincker. Laet ons nu het onderste deel E F C D neertrecken, alsoo dat het blijve hanghende ande linien M Q ende N R, als hier nevens. Ende is openbaer dat den lichamelicken balck A B F E noch in haer eerste ghestalt sal blijven. Laet ons {==16==} {>>pagina-aanduiding<<} nu achten dat het deel I K D E, ghesneen sy {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van I K C F, ende dat elck deel vallen mach daert wil, maer sy hanghen an haer swaerheydts middelpunten M, N, sy houden dan haer eerste ghegheven gestalt door de 4 bepaling, daerom A B F E blijft oock noch in sijn eerste gedaente. Maer I K D E, sulcken reden te hebben tot I K C F, als den erm O R, tot den erm O Q, is vooren beproeft; Inder voughen dat t'ghene eerst betoocht was anden weeghconstighen balck (dat is een lini) sulcx hebben wy hier ververclaert an een lichamelicken. Tbeslvyt. Wesende dan twee evestaltwichtigeConclusio, swaerheden, de swaerste heeft sulcken reden tot de lichtste (van wat stof ofte form oock de lichamen sijn) als den langsten erm tot den cortsten, t'welck wy bewijsen moesten. Vervolgh. uyt het verkeerde des voorgaenden voorstels volght, dat hebbende de swaerste swaerheyt sulcken reden tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, dat die twee swaerheden evestaltwichtich sijn. 1 Werckstick. 2 Voorstel.Problema. Wesende ghegheven bekende svvaerheden, haer hanthaef te vinden. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet d'een swaerheyt A sijn weghende 3 ℔, hanghende an C, d'ander B van 1 ℔ hanghende an D, ende C D sy balck. Tbegheerde. Wy moeten haer hanthaef vinden. Twerck. Men sal C D alsoo deelen, dat haer meeste stick naest de {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} hanghende swaerheytds middellini van de minste swaerheydt, sulcken reden hebbe tot het minste stick, ghelijck de meeste swaerheyt tot de minste, t'welck sy in E, te weten dat E D sulcken reden hebbe tot E C, als 3 ℔ van A, tot 1 ℔ van B. Ick seg dat de hangende door E, als E F, d'hanthaef is. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet d'een swaerheyt sijn den pylaer A B C D weghende 6 ℔, ghedeelt als den pylaer int begin des eersten voorstels; En̄ an Q hanghe een ghewicht Y van 12 ℔. Tbegheerde. Wy moeten d'handthaef vinden. {==17==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. De hangende swaerheyts middellini des pylaers is I T, en̄ vā t'gewicht Y is B Q, en̄ T Q is balck, de selve salmen in tween {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 12 ℔ van Y, tot 6 ℔ vanden pylaer, welverstaende t'cortste stick naer de hangende swaerheyts middellini vande swaerste swaerheyt Y, t'welck vallen sal in X, indervoughen dat N X de begheerde hanthaef is. 3 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D wederom den pylaer sijn, gedeelt als vooren, hanghende nu Y 6 ℔ an X. Tbegheerde. Wy moeten d'hanthaef {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} vinden. Twerck. De hangende swaerheyts middellini des pylaers is I T, ende van Y is N X, ende T X is balck: de selve salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 6 ℔ van Y, tot 6 ℔ des pylaers, t'welck vallen sal in V, inder voughen dat V L de begheerde hanthaef sijn sal. Tvoornoemde werck op een ander manier. DE hanghende swaerheydts middellini van M L B C Y, is N X, ende van M L A D is S G, ende S X is balck, de selve salmen in tween deelen, also dat de stucken de reden hebben als 8 ℔ van M L B C Y, tot 4 ℔ van M L A D: welverstaende t'cortste stick naer de hanghende swaerheyts middellini van t'swaerste deel, t'welck vallen sal in V, inder voughen dat V L wederom de begheerde handthaef sijn sal als vooren. 4 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D wederom den pylaer sijn, ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 ℔ an X, ende Z 24 ℔ an R. Tbegheerde. Wymoeten d'hanthaef vinden. Twerck. De hanghende swaerheydts middellini van A B C D Y, is L V door het {==18==} {>>pagina-aanduiding<<} 3 voorbeelt, ende van Z is R E, daerom is {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} R V balck; de selve salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 12 ℔ van A B C D Y, tot 24 ℔ van Z: welverstaende t'cortste stick naer de hanghende swaerheyts middellini van t'swaerste deel, t'welck vallen sal in S, inder voughen dat S G de begheerde handthaef sijn sal. Tvoornoemde werck op een ander manier. DE hanghende swaerheydts middellini van A B C D Z is AE W door het 3 voorbeelt, alsoo dat S AE doet ⅗ van S R, ende de hanghende swaerheyts middellini van Y is X N, ende AE X is balck, de selve salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 30 ℔ van A B C D Z, tot 6 ℔ van Y: welverstaende t'cortste stick naer de hanghende swaerheyts middellini van t'swaerste deel, t'welck vallen sal in S, inder voughen dat S G wederom de begheerde handthaef is als vooren. Tvoornoemde werck op een ander manier. DE hanghende swaerheyts middellini van Y Z, is (door het eerste voorbeelt) Φ Δ, alsoo dat S Φ doet ⅕ van S R, ende de hanghende swaerheyts middellini vande pylaer T I, ende T Φ is balck: de selve salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 30 ℔ van Y met Z, tot 6 ℔ vande pylaer, te weten t'cortste stick naer de hangende swaerheyts middellini van t'swaerste deel, t'welck vallen sal in S, inder voughen dat S G wederom de begheerde hanthaef is als vooren. 5 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D wederom den pylaer sijn ghedeelt als vooren, hanghende Y 6 ℔ an X, ende Z 24 ℔ an R, ende AE 12 ℔ an Q. Tbegheerde. Wy moeten d'hanthaef vinden. Twerck. De hangende swaerheyts middellini van A B C D Y Z is S G door het 4 voorbeelt, ende van AE is Q B, ende S Q is balck:de selve salmen in tween deelen, alsoo dat de sticken de reden hebben als 36 ℔ vanden pylaer met Y ende Z, tot 12 ℔ van AE, te weten t'cortste stick naer de hanghende swaerheydts middellini van t'swaerste deel, t'welck vallen sal in T, inder voughen dat T I de begheerde hanthaef sal sijn. Ende soomen noch hinghe an P 24 ℔, d'hanthaef soude S G sijn, ende soo voorts met allen anderen swaerheden diemen anden pylaer soude meughen hanghen. {==19==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. De swaerste swaerheyt A int eerste voorbeelt, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} heeft sulcken reden tot de lichtste B, als den langsten erm E D, tot den cortsten E C, daerom E F door de 9 bepaling is d'hanthaef. S'ghelijcx sal oock t'bewijs sijn van al d'ander voorbeelden, t'welck wy om de cortheyt achterlaten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven bekende swaerheden, wy hebben haer handthaef ghevonden naer den eysch. Merckt. Soomen t'ghewicht Y des 2 voorbeelts verswaerde van 1 ℔, ende datmen an V hinge 1 ℔, inder vougen dat haer ghestalt dan waer als hier onder, Tis kennelick uyt het voorgaende dat X N noch handthaef blijft, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} alles an haer evest altwichtich hangt. T'selve sal X N oock blijven, soomen Z 1 ℔ hangt an T, ende dat Y doe 14 ℔, ofte Z 1 ℔ an S, ende dat Y doe 15 ℔, ofte Z 1 ℔ an R, ende dat Y doe 16 ℔, ofte Z 1 ℔ an P, ende dat Y doe 17 ℔, ende soo oir dentlick voort by aldien den pylaer langher waer; te weten, verswarende Y altijt van 1 ℔, voor elcke langde als XV, daermen Z voorder an verschuyft. Waer uyt deQualitates. Ghedaenten des Onsels bekent sijn, als inde Weeghdaet breeder daer af sal ghehandelt worden. 2 Werckstick 3 Voorstel. Wesende ghegeven tvvee evestaltvvichtighe svvaerheden, d'een bekent d'ander onbekent, ende d'hanthaef: Die onbekende bekent te maken. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A ende B twee evestaltwichtighe {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} swaerheden sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 ℔, maer B hangende an D is onbekent, ende E F sy d'hanthaef, Tbegheerde. Wy moeten t'ghewicht van B bekent maken. Twerck. Men sal ondersoucken wat reden den erm E D heeft, tot den erm E C, wort bevonden, neem ick, als van 3 tot 1, daer om segh ick, E D 3, gheeft E C 1, wat A 3 ℔? comt voor B 1 ℔. {==20==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet inde form des 2 voorbeelts van het 2 voorstel den pylaer A B C D voor d'een swaerheyt weghen 6 ℔, ende d'ander onbekende swaerheyt sy t'ghewicht daer an hanghende Y, ende d'hanthaef sy X N. Tbegheerde. Wy moeten t'ghewicht van Y bekent maken. Twerck. Anghesien T I hanghende swaerheyts middellini is des pylaers, ende Q B, van Y, soo sal T Q balck sijn, diens cortsten erm X Q, ende langsten X T; Daerom salmen ondersoucken wat reden den erm X Q, heeft tot X T, wort bevondē neem ick, als van 1 tot 2. Ick segh dan, X Q 1, geeft X T 2, wat den pylaer 6 ℔? comt voor Y 12 ℔. Der gelijcke voorbeelden mochten wy hier stellen op d'ander formen der voorbeelden des 2 voorstels, ten waer die door de voorgaende kennelick ghenouch sijn. Tbewys. Laet B int eerste voorbeelt, soot meughelick waer, swaerder sijn dan 1 ℔, de swaerste swaerheyt dan en sal niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten; t'welck teghen het 1 voorstel is; B dan en is niet swaerder dan 1 ℔. S'ghelijcx salmen oock bethoonen dat sy niet lichter en is, sy weeght dan effen 1 ℔, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee evestaltwichtige swaerheden, d'een bekent d'ander onbekent, ende d'hanthaef: Wy hebben die onbekende bekent ghemaeckt, naer den eysch. 3 Werckstick 4 Voorstel. Wesende ghegheven tvvee bekende evestaltvvichtighe svvaerheden met de langde van d'eenen erm: De langde des anderen erms te vinden. Tghegheven. Laet A ende B twee evestaltwichtighe swaerheden sijn, welcker A hanghende an C weeght 3 ℔, ende B hanghende an D 1 ℔, ende de langde des erms D E sy 6 voeten. Tbegheerde. Wy moeten de langde des anderen erms vinden. Twerck. Men sal segghen A 3 ℔, gheeft B 1 ℔, wat D E 6 voeten? {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} comt voor E C 2 voeten. Ende derghelijcke voorbeelden mochten wy stellen op de formen der voorbeelden des 2 voorstels, ten waer die door t'voorgaende kennelick ghenouch sijn. Tbewys, Laet E C, soot meughelick waer, langher sijn dan 2 voeten; den langsten erm sal dan minder reden hebben tot den {==21==} {>>pagina-aanduiding<<} cortsten, dan de swaerste swaerheyt tot de lichtste, t'welck tegen het eerste voorstel is, E C dan en is niet langher dan 2 voeten; S'ghelijcx salmense oock bewijsen niet corter te sijn, sy is dan effen van twee voeten, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven twee evestaltwichtighe swaerheden met de langde van d'eenen erm, wy hebben de langde des anderen erms ghevonden, naer den eysch. 4 Werckstick. 5 Voorstel. Wesende ghegheven een pylaer: te vinden een gevvicht in ghestelde reden tot des pylaers ghevvicht. Tghegheven. Laet A B C D een pylaer wesen, diens as E F, ende haerCentrum middelpunt G, ende de ghestelde reden sy van 2 tot 3. Tbegheerde. Wy moeten een ghewicht vinden in sulcken reden tot den pylaer, als van 2 tot 3, dat is even an sijn ⅔. Merckt. Ghelijck deGeometricae & Arithmeticae propositiones. Meetconstighe ende Telconstighe voorstellen verscheyden werckinghen hebben, alsoo oock de Weeghconst, want men soude vanden pylaer een stuck connen snyen in sulcken reden {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} tot den heelen pylaer, als van 2 tot 3, Oft andersins om den pylaer heel te laten, men mocht hem teghen ander stof wegen, daer af nemende de ⅔, maer wy willent Weeghconstlicker doen in deser voughen. Twerck. Men sal van t'middelpunt G af, naer F, teeckenen eenighe vijf punten (te weten 5 voor de somme der ghegheven palen 2.3) als H, I, K, L, M, van malcanderen evewijt; Ende van het tweede punt I (van het tweede om dat 2 het ander der ghegheven getalen is) salmen den pylaer ophanghen by de hanghende swaerheydts middellini I N; Daer naer salmen an t'vijfde punt M een ghewicht hanghen als O, even so swaer dat alles in evestaltwichticheyt sy, t'welck so wesende, ick segh dat t'ghewicht van O, in sulcken reden is tot t'ghewicht des pylaers, als 2 tot 3, ofte dat O even is ande ⅔ des pylaers. Tbewys. G isCentrum gravitatis. swaerheyts middelpunt des pylaers A B C D, ende M P hanghende swaerheyts middellini van O, daerom ghelijck den erm I G tot den erm I M, alsoo O tot den pylaer door het 1 voorstel, maer I G heeft sulcken reden tot I M, als 2 tot 3, daerom O heeft sulcken reden tot den pylaer, als 2 tot 3, t'welck wy bewijsen moesten, Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een pylaer, wy hebben ghevonden een ghewicht in ghestelde reden tot des pylaers ghewicht, naer den eysch. {==22==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. Wy souden oock meughen voorbeelden stellen met Redenen vanIncommensurabilium terminorum. onmetelicke palen, maer sulcx is openbaer ghenouch door t'voorgaende, metsgaders t'ghene wy vande onmetelicke grootheden elders gheschreven hebben. 2 Vertooch. 6 Voorstel. Wesende een hanghende pylaer ghesneen door sijn svvaerheydts middelpunt, met een plat evevvijdich van den gront, ende vvesende t'vastpunt in dat plat boven het svvaerheyts middelpunt: Den as des pylaers blijft evevvijdich vandenHorizon. sichteinder. Tghegheven. Laet A B C D een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} pylaer sijn, ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt met een plat F G, evewijdich vanden grondt A D, ende laet H vastpunt inde hanghende swaerheyts middellini I G wesen, boven het swaerheyts middelpunt E, ende K L sy as, ende M N sichteinder. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat den as K L evewijdich blijft vanden sichteinder M N. Tbewys. Laet K L soot meughelick waer, onevewijdich sijn vanden sichteinder M N, als in dees tweede form, ende laet I H voortghetrocken worden tot in O, snyende A B in P, ende laet het stick des pylaers P O C B alsoo evewichtich blijven hanghen teghen P O D A, maer dat is grooter ende swaerder dan dit (want F G D A, is even an F G C B, ende minder is den driehouck F H I ghesneen van F G C B, als de driehouck O H G gesneen van F G D A, dacrom, &c.) het swaerder dan sal evewichtich sijn an een lichter {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} t'welck ongeschickt is, K L dan blijft evewijdich vanden sichteinder M N, als in d'eerste form. Tis oock te anmercken als voor gemeenen Weeghconstighen Reghel, dat Alle swaerheyts middelpunt eens hangenden lichaems is in sijn hanghende swaerheydts middellini. Maer t'swaerheyts middelpunt hier boven E en is inde tweede form niet in sijn hanghende swaerheyts middellini I O, tis dan een onmeughelicke ghestalt. Tbeslvyt. Wesende dan een pylaer ghesneen, &c. {==23==} {>>pagina-aanduiding<<} 3 Vertooch. 7 Voorstel. Wesende t'vastpunt het svvaerheyts middelpunt des hanghenden pylaers, hy hout alle ghestalt diemen hem gheeft. Tghegheven. Laet A B C D een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} pylaer wesen, diens swaerheyts middelpunt E vast sy, daer by hanghende ande lini E F, ende den as G H sy evewijdich vandē sichteinder I K. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat den pylaer A B C D alle ghestalt hout diemen hem gheeft. Tbewys. Laet ons den ghegheven pylaer (t'punt E vast blijvende) een ander ghestalt geven dan d'eerste, als in dees tweede form, ende laet F E voortghetrocken worden tot in L, snyende A B in M, ende en laet den pylaer soot meughelick waer niet in die ghestalt blijven, dan het stick M L D A, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ofte M L C B neervallen; Maer dees twee deelen sijn gelijc evegroot, en̄ daerom oock eveswaer, het eene dan van evewichtighe sal swaerder sijn dan t'ander, t'welck ongeschickt is: Den pylaer dan blijft in die ghestalt, ende sghelijcx in allen anderen diemen hem soude meughen gheven. Tbeslvyt. Wesende dan t'vastpunt het swaerheyts middelpunt des pylaers, hy houdt alle ghestalt diemen hem gheeft, t'welck wy bewijsen moesten. 4 Vertooch. 8 Voorstel. Wesende den pylaer ghesneen door sijn svvaerheydts middelpunt, met een plat evevvijdich vanden gront, ende vvesende t'vastpunt in dat plat beneden het svvaerheyts middelpunt: Den pylaer (natuerlick verstaen) keert om tot dat sijn svvaerheyts middelpunt is in sijn hangende svvaerheyts middellini. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tgheghe ven. Laet A B C D een pylaer wesen, ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt E, met een * plat F G evewijdich vanden grondt A D, ende laet G vastpunt sijn, beneden t'swaerheyts middelpunt E, met welck punt G den pylaer light ofte rust op t'punt des pins H, ende I K sy as, evewijdich van- {==24==} {>>pagina-aanduiding<<} denHorizonte. sichteinder L M. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat den pylaer omkeeren sal, tot dat sijn swaerheyts middelpunt is in sijn hangende swaerheyts middellini: maer dit natuerlick verstaen, wantMathematicè. Wisconstelick ghenomen soo can hy daer op rusten. Tbewys. A.Al dat ligt moet grondt hebben daert opt rust, E.Dees pylaer en heeft gheen grondt daer hy op rust, E.Dees pylaer dan en can soo niet legghen. DesSyllogismi minor. Bewijsredens tweede voorstel is daer uyt openbaer, dat het punt gheen grootheyt en is, ende vervolghens gheen grondt: wel is waer dat wy dickmael nemen door t'ghestelde een lichaem also te rusten, maer metter daet en connen wy dat niet te weegh brenghen. Inder voughen dat hoe wel den as I K evewijdich ghestelt is vanden sichteinder L M, soo sal nochtans den pylaer (t'punt G vast blijvende)omkeeren over die sijde daer hy eerst begint. Maer dat hy so lang keeren sal tot dat sijn swaerheyts middelpunt inde hanghende swaerheyts middellini sy, is door het 6 voorstel openbaer. Tbeslvyt. Wesende dan den pylaer ghesneen, &c. 1 Merck. Yemant mocht hier noch de verclaring begheeren des verschils tusschen hanghen en ligghen, waer op d'antwoort is dat wy een lichaem voor hanghende houden, als sijn swaerheyts middelpunt is onder, oft in t'ghenaecksel daert opt rust; Maer t'swaerheyts middelpunt daer boven sijnde, alsdan houden wijt voor ligghen, staen, oft sitten; Ligghen, als de langste sijde des lichaems haer streckt langs den sichteinder: Staen, als sy daer op rechthouckich is; daerom ist oock dat wy den teerlinck (overmidts sijn sijden al even lanck sijn) soo eyghentlick segghen te staen als te ligghen, ende te liggen als te staen. Sitten is wat tusschen ligghen en staen. 2 Merck. Soo ymant t'inhout der voorgaende drie voorstellen door eenighe ervaring wilde sien, hy mocht nemen een reghel van houdt ofte ander stof eenvaerdigher dickte ende swaerheyt, als A B C D, teeckenende de punt eu E, F, G, H, inde middelen der linien A B, B C, C D, D A, treckende E G, ende H F, malcander snyende in I, maeckende daer naer een seer cleen gaetken an I, ende daer boven een gaetken als K, ende onder I een gaetken als L. Ende stekende een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} naelde door t'gaetken K, die vryelick daer in drayen mach, d'ervaringh sal bethoonen dat H F altijt evewijdich sal blijven vanden sichteinder. Maer de naelde in I stekende, de reghel sal daer op alle ghestalt houden diemen haer gheeft. Ende de naelde in L ghesteken, alles sal omkeeren over die sijde daert eerst begint, tot dat I is in haer swaerheydts middellini, waer af d'oirsaeck inde voornoemde 6, 7, 8, voorstellenMathematicè. Wisconstlick blijckt. {==25==} {>>pagina-aanduiding<<} 5 Vertooch. 9 Voorstel. D'hanthaef oneyndelick voortghetrocken, deelt alle balcken tvveer svvaerheden in haer ermen. Tghegheven. Laet A B twee swaerheden sijn ende haer middellinien C D, E F, ende haer balck C E, ende d'hanthaef G H, inder voughen dat C G is tot G E, als de swaerheyts B tot A, Laet I K noch een balck wesen, onevewijdich van C E, ende laet G H oneyndelick voortghetrocken worden naer L, snyende den balck I K in M. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat I M, ende M K, oock de ermen sijn der swaerheden A B; dat is ghelijck B tot A, alsoo M I tot M K. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden C N, evewijdich {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van I K, snyende H L in O. Tbewys. Ghelijck C G tot G E, alsoo C O tot O N, Maer C O is even an I M, ende O N an M K, daerom ghelijck C G2. v. 6. b.E. 34. v.t.b.E. tot G E, alsoo I M tot M K, maer ghelijck B tot A, alsoo C G tot G E, door t'ghegheven, daerom ghelijck B tot A, alsoo M I tot M K, t'selfde sal alsoo bewesen worden van allen balcken tusschen C D ende E F, als P Q, doorsneen in R, ende allen anderen diemen soude meughen trecken. Tbeslvyt. D'hanthaef dan oneyndelick voortghetrocken, deelt alle balcken tweer swaerheden in haer ermen, t'welck wy bewijsen moesten. 1 Vervolgh. Hier uyt blijckt datmen om te vinden de hanghende swaerheyts middellini tweer swaerheden, niet nootsakelick en moet nemen eenParallela evewijdige vandenHorizonte. sichteinder, maer alsulcke alsmen wil, ende als best te pas comt. 2 Vervolgh. Anghesien alle swaerheyts middelpunt inde hanghende swaerheyts middellini is, soo volght dat alle rechte lini begrepen tusschen twee swaerheyts middelpunten, oock dier swaerheden balck is, ende het onderscheyt der ermen diens balçx, oock het swaerheyts middelpunt te wesen der twee swaerheden. 5 Werckstick 10 Voorstel. Wesende ghegeven een vastpunt des bekenden pylaers, ende bekende evestaltvvichtige svvaerheden an hem hanghende: Te vinden of den as evevvydich sal blijven vandenHorizonte. sichteinder, ofte alle ghestalt houden diemen hem gheeft, ofte omkeeren tot dat sijn svvaerheydts middelpunt is in sijn hanghende svvaerheyts middellini. {==26==} {>>pagina-aanduiding<<} Tghegheven. Laet A B C D een pylaer sijn weghende 4 ℔, ende ghesneen door sijn swaerheyts middelpunt E, met een plat F G evewijdich vanden grondt A D, ende laet H vastpunt wesen beneden t'middelpunt E int middel {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van E G; Ende anden pylaer twee ghewichten hanghen als I, K, elck wegende 4 ℔, welcker middellinien vastpunten sijn D, C, ende laet L M den as, ende N O sichteinder wesen. Tbegheerde. Wy moeten vinden of den as L M evewijdich sal connen blijven vanden sichteinder N O; ofte alle ghestalt houden diemen haer gheeft; Ofte ommekeeren tot dat haer swaerheyts middelpunt E is inde hanghende swaerheydts middellini door H, welcke verscheydenheden vallen connen naer de reden der swaerheyt des pylaers, tot de ghewichten dieder anhanghen. Twerck. Men sal trecken door E de hanghende swaerheyts middellini P Q des pylaers, daer naer door G de hanghende swaerheyts middellini R S der ghewichten I, K, ende E G sal balck sijn, daer naer salmen sien door het 2 voorstel waer t'vastpunt der hanthaef valt: want commet onder H, soo keert L M tot sy evewijdich blijft vanden sichteinder N O; Maer commet in H, sy houdt alle ghestalt die men haer geeft; Commet boven H, alles keert om. Maer den pylaer weeght 4 ℔, ende I, K, elck 4 ℔ t'samen 8 ℔ door t'ghegheven, daerom ghedeelt E G in T, alsoo dat E T, sulcken reden heb tot T G, als 8 tot 4: Ick segh dat L M keeren sal (overmidts T onder H comt) tot sy evewijdich is vanden sichteinder. Laet nu den pylaer weghen 4 ℔, ende I en K elck 2 ℔, t'samen 4 ℔, daerom ghedeelt E G in H (welcke H t'middel van E G is door t'ghegheven) alsoo dat E H sulcken reden heb tot H G, als 4 tot 4: Ick segh dat L M (overmidts het in H viel) alle ghestalt sal houden diemen haer gheeft. Laet nu den pylaer weghen 4 ℔, ende I, K, elck 1 ℔, t'samen 2 ℔, daerom ghedeelt E G in V, alsoo dat E V sulcken reden hebbe tot V G, als 2 tot 4, Ick segh dat den pylaer met al de rest omkeeren sal (overmits V boven H comt) tot dat H is in haer hanghende swaerheyts middellini. Tbewys. Ten eersten I en K elck 4 ℔ weghende, dat dan L M keert tot sy evewijdich is vanden sichteinder, blijft aldus: De hanghende door T ghelijck T X, is hanghende swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende t'gheheel ande * hanghende door H, als H Y (welcke H ons ghegheven vastpunt is) soo sal de sijde naer B C, K, swaerder sijn dan naer A D I, daerom oock {==27==} {>>pagina-aanduiding<<} sal de sijde B C K neerdalen, tot dat H inde hanghende swaerheyts middellini is des heels, ende dan sal L M evenwijdich sijn vanden sichteinder N O. Ten tweeden I, K, elck 2 ℔ weghende, dat dan L M alle ghestalt hout, wort aldus bethoont: Laet ons achtē dat I ende K opgeschorst sijn, also dat D t'swaerheyts middelpunt sy van I, ende C van K, ende door de 3 begheerte sy en sullen anden pylaer gheen oirsaeck van verandering der swaerheyt wesen; T'welck soo sijnde, H is t'swaerheyts middelpunt van soodanighen lichaem vergaert uyt den pylaer rnde de twee gewichten I K, ende door de 4 bepaling t'sal daer op alle gestalt houden diemen hem gheeft, t'selfde sal alsoo bewesen worden in alle ghestalten daermen L M in soudc connen stellen. Ten laetsten I, K, elck 1 ℔ weghende, dat dan alles omkeert, wort aldus bethoont: De hanghende door V ghelijck V Z, is hanghende swaerheyts middellini des heels, daerom die latende, ende hanghende t'gheheel ande hanghende H Y door H ghegheven vastpunt, soo sal de sijde naer A D I, swaerder sijn dan naer B C K, daerom oock sal de sijde A D I neerdalen, tot dat H inde hanghende swaerheyts middellini is des heels, ende ofmen schoon L M (alles op t'vastpunt H draeyende) evewijdich stelde vanden sichteinder N O, sy en can soo niet blijven door het 8 voorstel, maer alles sal omkeeren, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een vastpunt des bekenden pylaers, &c. Uyt het voorgaende is ghenouch blijckelick den ghemeenen voortganck in allen anderen, als van pylaren welcker vastpunt is buyten de lini als F G, ende der gewichten vastpunten op ander plaetsen dan D C; Maer overmidts wy hier voornamelick trachten de oirsaecken vande ghedaenten des waeghs grondelick te openbaren (daer af inde Weeghdaet bree der sal gheseyt worden) soo en geven wy van sulcke ongheschicte ghestaltheden gheen besonder voorbeelden. 6 Werckstick 2 Voorstel. Wesende ghegheven een bekende pylaer, ende bekende svvaerheden daer an hanghende: Te vinden het vastpunt daer op hy alle ghestalt houdt diemen hem gheeft. 1 Merck. Soo tweer evewichten als A, B, vast punten C, D, waren in des {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} pylaers as, evewijt van t'middelpunt E, als in dees form, t'is kennelick door het tweede deel des bewijs van het 10 voorstel, dat E t'begheerde punt soude sijn, maer wy sullen t'voorbeelt van on gheschickter ghestalt gheven. 2 Merck. Tis openbaer dat wesende de twee vastpunten der ghewichten als C D, ende t'vastpunt des hanthaefs als E, alle drie in een rechte lini als hier boven, ende an C D even ghewichten ghehanghen, soogroot ofte cleen alst valt: E sal altijt t'vastpunt blijven, daer sy alle ghestalt op houden diemen haer geeft. Maer so die drie punten als C E D in een rechte lini wesende C ende D niet evewijt en waren van E, ende datmen an haer ghewichten hingheProportionales. everednich met de ermen, dat E noch altijt t'vastpunt sal blijven daer sy alle ghestalt op houden diemen haer geeft. {==28==} {>>pagina-aanduiding<<} Tghegheven. Laet A B C D een pylaer sijn weghende 10 ℔, diens swaerheyts middelpunt E, ende laet de ghewichten daer an hanghende wesen F 1 ℔, diens vastpunt G, ende H 4 ℔, wiens vastpunt I. Tbegheerde. Wy moeten het vastpunt vinden daer op sy alle ghestalt houden diemen haer gheeft. Twerck. Men sal trecken G I balck der {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} gewichten F H, daer naer salmen vinden haer crmen door het 2 voorstel, dat is ghelijck F 1 ℔, tot H 4 ℔, alsoo den erm K I, tot K G, daer naer salmen trecken E K balck des pylaers ter eender, ende der ghewichten F H ter ander sijden, de selve E K ghedeelt in L, alsoo dat den erm E L sulcken reden hebbe tot L K, als 5 ℔van F H, tot 10 ℔ des pylaers, L sal t'begeerde punt sijn op t'welck sy alle ghestalt sullen houden diemen haer gheeft, waer af t'bewijs openbaer is door het 7 voorstel. 7 Werckstick. 12 Voorstel. Wesende ghegheven een bekende pylaer, met sijn vastpunt ende bekende ghevvichten daer an hanghende die den as evevvijdich houden vandenHorizonte. sichteinder: Te vinden een ghevvicht hanghende ter begheerder plaets des pylaers, dat den as in ghegheven ghestalt houde. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een pylaer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijn weghende 6 ℔, diens vastpunt E, ende hanthaef E F, ende twee ghewichten G, H, elck 3 ℔ weghende, welcker vastpunten C, D; ende I K, sy as, evewijdich vanden sichteinder L M, ende D sy t'punt voor de begheerde plaets. Daer naer wort den as I K (alles draeyende op E) verheven als inde tweede form. Tbegheerde. Wy moeten een ghewicht an D vinden, dat den as I K in die gestalt houde. {==29==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Men sal vinden door het 11 voorstel, t'vastpunt daer op den as alle ghestalt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} houde diemen haer gheeft t'welck N sy: Daer naer salmen trecken D N, ende dePerpendicularem. hanghende E O, snyende N D in O, daer naer salmen sien wat reden N O heeft tot O D, ick neme als van 1 tot 2, daerom hanghe ick an D een ghewicht P van 6 ℔, te weten in sulcken reden tot den pylaer met de twee ghewichten G, H, al t'samen 12 ℔, als van 1 tot 2; Ick segh P 6 ℔, te wesen het begheerde ghewicht. Tbewys. T'swaerste ghewicht 12 ℔ des erms O N, heeft sulcken reden tot het lichtste 6 ℔ des erms O D, ghelijck den langsten erm O D, tot den cortsten O N; Daerom hanghet al evestaltwichtich ande handthaef E F door het 1 voorstel. Ende vervolghens den as I K blijft in haer ghegeven ghestalt. 2 Voorbeelt. Laet A B C D een pylaer sijn weghende 6 ℔, diens vastpunt E, ende hanthaef E F, ende G een gewicht van 2 ℔, diens vastpunt H, ende I een gewicht van 1 ℔, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} diens vastpunt K, ende den as L M sy evewijdich vanden sichteinder N O, endeHorizonte. P sy een punt inden pylaer voor de begheerde plaets. Daer naer wert den as L N (alles draeyende op E) verheven, als inde tweede form. Tbegeerde. Wy moeten een ghewicht an P vinden, dat den as L M in die ghestalt houde. Twerck. Men sal vinden door het 11 voorstel t'vastpunt dat op t'ghegeven alle gestalt hout diemen hem gheeft, t'welck Q sy, daer naer salmen trecken P Q, ende dePerpendienlarem. hanghende E R, snyende P Q in R: siende daer naer wat reden R Q heeft tot R P, ick neem als van 1 tot 2, soo hang ick an P een gewicht S van 4½ ℔, te weten in sulcken reden tot den pylaer met de twee ghewichten G, I, al t'samen {==30==} {>>pagina-aanduiding<<} 9 ℔, als van 1 tot 2; Ick segh S 4½ ℔ te {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} wesen het begheerde ghewicht. Tbewys. T'swaerste ghewicht 9 ℔ des erms R Q, heeft sulcken reden tot het lichtste gewicht 4½ ℔ des erms R P, gelijck den langsten erm R P, tot den cortsten R Q, daerom hanghet al evestaltwichtich ande handthaef E F door het 1 voorstel, ende vervolghens den as L M blijft in haer ghegheven ghestalt, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een bekenden pylaer met sijn vastpunt, &c. 6 Vertooch. 13 Voorstel. Een daelvvicht ende een hefvvicht an hem even, doen met even houcken an even ermen even ghevvelden. 1 Voorbeelt met rechtvvichten. Tghegheven. Laet A des balcx B C vastpunt, ende A B met A C twee even ermen sijn, ende an B hanghe het rechtdaelwicht D, ende an C sy het rechthefwicht E, evewichtich an D, ende sijn balck sy F G, diens vastpunt H, ende even ermen H F, H G, ende den houck A B I, sy even anden houck A C F. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat het rechtdaelwicht D, ende t'rechthefwicht E, ande even ermen A B, A C, even ghewelden doen. Tbereytsel. Laet an C een ghewicht K hanghen, even an D. Tbewys. Laet ons weeren E, ende is blijckelick {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dat de macht van D is de ermen A B, A C, in die ghegheven ghestalt te houden, want D is even an K, ende A B an A C. Laet nu D weeren, ende E wederom anhanghen, ende de macht van E is oock de ermen A B, A C, in die ghegeven ghestalt te houden, want K is even an E, ende H F an H G, daerom E ende D, doen an even ermen A B, A C, even ghewelden. {==31==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorbeelt met scheefvvichten. Tghegheven. Laet A des hanthaefs vastpunt, ende A B met A C twee even ermen sijn, ende an B hanghe t'scheefdaelwicht D, diens scheefdaellini {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} B E, ende an C sy t'scheef hefwicht F, even an D, ende sijn scheefheflini sy C G, ende den houck A B E, sy even anden houck A C G. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat het scheefdaelwicht D, ende t'scheefhefwicht F, ande even armen A B, A C, even gewelden doen. Tbereytsel. Laet an C een scheefdaelwicht H hanghen even an D, diens scheefdaellini C I,Parallela. evewijdich sy van B E, ende C B sy wat voortghetrocken tot in K. Tbewys. Laet ons weeren F, ende is kennelick dat de macht van D teghen H, is de ermen A B, A C, in die ghegheven ghestalt te houden, want D is even an H, ende den erm A B, an A C, ende den houck A C I, anden houck K B E. Laet nu D weeren, ende F wederom anhanghen, ende de macht van F is oock de ermen A B, A C, in die ghegheven ghestalt te houden, overmits H even is an F. 3 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A des hanthaefs vastpunt, ende A B met A C twee even ermen sijn, ende an B hanghe het scheefdaelwicht D, diens scheefdaellini B F, ende an C sy het scheefhefwicht F, even an D, diens scheefheflini sy C G, ende den houck K C G, sy even anden houck K B E. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat het scheefdaelwicht D, ende het scheef hefwicht F, ande even ermen A B, A C, even ghewelden doen. Tbereytsel. Laet an C een scheefdaelwicht H hanghen even an D, diens scheefdaellini C I, alsoo dat den houck A C I, even sy anden houck A B E. Tbewys. Laet ons weeren F, ende is kennelick dat de {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} macht van D is de ermen A B, A C, in die ghegheven ghestalt te houden, want D is even an H, ende den erm A B an A C, en̄ den houck A C I, anden houck A B E. Laet nu D weeren, ende F wederom anhanghen, ende de macht van F is oock de ermen A B, A C, in die ghegheven ghestalt te houden, overmidts H even is an F. Tbeslvyt. Een daelwicht dan ende een hefwicht an hem even, doen met even houcken an even ermen even ghewelden, t'welck wy bewijsen moesten. {==32==} {>>pagina-aanduiding<<} 8 Werckstick. 14 Voorstel. Wesende ghegheven een pylaer, ende tvvee punten in den as, t'een vast t'ander int langste deel verroerlick: Te vinden een rechthefvvicht an t'verroerlick, dat den pylaer in sijn ghegheven standt houde. Tghegheven. Laet A B C D een pylaer sijn, weghende 6 ℔, ende die ghedeelt als int begin des 1 voorstels, ende vastpunt sy R, ende roerlick V, int langste deel des as R Q, want int cortste R P ist onmeughelick dat eenich rechthefwicht den as in haer ghegheven stant houde. Tbegheerde. Wy moeten een rechthefwicht an V vinden, dat den pylaer in die stant houde. Twerck. Men sal de lini Q R voorttrecken {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} tot in Y, also dat R Y even sy an R V: Daer naer salmen vinden t'ghewicht Z an Y, evestaltwichtich met den pylaer, t'selve (ghedenckende dat R vastpunt is) sal van 4 ℔ wesen door het 3 voorstel; Ick segh daerom dat het begheerde rechthefwicht t'welck AE sy, van 4 ℔sal wesen. Tbewys. Overmidts den erm R V des rechthefwichts AE, even is anden erm R Y des ghewichts Z, ende AE even an Z, soo is de ghewelt AE even an de ghewelt van Z door het 13 voorstel. Maer de ghewelt van Z is (AE gheweert sijnde) den pylaer in die standt te houden, die ghewelt dan van AE (Z gheweert sijnde) is oock den pylaer in die standt te houden, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegeven een pylaer, ende twee punten inden as, t'een vast, t'ander int langste deel verroerlick: Wy hebben ghevonden een rechthefwicht an t'verroerlick, dat den pylaer in sijn ghegheven stant hout naer den eysch. Merckt. Men soude oock meughen segghen metten cortsten VR 3, gheeft R T2, wat den pylaer 6 ℔? comt voor AE 4. ℔ als vooren, waer af de reden int volghende 15 voorstelblijcken. sal. 1 Vervolgh. Anghesien den heelen pylaer door t'ghestelde 6 ℔ weeght, waer af ae de 4 ℔ verheft, soo volght nootsaeckelick datter opt punt R, dat is op t'sop des keghels OE, 2 ℔ rusten. {==33==} {>>pagina-aanduiding<<} Ofte soomen an R een rechthefwicht ii voughde, inde plaets des kegels OE, als hier neven, dat ii sal weghen 2 ℔. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ofte somen an V een kegel ϕ voughde, inde plaets des rechthefwichts AE, als hier neven, dat op den kegel OE rusten sal 2 ℔, ende op den keghel ϕ 4 ℔. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ofte soomen den pylaer ophinge an tweeParallelas. evewijdige linien OE R, ende ϕ V, als hier neven, dat ande lini OE R hanghen sal 2 ℔, ende ande lini ϕ 4 ℔. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 2 Vervolgh. SO anden pylaer (t'punt R vast sijnde als vooren) eenich ghewicht ofte gewichten hinghen, t'rechthefwicht sal oock bekent worden. Laet by voorbeelt an X hanghen 6 ℔, soo sal Z moeten wegen 12 ℔ door het 3 voorstel, ende vervolgens AE 12 ℔. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==34==} {>>pagina-aanduiding<<} 7 Vertooch. 15 Voorstel. Wesende tvvee punten inden as des pylaers, t'een vast t'ander verroerlick: T'rechthefvvicht an t'verroerlick met den pylaer evestaltvvichtich, heeft sulcken reden tot den pylaer als het asstick tusschen het svvaerheyts middelpunt des pylaers, ende het vastpunt, tot het asstick tusschen t'vastpunt ende t'verroerlick punt. Verclaring. Laet ons nemen de formen des 14 voorstels, al waer blijckt dat ghelijck AE 4 ℔, tot t'ghewicht des pylaers 6 ℔, alsoo T R tot R V. Maer om d'oirsaeck hier afMathematicè. Wisconstelick te verclaren, soo is te weten dat ghelijck t'ghewicht Z, tottet ghewicht des pylaers, alsoo R T tot R Y door het 1 voorstel; Maer AE is even an Z, ende R V is even an R Y door t'ghegheven, ghelijck dan AE tot den pylaer, alsoo T R tot R V. Tbeslvyt. Wesende dan twee punten inden as des pylaers t'een vast t'ander verroerlick, &c. 8 Vertooch. 16 Voorstel. Wesende tvvee punten inden as des pylaers t'een vast t'ander verroerlick: T'rechthefvvicht an t'verroerlick dat den pylaer in een ghestalt houdt, sal hem in alle gestalten houden. Tghegheven. Laet ons den pylaer met sijn ghewichten des 14 voorstels wat verkeeren op t'vastpunt R, ende dat AE 4 ℔ noch sy rechthefwicht, also dat dan alles van ghestalt sy als hier neven. Tregheerde. Wy moeten bewijsen dattet rechthefwicht AE den pylaer oock in die ghegheven ghestalt houdt. Tbewys. Laet ons weeren AE ende anhanghen Z 4 ℔, ende door het 10 voorstel den pylaer sal in die ghestalt blijven: Maer AE doet by V so grooten ghewelt anden pylaer als Z by Y door het 13 voorstel, daerom gheweert Z, ende AE angehangen, soo sal AE den pylaer oock in die ghestalt houden. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbeslvyt. Wesende dan twee punten in den as des pylaers t'een vast t'ander verroerlick, t'rechthefwicht an t'verroerlick, dat den pylaer in een ghestalt houdt, sal hem in alle ghestalten houden, t'welck wy bewijsen moesten. {==35==} {>>pagina-aanduiding<<} 9 Vertooch. 17 Voorstel. Rustende een pylaer op tvvee punten in den as: Gelijck het asstick tusschen t'svvaerheyts middelpunt ende t'slinckerpunt, tottet asstick tusschen t'svvaerheytds middelpunt ende t'rechterpunt, alsoo t'ghevvicht des pylaers rustende op t'rechterpunt, tottet ghevvicht rustende op t'slinckerpunt. Tghegheven. Laet A B C D een pylaer sijn wegende 6 ℔, gedeelt als int 1 voorstel, rustende met de twee punten R, V, op de punten van OE, AE. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck het asstick T R, tottet asstick T V, alsoo t'ghewicht rustende mettet punt V op t'punt van AE, tottet ghewicht rustende mettet t'punt R op t'punt van OE. Tbewys. T R is dobbel an T V door t'ghestelde, ende op t'punt van AE rust 4 ℔, ende van OE 2 ℔ door 1 vervolgh des 14 voorstels, maer 4 ℔ is tot 2 ℔ oock dobbel, ghelijck dan T R tot T V, alsoo t'gewicht rustende op t'punt van AE, tot t'ghewicht rustende op t'punt van OE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Maer om t'ghemeen nootsaeckelick vervolgh in allen te bewijsen, laet ons voorttrecken V R tot in Z, alsoo dat R Z even sy an R V; aensiende daer naer R voor t'vastpunt, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} soo sal an Z moeten hanghen Π 4 ℔, om de pylaer in die ghestalt te houden door het 3 voorstel. Maer t'ghene an V den pylaer in die ghestalt houdt als AE, doet daer an alsulcken gewelt als Π, door het 13 voorstel; An AE dan rust een gewicht even an Π. Laet ons insghelijcx voorttrecken, R V tot in ϕ, alsoo dat V ϕ even sy an V R, ansiende daer naer V voor vastpunt, so sal an ϕ moeten hanghen Δ 2 ℔, om den pylaer in die ghestalt te houden door het 3 voorbeelt, maer r'ghene an R den pylaer in die ghestalt houdt als OE, doet daer an alsulcke ghewelt als Δ door het 13 voorstel, An OE, dan rust een ghewicht even an Δ. Nu anghesien Π evestaltwichtich is teghen den pylaer op t'ghemeen vastpunt R, soo heeft den erm T R, sulcken reden tot den erm R Z, als Π tot den pylaer door i voorstel. Insghelijcx nemende V voor t'vastpunt, soo heeft den erm T V sulcken reden tot den erm V ϕ, als Δ tot den den pylaer, maer R Z is altijt even an V ϕ: Wy hebben hier dan tweeProportiones evere- {==36==} {>>pagina-aanduiding<<} denheden elck van vierTerminis. palen, welcker tweede palen an malcanderen even sijn, en̄ welcker laetste palē an malcanderen oock even sijn. Maer alle twee everedenheden elck van vier palen, welcker tweede palen an malcander even sijn, ende welcker laetste palen an malcander oock even sijn, die hebben d'ander palen oock everednich, daerom ghelijck T R tot T V, alsoo Π tot Δ; maer Π is even an t'ghewicht des pylaers rustende met t'punt V op t'punt van AE, ende t'ghewicht Δ is even an t'ghewicht des pylaers rustende met t'punt R op t'punt van OE, daerom gelijck T R tot T V, alsoo t'ghewicht rustende mettet t'punt V op t'punt van AE, tottet gewicht rustende mettet punt R op t'punt van OE. Tbeslvyt. Rustende dan een pylaer op twee punten inden as, &c. Vervolgh. Soo de twee punten daer den pylaer op rust, waren indePerpendicularibus. hanghende linien door R en V, de selve gewichten die hier vooren op elck rustende punt waren, soudender nu oock op sijn. Laet by voorbeelt door de punten R, V, hanghende linien ghetrocken worden, ende punten inde selve ghestelt als Y λ, Genomen nu dat Y ende λ de punten sijn daer den pylaer op rust, tis kennelick dat op Y rusten sal 2 ℔, ende op λ 4 ℔, waer uyt alsulcken vertooch openbaer is. 10 Vertooch. 18 Voorstel. Rustende een pylaer op eenighe tvvee punten, ghelijck het asstick tusschen t'svvaerheydts middelpunt ende de hanghende door t'slinckerpunt, tottet asstick tusschen t'svvaerheyts middelpunt ende de hangende door t'rechterpunt, alsoo t'gevvicht des pylaers rustende op t'rechterpunt, tottet ghevvicht rustende op t'slinckerpunt. Tghegheven. Laet A B C D een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} pylaer wesen, diens as E F, ende swaerheyts middelpunt G, ende de twee punten daer d'een pylaer op rust H I, waer door ghetrocken sijn de hangende linien K L, M N, snyende den as in O, P; Ick segh dat gelijck G O tot G P, alsoo de swaerheyt rustende op t'punt I, tot de swaerheyt rustende op H, waer af t'bewijs openbaer is door t'vervolgh des voorgaenden 17 voorstels, nochtans om alhier wat breeder vande nootsakelickheyt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} te segghen, soo laet ons achten al of H ter plaets van O waer, t'welck soo ghenomen t'ghewicht alsdan op H rustende, heeft sulcken reden tottet ghewicht op P rustende, ghelijck G P, tot G O, door het 17 voorstel; Laet ons voort nemen dattet punt H vast blijvende, den pylaer in haer ghegheven ghestalt neerghetrocken worde, soo verre als van {==37==} {>>pagina-aanduiding<<} H tot O, ende door de 3 begheerte, de swaerheyt an H rustende blijft de selve. S'ghelijcx salmen bethoonen de swaerheyt dieder op P rust, oock te rusten op I, daerom ghelijck G O tot G P, alsoo de swaerheyt rustende op I, tot de swaerheyt rustende op H. Tbeslvyt. Rustende dan een pylaer op eenighe twee punten, &c. Vervolgh. Tblijckt uyt het voorgaende dat soomen begheerde te weten de reden van t'ghewicht rustende op I, tottet ghewicht rustende op H, datmen trecken soude de hangende linien K L, M N, snyende den as E F in O, P, ende de reden van G O tot G P soude de begheerde sijn, waer uyt oock openbaer is, dat des pylaers swaerheyt bekent wesende, soo is oock t'ghewicht bekent rustende op yder punt als H ende I. Tot hier toe siin de ghedaenten der rechtwichten verclaert: int volghende sullen de eyghenschappen der scheefvvichten beschreven vvorden, vviens gemeene grondt dit volghende vertooch begrijpt. 11 Vertooch. 19 Voorstel. Wesende een driehouck vviensPlanum. plat rechthouckich op denHorizontem. sichteinder is, met sijn gront daer af evevvijdich, ende op elck der ander sijden een cloot met malcanderen evevvichtich: Ghelijck des driehoucx rechter sijde tot de slincker, alsoo t'staltvvicht des cloots op de slincker sijde, tottet staltvvicht des cloots op de rechter sijde. Tghegheven. Laet A B C een driehouck wesen diens plat sy rechthouckich op den sichteinder, ende den gront A C evewijdich vanden sichteinder, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende op de sijde A B, die dobbel sy an B C, ligge een cloot D, ende op de sijde B C een cloot E, evewichtich ende evegroot met den cloot D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck de sijde A B 2, tot B C 1, also t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D. Tbereytsel. Laet ons maken rondtom den driehouck A B C eenen crans van veerthien clooten, evegroot, evewichtich, ende evewijt van malcanderen, als E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, D, al ghesnoert an {==38==} {>>pagina-aanduiding<<} een lini, streckende door haerCentra. middelpunten, alsoo dat sy op die middelpunten draeyen meughen; Datter oock twee clooten passen op de sijde B C, ende vier op B A, dat is ghelijck lini tot lini, also clooten tot clooten; laet oock an S, T, V, drie vastpunten staen, over welcke de lini ofte t'snoer der clooten slieren mach, also dat de twee deelen des snoers die boven den driehouck staen,Parallela. evewijdich sijn vande sijden A B, B C; Inder voughen dat alsmen den crans an d'een ofte d'ander sijde neertreckt, soo rollen de clooten op de linien A B, B C. Tbewys. Soo t'staltwicht der vier clooten D, R, Q, P, niet even waer met het staltwicht der twee clooten E, F, t'een of t'ander sal swaerder sijn, latet wesen (soot meugelick waer) der vier D, R, Q, P; Maer de vier clooten O, N, M, L, sijn evewichtich met de vier clooten G, H, I, K, de sijde dan der acht clooten D, R, Q, P, O, N, M, L, is swaerder na de ghestalt dan de sijde der ses clooten, E, F, G, H, I, K: maer want het swaerste altijt het lichtste overweeght, de acht clooten sullen neerwaert rollen, en̄ d'ander ses rijsen: Latet so wesen, ende D sy gevallen daer nu O is, en̄ E, F, G, H, sullen sijn daer nu P, Q, R, D, ende I, K, daer nu E, F, sijn. Maer dit so wesende, den crans der clooten sal sulcken gestalt hebben als sy te vooren dede, ende sullen om de selve redenen de acht clooten ter slincker sijde wederom staltwichtigher sijn dan de ses clooten ter rechter, waer door de acht clooten wederom neer sullen rollen, ende d'ander ses rijsen, welcke valling ter eender, ende rijsing ter ander, om dat de reden altijt de selve is, altijt ghedueren sal, ende de clooten sullen uyt haer selven een eeuwich roersel maken, t'welck valsch is. Het deel dan des crans D, R, Q, P, O, N, M, L, is evestaltwichtich met het deel E, F, G, H, I, K: Maer van sulcke evewichtighe ghetrocken evewichtighe, de resten sijn evewichtich, laet ons dan van dat deel trecken de vier clooten O, N, M, L, ende van dit de vier clooten G, H, I, K, (welcke even sijn ande voornoemde O, N, M, L,) de resten D, R, Q, P, ende E, F, sullen evestaltwichtich sijn, Maer wesende dese twee evestaltwichtich met die vier, E sal tweemael staltswaerder sijn als D. Ghelijck dan de sijde B A 2, tot de sijde B C 1, alsoo t'staltwicht des cloots E, tottet staltwicht des cloots D. Tbeslvyt. Wesende dan een driehouck wiens plat, &c. 1 Vervolgh. Laet A B C een driehouck sijn als vooren, wiens sijde A B dobbel sy an B C, ende laet op A B ligghen een cloot D, ende op de sijde B C een cloot E {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} evewichtich anden helft van D, ende an F sy een vastpunt daer over de lini D F E (te weten uyt hetCentro. middelpuut des cloots D over F tot int middelpunt des cloots E) slieren mach, also dat D F evewijdich blijve van A B, ende F E van B C. Dit alsoo sijnde, anghesien de vier clooten P, Q, R, D, hier vooren, evestaltwichtich waren met de twee clooten E, F, soo sal desen cloot D, evestaltwichtich sijn teghen den cloot E: want ghelijck die P, Q, R, D, tot E, F, also dese D tot E: Daerom ghelijck de lini A B, tot B C, alsoo den cloot D tot den cloot E. {==39==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Vervolgh. Laet ons nu d'een sijde des driehoucx als B C (ande welcke A B dobbel is) rechthouckich stellen op A C als hier neven; Ende den cloot D die dobbel is an E, sal noch met E evestaltwichtich sijn, want gelijck A B tot B C, alsoo den cloot D tot den cloot E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 3 Vervolgh. Laet ons nu inde plaets van t'punt F, stellen een caterol als hier neven, also dat de scheefheflini van D naer F evewijdich blijve van A B, ende inde plaets van den cloot E sy eenich wicht van form soot valt, maer evewichtich anden cloot E: t'selve is noch evestaltwichtich met D, Daerom ghelijck A B tot B C, alsoo noch den cloot D tottet ghewicht E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 4 Vervolgh. Anghesien den cloot des 3 vervolghs naeckt de lini A B, in t'punt G, als vastpunt, so sal den as G H rechthouckich sijn op A B; Daerom laet ons18. v. 3. b.E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} weeren den cloot, ende stellen in die plaets den pylaer D evewichtich met den cloot, alsoo dat den as G H (diens vastpunt G) rechthouckich sy op A B, ende de scheefheflini tusschen D F noch evewijdich van A B, ende snyende de sijde des pylaers in I, Als hier nevens. Ende is openbaer dat ghelijck A B tot B C, (dat is dobbel als vooren) alsoo den pylaer D tottet ghewicht E. 5 Vervolgh. Laet ons trecken de hanghende lini uyt hetCentre. middelpunt des pylaers D als D K, snyende de sijde des pylaers in L, t'welck so sijnde, den driehouck L D I {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} is ghelijck an den driehouck A B C, want de houcken A C B ende L I D sijn recht, ende L D is evewijdich van B C ende D I van A B: Daerom ghelijck A B tot B C, alsoo L D tot D I; Maer ghelijck A B tot B C, alsoo den Pylaer tot t'gewicht E door het 4 vervolgh, daerom ghelijck L D tot D I, alsoo den pylaer tot E. Laet ons nu ande lini K D vougen t'rechthefwicht M met den pylaer evestaltwichtich, t'selve gewicht M sal met den pylaer evewichtich sijn door het 14 voorstel: Daerom gelijck L D tot D I, also M tot E. {==40==} {>>pagina-aanduiding<<} 6 Vervolgh. Laet ons trecken B N, snyende de voortghetrocken A C in N: Insghelijcx D O, snyende de voortghetrocken L I dat is de sijde des pylaers in O, ende alsoo dat den houck I D O, even sy an den houck C B N. Laet ons oock voughen an D O t'scheefhefwicht P, dat den pylaer (de ghewichten M, E gheweert sijnde) in die stant houde. Nu angesien D L, des driehoucx D L I,Homologa. lijckstandighe {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} is met B A des driehoucx B A C, ende D I met B C, men besluyt daer uyt aldus: Ghelijck B A tot BC, alsoo t'staltwicht van B A tottet staltwicht van B C (door het 2 vervolgh,) Ende oock ghelijck D L tot D I, alsoo t'staltwicht van D L tot t'staltwicht van D I, dat is alsoo M tot E. Maer de lijckstandighe linien van dese ghelijcke driehoucken A B N, L D O, sijn A B met D L, ende B N met D O, Daerom segghen wy als vooren, Ghelijck B A tot B N, alsoo het staltwicht van B A tot het staltwicht van B N (door het 1 vervolgh,) Ende oock ghelijck D L tot D O, alsoo het staltwicht van D L tot het staltwicht van D O, dat is alsoo M tot P. Maer by aldien de lini B N, ghetrocken waer van B af over d'ander sijde van B C, soo soude de lini D O, dan oock vallen van D over d'ander sijde vā D I, dat is, daer D O nu valt onder D I, sy souder dan boven vallen, ende t'voorgaende bewijs soude oock dienen tot sulcke gestalt, te weten, dat wy noch segghen souden, ghelijck B A tot B N, alsoo t'staltwicht van B A, tottet staltwicht van B N; Ende ghelijck D L tot D O, also t'staltwicht van D L, tottet staltwicht van D O, dat is, alsoo M tot P. Inder voughen dat deseProportio. everedenheydt niet alleen en bestaet inde voorbeelden, alwaer de heflini als D I rechthouckich is op den as, maer op allen houcken. Tvoorgaende mach oock verstaen worden van een cloot ligghende op een lini A B als hier nevens, alwaer wy segghen als vooren, gelijck L D tot D O, alsoo M tot P(welverstaende dat C L rechthouckich ghetrocken is op {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A B, dat is evewijdich met den as G H des cloots D,) maer t'ghewicht M is even an den cloot D, daerom segghen wy gelijck L D tot D O, alsoo t'ghewicht des cloots, tot P. Maer want L D ende D O binnen t'lichaem des cloots metter daet niet bequamelick en connen beschreven worden, soo laet ons trecken de hanghende C E, ende sullen dan hebben buyten t'lichaem een driehouck C E O, ghelijck an den driehouck L D O, welckerHomologa. lijckstandighe sijden sijn L D met C E, ende D O met E O, daerom ghelijck L D tot D O, alsoo C E tot E O, ende vervolghens ghelijck C E tot E O, alsoo t'ghewicht des cloots, tot P. {==41==} {>>pagina-aanduiding<<} Laet ons nu tot meerder claerheyt dit alleen stellen sonder d'ander linien als hier neven, alwaer wy segghen ghelijck C E tot E O, alsoo t'ghewicht des cloots D tot P. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ende dit niet alleen van clooten maer van ander lichamen slierende, ofte rollende, op punten ofte linien als hier onder, (daer wy eygentlicker af handelen sullen inde Weeghdaet) {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} alwaer wy noch segghen ghelijck C E tot E O, alsoo t'ghewicht des lichaems D tottet ghewicht P. Waer uyt oock blijct, dat wesende de lini A B evewijdich vandenHorizonte. sichteinder als hier nevens, dat C E ende C O dan in een selfde lini sullen vallen, waer door tusschen E en O gheen langde en sal sijn, ende vervolghens C E {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} en sal tot E O gheen reden hebben, daermen by verstaen sal dat een swaerheyt inde plaets van P hoe cleen sy mocht wesen, en sal niet evestaltwichtich connen sijn teghen t'lichaem D, maer salt (Mathematicè. Wisconstelick verstaende) voorttrecken hoe swaer het sy: Waer uyt volght, dat alle swaerheden voortghetrocken langs den sichteinder, als schepen int water, waghens langs t'platte lant, &c. en behoeven gheen vliegesterctens macht tot haer verroersel, meer dan de omstaende verhindernissen en veroirsaecken, als Water, Locht, Naecksel der assen, teghen de bussen, naecksel der rayers teghen de straet, ende dierghelijcke. Maer anghesien den driehouck A B N int 6 vervolgh, tot deseProportionē. everedenheyt niet en gheeft noch en neemt, laet ons hem weeren, ansiende G voor vastpunt des pylaers rustende op een pin als hier neven, ende sullen noch segghen gelijck L D tot D O, alsoo M tot P. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==42==} {>>pagina-aanduiding<<} 7 Vervolgh. Maer op dat nu blijcke dese * everedenheyt niet alleen alsoo te bestaen inde pylaren alwaer de rechtheflini als D L, comt uyt t'middelpunt des pylaers, ende diens vastpunt is des assens uyterste, als hier vooren G int 6 vervolgh; Soo laet A B C een driehouck sijn, wiens sijde A B dobbel is an B C, ende B C sy * hanghende op A C: Ende laet D E een pylaer sijn diens as F G rechthouckich op A B, ende snyende A B in t'punt H, ende I sy eenich ander punt in {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} den selven as; Laet oock K L een ander pylaer sijn, even ende ghelijck anden pylaer D E, wiens as M N, ende O een punt des as naeckende B C, ende van ghelijcke ghestalt in sijn pylaer, als H inden pylaer D E; Laet oock P een ander punt sijn van sulcker gestalt inden pylaer K L, als I inden pylaer D E; Ende laet Q een vastpunt sijn daer over de lini I Q P slieren mach, alsoo dat de lini I QParallela. evewijdich sy van A B, ende Q P evewijdich van B C. Ende om de redenen die int 19 voorstel vande 14 clooten verclaert sijn (t'welck wy hier door soodanighe veel slierende pylaren oock souden connen bewijsen, maer want sulcx uyt t'voorgaende kennelick is, wy slaent over) het staltwicht des pylaers K L, sal dobbel sijn an t'staltwicht des pylaers D E. 8 Vervolgh. Laet ons nu an I des 7 vervolghs voughen t'rechtheswicht R evestaltwichtich met den pylaer, diens rechtheflini sy I S, snyende de sijde des pylaers in T, ende I Q snye de sijde des pylaers in V, ende laet an de lini P Q hanghen een gewicht X, inde plaets vanden pylaer K L, t'welck even sy anden helft van t'staltwicht {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} des selfden pylaers K L, Laet ons oock weeren den driehouck A B C, ende den pylaer D E doen rusten op t'punt H als hier neven. Ende om de redenen als vooren, ghelijck T I tot I V, alsoo R tot X. Ende dit niet alleen als I V rechthouckich is op den as F G, maer cromhouckich soot valt, waerafmen besonder betooch soude meughen doen, maer tis openbaer ghenouch door het 6 vervolgh. 9 Vervolgh. WY hebben int 8 vervolgh deseProportionē. everedenheyt verclaert, alwaer t'roerende punt I, hooger was dan t'vastpunt H, ende alwaer de scheefheflini I V helde naer de sijde des vastpunts H, Wy moeten nu betoogen de selve everedenheyt oock soo te bestaen in d'ander gestalten, ende eerst alwaer t'roerende punt leegher sy dan t'vastpunt, ende alwaer de scheefheflini afwijckt vande sijde des vastpunts in deser voughen. Laet A B een pylaer sijn, diens as C D, ende vastpunt E, ende t'verroerlick {==43==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} punt F, ende t'scheefhefwicht dat hem in die gestalt hout sy G, diens scheefheflini F H, ende F I sy rechtheflini, diens rechthefwicht K. Laet L M oock een pylaer sijn, even en̄ gelijck an den pylaer A B, wiens as sy N O, ende vastpu nt E, ende verroerlick punt P, alsoo dat E N even sy an E D, ende E F an E P, ende t'scheefhefwicht Q sy evē an G, ende sijn scheefheflini sy P R,Parallela evewijdich van F H, ende t'rechthefwicht S sy even an K, ende sijn rechtheflini sy P T. Dit soo sijnde laet ons vergaren de twee pylaren A B ende L M, ansiende A M voor een heel pylaer, wiensCentrum gravitatis. swaerheyts middelpunt ende vastpunt sal E sijn door t'ghestelde. Laet ons nu weeren de ghewichten K, G, S, Q, ende den pylaer A M sal op E alle gestalt houden diemen hem gheeft door het 7 voorstel, hy sal dan soo blijven, ende den pylaer A B sal alsoo evewichtich blijven tegen den pylaer L M. Laet ons nu de ghewichten Q G weder andoen, hanghende evewichtighe van ghelijcke ghestalt, an evewichtighe, ende door het 13 voorstel, Q sal anden pylaer A M even sulcken macht doen als G:ende vervolgens Q doet sulcken macht an heur pylaer L M, als G an heur pylaer A B; maer de macht van G is A B in die ghestalt te houden door het 6 vervolgh, de macht dan van Q is oock L M in die ghestalt te houden. Insghelijcx soo is oock de macht van K, den pylaer A B in die gestalt te houden, daerom oock is de macht van S den pylaer L M in die gestalt te houden; Nu ghelijck I F tot F H, alsoo K tot G door het 8 vervolgh, Maer T P, is even an I F, ende P R an F H, ende S an K, ende Q an G, ghelijck dan T P tot P R, alsoo S tot Q. Dese everedenheydt dan, als wy gheseyt hebben, is soo wel inde voorbeelden alwaer t'roerende punt P leegher is dan t'vastpunt E, ende alwaer de scheefheflini P R afwijckt vande sijde des vastpunts E, als daert hoogher is, ende daer de scheef heflini helde naer t'vastpunt. 10 Vervolgh. Laet ons stellen een form ghelijck an die des 9 vervolghs, alleen daer in verschillende dat dese F H wijckt over d'ander sijde van F I, ende dat den houck H F C, even sy anden houck R P O, waer door G anden pylaer A M even soo grooten ghewelt doet als Q, ende om de redenen des 9 vervolghs (die wy om cortheyt overslaen) G doet even sulcken ghewelt anden pylaer A B, als Q anden pylaer L M; Nu ghelijck T P, tot P R, alsoo S tot Q door het 9 vervolgh, maer I F is even an T P, ende F H an P R, ende K an S, ende G an Q, daerom ghelijck I F tot F H, alsoo K tot G. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==44==} {>>pagina-aanduiding<<} 11 Vervolgh. Laet ons stellen een form ghelijck an die des 10 vervolghs, alleen daer in verschillende dat dese P R wijckt over d'ander sijde van P T, ende dat P R {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} evewijdich sy met F H, waer door Q an den pylaer A M, even soo grooten gewelt doet als G, ende om de redenen des 9 vervolghs, Q doet even sulcken ghewelt anden pylaer L M, als G anden pylaer A B; Nu ghelijck I F tot F H, alsoo K tot G door het 6 vervolgh: Maer T P is even an I F, ende P R an F H, ende S an K, ende Q an G, daerom ghelijck T P tot P R, alsoo S tot Q. Ende inder selver voughen salmen van den anderen ghestalten door haer contrarien altijt dese everedenheyt bewijsen. 12 Vervolgh. Maer dat deseProportio. everedenheyt oock bestaet inde ghestalt daer den as evewijdich is vandenHorizonte. sichteinder, wort aldus bethoont: Laet A B een pylaer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijn, diens as C DParallela. evewijdich sy vanden sichteinder, ende t'vastpunt daer in E, ende t'roerlick punt F, ende G t'scheefhefwicht dat den pylaer in die ghestalt hout, wiens scheefheflini F H, ende I t'rechthefwicht dat den pylaer oock in die ghestalt houdt, wiens rechtheflini F K; T'welck soo sijnde, Laet K F tot F H een ander reden hebben (soot meughelick waer) dan I tot G, By voorbeelt K F sy tot F H, als 1 tot 2, maer I tot G, als 3 tot 7. Dit soo ghenomen, laet ons den pylaer der eerste form neerduwen, ofte der tweeder form oplichten tot dat K F sulcken reden hebbe tot F H, als 3 tot 7, ende alsdan sal G oock evestaltwichtich sijn teghen den pylaer door de voorgaende vervolghen; Inder vougen dat den pylaer hoogher ende leegher verheven, sal teghen G evestaltwichtich blijven, t'welck openbaer onmeughelick is, als oockMathematicè. wisconstlick sal blijcken door t'volghende 22 voorstel. K F dan en heeft tot F H gheen ander reden dan I tot G. Uyt dese voorgaende beschrijven wy een vertooch soodanich. {==45==} {>>pagina-aanduiding<<} 12 Vertooch. 20 Voorstel. Wesende inden as des pylaers een vastpunt, ende een roerlick, daer an hy door een rechthefvvicht ende scheefhefvvicht in seker standt gehouden vvort: Ghelijck rechtheflini tot scheefheflini, alsoo rechthefvvicht tot scheefhefvvicht. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn diens as C D, ende t'vastpunt E, ende roerlickpunt F, daer an den pylaer door t'rechthefwicht G in die gestalt gehouden wort, daer an oock den pylaer door t'scheefhefwicht H (welverstaende G gheweert sijnde) in die ghestalt ghehouden wort, ende de rechtheflini snye de sijde des pylaers in I, maer de scheef heflini snye de selve sijde in K: Ick segh dat ghelijck de rechtheflini I F, tot de scheefheflini F K, alsoo t'rechthefwicht G, tot het scheefhefwicht H, waer af t'bewijs uyt de voorgaende openbaer is. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==46==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbeslvyt. Wesende dan inden as des pylaers een vastpunt, &c. Merckt. Soo eenighe der linien als I F, F K, de sijde des pylaers niet en sneen, men sal die sijde voorder trecken tot dat sy ghesneen wort, als inde voorgaende laetste form. 13 Vertooch. 21 Voorstel. Wesende inden as des pylaers een vastpunt, ende een roerlick, daer an hy door een rechtdaelvvicht ende scheefdaelvvicht in seker stant ghehouden vvort: Gelijck rechtdaellini tot scheefdaellini, also rechtdaelvvicht tot scheefdaelvvicht. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn, diens as C D, ende vastpunt E, ende roerlick punt F, daer an den pylaer door t'rechtdaelwicht G in die ghestalt ghehouden wort, daer an oock den pylaer door t'scheefdaelwicht H (welverstaende G gheweert sijnde) in die ghestalt ghehouden wort, ende de rechtdaellini snye de sijde des pylaers in I, maer de scheefdaellini snye de selve sijde in K. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat gelijck de rechtdaellini I F tot de scheefdaellini F K, alsoo t'rechtdaelwicht G tot het scheefdaelwicht H. Tbereytsel. Laet ons teeckenen t'punt L, alsoo dat E L even sy an E F, ende voughen an t'punt L t'rechthefwicht M, dat den pylaer in die ghestalt can houden, diens rechtheflini L N: Insghelijcx t'scheefhefwicht O, dat den pylaer oock in die ghestalt can houden, wiens scheefheflini L P evewijdich sy met F K. Tbewys. Ghelijck N L tot L P, alsoo M tot O, door het 20 voorstel, maer de macht van G is anden pylaer even met de macht van M, en̄ de macht van H met die van O door het 13 voorstel, ende I F is even an L N, en̄ F K, an L P; Daerom gelijck de rechtdaellini I F tot de scheefdaellini F K, also t'rechtdaelwicht G tottet scheefdaelwicht H, S'ghelijcx sal oock t'bewijs sijn van alle d'ander ghestalten als inde formen hier na volghende. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==47==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbeslvyt. Wesende dan inden as des pylaers een vastpunt ende een roerlick, &c. 9 Werckstick. 22 Voorstel. Wesende ghegheven een bekende pylaer, met een vastpunt inden as, ende een roerlick punt, an t'vvelck eenich onbekent ghevvicht den pylaer in ghegheven ghestalt houdt: Dat ghevvicht bekent te maken, Tghegheven. Laet A B C D een pylaer sijn wegende 6 ℔, ende gedeelt als int 1 voorstel, ende t'vastpunt sy X, ende het roerende punt S, an t'welck ghevoecht sy een onbekent scheefhefwicht Y, met den pylaer evestaltwichtich, ende sijn scheefheflini snie de sijde des pylaers A B in OE. Tbegheerde. Wy moeten dat onbekende scheefhefwicht Y bekent maken. Twerck. Men sal sien wat rechthefwicht an S den pylaer in die gestalt soude houden, wort bevonden door 14 voorstel, van 4 ℔, daer naer salmen ondersoucken wat reden eenighePerpendicularis. hanghende lini als Z AE, heeft tot Z OE, ick neme als van 2 tot 1, daer uyt segh ick 2 gheeft 1, wat t'rechthefwicht van 4 ℔? comt voor Y 2 ℔, {==48==} {>>pagina-aanduiding<<} t'welck ick segh sijn waer ghewicht te sijne. Tbereytsel. Laet ons trecken de hanghende door S welcke sy A S. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbewys. Ghelijck A S tot S OE, alsoo t'rechthefwicht tottet scheef hef wicht Y door het 20 voorstel, maer den driehouck OE Z B, is gelijck anden driehouck OE S A, welckerHomologa. lijckstandige linien sijn OE Z met OE S, ende Z AE met S A: Daerom gelijck A S tot S OE, also AE Z tot Z OE, ende vervolghens gelijck AE Z 2, tot Z OE 1, alsoo t'rechthefwicht 4 ℔ tot Y, daerom Y weghende 2 ℔ is bekent ghemaeckt, t'welck wy bewijsen moesten. Ende sghelijcx sal den voortganck sijn in allen anderen voorbeelden. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een bekenden pylaer met een vastpunt inden as, &c. 1 Merck. Wy souden inde wercking hebben meughen segghen, A S 2, gheeft S OE 1, wat t'rechthefwicht 4 ℔?comt voor Y 2 ℔, maer op dat sy lijckformigher souden sijn an t'ghene inde daet gheschiet (want men can binnen int lichaem qualick de linien A S, S OE trecken) wy hebben de hanghende lini Z AE int voorbeelt uytwendich genomen. 2 Merck. Tis openbaer door deInversam & alternam proportionē. verkeerde ende overanderde Everedenheyt, hoe dat elck van d'ander onbekendeTerminerum. palen als Rechthefwicht, Rechtheflini, Scheefheflini, Pylaer, door drie bekende palen altijt bekent sullen worden, welcker beschrijving wy om de cortheyt achterlaten. 14 Vertooch. 23 Voorstel. Even ghevvichten der trecklinien van een selfde punt des as, ende op verscheyden sijden met den as even houcken makende; doen anden pylaer even ghevvelden. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn diens as C D, ende vastpunt daer in E, ende t'roerlick punt F, an t'welck een scheefhefwicht G sy, dat den pylaer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} in die ghestalt houde, ende diens scheefheflini F H. Laet oock an t'selve punt F ghevoucht wesen een scheefhefwicht I, over d'ander sijde, ende met G evewichtich, ende diens scheefheflini F K, den houck K F D even make anden houck H F C. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat I anden pylaer even sulcken gewelt doet als G, te weten dat I (G geweert sijnde) den pylaer oock in die gestalt sal houden. Tbereytsel. Laet an t'punt F ge- {==49==} {>>pagina-aanduiding<<} voucht worden t'rechthefwicht L dat den pylaer oock in die ghestalt can houden, ende sijn rechtheflini sy F M. Tbewys. Want de linien F H, F K, sijn tusschen de *Parallela. evewijdighe H K, C D, ende dat den houck H F C, even is (door t'ghegheven) an den houck K F D, soo sijn F H ende F K even, waer uyt volght dat ghelijck M F tot F H, alsoo M F tot F K, Maer ghelijck M F tot F H, also L tot G, daerom oock ghelijck M F tot F K, also L tot G; maer I is even an G door t'ghestelde, ghelijck dan M F tot F K, alsoo L tot I. T'welck soo sijnde, I hout den pylaer in die ghestalt door het 20 voorstel. S'gelijcx sal oock t'bewijs sijn in alle ander voorbeelden. Tbeslvyt. Even ghewichten dan der trecklinien van een selfde punt des as, ende op verscheyden sijden met den as even houcken maken de; doen anden pylaer even ghewelden, t'welck wy bewijsen moesten. 15 Vertooch. 24 Voorstel. Als des ghevvichts trecklini rechthouckich op den as is; Soo doedet anden pylaer ghegevener gestalt de grootste ghevvelt. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn diens as C D, ende vastpunt E, ende roerlick punt F, waer an ghevoucht is t'scheefhefwicht G, dat den pylaer in die ghestalt hout, ende alsoo dat sijn scheefheflini H F rechthouckich op den as C D is, Laet oock an F ghevoucht worden t'scheefhefwicht I, even an G, ende sijn scheefheflini sy K F. Tbegeerde. Wy moeten bewijsen dat G meerder gewelt doet anden pylaer, dan I, oock geen meerder gewelt daer an doen en can. Tbereytsel. Laet ons an F vougen t'rechthefwicht L dat den pylaer in die ghestalt houden can, diens rechtheflini F M. Tbewys. A.Alle hefwicht dat minder reden heeft tot L, dan sijn heflini tot F M, is te licht om den pylaer in die ghestalt te houden, door het 20 voorstel: I.I is hefwicht dat minder reden heeft tot L, dan sijn heflini K F tot F M. I.Thefwicht I dan is te licht om den pylaer in die ghestalt te houden. DesSyllogismi minor. bewijsredens tweede voorstel wort aldus betoont, T gewicht G (t'welc den pylaer in die ghestalt hout) heeft sulcken reden tot L, als H F tot F M, maer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} I is even an G, ende K F is meerder dan F H,47. v.l.b.E. daerom I heeft minder reden tot L, dan K F tot F M, waer door soo wy boven gheseyt hebben, t'ghewicht I is te licht om den pylaer in die ghestalt te houden; maer G cander hem in houden, G dan doet anden pylaer meerder gewelt dan I. Maer dat G daer an gheen meerder doen en can, is daer uyt openbaer, dat van F op de sijde des pylaers gheen corter lini en can ghetrocken worden dan F H, angesien sy daer op rechthouckich is. {==50==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbeslvyt. Als dan des ghewichts trecklini rechthouckich op den as is, soo doedet an den pylaer gheghevener ghestalt de grootste ghewelt, t'welck wy bewijsen moesten. Vervolgh. Het blijckt dat hoe de houcken der trecklinien vande ghewichten op den as den rechthouck naerder sijn, hoe de ghewichten meerder ghewelt doen; Ende ter contrarie hoe sy vanden rechthouck meer verschillen, hoe de ghewichten minder ghewelt doen. 16 Vertooch. 25 Voorstel. Tvvee onevevvijdighe linien daer een pylaer an hangt beyde oneyndelick voortghetrocken, snyen malcanderen inde hanghende svvaerheyts middellini des pylaers. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn hanghende ande twee onevewijdige linien C D, E F, welcke voortgetrocken sijn tot G, H, snyende malcander in I. Tbegeerde. Wy moeten bewijsen dattet punt I inde hangende swaerheyts middellini is des pylaers A B. Tbewys. Den houck F E C, ofte I E C, ofte H E C, is {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} al een selfden houck, alsoo oock is D C E, ofte I C E, ofte G C E, daerom wat punten wy inde linien H E, ende C G voor uytersten nemen, den pylaer hout daer an sijn ghegheven standt. Laet ons nemen I, ghemeen uyterste punt van d'een ende d'ander lini, den pylaer dan hout daer an sijn ghegheven stant. Maer hanghende den pylaer an t'punt I, soo is dePerpendicularis. hanghende door I des pylaers hanghende swaerheyts middellini inde welcke I is. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn hangende ande onevewijdige linien C D, E F, welcke voortgetrocken sijn tot G, H, snyende malcander in I. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet punt I, inde hangende swaerheyts middellini is des pylaers A B. Tbewys. Laet ons D G ende F H ansien voor stijlen ofte stijve linien daer den pylaer op rust, welcke door de 2 begeerte niet en breken noch en buygen, der selver gewelt is even ande gewelt der linien C D, E F, want gelijck dese den pylaer in sijn gegeven stant houden alsoo oock die. Ende wat punten wy inde linien D G, F H voor uytersten nemen, den pylaer hout daer op sijn gegeven stant. Laet ons {==51==} {>>pagina-aanduiding<<} nemen I, ghemeen uyterste punt van d'een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} en d'ander lini; den pylaer dan hout daer op (Mathematicè Wisconstlick verstaende) sijn ghegeven standt, maer rustende den pylaer op t'punt I, soo is de hanghende door I des pylaers hanghende swaerheydts middellini, inde welcke I is. 3 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn welcke in die standt ghehouden wort door de scheefdaellini C D, ende scheefheflini E F, de selve sijn voortghetrocken tot G, H, snyende malcanderen in I. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat I inde hanghende swaerheyts middellini is des pylaers A B. Tbewys. Laet ons G C ansien voor stijl, ofte {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} stijve lini ende nemen dat de macht die an D int neertrecken was, nu neersteeckende sy in yder punt tusschen C en G daermen haer stelt, ende den pylaer A B, sal alsoo op allen punten diemen tusschen C, G, ende E, H voor uytersten neemt, sijn ghegheven standt houden. Laet ons nemen I ghemeen uyterste van d'een en d'ander lini, den pylaer dan hout daer an sijn ghegheven stant; maer hangende den pylaer an t'punt I, de hanghende door I is des pylaers hanghende swaerheyts middellini, inde welcke I is. 4 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn, welcke in die standt gehouden wort door de scheefdaellini C D, ende de scheefheflini E F, de selve sijn voortghetrocken tot G H, snyende malcanderen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} in I. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat I inde hanghende swaerheyts middellini is des pylaers A B. Tbewys. Laet ons H E ansien voor stijl, ofte stijve lini, en̄ nemēe dat de macht die an E int opheffen was, nu opstek ende sy in yder punt tusschen E en H, daermen haer stelt, ende den pylaer A B sal alsoo op allen punten {==52==} {>>pagina-aanduiding<<} diemen tusschen C G ende E H voor uytersten neemt, sijn ghegheven standt houden. Laet ons nu nemen I ghemeen uyterste punt van d'een en d'ander lini, den pylaer dan hout daer op sijn ghegheven standt, maer rustende den pylaer op t'punt I, soo is de hanghende door I des pylaers hanghende swaerheyts middellini, inde welcke I is. Tbeslvyt. Twee onevewijdighe linien dan, daer een pylaer an hangt beyde oneyndelick voortghetrocken, snyen malcanderen inde hangende swaerheyts middellini des pylaers, t'welck wy bewijfen moesten. 17 Vertooch. 26 Voorstel. Soo d'eene der tvvee linien daer een pylaer an hangt rechthouckich op denHorizontem. sichteinder is, d'ander salder oock rechthouckich op sijn: Ende sooder d'een scheefhouckich op is, dander salder oock scheefhouckich op vvesen: Ende soo dese naer die neycht, die sal naer dese neygen: Maer so dese van die vvijckt, die sal oock van dese vvijcken. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn hangende an twee linien, d'een C D rechthouckich op den sichteinder, d'ander E F (soot meughelick waer) scheefhouckich, ende G H sy des pylaers hanghende swaerheyts middellini. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen t'inhout des voorstels. Tbereytsel. Laet C D ende EF voortghetrocken worden, snyende malcander in I. Tbewys. Soo den pylaer in die ghestalt blijft hanghende ande linien C D, E F, sy sal op alle vastpunten in die voortghetrocken linien de selve ghestalt houden, overmidts de houcken I C E, ende I E C, niet en veranderen: Daerom ghenomen I ghemeen vastpunt dier twee linien, den pylaer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sal daer an in sijn ghegheven standt blijven hanghende, ende I C sal hanghende swaerheydts middellini sijn: maer dat is onmeugelick, wanttet G H haer evewijdeghe is. T'selve sal oock also bethoont worden als de lini E F over d'ander sijde neycht. Wesende dan I C rechthouckich op den sichteinder, d'ander lini als E F en cander niet scheefhouckich op sijn; nootsaccklick dan rechthouckich: Ende vervolghens sooder E F scheefhouckich op is, d'ander moeter ooc scheefhouckich op sijn. Voorder, anghesien E F neycht naer de sijde van A, soo sal de lini die den pylaer in dieghestalt hout moeten neyghen naer E F. Want laetse (soot meugelick waer) daer van wijcken, als C K, snyende de voortghetrocken E I in K, inder voughen dat de hanghende lini door K, sal om de redenen als boven hanghende swaerheyts middellini wesen des pylaers, t'welck noch ongheschicter is dan doen wy die seyden door I te vallen: D'ander lini dan die den pylaer in de gheslalt can houden, en wijckt van E F niet, sy en is met haer oock gheen evewijdighe als boven bethoont is, ende ter sijden uyt te wijcken is openbaer on- {==53==} {>>pagina-aanduiding<<} meughelick, sy neycht dan nootsaecklick naer E F. Ende soo E F over d'ander sijde neychde, men sal insghelijcx bethoonen dat d'ander lini van haer wijcken sal. Tbeslvyt. Soo d'eene dan der twee linien, &c. 18 Vertooch. 27 Voorstel. Hanghende een pylaer evestaltvvichtich teghen tvvee scheefhefvvichten: Ghelijck scheefheflini tot rechtheflini, alsoo elck scheefhefvvicht tot sijn rechthefvvicht. Tghegheven. Laet A B een pylaer sijn wiens as C D, ende twee punten daer in E, F, welcker scheefhefwichten die hem in die standt houden sijn G, H, ende rechthefwichten I, K, ende scheefheflinien E L, F M, ende rechtheflinien E N, F O. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat gelijck L E tot E N, alsoo G tot I, ende ghelijck M Ftot F O, alsoo H tot K. Tbewys. Laet ons Fansien voor vastpunt, ende E voor t'roerlick, daerom (door het 20 voorstel) ghelijck L E tot E N, alsoo {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} G tot I. Laet ons ten tweeden E ansien voor vastpunt, ende F voor t'roerlick, Daerom (door t'voornoemde 20 voorstel) ghelijck M F tot F O, alsoo H tot K. Tbeslvyt. Hanghende dan een pylaer evestaltwichtich teghen twee scheefhefwichten: Gelijck scheefheflini tot rechtheflini, alsoo elck scheefhefwicht tot sijn rechthefwicht, t'welck wy bewijsen moesten. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Vervolgh. Hangende een bekende pylaer an twee onevewijdige linien als hier neven; T'blijct dat bekent sal worden hoe veel ghewichts an yder lini hangt, ofte hoe veel ghewelts yder lini doet. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==54==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. Wy hebben tot veel voorbeelden der voorstellen deses boucx, genomen den pylaer, als bequaemste form tot de verclaring des voornemens, oock vastpunt ende roerlickpunt ghestelt inden as, wy sullen nu door dit laetste voorstel, bethoonen de reghelen van dien gemeen te wesen over alle formen der lichamen hoedanich sy sijn, met vastpunt ende roerlickpunt daert valt. 19 Vertooch. 28 Voorstel. Alle deProportiones. everedenheden, vvelcke hier vooren beschreven sijn vanden pylaer tot de ghevvichten an hem hanghende, ende dier ghevvichten linien: De selve te vvesen van yder lichaem tot de ghevvichten an hem alsoo hanghende, ende dier ghevvichten linien. Tghegheven. Laet ons t'voorbeelt nemen der everedenheydt des 20 voorstels aldus: Het sy een pylaer A B, diens as C D, ende swaerheyts middelpunt E, ende vastpunt daer in F, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} roerlick punt G, an t'welck ghevoucht sy een scheefhefwicht H, dat den pylaer in die gestalt houde, diens scheefheflini G I. Daer naer t'rechthefwicht K, dat den pylaer oock in die ghestalt houde, diens rechtheflini G L, alwaer wy segghen, gelijck I G tot G L, alsoo H tot K. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat dese everedenheyt niet alleenlick alsoo en bestaet in t'lichaem A B een pylaer sijnde, maer van sulcke form alst valt. Tbewys. Laet ons den pylaer A B (blijvende de {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} linien F G ende I L op haer plaetsen) neertrecken, alsoo dat hy blijve hanghende an sijnCentrum gravitatis. swaerheyts middelpunt E, wiens ghestalt dan sy als hier nevens. Ende door de 3 begheerte den pylaer en veroirsaeckt op de punten F, G, gheen ander swaerheyt dan d'eerste; ende alles blijft noch evestaltwichtich, ende ghelijck I G tot G L, alsoo noch H tot K. {==55==} {>>pagina-aanduiding<<} Laet nu de form des pylaers (al de stof {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} blijvende) verandert worden in eenighe ander ongheschickte form, als A B hier nevens, diens swaerheytds middelpunt Esy, ende een rechte lini daer door C D (welcke vinding des swaerheyts middelpunts ende rechter linien inde Weeghdaet verclaert sal wordenMechanicè non Mathematicè. werckelick, niet Wisconstelick) ende alles blijft noch evestaltwichtich, ende ghelijck I G tot G L, alsoo noch H tot K. Laet nu t'lichaem A B opghetrocken {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} worden, tot dat F G is inde lini C D, wiens ghestalt dan sy als hier nevens, ende alles blijft noch evestaltwichtich: want het lichaem A B hoogher ofte leegher hangende, blijft van een selfde ghewicht door de 3 begheerte, ende vervolghens ghelijck I G tot G L, alsoo noch H tot K. De everedenheyt dan des 20 voorstels en is niet alleenelick alsoo met den pylaer, maer met yder lichaem: Ende der ghelijcke salmen oock alsoo bethoonen van al t'ghene hier vooren in alle d'ander voorstellen vanden pylaer gheseyt is. Tbeslvyt. Alle de everedenheden dan, welcke hier vooren beschreven sijn vanden pylaer tot de ghewichten an hem hanghende, ende dier gewichten linien; de selve sijn van yder lichaem tot de ghewichten an hem alsoo hangende, ende dier ghewichten linien, t'welck wy bewijsen moesten. Vervolgh. Tis oock openbaer dat de gegeven punten als F, G, niet nootsakelick en moeten inde lini C D sijn, maer daert valt by voorbeelt ande uytersten des lichaems M, N, want voortgetrocken de lini I N tot inde rechte C D, t'welck ick neem te vallen in G; sghelijcx getrocken door M dePerpendiculari. hangende tot inde lini C D, welckeick neem te vallen in F, de voornoemde everedenheyt, te weten ghelijck I G tot G L, alsoo H tot K, blijft noch staende. EERSTEN BOVCX EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==57==} {>>pagina-aanduiding<<} Tweede bovck der weeghconst, twelck is vande vinding der swaerheyts middelpvnten. {==59==} {>>pagina-aanduiding<<} In t'eerste bouck hebben vvy tot het beschrijven der vvichtighe ghedaenten, ghenomen een pylaer (voldoende aldaer het voornemen) diens svvaerheydts middelpunt door ghemeene vvetenschap bekent is; maer in veel ander lichamen en ghebeuret niet alsoo, vvel is vvaer dattet door een corte ghemeene reghel in allen vverckelick te vinden is, so door t'eerste voorstelderPraxis. VVeeghdaet blijckensal, maer met deMathematica. VVisconstighe vinding ist anders gestelt; Daer af heeft eerst geschreven Archimedes inplatten, ende naer hem Frederic Commandin in lichamen: VVy sullen tottet een en t'ander (overmits het eenSpecies. afcoemst van beginselen is, by de voorgaende vveldienende, ende tottet volg ende, so vvel Watervvicht, als Weeghdaet, seer noodich) het onse voughen, ende alles naer onse oirden verspreyden, daer af beschrijvende der Beginselent vveede bouck. VVat deDefinitiones. bepaling en belangt vande Meetconstigeformen, die bygevalle hier ymant begheeren mocht, vvy nemen diePer Hypothesin. door t'gestelde voor bekent uyt deGeometria. Meetconst; Alleenelick dit daer af seggende, dat vvy t'vvoort Parabola, ofte Rectanguli coni sectio, beteeckenen met Brantsne: Ende Conoidale Rectangulum, met Brander; Reden, dat dier formenEffectus. daet voornamelicxt bestaet int ontsteken ofte branden. {==60==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerst vande vinding der swaerheyts middelpvntenPlanis. vande platten. BY aldien de platten eenich ghevvicht hadden, ende datmen toeliete die te vvesen inde reden haerder grootheden, vvy souden eyghentlick meughen spreken van haer svvaerheydt, Svvaerheyts middelpunt, Svvaerheyts middellini, &c. Maer anghesien in t'plat gheen gevvicht en is, soo en isser eygentlick sprekende geen Svvaerheyt, Svvaerheyts middelpunt, noch Svvaerheyts middellini in; Daerom moetmen dit allesMetaphoricè. lijckspreuckelick verstaen, ende nemen als door t'ghestelde, dat der platten ghevvichten inde reden haerder grootheden sijn, vvant T'valsche vvort toeghelaten, op datmen t'vvaerachtighe daer door leere. 1 Vertooch. 1 Voorstel. Yder plats middelpunt der form, is oock sijn svvaerheyts middelpunt. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C een evesijdich drichouck wesen, diens formens middelpunt sy D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat D oock het swaerheyts middelpunt is des driehoucx A B C. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden van A tot int middel van B C, de lini A E, sghelijcx van C tot int middel van A B, de lini C F. Tbewys. Wesende de driehouck A B C opghehanghen by de lini {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A E, het deel A E C sal evewichtich hanghen teghen A E B, want sy sijn even groot, ghelijck, ende van gelijcker gestalt; A E dan is swaerheyts middellini des driehoucx A B C, Ende om de selve reden sal F C oock des drichoucx swaerheyts middellini sijn, maer dese snyen malcanderen in des formens middelpunt D, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan D. {==61==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een evewijdich vierhouck sijn, diens formens middelpunt E. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat E oock het swaerheyts middelpunt is. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden F G, tusschen de middelpunten van A D ende B C, insghelijcx H I, tusschen de middelpunten van A B ende D C. Tbewys. Wesende den vierhouck opgehanghen by de lini H I. Het deel H I D A sal evewichtich hanghen tegen H I C B, want {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sy sijn evegroot ghelijck ende van ghelijcker ghestalt; H I dan is swaerheyts middellini des vierhoucx A B C D, Ende om de selve reden sal F G oock des vierhoucx swaerheyts middellini sijn, maer dese doorsnyen malcanderen in E, ende elck dier linien heeft in haer het swaerheydts middelpunt, tis dan E. 3 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een gheschickt ofte inschrijvelick vijfhouck wesen, diens formens middelpunt Fsy. Tbegheerde. Wymoeten bewijsen dat F oock het swaerheyts middelpunt is. Tbereytsel. Laet getrocken worden van A tot int middel van D C, de lini A G; sghelijcx van B tot int middel van E D, de lini B H. Tbewys. Wesende den vijf houck opgehanghen by de lini A G, het deel A G D Esal evewichtich hangen tegen het deel A G C B, want sy sijn evegroot, gelijck, ende van ghelijcker gestalt: A G dan is swaerheyts middellini {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} des vijfhoucx, ende om de selve reden sal B H ooc des selfden vijfhoucx swaerheyts middellini wesen; maer dese doorsnyen malcanderēe in desformens middelpunt F, en̄ elck dier linien heeft in haer het swaerheyts middelpunt, tis dan F. S'gelijck sal oock t'bewijs sijn in allen anderen hebbende een formens middelpunt als Seshoucken, Ronden, Scheefronden, &c. Tbeslvyt. Yder plats middelpunt der form dan, is oock sijn swaerheyts middelpuut, t'welck wy bewijsen moesten. 2 Vertooch. 2 Voorstel. Yder drie houcx svvaerheyts middelpunt, is inde linigetrocken vanden houck totint middel der sijde. Tghegheven. Laet A B C een drichouck sijn van form soot valt, waer in {==62==} {>>pagina-aanduiding<<} vanden houck A tot in D middel vande sijde B C, ghetrocken is de lini A D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat des driehoucx swaerheyts middelpunt inde lini A D is. Tbereytsel. Laet ons trecken E F, G H, I K, evewijdighe van B C, snyende A D in L, M, N, daer naer E O, G P, I Q, K R, H S, F T, evewijdighe met A D. Tbewys. Overmits E F evewijdige is van B C, ende E O, F T, met L D, so sal E F T O, evewijdich vierhouck sijn, wiens E L even is met L F, oock met O D ende D T, waer door het swaerheyts middelpunt des vierhoucx E F T O in D L is, door het 1 voorstel deses boucx. Ende om de selve {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} reden sal het swaerheyts middelpunt des evewijdichs vierhoucx G H S P wesen in L M, ende van I K R Q in M N, ende vervolgens het swaerheyts middelpunt der form I K R H S F T O E P G Q ghemaeckt vande voornoemde drie vierhoucken, sal wesen inde lini N D, ofte A D. Nu ghelijck hier in beschreven sijn drie vierhoucken, alsoo canmender oneyndelicke sulcke vierhoucken in beschrijven, ende des binneschrevens formens swaerheyts middelpunt, sal altijt sijn (om de redenen als vooren) inde lini A D. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer sijn, hoe dat den driehouck A B C min verschilt vande binneschreven form der vierhoucken; want treckende linien evewijdich van BC door de middelen van A N, N M, M L, L D, t'verschil des laetsten ghestalts, sal effen den helft sijn van t'verschil des voorgaenden gestalts. Wy connen dan door dat oneyndelick naerderen sulc een form binnen den driehouck stellen, dattet verschil tusschen haer ende den driehouck, minder sal wesen dan eenich ghegheven plat hoe cleen het sy: Waer uyt volght, dat stellende A D als swaerheyts middellini, soo sal t'staltwicht des deels A D C, min verschillen van t'staltwicht des deels A D B, dan eenich plat datmen soude connen gheven hoe cleen het sy, waer uyt ick aldusArgumentor. strye. A.Neven alle verschillende staltswaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil. O.Neven dese staltswaerheden A D C ende A D B, en can gheen swaerheyt gestelt wordon minder dan haer verschil; O.Dese staltswaerheden dan A D C ende A D B en verschillen niet. Daerom A D is swaerheyts middellini, ende vervolghens swaerheyts middelpunt des drichoucx A B C is in haer. Tbeslvyt. Yder driehoucx swaerheyts middelpunt dan is inde lini ghetrocken vanden houck tot int middel der sijde, t'welck wy bewijsen moesten. 1 Werckstick. 3 Voorstel. Wesende ghegheven een driehouck: Sijn svvaerheydts middelpunt te vinden. Tghegheven. Laet A B C een driehouck wesen. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. {==63==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Men sal van A tot int middel van BC, trecken de lini A D, sghelijcx van C tot int middel van A B, de lini C E, snyende A D in F: Ick segh dat F t'begeerde swaerheyts middelpunt is. Tbewys. T'swaerheydts middelpunt des driehoucx A B C, is inde lini A D, ende oock in C E, door {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} het 2 voorstel, tis dan F, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan gegheven een driehouck: Wy hebben sijn swaerheyts middelpunt ghevonden naer den eysch. 3 Vertooch. 4 Voorstel. Het svvaerheyts middelpunt eens driehoucx deelt de linivanden houck tot int middel der sijde also, dattet stick naer den houck, dobbel is an t'ander. Tghegheven. Laet A B C een drichouck sijn, ende vanden houck B een lini ghetrocken worden tot D int middel van A C, sghelijcx van C een lini tot E int middel van A B, snyende B D in F voor swaerheyts middelpunt des driehoucx A B C. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat C F dobbel is an F E. Tbewys. Ghetrocken de reden E B 1 tot B A 2, vande reden C D 1 tot D A 1 (dat is Reden ½ van Reden {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 1/1)Door t'verkeer de des 12 cap 1 lib. Almag. Ptolem. daer rest de reden van C F tot F E, maer treckende Reden ½ van Reden 1/1 daer blijft Reden 2/1. C F dan is tot F E, als van 2 tot 1. Tbeslvyt. Het swaerheyts middelpunt dan eens driehoucx deelt de lini vanden houck tot int middel der sijde alsoo, dattet stick naer den houck dobbel is an t'ander, t'welck wy bewijsen moesten. 4 Vertooch. 5 Voorstel. Wesende tvvee sijden eens driehoucx elck ghedeelt in drie even deelen: De lini tusschen de tvvee punten der deeling naest de derde sijde, strect door des driehoucx svvaerheyts middelpunt. Tghegheven. Laet A B C een driehouck wesen, van t'welck yder sijde A B ende A C ghedeelt sy in drie even deelen, met de punten D, E, F, G, ende tusschen de punten E, G, naest de derde sijde B C, sy getrocken de lini E G. {==64==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat E G door des driehoucx A B C swaerheyts middelpunt streckt. Tbereytsel. Laet ons trecken van A tot int middel van B C, de lini A H, snyende E G in I. Tbewys. 1. v. 6. b.E. Overmits AE sulcken reden heeft tot E B, als A G tot G C, soo is E G', evewijdighe met B C, ende vervolghens E I is evewijdighe met B H, daerom gelijck A E tot E B, alsoo A I tot I H, maer A E is dobbel tot E B {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} door t'ghegheven, daerom A I is dobbel tot I H, maer wesende A I dobbel tot I H, soo is I t'swaerheyts middelpunt des driehoucx A B C door het 4 voorstel, daerom E G streckt door des ghegheven driehoucx swaerheyts middelpunt. Tbeslvyt. Wesende dan twee sijden eens driehoucx elck gedeelt in drie even deelen, de lini tusschen de twee punten der deeling naest de derde sijde, streckt door des driehoucx swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewijsen moesten. 2 Werckstick. 6 Voorstel. Wesende ghegheven eenPlanum rectilineum. rechtlinich plat: Sijn svvaerheyts middelpunt te vinden. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een ongheschickt vierhouck wesen: Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken met de lini A C, ende vinden het swaerheyts middelpunt van elck driehouck, door het 3 voorstel, dat van A C B sy E, ende van A C D {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Door het 45. v.1.b.E. sy F, ende de lini E F sal balck wesen. Daer naer salmen maken twee evewijdighe vierhoucken van een selfde hooghde, als G H I K, even anden driehouck A C D, en̄Door het 10. v.6.b.E. G H L M, even anden driehouck A C B, daer naer deelende den balck F E in N, alsoo dat den erm N E, sulcken reden hebbe tot den erm N F, als H I tot H L; Ick segh dat N t'begheerde swaerheyts middelpunt is. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D E een ongheschickt vijfhouck sijn. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. {==65==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Men sal trecken A C, ende vinden t'swaerheyts middelpunt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} des driehoucx A C B door het 3 voorstel, t'welck F sy, ende vande vierhouck A C D E door t'voorgaende 1 voorbeelt, t'welck G sy, ende de lini F G sal balck wesen, daer naer salmen maken twee evewijdighe vierhoucken van een selfde hooghde, als H I K L even anden vierhouck A C D E, ende H I M N even anden driehouck A C B, deelende den balck G F in O, also dat den erm O F, sulcken reden hebbe tot den erm O G, als I K tot I M; Ick segh dat O t'begheerde swaerheyts middelpunt is. 3 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D E F een ongheschickt seshouck sijn. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal trecken A C, ende vinden t'swaerheyts middelpunt des driehoucx A C B door het 3 voorstel, t'welck G sy, ende vanden vijfhouck A C D E F, door het voorgaende 2 voorbeelt, t'welck H sy, ende de {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} lini G H sal balck wesen. Daer naer salmen makē twee evewijdighe vierhoucken van een selfde hooghde, als I K L M, even anden vijfhouck A C D E F, ende I K N O even anden driehouck A C B, deelende den balck H G in P, alsoo dat den erm P G, sulcken reden hebbe tot den erm P H, als de lini K M tot K N; Ick segh dat P t'begheerde swaerheyts middelpunt is. Welcke maniere van wercking in allen anderen veelsijdeghe platten ghelijck sal sijn ande voorgaende. Merckt. Wy hebben hier boven voorbeelden beschreven alwaer t'gegeven plat verkeert wort in evenhooghe ende evewijdighe vierhoucken, wy connen t'selfde oock doen sonder soodanighe verkeering, daer af wy verscheyden voorbeelden beschrijven sullen als volght. 4 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een ongheschickt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} vierhouck wesen. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal den vierhouck deelen in twee driehoucken, met de lini A C, en̄ vinden t'swaerheyts middelpunt van elcken driehouck door het 3 voorstel, dat van A C B sy E, en̄ vanden driehouck A C D {==66==} {>>pagina-aanduiding<<} sy F, de lini dan E F is balck. Daer naer salmen trecken D G ende B H, beyde rechthouckich op A C, deylende den balck F E en I, alsoo dat den erm I E, sulcken reden hebbe tot den erm I F, als D G tot B H; Ick segh dat I t'begheerde swaerheyts middelpunt is. 5 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D E een ongheschickt vijfhouck sijn. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal den vijfhouck deelen in drie driehoucken, met eenighe linien als A D, A C, vindende daer naer het swaerheydts middelpunt des vierhoucx A C D E door het 4 voorbeelt, t'welck F sy, en̄ des driehoucx {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A C B door het 3 voorstel, t'welck G sy, ende de lini F G, is balck, Daer naer ghetrocken B H rechthouckich op A C; Ende C I met E K rechthouckich op A D, men sal der drie drie linien A D, A C, H B, vinden de vierdeProportionalis. everednighe, welcke sy L M, deelendeDoor het 12. v.6.b.E. den balck F G in N, alsoo dat den erm N G sulcken reden hebbe tot den erm N F, ghelijck C I met E K, tot L M; Ick segh dat N het begheerde swaerheyts middelpunt is. 6 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D E F een ongheschickt ses'houck sijn. Tbegheerde. wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal den seshouck deelen in vier driehoucken, met eenighe linien als A C, A D, F D, vindende daer naer het swaerheyts middelpunt des vierhoucx A D C B door het 4 voorbeelt, t'welck G sy, ende des vierhoucx A D E F, t'welck H sy, ende de lini H G is {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} balck. Daer naer getrocken B I ende D K rechthouckich op A C, insghelijcx A L ende E M beyde rechthouckich op F D, men sal der drie linien welcker eerste F D, de tweede A C, de derde B I met K D, vinden de vierde evered nighe, welcke N O sy, deelende den balck H G in P, alsoo dat den erm P G, sulcken reden hebbe tot den erm P H, gelijck A L met E M, tot N O; Ick segh dat P het begheerde swaerheyts middelpunt is. Ende soo salmen voort meughen varen met ander veelhouckighe platten. Tbewys. Ghelijck int eerste voorbeelt H I tot H L, also den erm N E tot den erm N F,1.v.6.b.E. maer ghelijck H I tot H L, alsoo den vierhouck G H I K, tot den vierhouck G H L M, ghelijck dan G H I K tot G H L M, alsoo N E tot N F, maer G H I K is even an den driehouck A C D, ende G H L M anden driehouck A C B door t'werck, gelijck dan den driehouck A C D tot A C B, also den erm N E tot N F. {==67==} {>>pagina-aanduiding<<} Het punt dan N is (door het 1 voorstel des 1 boucx) des vierhoucx swaerheyts middelpunt. S'ghelijcx sal oock bewijs sijn des 2 ende 3 voorbeelts. T'vierde voorbeelt is openbaer als wy bewesen hebben dat ghelijck D G, tot H B, alsoo den driehouck A C D, tot A C B in deser voughen: Nemende A C voor hooghde, ende D G ende H B voor gronden, so heeft den rechthouck begrepen onder A C ende D G, sulcken reden tot den rechthouck onder A C ende1.v.6.b.E. H B, ghelijck D G tot H B; Maer gelijck dien rechthouck tot desen, also de driehouck A C D tot A C B, want elck driehouck is sijn rechthoucx helft, ghelijck41.v.1.b.E. dan D G tot H B, alsoo den driehouck A C D tot A C B. Des 5 voorbeelts bewijs sal oock claer sijn als wy bewesen hebben, dat ghelijck E K met I C tot L M, alsoo den vierhouck A C D E tot den driehouck A C B, aldus: Anghesien L M vierde everednighe is der drie A D, A C, H B, de rechthouck begrepen onder A D ende L M, sal even sijn an den rechthouck begrepen16.v.6.b.E. onder A C ende H B, Laet ons nu E K, I C, L M, ansien voor gronden, wiens ghemeene hooghde A D; Maer gelijck die gronden tot malcanderen, alsoo1.v.6.b.E. de rechthoucken begrepen onder haer ende hare ghemeene hooghde, daerom oock ghelijck de twee gronden E K, I C, tot den gront L M, alsoo dier gronden rechthoucken tot deses gronts rechthouck; maer die twee rechthoucken sijn elck het dobbel haers driehoucx; Ghelijck dan E K met I C tot L M, alsoo het dobbel vanden vierhouck A C D E tot den rechthouck begrepen onder A D ende L M: Maer desen is even an den rechthouck begrepen onder A C ende H B als vooren betoocht is, ende de selve rechthouck begrepen onder A C ende H B is het dobbel des driehoucx A C B, daerom ghelijck E K met I C tot L M, alsoo het dobbel des vierhoucx A C D E tot het dobbel des driehoucx A C B, ende vervolghens ghelijck E K met I C tot L M, alsoo den vierhouck A C D E tot den driehouck A C B, waer uyt de reste openbaer is. T'bewijs van het 6 voorbeelt is door dit oock kennelick genouch. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een rechthouckich plat: Wy hebben sijn swaerheyts middelpunt ghevonden naer den eysch. Merckt. My is onder het drucken ter hant gecomen, Fredric CommandinsCommentarius in quadraturam paraboles. verclaring over de viercanting der Brantsne van Archimedes, alwaer hy onder het 6 voorstel de manier beschrijft, om t'swaerheyts middelpunt te vinden van yder rechtlinich plat, ende dat op een ander wijse als de twee voorgaende. So ymant tottet oversien der selve begheerich waer, salse daer vinden. 5 Vertooch. 7 Voorstel. Het svvaerheyts middelpunt des vierhoucx met tvveeParallelis. evevvijdighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten. Tghegheven. Laet A B C D een vierhouck sijn, diens twee evewijdige sijden A B ende D C, ende de lini uyt E middel van A B, tot F middel van D C, sy E F. Tbegeerde. Wy moeten bewijsen dat t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx A B C D inde lini E F is. Tbereytsel. Laet de drie linien D A, F E, C B, voortghetrocken worden, welcke om deProportionē. everedenheyt der linien A E, E B, D F, F C, vergaren sullen in een selfde punt t'welck G sy. {==68==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. Laet ons den driehouck G D C ophangen by de lini G F, ende het deel G F C sal evestaltwichtich sijn, teghen G F D door het 2 voorstel, waer door oock t'swaerheyts middelpunt des driehoucx G D C inde lini G F is. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Maer den driehouck G E B, is oock evestaltwichtich tegen den driehouck G E A, daerom van evestaltwichtighe ghetrocken evestaltwichtige, de resten als de vierhoucken E F D A, E F C B, sullen noch evestaltwichtich blijven, ende haer swaerheyts middelpunt noch inde lini G F, maer niet uyt de form in E G; Nootsaecklick dan in E F. Tbeslvyt. Het swaerheydts middelpunt dan des vierhoucx met twee evewijdighe sijden, is inde lini tusschen dier sijden middelpunten, t'welck wy bewijsen moesten. 6 Vertooch. 8 Voorstel. Het svvaerheyts middelpunt des vierhoucx met tvvee evevvijdighe sijden, deelt de lini tusschen dier evevvijdighens middelpunten alsoo, dat het stick naer de minste sijde, tot het ander, sulcken reden heeft, als tvveemael de meeste sijde met eenmael de minste, tot tvveemael de minste met eenmael de meeste. Tghegheven. Laet A B C D een vierhouck wesen met twee evewijdighe sijden A B, D C, ende de lini tusschen haer middelpunten sy E F, en̄ t'swaerheyt middelpunt sy G. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck tweemael D C met eenmael A B, tot tweemael A B met eenmael D C, alsoo G E tot G F. Tbereytsel. Laet getrocken worden D B, ende gedeelt in drie even deelen met de punten H, I, ende door de selve ghetrocken K L, ende M N, evewijdich van D C, snyende E F in O en P. Daer naer de lini D E, snydende M I in Q, Ende B F snyende K L in R, Ende ten laetsten R Q. Tbewys. Anghesien het swaerheyts middelpunt des driehoucx B D C, is in B F, door het 2 voorstel, ende oock in H L door het 5 voorstel, soo is R, sijn swaerheyts middelpunt, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende om de selve reden is Q swaerheydts middelpunt des drichoucx A B D, ende Q R is dier driehoucken balck, inden welcken haer beyder, dat is des vierhoucx A B C D, swaerheyts middelpunt is, t'selve is oock in E F door het 7 voorstel, daerom G is t'swaerheyts middelpunt des vierhoucx A B C D. Maer want de twee driehoucken C D B ende1.v.6.b.E. A B D sijn tusschen twee evewijdighe A B ende D C, soo sijn sy inde reden van haer gronden, dat is ghelijck den driehouck C D B tot A B D, alsoo D C {==69==} {>>pagina-aanduiding<<} tot A B: Maer ghelijck den driehouck C D B tot A D B, alsoo den erm G Q tot G R door het 1 voorstel des 1 boucx, ghelijck dan D C tot A B, alsoo G Q tot G R; maer ghelijck G Q tot G R, also P G tot G O (want sy tusschen de evewijdige M N, K L sijn, ghelijck dan D C tot A B, alsoo G P tot P O, daerom oock ghelijck tweemael D C met eenmael A B, tot tweemael A B met eenmael D C, alsoo tweemael G P met eenmael G O, tot tweemael G O met eenmael G P. Maer G E is even an tweemael G P met eenmael G O, ende G F is even an tweemael G O met eenmael G P, daerom ghelijck tweemael D C met eenmael A B, tot tweemael A B met eenmael D C, alsoo G E tot G F. Tbeslvvt. Het swaerheyts middelpunt dan des vierhoucx met twee, &c. 3 Werckstick 9 Voorstel. Wesende ghegheven t'svvaerheyts middelpunt eens plats ende sijns deels, vviens reden an t'ander deel kennelick is: Het svvaerheyts middelpunt van t'ander deel te vinden. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een rechtlinich plat wesen, diens swaerheyts middelpunt E, ende B D A deel des plats, wiens swaerheyts middelpunt F. Tbegheerde. Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels B D C. Twerck. Men sal trecken F E tot in G, alsoo dat F E sulcken reden hebbe tot E G, als t'stick B D C tottet stick B D A: Ick segh dat G t'begheerde swaerheyts middelpunt is des ander deels B D C. Tbewys. Anghesien t'swaerheyts middelpunt van B D A is F, ende des heels A B C D is E, soo moet t'swaerheyts middelpunt des ander deels B D C sijn in de rechte F E oneyndelick voortghetrocken. Want soot meughelick waer, latet daer buyten wesen als H, ende laet ons trecken F H, het swaerheyts middelpunt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dan des heels sal in F H sijn, maer dat is teghenHypothesin. t'ghestelde, wantet E is; Ten is dan niet buyten F E oneyndelick voortghetrocken maer daer in. Latet nu wesen (soot meughelick waer) tusschen de punten E G als I; Maer den langsten erm E F sal dan meerder reden hebben tot den cortsten E I, dan de swaerste swaerheyt B D C tot de lichtste B D A, t'welck teghen het 1 voorstel des 1 boucx waer. Ten is dan tusschen E G niet: S'gelijcx salmen oock betoonen dattet boven G niet en is. Tis dan nootsaecklick G, t'welck wy bewijsen moesten. {==70==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een tondt wesen diensSemidiameter. halfmiddellini E A, ende swaerheyts middelpunt E sy, ende t'rondt A F G H, deel des rondts A B C D, ende sijn swaerheyts middelpunt I, endeDiameter. middellini A G. Tbegheerde. Wy moeten het swaerheyts middelpunt vinden des ander deels, dat is der maen A B C D H G F. Twerck. Men sal I E voorttrecken tot in K, alsoo dat I E sulcken reden hebbe tot E K, als de maen A B C D H G F tot het rondt A F G H, ende K sal t'begeerde swaerheyts middelpunt wesen, Daer af t'bewijs ghelijck sal sijn an {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} t'voorgaende. Maer om de reden dier maen tot dat rondt te vinden, men sal trecken C L even met A G, daer naer A L, vindende de derde everednige welcker eerste A L, de tweede11.v.6.b.E. L C, ende de derde sy M, Ende A L tot M, sal de reden sijn der maen tot het rondt A F G H. Want overmidts A L C rechthouck is (reden dat sy int half rondt staet) het ront diens middellini A L, sal even sijn ande31. v.3.b.E. maen, ende A L tot M is deDuplicata ratio. gedobbelde reden van A L tot L C, dat is van A L tot A G, daerom, &c. S'ghelijcx soudemen voortvaren dat int ront A B C D meer ronden gebraken; by voorbeelt het rondt N O, wiens middelpunt P. Want P K voortghetrocken tot in Q, alsoo dat P K sulcken reden hadde tot K Q, als het restende tot het rondt N O, soo soude Q t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn. Ende also met allen anderen formen welcker deelen reden kennelick is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven de swaerheyts middelpunten eens plats ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is: wy hebben het swaerheyts middelpunt ghevonden des anders deels naer den eysch. 7 Vertooch. 10 Voorstel. YderParabolae. brantsnees svvaerheydts middelpunt is in haer middellini. Tghegheven. Laet A B C D een brantsne sijn diens middellini A D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat t'swaerheyts middelpunt inde lini A D is. Tbereytsel. Laet ons trecken de linien E F, G H, I K, evewijdighe van B C, ende snyende A D in L, M, N, daer naer E O, G P, I Q, K R, H S, F T, evewijdighe van A D. {==71==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. Overmits E F evewijdighe is van B C, ende E O, E T, van L D, so sal E F T O evewijdich vierhouck sijn, wiens E L even is met L F, oock met O D ende D T, waer door t'swaerheyts middelpunt van E F T O, in D L is door het 1 voorstel, Ende om de selve reden sal t'swaerheyts middelpunt des evewijdich vierhoucx G H S P in L M wesen, ende van I K R Q in M N, ende vervolghens t'swaerheyts middelpunt der form I K R H S F T O E P G Q, ghemaeckt vande voornoemde drie vierhoucken sal inde lini D N oft A D sijn. Maer hoe datter sulcke vierhoucken meer gheschreven worden, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} hoe dattet verschil des brandtsnees A B C, ende der binnenschreven form van die vierhoucken vergaert, minder is, wy connen dan door dat oneyndelick naerderen sulck een form binnen de brantsne stellen, dattet verschil tusschen haer ende de brantsne, minder sy dan eenich ghegheven plat hoe cleen het sy, waer uyt volght, dat stellende A D als swaerheyts middellini, so sal t'staltwicht des deels A D C, min verschillē van t'staltwichts des deels A D B, dan eenich plat datmen soude connen gheven, hoe cleen het sy, waer uyt ick aldusArgumentor. strije. A.Neven alle verschillende stalt swaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil; O.Neven dese staltswaerheden A D C ende A D B, en can gheen swaerheyt ghestelt vvorden minder dan haer verschil; O.Dese staltswaerheden dan A D C ende A D B en verschillen niet. Daerom A D is swaerheyts middellini, ende vervolghens het swaerheydts middelpunt des branders A B C is in haer. Tbeslvyt. Yder brantsnees swaerheyts middelpunt dan, is in haer middellini, t'welck wy bewijsen moesten. 8 Vertooch. 11 Voorstel. Aller brantsneens middellinien vvorden van het svvaerheyts middelpuntProportionaliter. everedelick ghedeelt. Tghegheven. Laet A B C D ende a b c d twee onghelijcke brantsneen sijn, diens middellinien A D, ende a d, ende swaerheyts middelpunten E, ende e. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck A E tot E D, alsoo a e tot e d. Tbereytsel. Laet ons trecken de linien A B, A C, die deelende in haer middelen F, G, ende trecken F G snyende A D in H, daer naer F I ende G K evewijdighe van A D, ende daer naer I A, I B, K A, K C, ende laet ons stellen L in I F, also dat I L dobbel sy an L F, sgelijcx M, also dat K M dobbel sy an M G, ende laetons trecken L M, snyende A D in N, ende I K, snyende A D in O, ende laet ons stellen P, alsoo dat A P dobbel sy an P D, ende laet ons I F voorttrecken tot Q inden grondt B C. Nu anghesien A P dobbel is an P D, {==72==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} soo is P t'swaerheyts middelpunt des driehoucx A B C, ende omme de selve reden L, M, swaerheyts middelpunten der twee driehoucken A B I, ende A C K, ende vervolghens, want sy even sijn, soo is N haer beyde swaerheyts middelpunt. N P dan is balck, de selve ghedeelt in R, alsoo dat den erm N R sy tot R P, als den driehouck A B C tot de twee driehoucken A B I, A C K, dat is, als 4 tot 1 (want alle brantsne is tot den driehouck als A B C ghelijck 4 tot 3 door het 24 voorstel der viercanting des brantsnees van Archimedes, daerom, &c.) Laet ons nu derghelijcke linien ende punten oock beschrijven inde brandtsne a b c. Tbewys. 20. v. I. B. Appol. Ghelijck A D tot A O, alsoo het viercant van D B tottet viercant van O I, Maer D Q is even an O I, ende D Q is den helft van D B (want F is t'middel van A B, ende F Q is evewijdich van A D) daerom het viercant van D B, is viervoudich an t'viercant van D Q, ofte van O I, ende vervolghens A D is viervoudich tot A O, daerom A O is ¼ van A D, ende O H oock ¼ (want A H is den helft van A D, overmidts F G ghetrocken is uyt de middelen van A B, A C,) daerom doet N H 1/12 van A D, daer toe ghedaen H D ½, comt voor N D 7/12, daer af ghetrocken P D ⅓, rest voor P N ¼. Maer N R is viervoudich tot R P, daerom R P, doet 1/20, daer toe P D ⅓, doet voor R D 23/60, daerom R A de reste der lini, doet 37/60, Ghelijck dan 37 tot 23, alsoo A R tot R D, ende met de selve reden is bethoont dat a r tot r d, oock is als 37 tot 23. Dese twee rechtsijdighe formen dan ghelijckelijck beschreven in verscheyden brandtsneen, hebben het swaerheyts middelpunt in haer middellinien, also dat de deelen onder malcanderenProportionales. everednich sijn. Ende soo wy inde brandtsnekens B I, I A, A K, K C, driehoucken beschreven, soo ghedaen is inde brantsneen A B I, A C K, vindende daer naer t'swaerheyts middelpunt des heels binneschreven rechtlinich plats, t'welck ick neem dat hier S soude wesen, ende daer s, wy souden inder selver voughen als vooren bethoonen, dat ghelijck A S tot S R, alsoo a s tot s r. Maer wy connen door sulck oneyndelick inschrijven der rechtlinighe formen oneyndelick naerderen nae E, ende e, ghelijcksijdeghe platten sullen altijt der middelliniens A D twee sticken everednich ghedeelt hebben door haer swaerheyts middelpunt, en̄ vervolgens de heele brantsneen A B C, a b c, sullen die deelen everednich hebben. Want laet (soot meughelick waer) T t'swaerheyts middelpunt sijn des brantsnees A B C, ende t van a b c, ende laet ons teeckenen t, dat ghelijck E T tot T S, alsoo e t tot t s. Nu alsmen door t'inschrijven veelsijdegher formen in a b c, sal ghecomm en sijn tot t, men sal met ghelijcke veelsijdeghe formen in A B C, gecomen sijn tot T, daerom T sal t'swaerheyts middelpunt sijn der bin- {==73==} {>>pagina-aanduiding<<} neschreven form, ende oock des heelen brantsnees A B C, t'welck ongeschict is. Tbbslvyt. Aller brantsnees middellinien dan, worden van het swaerheyts middelpunt everedelick ghedeelt, t'welck wy bewijsen moesten. 4 Werckstick. 12 Voorstel. Wesende ghegheven een ⋆ brantsne: Heur svvaerheyts Parabola. middelpunt te vinden. Tghegheven. Laet A B C een brantsne sijn, diens middellini A D. Tbegheerde. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal de middellini A D, deelen in E, alsoo dat A E tot E D de reden hebbe van 3 tot 2: Ick segh dat E t'begheerde swaerheyts middelpunt is. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden de rechte linien A B, ende A C, ende de selve ghedeelt in haer middelen F, G, ende ghetrocken worden F G snyende A D in H, daer naer F I ende G K evewijdighe van A D, ende laet ghestelt worden t'punt L in I F, inder voughen dat I L sy tot L F, als A E tot E D: Laet oock ghestelt worden t'punt M in K G, alsoo dat M G even sy an L F, ende laet ghetrocken worden L M snyende A D in N, ende I K snyende A D in O, ende laet I F voortghetrocken worden tot Q, inden gront B C, ende laet ghestelt worden t'punt P, alsoo dat A P dobbel sy an P D, ende P sal swaerheyts middelpunt sijn des driehoucx A B C, ende want L, M, als swaerheyts middelpunten ghestelt sijn der brantsnekens A B I, ende A C K, soo sal N swaerheyts middelpunt sijn dier twee brandtsnekens, daerom ghedeelt den balck P N, also dat d'een erm sulcken reden hebbe tot d'ander, als den driehouck A B C tot die twee brantsnekens, wy sullen t'begeerde hebben; maer de heele brantsne heeft sulcken reden tot den driehouck A B C als 4 tot 3 (door het 24 voorstel vande viercanting der brantsne van Archimedes) daerom den driehouck A B C heeft {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sulcken reden tot de twee brantsnekens, als 3 tot 1; Ghedeelt dan P N alsoo dat het opperste stick, drievoudich sy tot het onderste, wy sullen t'swaerheyts middelpunt des heels hebben. Ist dan dat wy bethoonen t'selve, te vallen in E, (welcke E door t'werck so staet dat A E is tot E D inde reden van 3 tot 2) soo is E het ware swaerheyts middelpunt. Tbewys. A O ende O H soo wy verclaert hebben int 11 voorstel, sijn elck ¼ van A D, Maer ghelijck 3 tot 2, alsoo A E tot E D, ende I L tot L F, ende O N tot N H, daer om ghedeelt O H ¼, in sulcken reden als 3 tot 2, soo sal t'stick N H doen 1/10 van A D, daer toegedaen ½ voor H D, doet voor N D ⅗, daer afgetrocken P D ⅓ rest voor N P 4/15, de selve is door t'bereytsel ghedeelt in E, alsoo dat N E is tot E P, als 3 tot 1, daerom E P doet 1/15, daer toe gedaen P D ⅓, comt voor E D ⅖ van A D: {==74==} {>>pagina-aanduiding<<} Maer wesende E D ⅖, soo sal E A doen ⅗, daerom A E heeft sulcken reden tot E D, als 3 tot 2, ende vervolghens E is t'swaerheyts middelpunt des brantsnees A B C, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan gegeven een brantsne: Wy hebben heur swaerheyts middelpunt ghevonden naer den eysch. Merckt. Het schijnt dat Archimedes ter kennis deses voorstels ghecommen is, door een deser twee manieren: D'eerste dat hy lichamelicke brantsneen makende, tot het formen sijnder brantspiegels, ofte om andersins hem daer in te oeffenen, bevant door de daet, dit deel tot dat te vvesen, als 3 tot 2, souckende daer naer de sekerheyt van dien in deser voughen: Anghesien B A I ende B A C beyde brandtsneensijn, soo vvorden haer middellinien I F ende A DProportionaliter. everedelick ghedeelt van haer swaerheyts middelpunten (soo int 11 voorstel bewesen is) daerom moet I L tot L F sijn, als A E tot E D, maer O N is even an I L, ende N H an L F, daerom moet O N sulcken reden hebben tot N H, als A E tot E D. Maer als N swaerheyts middelpunt vvaer der twee brantsnekens, ende P des driehoucx A B C, soo moet (overmidts desen driehouck drievoudich is tot die twee brant snekens) den erm N E drievoudich sijn anden erm E P, vvaer uyt sulcken voorstelrijst: Te vinden twee punten als N, E, alsoo dat de lini O N sulcken reden hebbe tot N H, als A E tot E D. Stellende daer naer A E te doen ⅗ van A D, ende E D de ⅖, ende versouckende also vvatter uyt volgen soude, heeft bevonden naer de maniere als boven, sulcx vvarachtelick te overcommen mettet begheerde. Ofte soo hy dit aldus niet ghesocht en heeft al tastende, door de voornoemde reden van 3 tot 2, maer door louter cracht der const, soo schijnet dat hy hem t'voornoemde in ghetalen voorghestelt heeft in deser voughen: Het sijn twee ghetalen O H ¼, ende H P ⅙, deelt elck alsoo, dat het minste van O H, met het meeste van H P, drievoudich sy an t'minste van H P, ende dat meeste van O H sulcken reden hebbe tot sijn minste, als t'meest, van H P +½ tot t'minste van H P +⅓. 5 Werckstick. 13 Voorstel. Wesende ghegeven een gecorte brantsne: Huer svvaerheyts middelpunt te vinden. Tghegheven. Laet A B C D een ghecorte brantsne sijn (welverstaende dat A B evewijdighe sy met D C) wiens middellini E F. Tbegheerde. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal de ghecorte brantsne volmaken, daer an stellende t'ghebrekende A B G, daer naer salmen teeckenen H, alsoo dat G H sy tot H E, als 3 tot 2: Insghelijcx 1, alsoo dat G I sy tot I F, als 3 tot 2, daer naer K, alsoo dat I H sulcken reden hebbe tot I K, ghelijck de ghecorte brantsne A B C D, tot de brantsne A B G; Ick segh dat K t'begheerde swaerheyts middelpunt is. {==75==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. I is swaerheyts middelpunt des heels, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} H des deels, ende ghelijck t'ander deel tot dit, alsoo H I tot I K, daerom K, door het 9 voorstel, is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een ghecorte brantsne, wy hebben heur swaerheyts middelpunt gevonden naer den eysch. Nv vande vinding der swaerheyts middelpvnten vande lichamen. 9 Vertooch. 14 Voorstel. Yder lichaems formens middelpunt, is oock sijn svvaerheyts middelpunt. Tghegheven. Laet A B C D eenTetraedron. viergrondich wesen, diens formens middelpunt E sy, ende den as van A door E, tot in F, middelpunt des driehoucx B C D, sy A F. Tbegeerde. Wy moeten bewijsen dat E oock is sijn swaerheyts middelpunt. Tbewys. Laet ons t'lichaem ophanghen by de lini A F, maer het viergrondich bestaet uyt vier even ende ghelijcke naelden een selfder ghestalt, wiens ghemeene sop E, daerom A F is des lichaems swaerheyts middellini, ende om de selve reden sal de lini C E oock des swaerheydts middellini sijn: E dan is {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} oock het swaerheyts middelpunt. S'gelijcx sal oock t'bewijs sijn van allen lichamen hebbende middelpunten der form, soo wel vermeerde ende ghecorte gheschickte lichamen, als gheschickte, want soomense ophangt by de middellinien door eenighen lichamelicken houck, ofte door het middelpunt haerder gronden ende des formens middelpunt, soo hebben al de naelden (wiens ghemeene sop het formens middelpunt, ende gronden de platten des lichaems sijn) tot allen sijden ghelijcke ghestalt, daerom oock door gemeene wetenschap, ende door de 1 begeerte des 1 boucx, alles hangt an dielini evewichtich, ende vervolgens de sne sulcker twee swaerheyts middellinien malcander snyende in des formens middelpunt, is oock het swaerheyts middelpunt. Tbeslvyt. Yder lichaems formens middelpunt dan, is oock sijn swaerheyts middelpunt. {==76==} {>>pagina-aanduiding<<} 10 Vertooch. 15 Voorstel. Yder pylaers svvaerheyts middelpunt is int middel van den as. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een driehouckich pylaer sijn diens grondt A C D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat sijn swaerheyts middelpunt int middel vanden as is. Tbereytsel. Laet ons trecken van D tot E int middel van A C de lini D E: Daer naer F G ende H I evewijdighe van A C, snyende D E inde punten K, L, daer naer de linien F M, H N, I O, G P, evewijdighe met D E, daer naer van A tot Q int middel der sijde D C, de lini A Q: Laet sghelijcx oock beschreven worden het decksel, ende laet ons den pylaer doorsnyen met eenPlano. plat R S evewijdich met den gront A D C, ende S sy int middel van C B. Tbewys. T'plat ghetrocken door D E, ende door haerHomologam: lijckstandige int decksel, deelt den binneschreven pylaer uyt die twee vierhouckighe pylaren vergaert, in twee even ende ghelijcke deelen, ende van ghelijcke {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ghestalt; het doorsnijt dan dier binneschreven pylaers swaerheydts middelpunt. Maer hoe datter sulcke vierhouckighe pylaren meer beschreven sijn inden ghegheven driehouckighen, hoe dat dese min verschilt van die; wy connen dan door dat oneyndelick naerderen sulck een form binnen den ghegheven pylaer beschrijven, dat haer verschil vande binneschreven minder sal wesen dan eenich ghegeven lichaem hoe cleen het sy, waer uyt volght dat het staltwicht des deels D E C B over d'een sijde des plats, min verschillen sal van t'staltwicht des deels over d'ander sijde des plats, dan eenich lichaem datmen soude connen gheven hoe cleen het sy, waer uyt ick aldusArgumentor. strye. A.Neven alle verschillende staltswaerheden can een swaerheyt ghestelt vvorden minder dan haer verschil; O.Neven dese staltswaerheden en can gheen swaerheyt ghestelt vvor den minder dan haer verschil; O.Dese staltswaerheden dan en verschillen niet. Daerom t'plat door D E en̄ haerHomolegam. lijckstandige int decksel, lijt door t'swaerheyts middelpunt des ghegheven pylaers, ofte het swaerheyts middelpunt is in dat plat. Ende om de selve reden ist oock int plat door A Q, ende haer lijckstandighe int decksel. Maer deser twee platten ghemeene sne is de rechte lini tusschen de swaerheyts middelpunten des grondts ende decksels, welcke lini den as is des ghegeven pylaers, t'swaerheyts middelpunt dan is inden as, het is oock int plat door R S, want t'selve deelt den pylaer in twee even, ghelijcke, ende lijck- {==77==} {>>pagina-aanduiding<<} standighe deelen; Maer dat plat doorsnijt den as in sijn middel, het swaerheyts middelpunt dan is in des as middel. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een vierhouckich pylaer wesen, diens grondt A C D E. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat sijn swaerheyts middelpunt int middel vanden as is. Tbrreytsel. Laet ons trecken een plat door A D, ende haer lijckstandighe int decksel, deelende alsoo den ghegeven pylaer in twee driehouckighe pylaren, welcker yder het swaerheyts middelpunt int middel vanden as heeft door het 1 voorbeelt, daerom ghetrocken den balck tusschen die twee punten, ende den selven ghedeelt in sijn ermen, het onderscheyt der ermen sal het swaerheyts middelpunt sijn des ghegheven pylaers, welck punt valt in t'swaerheyts middelpunt des {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} plats evewijdich vanden grondt den pylaer in twee even stucken deelende, ende t'selveint middel der lini tusschen de swaerheyts middelpunten des grondts ende decksels, dat is int middel vanden as; T'selve salmen oock alsoo bethoonen in yder pylaer. Tbeslvyt. Yder pylaers swaerheyts middelpunt dan, is int middel vanden as, t'welck wy bewijsen moesten. 11 Vertooch. 16 Voorstel. YderPyramydis. naeldens svvaerheydts middelpunt is inden as. Tghegheven. Laet A B C D een naelde sijn, diens grondt den driehouck B C D, wiens swaerheyts middelpunt E, ende den as A E. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat des naeldens swaerheyts middelpunt inden as A E is. Tbereytsel. Laet ons de naelde snyen met een plat F G H evewijdich met B C D, ende snyende den as A E in I: Laet oock getrocken worden F K, G L, H M, evewijdich vanden as A E, alsoo dat de punten K, L, M, int plat sijn des driehoucx B C D, inder voughen dat F G H K L M een pylaer is, wiens grondt K L M even ende ghelijck is an het decksel F G H, ende ghelijck anden grondt B C D; Daer naer ghelijck de naelde doorsneen was met F G H, laetse noch eenmael alsoo doorsneen sijn met het plat N O P, snyende den as in Q, ende daer uyt oock alsoo ghemaeckt den pylaer N O P R S T, te weten N R, O S, P T, evewijdich vanden as A E, ende de punten R, S, T, int plat F G H. Tbewys. Angesien de driehoucken N O P, R S T, F G H, K L M, alle gelijck sijn anden driehouck B C D, ende dat haer punten Q, I, E, in haer sulcken stant hebben als E inden driehouck B C D, ende dat E des driehoucx B C D swaerheyts middelpunt is, soo sijn oock die Q, I, E, haer driehouckens swaerheyts middelpunten, waer door I E as is des pylaers F G H K L M, in wiens middel heur swaer- {==78==} {>>pagina-aanduiding<<} heyts middelpunt is door het 15 voorstel. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} S'ghelijcx is Q I oock as des pylaers N O P R S T, in wiens middel heur swaerheyts middelpunt is, ende vervolgens het swaerheyts middelpunt des lichaēs uyt die twee pylaren vergaert is in Q E, daerom oock in A E, Maer hoe datter inde naelde sulcke pylaren meer beschreven worden, hoe dattet verschil der naelde ende der binneschreven form van sulcke pylaren vergaert, minder is, blijvende nochtans het swaerheyts middelpunt der binneschreven form altijt inden as A E; Wy connen dan door dat oneyndelick naerderen sulcken form binnen de naelde stellen, dattet verschil tusschen haer ende de naelde, minder sal wesen dan eenich ghegheven lichaem hoe cleen het sy, waer uyt volght dat stellende A E voor swaerheyts middellini, der naelde, soo sal het staltwicht van d'een sijde tot d'ander, min verschillen dan eenige swaerheydt diemen soude connen gheven, waer uyt ick aldusArgumentor. strye. A.Neven alle verschillende staltswaerheden can een swaerheyt ghestelt vvorden minder dan haer verschil; O.Neven dese staltswaerheden en can gheen swaerheyt ghestelt vvorden minder dan haer verschil; O.Dese staltswaerheden dan en verschillen niet. S'gelijcx sal oock t'bewijs sijn van naelden wiens gronden sijn Vierhoucken, Veelhoucken, Ronden, &c. Tbeslvyt. Yder naeldens swaerheyts middelpnnt dan is inden as. 6 Werckstick. 17 Voorstel. Wesende ghegheven een driehouckighe naelde: Heur svvaerheyts middelpunt te vinden. Tghegheven. Laet A B C D een naelde wesen, diens gront sy den driehouck B C D. Tbegheerde. Wy moeten haer swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal de swaerheyts middelpunten vinden van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} eenighe twee driehoucken, als E van B C D, ende F van A D C, treckende de linien A E B F; welcker sne G, ick segh te wesen het begheerde swaerheyts middelpunt. Tbewys. Des naeldens A B C D swaerheyts middelpunt is in A E, ende oock in B F, door het 16 voorstel, het is {==79==} {>>pagina-aanduiding<<} dan nootsaecklick G. Tbeslvyt. Wesende dan ghegeven een driehouckighe naelde: Wy hebben heur swaerheyts middelpunt ghevonden naer den eysch. 12 Vertooch. 18 Voorstel. Het svvaerheyts middelpunt van yder naelde deelt den as alsoo, dat het stick naer den houck drievoudich is an t'ander. Tghegheven. Laet A B C D een driehouckige naelde wesen, diens sop A, ende grondt B C D, ende den as van B tot int swaerheyts middelpunt E des driehoucx A D C, sy B E, ende van A tot int swaerheyts middelpunt F des driehoucx B C D sy A F, snyende B E in G, voor t'swaerheyts middelpunt F des driehoucx B C D sy A F, snyende B E in G, voor t'swaerheyts middelpunt der gegheven naelde. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat B G drievoudich is an G E. Tbereytsel. Laet ons trecken van H middel van C D, de linien H A, H B. Tbewys. Overmidts H A ghetrocken is uyt het middel van D C tot inden houck A, ende dat E t'swaerheydts middelpunt is des driehoucx {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A C D, so sal A E dobbel sijn an E H door het 4 voorstel, ende om de selve reden sal B F dobbel wesen an F H. Dit soo sijnde, ghetrocken de reden E A 2, tot A H 3, vande reden B F 2, tot F H 1 (dat is Reden ⅔ van Reden 2/1)Door t'verkeerde des 12 cap. 1 lib. Almag-Ptolem. daer rest de reden van B G tot G E: Maer treckende Reden ⅔ van Reden 2/1 daer blijft Reden 3/1. B G dan is tot G E, als 3 tot 1. Maer soo des ghegheven naeldens gront een vierhouck waer, t'voorstel sal in die oock alsoo bewesen worden: Laet by voorbeelt A B C D E een naelde wesen, wiens grondt een vierhouck B C D E, ende as A F sy. Nu dese vierhouckighe naelde ghedeelt in twee driehouckige, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} wiens gronden E C B, ende E C D, diens assen A G, ende A H, wiens swaerheyts middelpunten I, K, des heelen naeldens swaerheyts middelpunt sal inde lini I K wesen, tis oock in A F door het 16 voorstel, tis dan L: Maer want A G H een driehouck is, ende I K evewijdich van G H (want I G is t'vierendeel van G A, ende H K t'vierendeel van H A, daerom, &c.) soo sal A L sulcken reden hebben2.v.6.b.E. tot L F, als A I, tot I G, dat is drievoudich. S'ghelijcx sal oock t'bewijs sijn in alle naelde met veelsijdighen gront. Maer de naelde eenConus. keghel sijnde, te weten dat den gront waer een ront ofte lanckrondt, t'selfde sal daer in oock alsoo bewesen worden, want het {==80==} {>>pagina-aanduiding<<} is door t'voorgaende kennelick, dat alle veelhouckighe naelde in haer beschreven, t'swaerheyts middelpunt alsoo sal hebben, dattet opperste deel drievoudich is teghen het onderste. Maer hoe de naelde daer in beschreven van meer houcken is, ende hoe die binneschreven naeldens grootheyt vande ronde naelde min verschilt, daerom oock connen wy om het oneyndelick naerderen, een binneschreven setten, min verschillende vande vervatende, dan eenich gegevē lichaem hoe cleen het sy; Daerom oock de langde der plaets van diens swaerheyts middelpunt tot deses, corter soude moeten wesen dan eenighe langde die meugelick is ghegheven te worden, waer uyt ick aldusArgumentor. strye. A.Neven alle twee punten in verscheyden plaetsen staende, connen twee punten ghestelt vvorden die malcander naerder sijn; O.Neven dese twee punten en connen gheen twee punten ghestelt vvorden die malcander naerder sijn; O.Dese twee punten dan en staen in gheen verscheyden plaetsen. Tbeslvyt. Het swaerheyts middelpunt dan van yder naelde, deelt den as alsoo, dat het stuck naer den houck drievoudich is an t'ander. 7 Werckstick. 19 Voorstel. Wesende ghegheven t'svvaerheyts middelpunt eens lichaems ende sijns deels, vviens reden an t'ander deel kennelick is: Het svvaerheyts middelpunt des ander deels te vinden. Tghegheven. Laet A B C D een lichaem sijn, diens swaerheyts middelpunt E, ende B D A deel des lichaems, wiens swaerheyts middelpunt F. Tbegheerde. Wy moeten t'swaerheyts middelpunt vinden des ander deels B C D. Twerck. Men sal trecken F E tot in G, alsoo dat F E sulcken reden hebben tot E G, als t'stick B D C tottet stick B D A; Ick segh dat G t'begheerde swaerheyts middelpunt is, des ander sticx B D C; waer af t'bewijs ghelijck sal sijn an t'bewijs des 9 voorstels. Wy souden oock meughen voorbeelt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} setten van een heele cloot, wiens ander deel oock een cloot sy, maer sulcx is openbaer genouch door het tweede voorbeelt des boveschreven 9 voorstels in ronden. Tbeslvyt. Wesende dan gegheven t'swaerheyts middelpunt eens lichaems ende sijns deels, wiens reden an t'ander deel kennelick is, wy hebben t'swaerheyts middelpunt des ander deels ghevonden naer den eysch. 8 Werckstick. 20 Voorstel. Wesende ghegheven eenPyramis truncata. gecorte naelde: Heur svvaerheyts middelpunt te vinden. {==81==} {>>pagina-aanduiding<<} Tghegheven. Laet A B C D E F een ghecorte naelde sijn, diens decksel A B C, ende grondt D E F. Tbegheerde. Wy moeten heur swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal de ghecorte naelde volmaken, daer an stellende het ghebrekende A B C G, vindende H swaerheyts middelpunt des driehoucx D E F, treckende den as G H, wiens punt inden driehouck A B C, sy I, daer naer salmen teeckenen K, alsoo dat G K drievoudich sy an K I: Insghelijcx {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} L, alsoo dat G L drievoudich sy an L H, teeckenende M, also dat K L sulcken reden hebbe tot L M, gelijck de gecorte naelde A B C D E F, tot de naelde A B C G; Ick segh dat M t'begeerde swaerheyts middelpunt is. Tbewys. L is swaerheyts middelpunt des heels, ende K des deels, ende ghelijck t'onderste deel tottet bovenste, alsoo K L tot L M; Daerom M, door het 1 voorstel des 1 boucx is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welck wy bewijsen moesten. S'ghelijcx sal oock den voortganck sijn in allen anderen ghecorte naelden. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een gecorte naelde: Wy hebben heur swaerheyts middelpunt ghevonden, naer den eysch. 9 Werckstick. 21 Voorstel. Wesende ghegheven een platgrondich lichaem soodanigher form alst valt: Sijn svvaerheyts middelpunt te vinden. Tghegheven. Laet A een ongheschickt platgrondich lichaem sijn, dat is omvanghen in platten so veel alst sy. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelpunt vinden. Twerck. Men sal t'lichaem deelen indePyramids. nalden dieder ten weynichsten ende bequamelicxt uyt vallen willen. Ten quaetstcn commende men can als door gemeene reghel, alle platgrondich lichaem in so veel naelden deelen alst platten heeft, stellende eenich punt int lichaem voor haer ghemeene sop. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Dit soo sijnde, men sal yder naeldens swaerheyts middelpunt vinden door het 17 voorstel. Daer naer om te vinden t'ghemeene swaerheyts middelpunt van twee naelden, men sal tusschen haer swaerheyts middelpunten een balck trecken, die deelende in sulcken reden als haer twee naelden tot malcanderē sijn, welverstaende t'cortste deel naer de swaerste naelde. Ende inder selver voughen salmen daer toe ver- {==82==} {>>pagina-aanduiding<<} gaderen de derde naelde, ende alle d'ander, ende t'punt den balck alsoo ten laetsten deelende, sal t'begeerde swaerheyts middelpunt sijn, waer af t'bewijs openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een platgrondich lichaem soodanigher form alst valt, Wy hebben sijn swaerheyts middelpunt gevonden, naer den eysch. 13 Vertooch. 22 Voorstel. YderConoidalis rectanguti. branders svvaerheyts middelpunt is inden as. Het swaerheyts middelpunt des rechten branders inden as te wesen is door gemeene wetenschap openbaer, wy sullen dan alleenelick t'voorbeelt stellen des gheens diens as op den grondt cromhouckich is. Tghe gheven. Laet A B C een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} brander wesen diens grondt B C sy, ende den as A D daer op cromhouckich. Tbegheerde. Wy moetenbewijsen dattet swaerheyts middelpunt in A D is. Tbereytsel. Laet ons den brander snyen met twee platten E F, G H evewijdich vanden gront B C, welcker ghemeene sneen met den as A D, sijn I, K; Ende laet ons trecken de linien E L, F M, G N, H O: ende L M, N O, G H, sullenElipsis. lanckronden wesen ghelijck an t'lanckrondt B C; ende laet E M met G O pylaren sijn uyt de selve beschreven. Tbewys. Want L DSemidiameter. halfmiddellini des lanckrondts L M even is an D M, oock an N I, ende I O, so sal I D as sijn des pylaers E M, inde welcke diens pylaers swaerheyts middelpunt is: Ende om de selve reden sal t'swaerheyts middelpunt des pylaers G O oock wesen in K I, ende vervolghens t'swaerheyts middelpunt des lichaems uyt die twee pylaren vergaert is in K D, daerom ooc in A D. Maer hoe datter sulcke pylaren inden brander meer beschreven worden, hoe dattet verschil des branders ende der binneschreven form van sulcke pylaren vergaert, minder is. Wy connen dan door dat oneyndelick naerderen sulcken form binnen den brander stellen, dat heur verschil minder sal wesen, dan eenich ghegeven lichaem hoe cleen het sy; Waer uyt volght dat stellende A D voor swaerheyts middellini des branders, so sal t'staltwicht van d'een sijde tot d'ander, min verschillen dan eenighe swaerheyt diemen soude connen gheven, waer uyt ick aldusArgumentor. strye. A.Neven alle verschillende stalt swaerheden, can een swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil; O.Neven dese stalt swaerheden van d'eene en d'ander sijde des branders, en can gheen swaerheyt ghestelt worden minder dan haer verschil; O.Dese staltswaerheden dan van d'eene ende d'ander sijde des branders en verschillen niet. {==83==} {>>pagina-aanduiding<<} Daerom A D is haer swaerheyts middellini. Tbeslvyt. Yders branders swaerheyts middelpunt dan, is inden as; t'welck wy bewijsen moesten. 10 Werckstick. 23 Voorstel. Wesende ghegheven eenConoidale rectangutum brander: Heur svvaerheyts middelpunt te vinden. Tghegheven. Laet A B C een brander wesen diens sop A, en̄ as A D sy. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheydts middelpunt vinden. Twerck. Men sal den as A D in E deelen, alsoo dat A E dobbel sy an E D, ende E sal t'begheerde swaerheyts middelpunt sijn; T'welck bewesen is door Frederic Commandin int 29 voorstel, waer af den sin verclaert naer onse manier sodanich is. Tbewys. Laet den brander doorsneen worden met een plat F G, evewijdich vanden gront B C, ende door t'middel des as H, ende snyende de uytersten des branders in I, K, ende laet B C G F ende I K L M twee pylaren sijn, beschreven omme den brander, wiens middelpunten N, O, ende I K P Q een pylaer binnen den brander, wiens swaerheyts middelpunt oock O sijn sal. Nu want ghelijck A D tot20.v.1.b.vā Appollonius. A H, t'welck is als 2 tot 1, alsoo t'rondt B C tottet ront I K, so sal den pylaer B G sulcken reden hebben tot den pylaer13.v.12.b.E. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} I L, als 2 tot 1, daerom laet B G weghen 2 ℔, ende I L 1 ℔: Maer heur swaerheyts middelpunten sijn N, O, de linidan N O sal balck sijn de selve ghedeelt in heur ermen, dat is in R, alsoo dat N R dobbel sy an R O, soo sal R swaerheyts middelpunt sijn der twee ommeschreven pylaren, ende O ist vande binneschreven, ende R sal so verre van E vallen, als O van E, te weten elck 1/12 van A D: Ende sulcx sal in alle anderen der ghelijcke voorbeelden oock alsoo gheschien. Maer op dattet claerder sy, wy sullender noch een besonder voorbeelt af beschrijven aldus; Laet ons den brander A B C noch eenmael snyen door de middelen van A H, ende H D, daer uyt treckende vier omschreven, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende drie binneschreven pylaren, als hier onder, alwaer A D des branders as is, ende der pylaren middelpunten sijn, I, K, L, M, ende A E sy noch dobbel an E D als vooren. Nu want gelijck A D20.v.1.b.vā Appolinus. tot A N (t'welck is als 4 tot 3) alsoo het rondt B C tottet rondt O P, soo sal den pylaer B F sulcken reden hebben tot den pylaer O Q, als 4 tot 3, ende om de selve oirsaeck sal B F sulcken reden hebben tot {==84==} {>>pagina-aanduiding<<} de derde diens middelpunt K, als 4 tot 2, ende tot den omschreven pylaer wiens middelpunt I, als 4 tot 1: Daerom laet d'onderste der omschreven pylaren weghen 4 ℔, d'ander 3 ℔, de volghende 2 ℔, de hooghste 1 ℔. Laet oock om de selve reden de leeghste der binneschreven pylaren weghen 3 ℔, d'ander 2 ℔, de laetste 1 ℔. T'welck so sijnde, ende anghesien alle de swaerheyts middelpunten en̄ der pylaren swaerheden bekent sijn, soo ist openbaer door het 2 voorstel des 1 boucx, dattet swaerheyts middelpunt der vier omschreven pylaren sal vallen in L, alsoo dat L E sal doen 1/24 van A D, ende der drie binneschreven pylaren sal vallen in S, alsoo dat S E oock sal doen 1/24 van A D. Dees twee punten dan L ende S vallen wederom even verre van E. Maer soomen om den brander schreve sulcke acht pylaren, ende seven daer binnen, men sal sulcke punten noch evewijdich vinden van E, te weten elck 1/48 van A D. Maer soomen om den brander schreve soodanighe sesthien pylaren, ende vijfthien daer binnen, men sal sulcke punten noch evewijdich vinden van E, te weten elck 1/96 van A D: Inder voughen dat het verschil der volghende inschrijving, altijt den helft is der voorgaende, daer af wy naer t'nootsaecklick vervolgh in allen souden trachten, ten waer wy dat lieten om de cortheyt. Dit soo sijnde E is t'swaerheyts middelpunt des ghegheven branders: want latet (soot mueghelick waer) daer buyten sijn tusschen E L ofte E S, men sal dan door de oneyndelicke omschrijving ende binneschrijving veler pylaren, daer toe commen, dattet swaerheyts middelpunt des omschreven forms, leegher sal commen, dan des branders: ofte der binneschreven form, hoogher dan des branders, t'welck onmueghelick is. Ten is dan gheen ander punt dan E, t'w elck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegeven een brander, wy hebben sijn swaerheyts middelpunt ghevonden, naer den eysch. Merckt. Anghesien des driehoucx lini vanden houck tot int middel der sijde, van t'swaerheyts middelpunt in sulcken reden ghedeelt wort, als desen as des branders door het 4 voorstel, soo volght dat inden driehouck der ghelijcke ghedaenten sullen bevonden worden door omschreven ende binneschreven vierhoucken, ghelijck hier vooren gheschiet is met omschreven ende binneschreven pylaren. 11 Werckstick. 24 Voorstel. Wesende gegeven eenConoidale rectangulum oruncatum. gecorten brander: Heur svvaerheyts middelpunt te vinden. Tghegheven. Laet A B C D een ghecorten brander sijn, diens decksel A B, ende grondt D C, ende as E F. Tbegheerde. Wy moeten heur swaerheyts middelpunt vinden. {==85==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Men sal den ghecorten brander volmaken, daer an stellende t'ghebrekende A B G, Daer naer salmen teeckenen H, alsoo dat G H dobbel sy an H E, sghelijcx I, alsoo dat G I dobbel sy an I F, daer naer K, alsoo dat I H sulcken reden hebbe tot I K, als den ghecorten brander A B C D, tottet branderken A B G: Ick segh dat K t'begheerde swaerheyts middelpunt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} is. Tbewys. I is swaerheyts middelpunt des heels D C G, ende H des deels A B G, ende gelijc t'ander deel A B C D, tot dit deel A B G, also H I tot I K door t'werck, daerom K, door het 19 voorstel, is t'begheerde swaerheyts middelpunt, t'welc wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een ghecorten brander, wy hebben heur swaerheyts middelpunt ghevonden naer den eysch. TWEEDEN BOVCX EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==87==} {>>pagina-aanduiding<<} Derde bovck der weeghconst, vande weeghdaet.Praxis arth Ponderaria. {==89==} {>>pagina-aanduiding<<} Anden leser. Want in ettelickePropositionet. voorstellen der VVeeghdaet gehandelt sal vvorden vande roerselen der lichamen, so heeft my goet ghedocht, eer vvy tot de saeck commen, den Leser van dies vvat te verclaren. Te vveten dat de VVeeghconst ons alleenlick leert, het roerende ter evestalt vvichticheyt brengen mettet teroeren. Angaende t'ghevvicht ofte de macht, die t'roerende boven dien noch behouft, om het teroeren ter roerlicke daet te crijghen (vvelck ghevvicht ofte macht, over vvinnen moet des teroerens beletsel, dat in yder teroerenInsebarabile accidens. onscheydelicke ancleving is) de VVeeghconst en leert dat ghevvicht ofte die macht nietMathematicè. VVisconstlick vinden, d'oirsaeck is dattet eengheroerde ende sijn beletselnietProportionalis. everednich en is mettet ander gheroerde ende sijn beletsel. Maer op dat den sin van desen door ghelijckenis opentlicker verstaen vvorde, soo laet by voorbeelt een vvaghen bekender svvaerheyt, te trecken sijn op een berch ofte hooghde bekender steylheyt; Ick segh dat de VVeeghdaet leert, soo door het 4 voorbeelt des 9 voorstels blijcken sal, hoe groote macht met die vvaghen evestalt vvichtich, ofte evemachtich sal staen, sonder t'ansien roerselmet sijn belet, als assen tegen de bussen, raeyers teghen de straet, vvagentegen de locht, &c. vvelcke macht des besetsels de VVeeghconst niet en leert vinden, om dat sulcke beletselen ende haer gheroer den ingheen everedenheyt en bestaen, soo vvy hier souden connen bethoonen, vverleggende deArguments. strijtredens vande ghene die in vallende svvaerheden de contrarie meynen, ten vvaer ons voornemenis, in dese VVeeghconst alleenlick met de leering voort te varen, ende d'oude dvvalinghen der vvichtighe ghedaenten elders te vervvorpen. Merct oock dat dese kennis der evest alt vvichticheyt tot desaeck genouch doet, vvant liggende in elcke schael des vvaeghs eveveel ghevvichts, ghelijck vvy dan vveten (hoe vvelde vvaegh oock haer belet des roersels heeft) dat tottet roersel der schalen luttel machts behouft, alsoo in allen anderen. Dit is van t'belet des roersels tot dien eynde gheseyt, op dat yemant door de daet, de roerende macht altemet vvat grooter {==90==} {>>pagina-aanduiding<<} bevindende, dan degheroerde, niet en dencke sulcx t'ghebreck der constte vvesen, maer nootsaecklick, overmidts, als vooren gheseyt is, t'roerende boven de evestalt vvichticheyt so veel svvaerder ofte machtigher moet sijn, dan het teroeren, dattet sulck belet overvvint. Ten anderen, op dat niemant, die hem in sulcke schijn van everedenheyt mocht betrouvven, bedroghen envvorde, tvvelck den genen alderlichtelicxt ghebeurt, die t'valsche voor vvarachtich houden. Argumentū. Cortbegryp. Dese Weeghdaet salvervaten de vvercklicke vinding der svvaerheyts middelplats, svvaerheyts middellini, ende svvaerheyts middelpunts: Voort de making des aldervolmaecksten vvaeghs, met verclaring van etlicke heur ghedaenten. Oock den aldervolmaecksten Onsel. Wijder, de ghedaenten der steerten daermen ghevvelt me doet: De ghedaenten der ghedreghen ghevvichten; Der Windassen; Der ghetrocken gevvichten; Ende de oneyndelicke crachten. {==91==} {>>pagina-aanduiding<<} 1 Voorstel. Wesende ghegheven een lichaem van form soot valt: Sijn svvaerheyts middelplat, hanghende svvaerheyts middellini, ende svvaerheydts middelpunt vverckelick te vinden. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een lichaem sijn van form soot valt. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelplat, hanghende swaerheyts middellini, ende swaerheyts middelpunt wercklick vinden. Twerck. Men sal t'lichaem hanghen ande coorde C D, treckende door t'opperste punt C, de rechte lini E F, hanghende uyt de selve lini twee fijne draen met haren ghewichtkens, als E G, F H, nevens het lichaem A B, ende t'plat vervaet tusschen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} de linien G E, F H, t'welck by gedacht door t'lichaem lijt, is des lichaems swaerheyts middelplat. Maer om sijn uyterste sijden op t'lichaem te teeckenen, men mach de draen E F, G H, becrijden, die gespannen treckende, ende daer op teeckenende, gelijck de saghers haer boomen doen daer sy doorsaeght moeten sijn; Ick neme die linien te wesen I K, L M, teeckenende daer naer insgelijcx de linien L I, ende M K, t'plat L I K M, sal t'begheerde sijn. Maer om nu de hangende swaerheyts middellini te vinden, men sal t'lichaem noch hangende an C, een weynich draeyen ende teeckenen een ander der ghelijcke swaerheyts middelplat, snyende t'voorgaende ick neem onder in N, ende boven in D, ende haer ghemeene sne D N sal de begheerde hanghende swaerheyts middellini sijn: Maer om t'swaerheyts middelpunt te vinden, men sal t'lichaem verhanghen inde d'weersde, ick neem by t'punt O, ende vinden aldaer oock des lichaems hanghende swaerheyts middellini als vooren, ick neem die {==92==} {>>pagina-aanduiding<<} te wesen O P, ende daer sy de lini D N snijt, als in Q, is t'begheerde swaerheyts middelpunt. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een lichaem sijn van form soot valt. Tbegheerde. Wy moeten sijn swaerheyts middelplat, hanghende swaerheyts middellini, ende swaerheyts middelpunt werckelick vinden. Twerck. Men sal t'lichaem A B legghen op eenighen scherpen cant als C D, dat vertreckende ter eender ende ander sijde, tot datmen sich bemercke de evestaltwichticheyt beyder sijden getroffen te hebben, t'welckick neem te wesen in E. daerom t'plat rechthouckich op denHorizontem. sichteinder t'lichaem door E snyende, sal t'begheerde swaerheyts middelplat sijn. Ende een derghelijcke plat t'voorgaende plat doorsnyende, heur ghemeene sne sal {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} hanghende swaerheyts middellini sijn. Ende sodanighen derde plat snijt die hanghende swaerheyts middellini des lichaems swaerheyts middelpunt. Welcker bewijs uyt de voorgaende openbaer is. Tbeslvyt. Wesende dan gegheven een lichaem van form soot valt, wy hebben sijn swaerheyts middelplat, hangende swaerheyts middellini, ende swaerheyts middelpunt werckelick ghevonden, naer de begheerte. 2 Voorstel. Een aldervolmaeckste vvaegh te maken. Twerck. Men sal eerst int middel des balcx A B, wiens tongh ter behoirlicker plaets sy, teeckenen de lini C D onder t'middel der tongh, rechthouckich op de canten des balcx, ende vijlen ofte weeren van d'een ende d'ander sijde soo veel stof, tot dat den balck (ligghende met de lini C D op eenighen scherpen cant) over beyden sijden met even ermen evewichtich bevonden wort. Daer naer salmen trecken D E oock rechthouckich op de canten, ende legghen den balck op eenen scherpen stalen punt, genakende inde lini D E, souckende inde selve lini D E des balcx hangende swaerheyts middellini, te weten den balck ter eender ende ander sijde vertreckende (welverstaende dat den stalen punt altijt inde lini D E blijve) tot datmen bemerckt de evewichticheyt ghetroffen te sijne, t'welck ick neem te wesen in F; Daer na geteeckent een dergelijcke punt overd'ander sijde, de rechte lini door die twee punten sal de hangende swaerheyts middellini des balcx sijn, beteeckenende t'scherp vanden dweersas, so noem ick t'yserken daer op den balc int huysken rust. Daer naer soo de schalen an dien balck met haecken moeten hanghen, men sal de plaetsen der ghenaeckselen des balcx ende dier haecken als an A, B, alsoo stellen, dat sy ende t'scherp vanden dweersas in een rechte lini A F B commen te staen: verstaet wel t'voornoemde woort Genaeckselen, want wy spreken vande eyghen wesentlicke ghenaeckselen der haecken teghen de stof des balcx. Maer soo t'ghene daer mede de schalen anden balck hanghen yet {==93==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} anders waer dan haecken, men sal op haer dergelijcke naeckselen letten. T'wele ghedaen sijnde, ende t'huysken t'sijnder plaets ghevoucht wesende, soodanighen waegh met alle even ghewichten diemen in haer schalen soude meughen legghen, sal, soo lang den dweersas op haer scherpte rust, alle ghestalt houden diemen haer gheeft, door het 10 voorstel des 1 boucx vande beginselen der Weeghconst. Maer dat alsulcken waegh de aldervolmaeckste sy, is openbaer door het 1 voorbeelt van het 12 voorstel des voornoemden 1 boucx, alwaer bethoont is, dat wesende E vastpunt, wat ghewicht men an D soude moeten hanghen, om den as in ghegheven ghestalt te houden, maer soo t'vastpunt aldaer had geweest N, te weten het swaerheyts middelpunt des gheghevens, daer en soude geen ghewicht soo cleen connen sijn,Mathematicè. Wisconstelick sprekende, dat an Dghehanghen, die sijde niet en soude doen gantschelick neerdalen: T'selve is hier oock alsoo te verstaen, te weten dat tot d'een ofte d'ander deser evewichtigher deelen een seer cleen ghewichtgheleyt, die sijde sal stracx ten gronde sincken, daer sy van sommighe ander waghen nau verroeren en soude. Maer soot den Waeghmakers te moeylick viel die plaets van t'scherp des dweersas, metgaders de ghenaeckselen der haecken ende des balcx, altijt so puntelick te treffen, sy meughen t'ghene gheseyt is houden als voor hun wit, dat so naer commende als sy willen oft connen; Ende so sy van t'volmaeckste yet souden begheeren te verschillen, meughen ghedachtich sijn t'naecksel der haecken ende des balcx liever te stellen een haerken beneden de rechte lini A B, dan daer boven, want daer boven ghestelt sijnde, alles keert omme door het 8 voorstel des 1 boucx, t'welck onbequaem is om te weghen; Ia t'ghene t'swaerste waer, soude altemet t'lichtste schijnen, voornamelick als den as door de langde des {==94==} {>>pagina-aanduiding<<} balcx int begin des wegens niet evewijdich en waer vandenHorizonte. sichteinder, overmits alles an die zijde keert daert eerst begint. Aengaende dat de ermen des balcx evelanck moeten wesen, dat is kennelick, want soo d'eene een honderste deel des erms langher waer als d'ander, dat soude een bedriechlicke waegh sijn, overmits t'ghene evewichtich schene, soude een ten hondert verschillen; ende waer d'een een vijventwintichste deel langher als d'ander, t'soude 4 ten hondert schillen, &c. Want ghelijck den langsten erm tot den cortsten, alsoo dit ghewicht tot dat, door het 1 voorstel des 1 boucx. Merckt oock dat inde langste dunste ende lichtste balcken, t'grootste voordeel is om scherpelick te weghen. Want wesende twee evesware balcken maer d'een tweemael langher als d'ander, tis kennelick dat een once, aes oft wattet sy, ande langste tweemael meer ghewelts sal doen dan ande cortste door t'voornoemde eerste voorstel. Tbeslvyt. Wy hebben dan een aldervolmaeckste waegh ghemaect na t'voornemen. 3 Voorstel. Wesende ghegheven een vvaegh diens balck evevvijdich blijft vandenHorizonte. sichteinder: T'ghevvicht te vinden dat in d'een schael gheleyt, den black in begheerde ghestalt houde. T'ghebeurt dickmael dat d'een waegh veel steger gaet als d'ander, sonder datmen weet waer an het liecht, want t'scherp des dweersas is van d'een so bequaem als van d'ander, ende inde reste en openbaert hem niet ooghenschijnelicx daermen de reden door bemercken can: Daerom sullen wy d'oirsaeck beschrijven, bethoonende wat ghewicht men in d'een schael van soodanighen waegh sal moeten legghen op dat den balck blijve in begheerde ghestalt aldus. Tghegheven. Laet de waegh A B C D sulck sijn, dat alles vry hangende, den balck soude eyntlick evewijdich vanden sichteinder rusten, ende E sy t'scherp vanden dweersas. Tbegheerde. Wy moeten inde schael D eenich gewicht legghen, sulcx dat den balck in die ghegheven ghestalt blijve. Twerck. Men sal t'huysken ende de schalen met haren coorden ende haecken afdoen, vindende des balcx met de tong daer an swaerheyts middellini, evewijdich mettet scherp vanden dweersas E, door het 1 voorstel deses boucx, t'welck ick neem F te sijne, daer naer salmen trecken een lini tusschen de plaetsen der naeckselen des balcx ende der haecken vande schalen, welcke sy G H, wiens middel sy I: Daer naer salmen F I deelen, alsoo dat de stucken inde reden sijn van t'ghewicht des balcx met de tong, welcke sy 1 ℔, tot de schalen met haer coorden ende haecken, welcke ick neem te wegen oock 1 ℔, daerom gedeelt F I, int middel K, soo sal K t'punt sijn daer an de ghegheven waegh alle gestalt soude houden diemen haer geeft; Daer na getrockƽ de lini K G, ende de hangende door Eals E L, snyende K G in M; Ick seg dat een gewicht in sulckƽ reden tot 2 ℔ (te weten 1 ℔voor den balck, en̄ 1 ℔ voor de schalen, t'samen 2 ℔) als M K tot M G, t'begeerde sal sijn, t'welck geleyt inde schael D, de waegh in die stant sal houden. Ghe- {==95==} {>>pagina-aanduiding<<} nomen dan dat M K het vijventwintichste deel waer van M G, so sal het vijventwintichste deel van 2 ℔ de waegh in die gestalt houden, waer af t'bewijs openbaer is door het 12 voorstel des 1 boucx, maer wy sullender hier om meerder claerheyt, noch een weynich af segghen. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbewys. Anghesien K swaerheyts middelpunt beteeckent des gheghevens, soo sal dePerpendiculatis. hanghende door K, des selfden swaerheyts middellini wesen, ende de hangende door G, is swaerheyts middellini des toegheleyden inde schael D, daerom de lini K G, tusschen die twee swaerheyts middellinien, is der selver weeghconstighen balck; Maer sy is ghedeelt in M, also dat den erm M G, sulcken reden heeft tot den erm M K, als diens swaerheyt tot desens; De hanghende dan door M, is swaerheyts middellini ofte hanthaef des heels, ende vervolghens den balck blijft in die ghestalt, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegeven een waegh, diens balck evewijdich blijft vanden sichteinder, wy hebben t'ghewicht ghevonden, dat in d'een schael gheleyt, den balck in begheerde ghestalt hout, na t'voornemen. {==96==} {>>pagina-aanduiding<<} 4 Voorstel. Wesende ghegeven een balck, vvelcke met haer schalen evevvijdich blijft vandƽHorizonte. sichteinder, maer sonder schalen op t'scherp vanden dvveersas niet rusten en can: Te vinden hoe svvare schalen men daer an hanghen sal, op dat den balck alle ghestalt houde diemen haer gheeft. T'ghebeurt sommighe balcken, dat sy sonder schalen op t'scherp van haren dweersas niet rusten en connen, maer wel de schalen daer an hanghende, welcker dinghen oirsaken wy door de daet versoucken moeten. Tghegheven. Laet A B een balck wesen van gedaente deses voorstels, wiens dweersassens scherp sy C. Tbegheerde. Wy moeten an desen balck twee schalen vinden (daer by men verstaen sal schalen met haer coorden en haecken) van sulck ghewicht, dat sy den balck alle ghestalt doen houden diemen haer gheeft. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Men sal vinden des balcx met de tong daer an swaerheyts middellini, evewijdich van t'scherp des dweersas C door het 1 voorstel deses boucx, welcke sy D, {==97==} {>>pagina-aanduiding<<} boven C, want in C noch onder C en salse niet vallen, overmits den balck op C, door t'ghestelde niet rusten en can, noch min onder C. Daer naer salmen trecken de lini E F tusschen de plaetsen der ghenaeckselen des balcx, ende de haecken der schalen, de selve sal nootsaeckelick vallen onder C, want vielse daer in, of daer boven, gheen schalen hoe swaer sy waren, en souden den black alle ghestalt connen doen houden diemen haer gave, ofte evewijdich doen blijven vanden sichteinder. Daer naer geteeckent G int middel van E F, men sal trecken de rechte lini D C G, ende ghelijck dan C D, tot C G, also moet t'ghewicht der begheerde schalen H I sijn, tot t'ghewicht des balcx; ick neme dat C D even sy an C G, t'ghewicht dan der schalen sal even moeten wesen an t'ghewicht des balcx, waer af t'bewijsMathematicè. Wisconstlick ghedaen is int 10 voorstel des 1 boucx, daer toe wy hier tot meerder claerheyt noch een weynich sullen segghen. Tbewys. DePerpendicularis. hangende door D, is swaerheyts middellini des balcx ter eender sijden, ende de hanghende door G is swaerheyts middellini der schalen ter ander sijde; G D dan is weegconstighen balck: Maer gelijck den erm C D tot den erm C G, alsoo dese swaerheyt tot die door t'ghestelde, het hout dan op C alle ghestalt diemen hem gheeft, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een balck, welcke met haer schalen evewijdich blijft vanden sichteinder, maer sonder schalen op t'scherp vanden dweersas niet rusten en can; wy hebben ghevonden hoe sware schalen men daer an hanghen sal, op dat de balck alle ghestalt houde diemen haer gheeft, naer de begheerte. Merckt. Tisopenbaer, dat by aldien de schalen yet swaerder waren dan boven geseyt is, ofte dat in haer eenighe even swaerheden gheleyt wierden, soo en soude den balck dan niet alle ghestalt houden diemen hem gheeft, maer evewijdich blijven vanden sichteinder, daerom en sijn sulcke waghen niet de volmaeckste. 5 Voorstel. Een aldervolmaecksten onsel te maken. Twerck. Men sal des lichamelicken balcx oppersten cant A B voorttrecken tot in C, ende laten inde lini B C de scherpten commen der twee dweersassen D, E, welverstaende dat de scherpte van D neerwaert strecke, ende van E opwaert; Daer naer salmen van het dick eynde des balcx naer B C, so veel afvijlen ofte weeren, tot dat alles int huysken F evestaltwichtich hanghe, ende dat boven dien de scherpte vanden dweersas D (t'huysken F geweert sijnde) swaerheyts middellini blijve des lichamelicken balcx A C. T'welck soo sijnde ende den selven balck int huysken F hanghende, sy sal daer in (so lang den dweersas D op haer scherpte rust) alle ghestalt houden diemen haer gheeft. Daer naer salmen sien van wat swaerheyt t'schuyfwicht G, ende den haeck H sullen sijn, diemen daer an begeert te hanghen; Ick neem G een pont, ende H een once, dat is t'sesthiende deel van G; Daerom salmen teeckenen I, also dat de lini tusschen Ien̄ t'scherp des dweersas D, even sy an t'sestiendedeel van D E, Daer naer salmen de langde D E (dat is de lini tusschen de scherpten der twee dweersassen) teeckenen van I {==98==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} naer A, so dickmael als sy daer in commen wil, t'welck ick neem te wesen in K, L, M, N, O, P, Q, R, daer naer machmen elcke langde als I K, K L, L M, &c. deelen in soo veel even deelen alst de plaets toelaet, als in tween, of in vieren, oft in achten, oft in sesthienen, &c. ende alles sal volmaeckt sijn. Maer oft dit soo nau passen der dweerssassen den onselmaeckers te moeylick viel, sy meughent (ghelijck int voorgaende 2 voorstel vande waegh oock geseyt is) houden als voor hun wit, dat soo naer volghende als sy connen, ende t'scherp des dweersas D liever een haerken boven de lini A C laten commen, dan daer onder. Wat de gebruyck belangt, als G an O hangt, ende anden haeck H een swaerheyt met de rest evestaltwichtich, die swaerhcyt sal vijf pont weghen, overmidts van I tot O vijf tecckenen staen. Maer soo elcke langde als I K, K L, L M, &c. ghedeelt waer in sesthienen, elck deel soude een once beteeckenen. By voorbeelt of G hinghe tusschen P en Q, an het, vijfthiende deel van P naer Q, de swaerheyt an H soude dan sijn van 6 ℔ 15 oncen, ende alsoo metten anderen. Nu overmits desen onsel (genomen t'schuyfwicht niet neerwaert en sliere als d'een sijde leeghst daelt) met alle evestaltwichtighe deelen die op beyde sijden hanghen, alle ghestalt hout diemen haer gheeft, soo ist (om de redenen die wy int voorgaende voorstel vanden aldervolmaecksten waegh gheseyt hebben) den aldervolmaecsten onsel. Aengaende t'bewijs, alles is openbaer door het 2 voorstel des eersten boucx. Tbeslvyt. Wy hebben dan een aldervolmaecksten onsel ghemaeckt naer de begheerte. 6 Voorstel. De scheesvvaegh temaken. Want de ghewichten niet altemael rechtneerwaert noch rechtopwaert en roeren, maer sijdeling, ende scheef; ghelijck voren verscheyden voorbeelden daer af beschreven sijn, ende hier na beschreven sullen worden, soo behouven dese een waegh van ander form dan de ghemeene, welcke wy tot onderscheyt van d'ander scheefwaeg noemen: Heur voornaemste eynde is om door oogenschijnelicke ervaring te sien, ondersoucken, ende verstaen, de waerheyt der voorstellen vande everedenheyt soodanigher ghewichten int eerste bouck {==99==} {>>pagina-aanduiding<<} Mathematicè. Wisconstlick beschreven, op datmen hem also te vastelicker betrou in t'gene men inde Daet tot s'menschen voordering daer door uytrechten wil. Twerck. Men sal maken een voet als A, met een reghel daer op tot verscheyden plaetsen door boort als B, daer naer een caterol als C, met een grouve rontom inden cant daer een draet in loopen mach, ende in sijn middel sy een as D, rustende met beyde haer eynden in een huysken, t'welck met het pinneken E, ghesteken mach worden inde gaetkens der reghel B, soo hooghe ofte leeghe alsmen wil, ende sal volmaeckt sijn. Maer t'voornaemste daermen op letten moet (op datmen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} een scheefwaegh heb die scherpelick weghe) is, dat het caterol ende den as daer in al t'samen moeten ghedracyt sijn, ende t'selve caterol ende den as soo dun alsmen can, ende dat de ronden nerghens int huysken en ghenake, latende tusschen de eyndē des dweersas ende t'plat des caterols, eenighe dickte, wat dicker dan de eynden des as. Ick heb voor my daer toe doen draeyen een caterol van bosboom, wiens dickte niet meer en was dan als den rugghe van een dun mes, ende des rondts middellini van ontrent vijf duymen, ende den as (al met den anderen ghedraeyt) van yvoor, van de dickte als een cleermakers naelde, te weten soo dun alst den draeybanck lijden mocht. 7 Voorstel. T'ondersoucken de ghedaenten der steerten daermen ghevvelt mede doet. Siende de menschen datmen met langher steerten een merckelicker grooter ghewelt dede dan met de corter, sy hebben veel gemeene reetschappen tot heuren grooten dienste ende voordeele daer door ter daet ghebrocht: Maer want sulcx alleen gheschiede door ervaringhen, ende niet door grondelicke kennis derPropositionis. everedenheyt in heur bestaende, soo en sijn veel groote nieuwe wercken dickmael niet wel gheluckt, tot groote schade der Makers, ende verachtering des voornemens. Op datmē dan wete eermen begint, wat de steerten int volmaecte werck souden connen doen, wy sullen (boven deMathematicè. Wisconstighe voorstellen des eersten boucx alsulcx vervatende) eenighe daetlicke voorbeelden daer af beschrijven. Ten eersten, want eenighe persoonen wel van meyning sijn gheweest, datmen de schepen bequamelicker ende met minder schade over een dam soude meughen brenghen, deur t'behulp van lange steerten, dan door een windas, naer de ghemeene gebruyck, wy sullen t'selve nemen als voorbeelt om te sien wat daer uyt volghen soude in deser voughen. {==100==} {>>pagina-aanduiding<<} 1 Voorbeelt. Tghegheven. Lact A een dam wesen, ende B C een plat houten bereytsel daer het schip D weghende 24000 ℔ op rusten mach (hoe t'ghewicht eens schips met al datter in is int water ligghende, bekent can worden, sal int Waterwicht sijn plaets hebben) ende dat E middel van B C passe op t'middel des dams A, ende laet B F den eenen steert sijn, ende C G (even an B F) den anderen, ende t'schip D gheweert sijnde, soo is de sijde E F evewichtich tegen E G, ende om t'schip over den dam te crijghen, men soude trecken an F, ofte heffen an G, ofte an beyde t'samen. Ende laet H I des schips swaerheyts middellini wesen, ende F E sy sesvoudich tot E H: uyt het welcke men begheert te weten wat macht ofte ghewicht an F of G met het schip evestaltwichtich sal sijn. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Overmits F G is als balck eens waeghs, diens vastpunt E, ende schips swaerheyts middellini H I, ende dat F E sesvoudich is teghen E H, soo sal t'schip sesvoudich sijn teghen t'ghewicht dat an F hanghende met hem evestaltwichtich sy, maer t'schip weeght door t'ghestelde 24000 ℔; An F dan soude moeten hanghen 4000 ℔: Daerom sooder anhinghen 25 menschen elck weghende 160 ℔, die souden tegen t'schip evestaltwichtich sijn: Maer dit verstaet hem op de stant daert nu in is, want nemende K voor swaerheyts middelpunt des schips, ende het deel E G rijsende, soo sal an F min dan 4000 ℔ behouven. Om van t'welck met voorbeelt te spreken, Laet ons trecken de lini K L rechthouckich op t'plat E C, inder voughen dat als t'plat E C evewijdich sal sijn vanden sichteinder, soo sal K L des schips swaerheyts middellini sijn. Ick neem nu dat E F sevenvoudich sy teghen E L, daerom t'sevenste deel van 24000 ℔ als 3428 4/7 ℔, sal t'ghewicht sijn t'welck an F hanghende met de rest alsdan in die standt evestaltwichtich sal sijn. Merckt. Wy hebben hier een voorbeelt gestelt daermen hem in sulcken handel soude naer meughen rechten, maer tis te ghedencken dat E F sesvoudich genomen is teghen E H, t'welck wel eenen seer langhen steert soude moeten wesen ende sterck naer de gheleghentheyt. Ick achte dattet in groote schepen (int ansien van beter) gheen goet eynde en soude nemen; met cleyne schuytkens mochtet sijn bescheet hebben. Wel is waer, datmen an de eynden F G windassen soude meughen stellen, om soo veel volcx daer niet te behouven, maer wy sullen een beter manier beschrijven int volghende 10 voorstel, ons hier vernoughende {==101==} {>>pagina-aanduiding<<} met de rekening van soodanighen voorbeelt verclaert te hebben, watmen t'sijnen voordeele daer het te pas mochte commen, bequamelicxt sal meughen gebruycken. 2 Voorbeelt. Wy hebben in t'eerste voorbeelt verclaert, de ghedaente der steerten die evelanck ende evewichtich sijn, wy sullen nu dit voorbeelt stellen van oneven steerten. Tghegheven. Laet A B C den eenen steert sijn, ende A B D den anderen, rustende met de lini A B op de cant E; Ende de lini D C snyende A B in F, sy den as des heels D A C B weghende 400 ℔, ende sijn swaerheyts middelpunt sy G, (tis wel waer datter swaerheyts middelplat rechthouckich op den as inde daet ghenouch soude doen, soo wel int volghende 3 ende 4 voorbeelt, als in dit, doch om eyghentlicker daer af te spreken, wy nemen het swaerheyts middelpunt) ende op het deel A B D light een swaerheyt H van 2000 ℔, diens swaerheyts middellini I K sy, te weten Kinden as C D; De vraegh is hoe sterck men an C sal moeten trecken, om H op te lichten. Twerck. Men sal vinden de swaerheyts middellini der swaerheyt H, ende des reetschaps D A C B al t'samen, aldus: Men sal K G deelen in Lalso dat G L sulcken reden hebbe tot L K, als 2000 ℔ tot 400 ℔, dat is als 5 tot 1, ende eenighePerpendicularis. hangende door L sal des heels swaerheyts middellini sijn; Ic neem nu dat F C twaelfvoudich bevonden sy tegen F L, daerom seg ick F C 12, gheeft F L 1, wat 2400 ℔? (te weten de somme des swaerheyts ende reetschaps) comt 200 ℔, voor t'ghene {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dat an C hanghende met de rest in die gheleghentheyt evestaltwichtich sal sijn, daerom een man weghende 200 ℔, ofte soo stijf treckende als 200 ℔ daer an hanghende trecken souden, sal met de reste evestaltwichtich sijn. Maer dit verstaet hem op de ghestalt daert nu in is, want nemende M voor swaerheyts middelpunt des ghewichts H, ende het deel A B D rijsende, soo sal an C min dan 200 ℔ behouven. Om t'welck opentlicker te verstaen, laet ons trecken de lini N O, door t'punt M rechthouckich op t'plat A B D, inder voughen dat als t'plat A B D evewydich sal sijn vandenHorizonte. sichteinder, soo sal N O swaerheyts middellini wesen der swaerheyt H, daerom ghedeelt O G in P, alsoo dat P G wederom vijfvoudich sy tot P O, te weten als 2000 ℔ tot 400 ℔, soo sal de hanghende door P alsdan swaerheyts middellini wesen des heels; Ick neem nu dat {==102==} {>>pagina-aanduiding<<} FC vijfthienvoudich sy teghen F P, daerom seg ick F C 15, gheeft F P 1, wat 2400 ℔? coemt 160 ℔, voor t' ghene dat an Changhende met de rest alsdan evestaltwichtich sal sijn. 3 Voorbeelt. Anghesien de wichtighe ghedaenten der lancien ofte dierghelijcke, op de schouder ghedraghen, ghelijck ghenouch sijn ande ghedaenten des voorgaende tweede voorbeelts, soo sullen wy daer af dit derde beschrijven. Tghe gheven. Laet A een man sijn, hebbende op sijn schouder B, een lanci C D, weghende 12 ℔, wiens as sy C D, ende haer swaerheyts middelpunt sy E, ende van t' punt des naecksels der lanci ende sijn schouder, sy ghetrocken de lini B F, rechthouckich op den sichteinder, snyende den as D C in G; Ende sijn handt rechtneerwaert treckende comt an t'punt H inden as, ende G H sy dobbel an G E. Tbegheerde. De vraegh is wat gewelt de hant ande lanci doet. Twerck. Overmits de lini G H dobbel is an G E, so sal t' ghewicht an E, dat is der lanci, dobbel sijn an t'ghewicht an H, dat is t'gene de hant treckt; Maer de lanci weegt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 12 ℔, de hant dan sal soo stijf trecken als 6 ℔ souden an H hanghende. Maer so den man A waer een Snaphaen, met een ghesnapten haen I an K hanghende, weghende 3 ℔, ende alsoo dat K G drievoudich waer an G H, tis kennelick dat den buyt sijn handt van 9 ℔ meer verswaren, ende in alles 15 ℔ trecken soude. Dit is ghenomen dat de hant recht neerwaert trecke, maer als sy scheef treckt, ghelijck dan rechtdaellini tot scheefdaellini, alsoo rechtdaelwicht tot scheefdaelwicht, door het 21 voorstel des 1 boucx der beginselen, waer wt alles bekent wort door het 22 voorstel des selfden boucx. 4 Voorbeelt. Wy hebben tot hier de ghedaente verclaert alwaer twee steerten sijn, over clcke sijde des vastpunts een; Wy sullen nu een voorbeelt gheven vanden steert alleenelick over een sijde. Tghegheven. Laet A B een steert sijn, vast an t'eynde A, de rest verroerlick, weghende 400 ℔, diensas A B, ende swaerheyts middellini C D, ende de steert A B sy lanck 10 voeten, waer op een ghewicht E light van 1000 ℔, diens swaerheyts middellini F G. De vraegh is hoe sterck men an B sal moeten heffen om den steert met t'ghewicht E op te lichten. {==103==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Twerck. Men sal vinden de swaerheyts middellini des heels, deelende eenighen balck tusschen de middellinien F G en C D, als G D, in H, alsoo dat H G sulcken reden hebbe tot H D, als 400 ℔ des steerts, tot 1000 ℔ des ghewichts F, dat is als 2 tot 5: Ick neem nu dat A H sy 2 voeten, ende segh, A B 10 voeten, gheeft A H 2 voeten, wat 1400 ℔ voor t'geheele gewicht des steerts ende pacx? comt 280 ℔. Men sal dan an B soo grooten ghewelt moeten doen om met de reste evestaltwichtich te sijn, als oftmen 280 ℔ ophielde, waer af t'bewijs openbaer is door het 14 voorstel des 1 boucx der beginselen. Maer soo den Wegher de voornoemde rekening wilde maken door naeckter kennis des gronts, hy mach sich selfs Weeghconstighe formen beschrijven, ghelijck denGeometra. Meter om t'verstercken des ghedachts, hemGeometricas. Meetconstighe voorstelt, aldus: Ick treck de lini I K, beteeckenende den steert A B van 10 voeten, ende overmits A H twee voeten was, ende H swaerheyts middelpunt, ick teecken L, also dat I L beteecken 2 voeten van I K 10, hanghende M 1400 ℔ an L, treckende daer naer I N even an I K, ende houde I voor vastpunt, ick sie wat ghewicht an N sal moeten hanghen, op dattet met M evestaltwichtich sy: T'selve is door het 3 voorstel des 1 boucx openbaer, maer wy sullender tot meerder claerheyt noch dit af segghen: Overmits I L is als vijfden deel van I N, soo moet {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} an N (door t'voornoemde 3 voorstel des 1 boucx) t'vijfdendeel hanghen van M 1400 ℔, t'welck is voor O 280 ℔ evestaltwichtich teghen M; Maer O doet soo veel an N dalende, als t'selve ghewicht an K heffende, door het 13 voorstel des 1 boucx der beginselen (want I N is even an I K) daerom die an K heft sal moeten 280 ℔heffen om met M evestaltwichtich te sijn, en̄ vervolgens hy moet 280 ℔ lichten an B, om met de rest evestaltwichtich te wesen. Derghelijcke formen mach den Wegher in alle werckelicke voorbeelden sijn selven altijt voorstellen, welcke hier om cortheyt achterghelaten sijn. Tbeslvyt. Wy hebben dan ondersocht de ghedaenten der steerten daermen ghewelt mede doet, naer de begheerte. 8 Voorstel. Te ondersoucken de ghedaenten der gedregen svvaerheden. Tghegheven. Laet A B een leere wesen, op t'een eynde swaerder als op t'ander soo sy ghemeenlick sijn, welcke ghedreghen moet worden van twee {==104==} {>>pagina-aanduiding<<} mannen, alsoo dat d'een soo veel ghewichtsdraghe als d'ander, dat is elck den helft, ende haer middellini C D, sal int draghen evewijdich vandenHorizonte. sichteinder blijven. Twerck. Men sal de leere op eenighen scherpen cant legghen, die vertreckende voorwaert ende achterwaert, tot datmen bemercke de evestaltwichticheyt getroffen te sijne, t'welck ick neem in E te wesen, ende soo sy dickwils moet verdreghen sijn van d'een plaets ten anderen, men mach an E een kerfken stellen; Laet daer naer ghetrocken worden de hangende E F, snyende C D in F, daer naer salmen teeckenen eenighe twee punten evewijt van E F, als G, H, ende die an G draecht sal even soo veel draghen als die an H. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Maer soomen dien noch soo veel ghewichts wilde doen draghen als desen, men sal desens langde tusschen hem ende E F, dobbel maken an diens. Als H E dobbel sijnde an E I, die an I droughe soude noch soo veel ghewicht draghen als die an H. Ende alsoo salmen de reden des ghewichts vanden eenen tot den anderen, connen stellen naer de begheerte. T'gene boven geseyt is vande leere sal hem also verstaen op yder lichaem, als by voorbeelt, de form hier onder, ghedenckende dat der ongheschicter lichamen linien door haer swaerheyts middelpunt lijdende als C D, gevonden worden door het 1 voorstel deses boucx, oock dat de hanghende linien door G en H, eveverre sijn vande linien E F. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==105==} {>>pagina-aanduiding<<} Wy hebben hier voorbeelden ghestelt alwaer de lini C D ghenomen is evewijdich vanden sichteinder, maer soo sy daer af onevewijdich waer, ende dat de selve mannen eenen berch ofte hooghde opsteghen, de reden vande gewichten soude veranderen, doch bekent blijven. Laet tot meerder claerheyt de voornoemde mannen een hooghde opgaen als hier onder, die an G vooren gaende d'ander achter. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Nu ghetrockenPerpendiculares. hanghende linien door de punten G, H, snyende C D in K en L, so en sal dan elck niet even veel draghen als in d'eerste ghestalt, want F K inde twee opperste formen is meerder dan F L, ende inde onderste formen minder: Ende ghelijck F K tot F L, alsoo t'ghewicht des draghers an H, tot het ghewicht des draghers an G. Alwaer oock blijckt dat als de vastpunten G, H, onder de lini C D sijn, soo draecht den voorsten minst, maer die vastpunten boven de lini C D wesende, soo draecht den voorsten meest. Tis oock kennelick dat de vastpunten G, H, inde lini C D sijnde, dat alsdan elck over al altijt sijn selfde gewicht sal dragen, so wel een berch opstigende, als langs den sichteinder: Van alle welcke de bewijsen openbaer sijn door de 14 15 16 17 18 27 28 voorstellen des 1 boucx. Maer want veler wercklieden gheleghentheyt niet en is die voorstellen te leeren, noch henlieden daer in te oeffenen, ende nochtans geerne wat ooghenschijnelicx saghen, waer door sijt gheloofden, die meughen nemen een rechten gheschickten, ofte crommen ongheschickten stock, soot valt, als A B, {==106==} {>>pagina-aanduiding<<} hem hanghende tot eenigher plaets {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} als C, an een coorde C D. Daer naer hanghende anden stock even gewichten als E, F, alsoo dat haer coorden G H, I K, eveverre sijn vande lini C D neerwaert ghetrocken, te weten dat H L even sy an L K, den stock sal haer eerste stant houden, t'selve sal sy oock doen soomen E weerde, ende datmen anhinghe t'ghewicht M, dobbel an F, ende alsoo dat L K oock dobbel sy an L N, ende soo met allen anderen, waer uyt sy de nootsaecklicheyt van t'ghene boven gheseyt is, lichtelick ghevoelen sullen. DE linien daer mede de mannen in {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} de voorgaende formen t'lichaem draghen, sijn rechthouckich op den sichteinder ghestelt, maer soo sy daer op scheefhouckich waren, als hier neven, sy sullen t'samen meerder ghewelt moeten doen, dan de eygen swaerheyt des lichaems is. Maer om te weten hoe veel yeghelick draecht, men sal trecken dePerpendiculares. hanghende linien I M, ende N O, segghende, ghelijck M I tot I G, alsoo diens rechtheswicht tot t'ghewicht dat den man an G treckt, wederom gelijck O N tot N H, alsoo diens rechthefwicht tot t'ghewicht dat den man an H treckt, door het 27 voorstel des 1 boucx der beginselen, ende yders macht wort bekent door het 22 voorstel des selvē boucx. Wy souden meer verscheyden voorbeelden vande wichtige ghedaenten der ghedreghen lichamen meughen beschrijven, maer wy latent eensdeels om de cortheyt, ten anderen dat sy door t'voorgaende kennelick ghenouch schijnen. 9 Voorstel. Te ondersoucken de ghedaenten der vvindassen, ende der ghetrocken svvaerheden. Het treckendwicht ende ghetrocken wicht des windas, sijnProportionales. everednich met deSemidiameter. halfmiddellini des as, ende de halfmiddellini des radts, maer om alles oirdentlicker te beschrijven, wy sullender eenTheorema. Vertooch af maken soodanich. {==107==} {>>pagina-aanduiding<<} Vertooch. VVesende een vvindas an diens as een ghevvicht hangt, evestaltvvichtich teghen t'ghevvicht an t'eynde des radts middellini die evevvijdich is vandenHorizonte. sichteinder: Ghelijck dan de halfmiddellini des radts, tot de half-middellini des rondts vanden as, alsoo t'ghevvicht anden as, tottet ghevvicht ant'radt. Tghegheven. Laet A B C D E F G een windas sijn, diens as E F G, wiens rondts middellini E F, ende middelpunt H sy, ende I een ghewicht anden as hanghende, ende A B C D sy het radt, diens middellini evewijdich vanden sichteinder, sy A C, an wiens eynde A een ghewicht K hangt, evestaltwichtich teghen I, ende L sy t'onderste ghenaecksel des as teghen t'ghene daer sy op rust. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck H A tot H F, alsoo I tot K. Tbewys. Laet ons t'radt A B C D ansien als voor balck eens waeghs, diens hanthaef L B, inder voughen dat de sijde des radts B D A, de ghewichten K, I, gheweert {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijnde, evewichtich hangt teghen de sijde B D C. Laet ons nu nemen dattet ghewicht I hanghe an t'punt F (want het daer van de selve macht soude sijn, diet t'sijnder plaets is) ende K t'sijnder plaets an A. Dit so wesende, ghelijck den langsten erm H A, tot den cortsten H F, alsoo de swaerste swaerheyt I, tot de lichtste K, door het 1 voorstel des 1 boucx der beginselen. Daerom by aldien H A sesvoudich waer teghen H F, soo sal I sesvoudich wesen tegen K dat is, wegende I ses hondert pont, K salder hondert weghen, daerom een man treckende an A, soo stijf als hondert ponden neerdrucken, die soude teghen I 600 ℔ evestaltwichtich sijn, ende om I te doen rijsen soude (om t'ghenaecsel des as &c.) wat stijver moeten trecken dan 100 ℔ neerdrucken. 2 Voorbeelt. De ghedaenten der cranen ende der ghelijcke raeyers daer menschen in gaen sijn door t'voorgaende oock openbaer. Laet tot voorbeelt A B C D een radt wesen, diensDiameter. middellini A C, evewijdich sy vandenHorizonte. sichteinder, ende t'rondt des as ty E F, wiens middelpunt G, ende t'ghewicht anden as sy H, ende I sy een man in tradt evestaltwichtich tegen H, diens swaerheyts middellini rechthouckich op A C sy I K. Ende is kennelick dat ghelijck G K tot G F, alsoo t'gewicht {==108==} {>>pagina-aanduiding<<} H tot het ghewicht des mans I, ghenomen dan dat G K viervoudich sy teghen G F, soo sal t'ghewicht H viervoudich sijn teghen t'ghewicht des mans, daerom soo den man woughe 150 ℔, soo sal H weghen 600 ℔. Oock en sal den man op die plaets de swaerheyt H niet connen opwinden, overmits hy aldaer maer evestaltwichtich teghen H en staet; Maer by aldien hy voortgaet naer A, soo sal H {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} rijsen, want de reden vande lini G K tot G F, soude dan grooter wesen dan sy nu is. Maer alsser meer menschen int radt gaen dan een, die naest A sijn doen t'meeste ghewelt, ende de reden van haer altsamen ende van yder int besonder tot t'ghewicht H, is openbaer door het 3 voorstel des 1 boucx. 3 Voorbeelt. Dit heeft hem alsoo met de ghewichten die recht op ghetrocken worden, als packen ende vaten diemen door cranen uyt schepen windt, ende dier ghelijcke; Maer de ghewichten die scheef opwaert commen, als onder anderen de schepen diemen in Neerlant tot veel plaetsen over dammen windt, tis met dePropositione. everedenheyt van dien wat anders ghestelt. Laet tot voorbeelt A een dam wesen, ende B een schuyt die daer over getrocken moet worden, ende C D het radt, wiens middellini evewijdich vandenHorizonte. sichteinder sy C D, ende daer in een man tegen de schuyt Bevestaltwichtich, wiens swaerheyts middellini F E, ende de coorde sy G H, ende des assens rondt sy I K, ende haer,Centrum. middelpunt L: Laet oock ghetrocken sijn N M, rechthouckich op t'plat des dams, ende M inde coorde G H; Daer naer dePerpendiculares. hanghende O N; Laet nu L F sesvoudich sijn tot L K, ende N O drievoudich tot O M, ende den man weghen 150 ℔. Dit so sijnde ghelijck L F tot L K, alsoo t'ghewicht dat ande coorde H G recht neer soude hanghen, tot t'ghewicht des mans van 150 ℔, door t'voorgaende vertooch, maer L F is door t'ghestel de sesvoudich an L K, t'ghewicht dan dat ande coorde H G recht neer {==109==} {>>pagina-aanduiding<<} hinghe, soude sesvoudich sijn an 150 ℔, dat is 900 ℔; den man dan doet in t' radt soo veel ghewelts ande schuyt B, als ofter met de scheefwaegh 900 ℔ an hinghen. T'welck soo sijnde t'ghewicht der schuyt B, heeft sulcken reden tot die {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 900 ℔, als N O tot O M door het 20 voorstel des 1 boucx; Maer N O is drievoudich an O M door t'gestelde, de schuyt dan weegt driemael 900 ℔, dat is 2700 ℔, dat is achtienmael den man. T'welck hem soo verstaet wesende de schuyt in die ghestalt, maer als sy hoogher comt, soo sal de coorde G H steylder sijn (ten waer men die ande schuyt versette) ende vervolghens de lini als M O sal wat meerder reden hebben tot O N, dan sy nu doet, waer door oock het evestaltwicht teghen de schuyt alsdan meerder soude sijn dan 900 ℔; Daerom yemant willende een radt ende as van pas bouwen, niet te groot noch te cleen, mach sijn rekening maken naer de ghestalt daer in een der swaerste schuyten ofte schepen de meeste ghewelt behouft. Tis oock te ghedencken dat den man E in t'radt de meeste ghewelt doet, als de coorde G H evewijdich is van t'plat des dams P N, door het 24 voorstel des 1 boucx der beginselen, want dan is H G rechthouckich op den as (op dat ickse soo noem) der schuyt, dat is op de lini door t'swaerheyts middelpunt der schuyt, ende rechthouckich op t'plat P N: Daerom hoe dat G H ende P N de evewijdicheyt naerder sijn, hoe lichter werck, ende hoe verder, hoe swaerder. 4 Voorbeelt. uyt het voorgaende is oock kennelick, hoe veel ghewichts een peert in een waghen ghespannen, meer treckt een hooghde op stijghende, dan opt plat lant. Laet by voorbeelt A B t'plat sijn eens berghs, ende C D een waghen, wegende met datter op is al tsamen 2000 ℔, ende E F (inde plaets der strijnghen) sy de coorde, ende G sy t'peert, evestaltwichtich teghen den waghen. Laet oock getrocken sijn dePerpendicularis. hanghende H I, ende I K, rechthouckich op t'plat A B, ende laet I H viervoudich sijn tot H K, ende is kennelick door het 20 voorstel des 1 boucx der beginselen, dat ghelijck K H tot H I, alsoo t'ghewicht der scheefwaegh sooder een waer (in diens plaets nu t'peert is) tottet ghewicht des waghens, maer K H is t'vierendeel van H I door t'ghestelde; des scheefwaeghs wicht dan soude van 500 ℔ sijn, te weten t'vierendeel van t'ghewicht des waghens; Daerom t'gareel oft riem oft sulcx alst waer, {==110==} {>>pagina-aanduiding<<} druckt t'peert soo stijf voor den borst L, als een pack van 500 ℔ op sijn rugghe duwen soude, ende dat (welverstaende alst voortgaet) boven het duytsel dattet lijdt op t'plat lant treckende. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tis oock openbaer door het 24 voorstel des 1 boucx, ende door t'ghene wy hier voren vande schuyt gheseyt hebben, dat als de strijngen evewydich sijn vande wech daer de waghen over vaert, dat de peerden dan de meesten ghewelt ande waghen doen, welverstaende op eenen harden gantsch effenen wech, maer op eenen oneffenen hobbelighen ende sandighen, so voorderet de strijnghen achter wat leegher te doen dan vooren. T'welck den Hollantschen voerlien door d'ervaring niet onbekent en is, diens wagens daer naer gemaeckt sijnde, doen de strijnghen, langs t'zeestrant varende, ende in derghelijcke even harde weghen, achter hoogher, dan inde oneven ende sandighe. Reden is dese, dat wesende de strijnghen evewijdich vanden sichteinder, soo en sijnse niet evewijdich met die oneven verhefselen, t'welck int overtrecken nootsaeckelick meerder last anbrengt, dan als de strijnghen achter leegher sijn, overmits sy dan de evewijdicheyt met die verhefselen naerder sijn. Inde sandighe daer de waghen diep insinckt, daer drucken de raeyers dieper ende moeylicker door t'sant, wesende de strijnghen evewijdich vanden sichteinder, dan als sy achter wat leegher sijn. Merckt. Yemant mocht ons nu twee saken voorworpen; Ten eersten, waerom wy hier boven gheseyt hebben: Ghelijck H K tot H I, alsoo t'ghewicht der scheefwaegh sooder een waer (in diens plaets nu t'peert is) tottet ghewicht des waghens; Achtende datmen niet en behoort te segghen tottet ghewicht des waghens, maer, tottet rechthefwicht van t'ghewicht des waghens. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ten tweeden waerom wy geen onderscheyt beschreven en hebben vande plaets der coorde E F, twijfelende dat de selve voortghetrocken ende lijdende door t'swaerheydts middelpunt des waghens, een ander ghewicht voor t'peert mocht veroirsaken, dan als sy daer boven of daer onder comt. Om op t'welck te verantwoordē, en̄Mathematice. Wisconstlic te bewijsen dat de bovēschreven everedenheyt volcom- {==111==} {>>pagina-aanduiding<<} men is: soo laet A B C een waghen sijn, al van wisconstighe linien ghemaeckt, wiens raeyers sijn D, E, ende den wech daer hy op rust sy F G, ende de coorde des toecomenden scheefhefwichts sy A H. Laet ons nu op desen waghen legghen een pylaer I K als hier onder, alsoo dat H A voortghetrocken comme in des pylaers swaerheyts middelpunt L, ende laet het scheefhefwicht M teghen den pylaer evestaltwichtich sijn; Laet oock an L ghevoucht worden t'rechthefwicht N, met den pylaer evestaltwichtich: Laet ons oock trecken dePerpendicularem. hanghende B O, snyende A H in O, t'welck so sijnde, wy segghen door het 20 voorstel des 1 boucx, dat ghelijck A O tot O B, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} alsoo M tot t'rechthefwicht N; Maer anghesien N ghevoucht is an t'swaerheyts middelpunt L, des pylaers I K, soo sal N evewichtich sijn met den pylaer door het 14 voorstel des 1 boucx; Daerom meughen wy segghen ghelijck A O tot O B, also M tot den pylaer, waer uyt d'eerste voorgheworpen saeck openbaer is als H A comt uyt het swaerheyts middelpunt L. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Maer om nu het tweede voorgheworpen te bewijsen, dat is de selveProportionē. everedenheyt dus ooc te bestaen al en comt A H niet uyt het swaerheyts middelpunt L, soo laet ons den pylaer I K rechtopwaert uyt den waghen trecken, rustende op de hangende swaerheydts middellijn L P, als hier neven: Ende door de 3 Begheerte, sy en brengt op den waghen A B C, gheen meerder swaerheyt dan in d'eerste ghestalt, ende vervolghens Men heeft niet meer te trecken dan sy te vooren en dede: Maer H A voortghetrocken comt nu onder t'swaerheyts middelpunt L. Commende dan de voortghetrocken H A onder t'swaerheyts middelpunt L, soo treckt M t'selfde ghewicht dat sy track doen H A in t'swaerheyts middelpunt quam. T'selve salmen oock alsoo bethoonen {==112==} {>>pagina-aanduiding<<} commende de voortghetrocken lini H A boven t'swaerheyts middelpunt L, dat is treckende den pylaer I K rechtneerwaert onder den waghen. Uyt het welcke t'voornemen openbaer ende bewesen is. 10 Voorstel. Ghedaenten en omstandigen der oneyndelicke crachten te verclaren. De menschen maecken verscheyden reetschappen om cracht met te doen, waer in sy de ghewelt altijt connen vermeerderen sonder eynde, welcke wy daerom int ghemeen oneyndelicke crachten noemen. Om te verclaren de ghedaenten en omstandighen der selfde; Als wat doende ghewelt in sulcken voorghestelden tuych evestaltwichtich sal sijn teghen het vertreckelick ghewicht: Hoe langhe tijt datter sal behouven om t'selve een seker verheyt te beweghen, en dierghelijcke, daer toe sal ick een form teyckenen van eenvoudighe gedaente, doch sulcx dat icker mijn voorghenomen verclaring bequamelick me sal connen te kennen gheven, eerst wat geseyt hebbende van Archimedes oneyndelicke cracht, daer Plutarchus en ander af schrijven: Te weten dat Hiero Coninc van Sicilien dede bouwen een schip van uytnemender grootheyt, en constiger form, om te schencken an Ptolemeus Coninck van Egypten: T'welck doent volmaeckt was, de Burghers van Syracusa om sijn swaerheyt in zee niet crijghen en conden, maer doen Archimedes daer an ghestelt hadde sijn tuych diemen opt Griecx Charistion noemde, Hiero heeftet daer door selfs alleen metter hant vertrocken. Dese Charistion (nae de form die Iacques Besson daer af heeft laten uytgaen, ghevonden inde bouckas des Conincx van Vranckrijck) hadde assen met oneyndelicke schrouven: Een werck voorwaer weerdich sijn eewige ghedachtenis, en soudet hier beschrijven overmidts wy tot sulcke stof ghecommen sijn, ten waer ick in die plaets stelde de boveschreven oneyndelicke cracht, als connende daer me bequamelick verclaren, ghelijck gheseyt is, de ghemeene reghel der eyghenschappen vande oneyndelicke crachten, en dat boven dien dit mijns bedunckens tot sulcke daet bequamer is: Te weten stercker ghedueriger werck: Van minder cost: Door t'welckmen op eveveel tijts meer afveerdicht: En ghelijck de Charistion van oneyndelicke cracht. T'maecksel daer af is dusdanich. Men sal nemen een boom ofte balck als A B, sterck ende groot naer de cracht dieder door gedaen moet sijn: Daer nae salmen maken een yser sterreken als C, ick neem dat sijnDiameter. middellini van drie duymen sy, ende dattet ses tanden heb, ende in sijn middel stekende een yseren as C D, an d'eynden C D viercantich, ende tusschen beyden rondt, daer naer de sterre E, ick neem met 18 tanden, ende t'sterreken F met 6 tanden, daer in stekende een yseren as E F, even ende ghelijck met den as C D, te weten ande eynden viercantich, ende tusschen beyden ront: ende ghelijck E F is, soo salmen oock maken G H, ende I K, dat is G ende K elck met ses tanden, ende H ende I met 18 tanden. Maer want de bovenste sterren de meeste last sullen lijden, als hier naer blijcken sal, soo sullen sy stercker ende grooter sijn dan d'onderste, daer uyt oock volghen sal dat de assen evewijdich van malcanderen wesende, de sterre H sal connen ghenaken an F, ende niet an K, ende de sterre G an I, ende niet an E, t'welck soowesen moet. Daer naer salmen maken de kruck L M N, wiens viercantich gat des viercantighen cokers L, passe op alle de viercantighe eynden der assen, als D, F, H, K, {==113==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ende L M sy lanck een voet, so gemeenlick sulcke langden in crucken van slijpsteenen ende dierghelijcke sijn, ende M N soo lanck als hier naer geseyt sal worden. Daer naer salmen inden boom A B vier gaten booren, van malcander in sulcker wijde als de vierassen staen, ghelijck de gaten O, P, Q, R, van achter door commende, daer de vier assen I K, G H, E F, C D in passen meugen, ende de langde der assen tusschen de sterren, sal even sijn ande dickte des booms, ende der assen vierhouckighe eynden an K, H, F, D, sullen al ontrent de drie ofte vier duymen buyten de sterren steken, Daer naer aftreckende de sterre I, men sal den as I K steken, int gat O, ende insgelijcx den as G H in t'gat P, ende E F in Q, ende C D in R, stellende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} wederom elcke sterre van achter an heur as, alsoo dat de tanden der sterre F ande voorste sijde, meughen doen draeyen de sterre H, ende dat de tanden der sterre C ande achterste sijde, meughen doen draeyen de sterre E, ende dat de tanden van G, doen draeyen I, ende haer ghestalt voor volmaeckt Almachtich sal dan sijn als hier nevens. Nu ghelijck wy t'voorbeelt hier ghegheven hebben van vier assen, soo machmender meer ofte min stellen: Ende de 18 tanden der groote sterren welcke drievoudich sijn tot de ses tanden der cleene sterren, die machmē in meerder ofte minder reden stellen, naer ghelegentheyt van t'ghene daermen t'Almachtich toe maeckt. Van tghebrvyck ende ander Ancleving des almachtichs. Maer om degebruyck deses Almachtichs te verclaren, wy sullen een voorbeelt gheven daer alle d'ander ghenouch door sullen bekent sijn, te weten {==114==} {>>pagina-aanduiding<<} van schepen daer mede over dammen of dijcken te trecken, want dat den cleynsten dienst niet en schijnt, die dese landen hier in gedaen mach worden, voornamelic Hollant. Laet A B t'bovenschreven Almachtich sijn, met de sterrē, K, H, F, over dees sijde des booms A B, ende de sterren I, G, E, C, over d'ander sijde, ende L M N sy de cruck, ende S den as, diens middellini van 1½ voet sy, commende door den boom met een yser sterre an t'eynde als T, wiens middelliniick neem te sijn van 2 voeten (sy moet ten minsten so veel langher sijn dan de middellini van t'rondt des as S, dat de sterre I den as S niet en gheraecke) ende te hebben 36 tanden, ende V sy den dam, wiens hoochde bovē t'onderste des scheeps vryelick {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} int water ligghende (dat is int ansien derPerpendiculares. hangende lini van t'sop des dams totet plat evewijdich vandenHorizonte. sichteinder door t'onderste des schips) sy vier voeten, ende X sy t'schip. Nu om t'selve over te winden, men sal draeyen ande kruck L M N, daerom sal d'hanthaef M N so lanck sijn, datter al de ghene diemender toe bruycken wil, over beyden sijden bequamelick an staen meughen. Reden dieder is vande keeren des krvcx tot de keeren des as. Want de kruck L M N driemael omdraeyt teghen F eenmael, soo sal sy 9 mael omdraeyen teghen H eenmael, ende 27 mael teghen Keenmael, ende 162 mael teghen T ofte den as S eenmael. Tisoock kennelick dat de kruck ghestelt an t'eynde des as F, sy sal 54 mael omdraeyen teghen Seenmael, ende gestelt an H sal 18 mael omdraeyen teghen S eenmael, ende ghestelt an K, sal ses mael omdraeyen teghen S eenmael, ende ghestelt an T, sal soo dickmael om- {==115==} {>>pagina-aanduiding<<} draeyen als S. Maer als yemant draeyt an een hoogher dan D, by ghelijcknis an K, op dat dan alle de onderste sterren niet snellick mede omdraeyen, t'welck onnoodighe swaerheyt soude aenbrenghen, soo salmen d'eerstvolghende der onderste, t'welck hier G soude wesen, op sijn as wat verschuyven, tot dat heur tanden buyten de tanden van I sijn, ende dan sullen alle d'onderste stil staen. Reden vande cracht des draeyers ande crvck, tot het ghetrocken vvicht als t'schip X. Wan't L M lanck een voet door t'ghestelde, achtvoudich is teghen de halve middellini vande sterre C, soo sal t'ghewicht veroirsaeckt uyt de sterre E op C, teghen sijn evestaltwichtighe swaerheyt ofte macht an M N, wesen als van 8 tot 1, ende om de selve reden door t'veroirsaekte van H op F, als van 24 tot 1, ende van I op G, als 72 tot 1, ende van T op K, als 216 tot 1: Maer t'rondt des as S isPotentiae. machtelick even an t'rondt T, (wy segghen machtelick, wantActis. daetlick, de middellini des rondts van S doet 1½ voet van T twee voeten door t'ghestelde, maer want de tanden van T, sesvoudich sijn an de tanden van K, daerom sal sijn middellini machtelick sesvoudich sijn teghen de middellini van K, doende 3 duymen, die van T dan 18 duymen, dat is 1½ voet, als de middellini des as S) t'ghewicht dan anden as S recht neerhanghende, sal sulcken reden hebben tot sijn evestaltwicht, ofte macht an M N, als van 216 tot 1. Wy souden oock connen vanden as S neerwaert de rekening maken ghelijck sy hier van onderen opwaert ghedaen is. Wy connen t'voornoemde oock aldus verclaren: Anghesien M N 162 mael omdraeyt, tegen den as S eenmael, (als boven bewesen is) ende dat de middellini des radts beschreven door den keer van M N, sulcken reden heeft tot de middellini des rondts vanden as S, als 4 tot 3, (want L M is een voet, ende deSemidiameter. half-middellini des rondts vanden as S is ¾ voets) soo sal de langde der omtrecken vande 162 ronden beschreven door de keeren van M N, sulcken reden hebben tot de langde vanden omtreck des rondts der as S, als 216 tot 1, de selfde reden sullen oock hebben de 216 halfmiddellinien van dat rondt, tot de eenighe halfmiddellini van dit rondt, Daerom oock, door het 1 voorstel des 1 boucx, sal t'ghewicht an die, sulcken reden hebben an t'ghewicht ofte de macht an dese, als van 216 tot 1 ghelijck vooren. Waer uyt volght dat wesende an M N een gheduerighe macht soo groot als 25 ℔ souden neertrecken, t'welck ick de macht schat van eē man, ende grooter als hy wil, (wel is waer dat een man ter noot onghelijck veel grooter macht doen can, maer wy nemen dit voorbeeltsche wijse) de selve macht sal evestaltwichtich sijn teghen 5400 ℔ (dat is 216 mael 25 ℔) recht neerhanghende anden as S: Ghenomen nu dat het schip X sesvoudich sy, teghen dat sijn evestaltwicht an den as S recht neerhanghende, soo sal t'schip X weghende 32400 (dat is 9 last ghewichts reeckenende 3600 ℔ voor t'last) evestaltwichtich sijn teghen t'ghewicht, ofte die gheduerighe macht van 25 ℔an M N. {==116==} {>>pagina-aanduiding<<} Vande menichte der keeren des crvcx om tschip over den dam te vvinden: Ende vanden tijt die de arbeyders behouven. Maer wesende door t'ghestelde t'schip sesvoudich teghen t'ghewicht anden as Shanghende, soo sal de langde van t'sop des dams scheefneerwaert, oock sesvoudich sijn tegen de hoochde diet schip moet verheven worden, (door het 19 voorstel des 1 boucx) welcke door t'ghestelde is 4 voeten, de selve dan ses mael maeckt 24 voeten, voor de voornoemde langde; Laet ons nu nemen dat dese 24 voeten ghewonden moeten worden op den as S, om t'swaerheyts middelpunt des schips over t'middel des dams te crijghen; Soo wy dan als vooren, den omtreck van t'rondt des as stellen als drievoudich (die reden is in desen ghevalle naer ghenouch) teghen sijn middellini 1½ voet, sy sal 4½ voeten wesen, de selve sijn inde voornoemde 24 voeten 5½ mael, den as S dan, sal 5⅓ keeren moeten omdraeyen, maer elcke keer van die behouft 162 keeren van M N als vooren bewesen is, daer sullen dan in als behouven 864 keeren van M N. Wy souden oock meughen aldus segghen: Elcken keer van M N vervoert 25 ℔ ses voeten verre, dat is, hanghende een ghewicht anden as S van 5400 ℔, elcken keer van M N doet soo veel, als oft het van dien telckemael 25 ℔ 6 voeten hoogh trocke, ende vervolghens als oftet sesmael 25 ℔, dats 150 ℔ des scheeps, trocke 6 voeten verre, daerom gedeelt 32400 ℔ door 150 ℔, comt 216, waer door t'schip met elcke 216 keeren van M N ses voeten voort commen sal, maer t'moet viermael 6 voeten commen, t'moet dan hebben viermael 216 keeren, dat is als vooren 864 keeren. Ofte andersins (anghesien t'schip in als 4 voeten hooch moet commen) men machaldus segghen, met eenen keer trecktmen 25 ℔ ses voeten hooch, met hoe veel keeren salmen 32400 ℔ trecken 4 voeten hooch?comt als vooren met 864 keeren. Maer wy achten datter een man 1000 can doen op een vierendeel uyrs, ghenomen dan dat hem alles soo heb als gheseyt is, hy sal t'schip met datter in is t'samen 9 last weghende, alleen overwinden op min dan een vierendeel uyrs. Maer sooder drie mannen toe waren, sy meughen de cruck an F steken, ende sullent dan overtrecken op t'derdendeel van een vierendeel uyrs, dat is op 1/12 uyrs: Ende sooder neghen mannen toe waren, sy mochten de kruck an H steken, ende sullent in 1/36 uyrs overwinden. Men soude oock meughen anden anderen boom Y een Almachtich maken als an den boom A B, ende bedeelen de menschen op beyden sijden. Merckt. Wy hebben hier een voorbeelt ghestelt al of t'schip in t'overwinden voor den arbeyders altijt van eenvaerdigher swaerheyt waer, welcke nochtans merckelick verandert naer de form ende ghestalt van t'voorghesette, want swaerder gadet int laetste dan int begin, om de redenen die int 3 voorbeelt des 9 voorstels deses boucx van derghelijcke gheseyt sijn; Daerom salmen t'voorgaende achten als voorbeelt verclarende hoemen in yder voorghestelde ofte begheerde form sijn rekening maken sal. Angaende de sterren die in t'Almachtich recht boven malcanderen ghestelt {==117==} {>>pagina-aanduiding<<} sijn, men soudese oock meughen neven den anderen voughen, ofte met paren, daert de gheleghentheyt hiessche. Verclaring van t'ghene vooren belooft is. Ick heb hier vooren int t'begin deses voorstels gheseyt dat dese oneyndelicke cracht mijns bedunckens soude sijn stercker werck; Ende van minder cost dan den Charistion; Ende door t'welckmen op corter tijt meer afveerdicht; Ende van oneyndelicke cracht. Angaende de sterckte des wercx, ick achte die openbaer, (daer beneven een beter nemmermeer versmaende) want wat soudemen tot sulcken daet vromer wenschen, dan een stercke boom soo hy ghewassen is, wiens stof vaster in een hout dan eenich gheraemte van verscheyden stucken vergaert. De cleynen cost is oock kennelick. Wat den corteren tijt belangt, die volght daer uyt, datmen de kruck mach steken an sulcken as der sterren alsmen wil, naer ghelegentheyt vande menichte der arbeydende menschen, ende het tetreckenwicht, te weten voor de lichter ghewichten de kruck hoogher, ende voor de swaerder leegher te steken, al soo datmen door eenen behoirlicken arbeyt, het tetreckenwicht hoe swaer het sy, altijt gaende hout sonder stil staen, t'welck inde Charistion noch ander windassen soo niet gheschien en can, want om een cleyne lichte schuyt, ghebruycktmen door windassen, t'ghene een veel grooter cracht vermach, t'welck den tijt langher doet an loopen. Maer is het te treckenwicht swaerder dan daer door bequamelick can gedaen worden, soo moetmen daer toe nemen groote menichte van menschen ofte peerden, welcke met grooten arbeyt altemet voortgaen, altemet stil staen, ende daer door den tijt verlanghen; Ia boven dien de schepen seer beschadighen, want een der grootste die over den Leytschen Dam getrocken worden van derthien oft veerthien last, behouft twintich menschen die inde raeyers gaen, welcke dickwils naer eenen stille stant al t'samen neerdalen, ende met eenen grooten gheweldigen hurt de schepen seer quetsen, t'welck door t'Almachtich niet gheschien en can, overmits t'schip altijt eenvaerdelick ende sachtkens voorcomt. Maer om vande oneyndelicke cracht te segghen, het is te weten datmen met de kruck hier boven an D, so veel vermach alsmen soude met een windas diens radts middellini van 324 voeten waer, t'welck aldus betoocht wort: Laet wesen een radt diens middellini 324 voeten, ende sijn as sy S, wiens rondts middellini sy van 1½ voet, waer door de halfmiddellini des radts sulcken reden sal hebben tot de halfmiddellini des as, als 216 tot 1, daerom oock t'gewicht ofte de macht anden as, sal sulcken reden hebben tot sijn evestaltwicht an t'uyterste des radts, als 216 tot 1 door het 9 voorstel deses boucx, de selve reden isser oock van t'ghewicht an den as S, tot sijn evestaltwicht an M N, daerom soo wy gheseyt hebben wesende de kruck an D, men sal door haer anden as S so veel vermeughen, als door een radt diens middellini lanck waer 324 voeten. Maer de meeste diemen maeckt en schijnen de 30 voeten niet te bereycken, waer uyt opentlick blijckt hoe veel t'Almachtich meer vermach dan de windassen, wel is waer dat eenen gaende int radt eens windas, sijn ghewelt met minder arbeyt doet, maer ghemerckt de voorgaende omstaende, ten is niet het nutste. Doch soo yemant sulcken voordeel door den ganck in t'radt begheerde daert noodich viel, hy {==118==} {>>pagina-aanduiding<<} soude an eenighen as der assen D, F, H, K, T, meughen steken een schijfloop, inde plaets vande kruc, stellende tanden an t'uyterste van eenich radt eens windas, die in die schijfloop draeyen mochten, maer t'voordeel en soude dickmael de oncosten niet weerdich sijn. Maer soo dees voornoemde reetschap niet gheweldich ghenouch bevonden wierde, om daer mede t'voornemen te volbrenghen, daer en is verloren cost, noch onnoodighen arbeyt ghedaen, want stellende alleenelick onder D noch een as als d'ander, drievoudighende de voorgaende 216, ende daer an de kruck stellende, 1 soude ande selve evestaltwichtich sijn teghen 648 anden as S, door welck middel men tot de begheerde ghewelt commensal. Maer datmen alsoo maeckte een almachtich met 30 assen, wiens tanden van de grootste sterren thienvoudich waren teghen de tanden vande cleynste sterren, ende het deel des crucx als L M, even ande halfmiddellini der grootste sterre, ende t'rondt des as als S, even an t'rondt der cleenste sterre (t'welck alsoo wonderlicken grooten werck niet en waer) t'ghewicht an soodanighen as hanghende, soude sulcken reden hebben tot sijn evestaltwicht ande kruck, als 1000000000000000000000000000000 tot 1: Genomen dan dat den omtreck van t'ront der cleenste sterre waer 1 voet, soo soude den omtreck van t'radt eens windas (diens assens ronts omtreck oock een voet) om de selve cracht daermede te doen, moeten sijn van 1000000000000000000000000000000 voeten: Maer den omtreck van t'grootste rondt des eertrijcx (rekenende denGradum. trap op 480 stadien, ende elcke stadie op 125 Meetconstighe stappen, ende elcken Meetconstighen stap op 5 voeten) en is maer 108000000 voeten; Siet dan hoe menich hondert duysentmael grooter dan t'grootste rondt des eertbodems, dat het ront eens radts van een windas soude moeten wesen, om soo grooten ghewelt mede te doen als met sulcken slechten Almachtich. Laet ons nu ande kruck (stekende anden leeghsten as van soodanighen Almachtich) een kindeken stellen, wat meer macht daer an doende dan een hangende pont, t'selve soude op dē hoochsten as een ghewicht winden van 100000000000000000000000000000000 ℔, (maer ghedenckt dat dien hoochsten as op den eersten dach gheen heele keeren doen en soude) dat is een ghewicht swaerder dan vier duysentmael t'eertrijck met al datter in is, t'welck aldus bewesen wort: Den omtreck van t'grootste rondt des eertrijcx is van 108000000 voeten, als boven gheseyt is, daerom t'plat des selfden ronts is minder dan 1000000000000000 voeten, daerom ooc is t'vlac des werelts-cloots minder dan 4000000000000000 voeten, ende t'sestendeel der middellini is corter dan 6000000 voeten, daer mede vermenichvuldicht de voornoemde 4000000000000000, soo is t'eertrijck minder dan 24000000000000000000000 teerlijncksche voeten; Laet elcken voet 100 ℔ weghen (sy en is op veel na soo swaer niet) t'gheheele eertrijck dan is lichter als 240000000000000000000000000 ℔, t'selfde is meer dan vier duysent mael in 1000000000000000000000000000000 ℔ soo wy bethoonen wilden. Wy segghen dan met reden dat dese reetschap machtelick van oneyndelicke cracht is: Daerom doen Archimedes seyde, soomen hem een vaste plaets leverde buyten t'eertrijck daer hy sijn Charistion mocht stellen, hy soude t'eertrijck uyt sijn plaets trecken, hoe vreemt het luyt, tis nochtans de reden lijckformich, want by aldien het soo niet en waer, de swaerste swaerheyt en soude niet sulcken reden hebben tot de lichtste, als den langsten erm tot den cortsten, t'welck door het 1 voorstel des 1 boucx onmeughelick is. Maer om by voorbeelt hier af te spreken; Ghenomen dat de Charistion ofte t'Almachtich op soodanighen plaets stonde, ende dat het certrijck woughe alsvooren gheseyt is {==119==} {>>pagina-aanduiding<<} 240000000000000000000000000 ℔, ende dat een man met yder keer der kruck 100 ℔ drie voeten hoogh trocke, ende op yder uyr 4000 keeren dede, ende dat gheduerende thien jaren lanck, rekenende t'jaer op 365 daghen, tis openbaer dat hy t'eertrijck op dien tijt het 10512/24000000000000000000 eens voets, dats bycans 1/2400000000000000 voets, uyt sijn plaets vertrecken soude, t'welck wel is waer een onsienlicke langde is, maer wy moesten de oneyndelicke cracht verclaren, die machtelick hier in bestaet. Nu hoe alsulcke Almachtighen tot verscheyden wercken sullen meughen ghevoucht worden, als dat een schip in hem sal connen hebben een seer cleen reetschap van gheringhen cost, nochtans seer crachtich, hem dienende voor Craen om te laden ende ontladen: Om groote anckers op te winden: Voort om perssen te maken, als lakenperssen ende dierghelijcke, gheweldelicker druckende dan noyt perssen en dructen: Om in groote ghebouwen sware steenen op te trecken, ende meer ander daermen groote ghewelt behouft, van alle dese en gheven wy gheen besonder voorbeelden, overmits yder uyt het voorschreven Almachtich an sijn werck een derghelijcke, naer gheleghentheyt sal meughen vougen, beter dan wy segghen connen; Tis voor ons ghenouch sijn ghedaente alhier beschreven te hebben. derde bovcx EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==121==} {>>pagina-aanduiding<<} Vierde bovck der weeghconst, vande beginselen desElementa. waterwichts. {==122==} {>>pagina-aanduiding<<} Argumentū. Cortbegryp. WY sullen ten eersten beschrijven deDesinitiones. bepalingen van d'eygen vvoorden deser Const, metgaders dePostulata. begeerten. Daer naer dePropositiones. voorstellen, vvelcker negen eerste verclaren sullen, ettelicke vvichtighe eyghenschappen der lichamen int vvater. Het, 10, 11, 12, 13, 14, 15, voor stel sal syn vande macht der drucking des vvaters teghen bodems. Het 16 ende 17 voorstel, vande noodighe langden der sijden des bodems om begheerde drucking des vvaters daer teghen te hebben. Het 18 19 ende 20 voorstel, vande svvaerheyts middelpunten der gheprang selen des vvaters in bodems vergaert. Het 21 voorstel, om door t'gevvicht des vvaters sijngrootheyt te vinden. Het 22 ende laetste voorstel, vandeProportionibus. everedenheden best aende tusschen der lichamengrootheyt, stofsvvaerheyt, ende gevvicht. Achter t'boveschreven sal noch volghen den Anvang der vvatervvichtdaet. {==123==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerst de Bepalinghen.Definitionen 1 Bepaling. Bekende svvaerheyt noemen vvy hier, diens bekende grootheyt door bekent ghevvicht gheuytet voort. 2 Bepaling. Evestofsvvare lichamen, diens evegrootheden inde locht evevvichtich sijn. 3 Bepaling. Maer Stofsvvaerste lichaem, dat der evegrooten t'svvaerste is. 4 Bepaling. Ende Stoflichtste lichaem, dat dier evegrooten t'lichtste is. 5 Bepaling. Ende soo menichmael t'svvaerste der evegrooten svvaerder is dan t'lichtste, soo menichmael stofsvvaerder segghen vvy dat als dit. 6 Bepaling. Stijflichaem is, diens stof niet en vliet, door t'vvelck oock vvater noch locht en dringt. 7 Bepaling. Vlacvat is t'geheelGeometrica superficies. Meetconstich vlack eens lichaems, door t'ghedacht daer af scheydelick. 8 Bepaling. Bodem is alle vlack daer eenich vvater teghen rust. {==124==} {>>pagina-aanduiding<<} 9 Bepaling. Gheschickt bodem noemen vvy yderPlanum. plat, t'vvelck met alle rechte lini doorsijnCentrum. middelpunt, in tvvee even deelen ghedeelt vvort. Verclaring. Als ronden, scheefronden, evewijdighe vierhoucken, ende alle gheschickte veelhoucken in t'rondt beschrijvelick, diens menichte der sijden effental is, ende allen anderen van wat form sy souden meughen wesen, als A, B, ende diergelijcke, welcke door haer middelpunt met alle rechte lini in twee even deelen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} connen ghedeelt worden, noemen wy Gheschickte bodems, tot onderscheyt der ghene die met alle rechte lini door haer middelpunt niet in twee even deelen gedeelt en worden, welcke door t'verkeerde deser bepaling al ongeschicte bodems heeten, als driehoucken, ende veelhoucken met oneven menichte der sijden, ende dierghelijcke. D'oirsaeck der bepaling deses Gheschickts bodems is (soo in t'volghende blijcken sal) dat den pylaer diens gront een gheschickt bodem is, in twee even deelen ghedeelt wort, met alle plat door tweeHomologa. lijckstandighe punten schoens teghen over malcanderen staende inde omtrecken des grondts ende decksels. 10 Bepaling. Ydel noemen vvy een plaets daer geen lichaem in en is. 11 Bepaling. Ledich daer niet dan locht in en is. Postulata. Begheerten. 1 Begheerte. Der lichamen ghevvicht inde locht eyghen ghenoemt te vvorden, maer in t'vvater naer de ghestalt. 2 Begheerte. T'voorghestelde vvater overal eenvaerdigher svvaerheyt te sijn. {==125==} {>>pagina-aanduiding<<} 3 Begheerte. T'ghevvicht dat een vat ondieper doet sincken, lichter te vvesen, maer dieper, svvaerder, ende evediep, evesvvaer te sijn. 4 Begheerte. T'vlackvat te connen vvater ende ander stof houden sonder breken of form te veranderen. 5 Begheerte. T'vlackvat vol vvaters uytghegoten sijnde, ledich te blijven. Verclaring. Ledich te blijven, dat is niet ydel, want anders t'ghewicht des lochts souder ghebreken. 6 Begheerte. Yder vvaters oppervlackEsse planum parallelū cū Horizonte. plat te vvesen, evevvijdich vanden sichteinder. Verclaring. T'welck int ansien dattet deel des clootvlacx ofte wereltvlacx is (wereltvlack noemen wy alle clootvlack diens middelpunt des werelts middelpunt is) oock in een droppel erghens op ligghende ofte anhangende, ofte in water daer eenich lichaem me bestreken mocht wesen, soo niet en is, maer in soo cleyne menichvuldicheyt waters als dese, noch in soo groote als daer t'ginste in merckelick is, en verkeeren de volghendeProportiones. voorstellen niet. Wel is waer dat wy des waters oppervlack souden meugen nemen voor deel des wereltvlacx, ende de volgende beschrijving daer na rechten, maer wanttet moeylicker waer, ende tottet eynde, dat is de Waterwichtdaet, niet voorderlicker, soo worter begeert datmen toelate, yder waters oppervlack plat te wesen, evewijdich vanden sichteinder. 7 Begheerte. Wesende den grondt ende decksel eens pylaers vvaters evev vijdich vanden sichteinder, ende de rechte linien tusschenHomologa. lijckstandige punten der selver rechthouckich op den sichteinder: Dat die linien voortghetrocken in t'vverelts middelpunt vergaren; oock sulcke grondt ende decksel deelen van vvereltvlacken te sijn. Verclaring. Laet A B C D een pylaer wesen diens decksel A B, ende grondt D C evewijdich sijn vanden sichteinder, ende B C sy een rechte lini rechthouckich op den {==126==} {>>pagina-aanduiding<<} sichteinder tusschen twee lijckstandighe punten C, B, maer E sy t'werelts middelpunt, laet nu ghetrocken worden de linien A E, ende B E, naeckende den grondt D C inde punten F, G, tusschen welcke beschreven sy den grondt F G ghelijck met D C. Dit so wesende, t'blijckt dat de linien B C ende A D voortghetrocken, niet en vergaren in E, want dieder in vergaren sijn A F, ende B G, oock en sijn de platten A B ende D C geen deelen van wereltvlacken, nochtans {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} begheeren wy toeghelaten te worden, dat B C ende A D voortghetrocken, daer in versamen, ende dat die platten A B, D C deelen van wereltvlacken sijn, reden dat in al t'ghene ons inde Waterwichtdaet ontmoet, sulck verschil onbemerckelick is, soot ooc is tusschen den pylaer A B C D endePars Pyramidis. t'naeldensdeel A B G F, schoon ghenomen dat A B ende F G deelen van wereltvlacken waren. Tis wel soo, dat wy inde plaets des pylaers A B C D, souden meughen nemen soodanich lichaem A B G F, ende de volgende voorstellen daer naer rechten, maer om sulcke redenen als onder de 6 begheerte gheseyt sijn, soo ist beter gelaten, want ghelijckt indeAstrologia. Sterconst slichtheyt waer, niet toe te laten t'eertrijck voor des werelts middelpunt ghenomen te worden, alsoo dat oock hier. Nv dePropositiones. voorstellen. 1 Vertooch. 1 Voorstel. T'ghestelde vvater hout alle plaets diemen hem binnen vvater gheeft. Tghegheven. Laet het water in t'vlackvat A t'ghestelde water sijn in t'water B C. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet water A in die plaets sal blijven. Tbewys. En latet water A (soot meughelick waer) sijn plaets niet houden, maer het' sy ghedaelt daer D is; Dit soo toeghelaten, t'water dat daer naer inde plaets van A gecommen is, sal om de selve oirsaeck oock ter plaets van D dalen, t'welck daer naer oock een derghelijcke ander doen sal, inder voughen dat dit water (om dat de reden altijt de selve is) een eewich roersel sal maken, t'welck ongheschickt is. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} S'ghelijcx sal oock bethoont worden dat A niet rijsen, ofte naer eenighe ander sijden hem begheven en can. T'blijckt oock dat soomen A stelde binnen t'water ter plaets van D,E,F, of G, dat tet om de voornoemde redenen, op yder van die plaetsen, ende over al daerment in B C set, blijven sal. Tbeslvyt. T'gestelde water dan, hout alle plaets diemen hem binnen water gheeft, t'welck wy bewijsen moesten. {==127==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Vertooch. 2 Voorstel. Een stijflichaem stoflichter dan vvater, en sinckt niet heel daer onder, maer een deel blijfter uyt stekende. Tghegheven. Laet het stijflichaem A, stoflichter sijn dan t'water B C, diens oppervlack B D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat A, gheleyt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} in t'water B C, niet heel daer onder sincken en sal, maer datter een deel buyten t water sal blijven steken. Tbereytsel. Laet E F een vlackvat sijn, wiens deel dat binnen t'water ende met water ghevult is, sy G F, evegroot ende ghelijck an A, ende sijn oppervlack G H sal in t'vlack B D sijn, overmidts t'vlackvat E F licht noch swaer en is. Tbewys. Anghesien A stoflichter is door t'ghegheven dan t'water G F, ende dat G F evegroot is an A, soo is G F swaerder dan A. Laet ons nu t'water G F dat in t'vlackvat E F is, uytgieten, ende legghen daer in t'lichaem A, t'welck die plaets effen vullen sal, overmits A door t'bereytsel gelijck en̄ evegroot is an G F; Maer als vooren geseyt is t'lichaem A is lichter dan t'uytgegoten water; T'vlackvat dan E F en sal van A so diep niet sincken alst van t'water G F dede, door de 3 begheerte; Maer soo veel t'vlackvat E F ondieper sinckt, soo veel moetet lichaem A nootsakelick buyten t'water steken. Tbeslvyt. Een stijflichaem dan stoflichter als water, en sinckt niet heel daer onder, maer een deel blijfter uytstekende; t'welck wy bewijsen moesten. 3 Vertooch. 3 Voorstel. Een stijflichaem stofsvvaerder dan vvater sinckt tot den grondt. Tghegheven. Laet A een stijflichaem wesen stofswaerder dan t'water B C, diens oppervlack B D, ende gront E C sijn. Tbegeerde. Wymoeten bewijsen dat A gheleyt in t'water B C, sin cken sal tot den grondt E C. Tbereytsel. Laet F G een vlackvat sijn met water ghevult, evegroot ende ghelijck an A, wiens oppervlack F H in t'vlack B D sy. Tbewys. Anghesien A stofswaerder is door ghestelde dan t'water F G, ende dat F G evegroot is an A, so is A swaerder dan F G. Laet ons nu t'water F G dat in t'vlacvat {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} F G is, uytgieten, ende legghen daer in t'lichaem A, t'welck die plaets effen vullen sal, overmits A door t'gestelde gelijck en evegroot is an F G; Maer soo wy vooren gheseyt hebben, A is swaerder dan het uytghegoten water; T'vlackvat dan F G sal van A dieper sincken alst van t'water F G dede door de 3 begheerte. Wy hebben dan bethoont dattet lichaem A sincken sal. Daer rest noch bewesen te worden dattet oock sincken sal tot op den grondt E C, aldus: En latet (soot meu- {==128==} {>>pagina-aanduiding<<} ghelick waer) niet sincken tot E C, maer op den wech tusschen beyden blijven als daer I is, ende laet ons t'stijflichaem datter in t'vlack vat I steeckt, weeren, ende vollen dat met water, t'selve sal door het 1 voorstel op die plaets blijven: Maer dit water is lichter als dat lichaem, een swaerder dan ende een lichter, sullen op een selfde plaets blijven, t'welck ongheschickt ende teghen de 3 begheerte is. T'lichaem A dan, en can tusschen t'oppervlack B D ende den grondt E C niet blijven, t'moet dan nootsakelick sincken tot dattet op den grondt E C rust. Tbeslvyt. Een stijflichaem dan stofswwerder als water, sinckt tot den grondt, t'welck wy bewijsen moesten. 4 Vertooch. 4 Voorstel. Een stijflichaem evestofsvvaer an vvater, hout alle plaets diemen hem binnen vvater gheeft. Tghegheven. Laet het stijflichaem A, evenstofswaer sijn mettet water B C. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat A in t'water B C gheleyt, alle plaets hout diemen hem daer gheeft. Tbereytsel. Laet D een vlackvat vol waters sijn, evegroot ende ghelijck an A. Tbewys. Anghesien A evestofswaer is door t'ghegheven an t'water D, ende dat D evegroot is met A, soo is D oock eveswaer met A; Laet ons nu t'water D dat in t'vlackvat D is, uytgieten, ende leggen daer in sijn evewichtich lichaem A, t'welc {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} die plaets effen vullen sal, overmits A door t'ghestelde ghelijcken evegroot is an D; T'vlackvat dan D en sal van A niet dieper sincken noch hoogher rijsen dan van t'water D, door de 3 begheerte: Maer t'water D hielt in B C alle plaets diemen hem gaf door het 1 voorstel, t'stijflichaem A dan, hout in t'water B C alle plaets diemen hem gheeft. Tbeslvyt. Een stijflichaem dan evestofswaer an water, hout alle plaets diemen hem binnen water gheeft, t'welck wy bewijsen moesten. 5 Vertooch. 5 Voorstel. Een stijflichaem stoflichter dan vvater daert in light, is evevvichtich an t'vvater evegroot met sijn deel dat binnen t'vvater is. Tghegheven. Laet A B een stoflichter stijflichaem sijn dan t'water C D daert in ligt, ende sijn vlackvat sy A B, ende sijn deel binnen t'water sy E B. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat het stijflichaem A B, evewichtich is an t'water dat evegroot is met het deel E B dat binnen t'water C D is. Tbewys. Laet ons t'stijflichaem A B trecken uyt het vlackvat A B, ende vullen t'vlacvat weder met water, tot dattet soo diep ingesoncken is alst eerst mettet lichaem was. T'welck soo sijnde, t'water E B datter in t'vlackvat A B is, sal (want t'op- {==129==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} pervlack van alle water des vlackvats met een deel buyten t'water stekende, is altijt in t'oppervlack des omvangenden waters, overmits t'vlackvat niet en weeght) evewichtich sijn an t'gegheven lichaem A B, Reden, dat twee ghewichten die een vat evediep doen sincken oock eveswaer sijn, door de 3 begheerte. Tbeslvyt. Een stijflichaem dan stoflichter als water daert in light, is evewichtich an t'water evegroot met sijn deel dat binnen t'water is, t'welckwy bewijsen moesten. 1 Werckstick. 6 Voorstel. Ligghende t'een deel des stijflichaems bekender grootheyt, in vvater bekender svvaerheyt, ende t'ander deel daer buyten: Te vinden t'ghevvicht des heelen lichaems. Tghegheven. Laet A B C D een stijflichaem wesen van form soot valt, ende E F een water van t'welck een teerlincksche voet weegt 65 ℔, (so veel weeght naer d'ervaring een Delfsche voet Deifs water, ende daer op sullen wyse inde volgende voorbeelden altijt schatten) ende des lichaems deel binnen t'water sy A C D, wiens grootheyt sy van 10000 teerlijncksche voeten. Tbegheerde. Wy moeten vinden hoe swaer t'heel lichaem A B C D sy, met al datter in ende op is. Twerck. Men sal 10000 menichvuldighen met de 65 ℔ comt 650000 ℔ voor t'begheerde. Tbewys. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Het heel lichaem A B C D is evewichtich an t'water evegroot met A C D door het 5 voorstel, maer t'water evegroot an A C D weeght 650000 ℔, het heel lichaem dan A B C D weeght 650000 ℔, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Ligghende dan t'een deel des stijflichaems bekender grootheyt, in water bekender swaerheyt, ende t'ander deel daer buyten; wy hebben t'ghewicht des heelen lichaems ghevonden naer den eysch. 6 Vertooch. 7 Voorstel. Wesende tvvee onevestofsvvare vvateren, ende een stijflichaem stoflichter dan eenich van dien: Ghelijck de stofsvvaerheyt des svvaersten vvaters, tot de stofsvvaerheyt des lichtsten, alsoo de grootheyt diens stijflichaems binnen t'vvater in t'lichtste vvater geleyt, tot sijn grootheyt binnen t'vvater in t'svvaerste gheleyt. Tghegheven. Laet A B een water sijn, stofswaerder dan t'water C D, ende E F sy een stijflichaem stoflichter dan eenich dier twee wateren, t'welck {==130==} {>>pagina-aanduiding<<} eerst gheleyt in t'water A B, soo daelter onder t'water het deel G F, maer t'selve lichaem E F gheleyt in t'water C D, t'welck daer sy H I, so sinckter onder t'water het deel K I. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat gelijck de stofswaerheyt des waters A B, tot de stofswaerheyt des waters C D, alsoo de grootheyt K I, tot G F. Tbewys. T'water des waters A B evegroot an G F, is eveswaer mettet lichaem E F, ende t'water des waters C D evegroot an K I, is eveswaer mettet lichaem H I door het {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 5 voorstel, maer t'lichaem E F ofte H I is al een selfde lichaem door t'ghegheven, daerom t'water des waters A B evegroot met G F, is eveswaer an t'water des waters C D evegroot met K I; Maer wesende twee eveswaere wateren, gelijck haer grootheyt tot grootheyt, also overandert haer stofswaerheyt tot stofswaerheyt, als nootsakelick volght uyt de toeghelaten 5 bepaling, daerom ghelijck de stofswaerheyt des waters A B, tot de stofswaerheyt des waters C D, alsoo de grootheyt K I, tot de grootheyt G F. Tbeslvyt. Wesende dan twee onevestofsware wateren ende een stijflichaem, &c. 7 Vertooch. 8 Voorstel. Yder stijflichaem is soo veel lichter in t'vvater dan inde locht, als de svvaerheyt des vvaters met hem evegroot. Tghegheven. Laet A een stijflichaem sijn, ende B C een water. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat A in t'water B C gheleyt, aldaer soo veel lichter sal sijn dan inde locht, als de swaerheyt des waters met hem evegroot. Tbereytsel. Laet D een vlackvat vol waters sijn, even ende ghelijck an A. Tbewys. T'vlackvat D vol waters, en is in t'water B C licht noch swaer, want het daer in alle ghestalt hout diemen hem gheeft, door het 1 voorstel, daerom t'water D uytghegoten, t'vlackvat sal t'ghewicht des waters lichter sijn dant in sijn eerste {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} ghedaente was, dat is, van soo veel volcommentlick licht: Laet ons nu daer in legghen t'lichaem A, t'selve sal daer in effen passen, om dat sy even ende ghelijck sijn door t'ghestelde. Ende t'vlackvat mettet lichaem A alsoo daer in, sal weghen t'gewicht van A met sijn voornoemde lichticheyt, dat is t'gewicht van A min t'ghewicht des waters datter eerst uytghegoten was, maer dat water is evegroot an A. Daerom A in t'water B C geleyt, is daer in soo veel lichter dan inde locht, als de swaerheyt des waters met hem evegroot. Tbeslvyt. Yder stijflichaems swaerheyt dan, is soo veel lichter in t'water dan inde locht, als de swaerheyt des waters met hem evegroot, t'welck wy bewijsen moesten. {==131==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Werckstvck 9 Voorstel. Wesende ghegheven de reden der stofsvvaerheyt des vvaters, ende eens stijflichaems, ende des stijflichaems svvaerheyt: Sijn staltvvicht in t'vvater te vinden. 1 Voorbeelt alvvaer t'stijflichaem stoflichter is dan vvater. Tghegheven. Laet A B een water sijn, ende C een stijflichaem weghende 2 ℔, ende de stofswaerheyt des waters, tot de stofswaerheyt des stijflichaems sy als van 5 tot 1. Tbegheerde. Wy moeten des stijflichaems C staltwicht in t'water A B vinden. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Men sal sien hoe veel een lichaem waters evegroot met C, weghen soude, wort bevonden 5 mael 2 ℔, dat is 10 ℔, de selve getrockē van 2 ℔ des stijflichaems C, rest min 8 ℔, dat is licht ofte rijsendwicht 8 ℔ voor C in t'water A B. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Om t'welck opentlicker te verclaren, soo neemt dat C in t'water A B ghesteken sy, ende daer teghen ghehanghen t'ghewicht D van 8 ℔, als hier nevens, ende D sal met C evestaltwichtich sijn. 2 Voorbeelt, alvvaer t'stijflichaem stofsvvaerder is dan t'vvater, diens vvercking ghelijck is ande voorgaende. Tghegheven. Laet de reden der stofswaerheyt des waters A B hier boven, tot het stijflichaem C, nu sijn als van 1 tot 4, ende laet C weghen 12 ℔. Tbegheerde. Wy moeten des stijflichaems staltwicht in t'water A B vinden. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Men sal sien hoe veel een lichaem waters evegroot met C weghen soude; wort bevonden het ¼ van C 12 ℔, dat is 3 ℔, de selve getrocken van 12 ℔ des stijflichaems C, rest 9 ℔ voor t'ghewicht van C in t'water A B. Om t'welck breeder te verclaren, soo neemt dat C in t'water A B ghesteken sy, ende daer teghen hanghe t'ghewicht D van 9 ℔, als hier nevens, ende D sal met C evestaltwichtich sijn. {==132==} {>>pagina-aanduiding<<} Wy souden oock meughen een derde voorbeelt setten, alwaer de reden der stofswaerheyt des waters ende stijflichaems even waer, maer t'is blijckelick dat (oock volghende de reghel der voorgaender wercking) sulcken stijflichaem in t'water licht noch swaer sijn en sal, van alle welcke t'bewijs openbaer is door t'boveschreven 8 voorstel. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven de reden der stofswaerheyt des waters, ende eens stijflichaems, ende des stijflichaems swaerheyt: Wy hebben sijn staltwicht in t'water ghevonden naer den eysch. 8 Vertooch. 10 Voorstel. Op yder bodem des vvatersParalleū cū Horizonte. evevvijdich sijnde vanden sichteinder, rust eē gevvicht even ande svvaerheyt vvaters die evegroot is met den pylaer, vviens grondt dien bodem is, ende hoochde, dePerpendienlaris. hanghende lini vanPlano. t'plat door t'vvaters oppervlack tot den gront. Tghegheven. Laet A B C D een water sijn, van form een lichamelick rechthouck, diens oppervlack A B is, ende eenighen bodem daer in E F, evewijdich vanden sichteinder; Laet oock G E de hanghende lini sijn van t'plat door t'waters oppervlack totten grondt E F, ende den pylaer begrepen onder den bodem E F ende hoochde E G, sy G H F E. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat op den bodem E F, rust het ghewicht even ande swaerheyt waters des pylaers G H F E. Tbewys. Soo op den bodem E F meer ghewicht rust dan des waters G H F E, dat sal moeten commen van weghen t'nevenstaende water; Latet sijn soot meugelick {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} waer, van t'water A G E D ende H B C F; Maer dat so ghenomen, daer sal op den bodem D E, van weghen t'water G H F E, om dat de reden de selve is, ooc meer ghewichts rusten dan des waters A G E D; ende op den bodem F C, oock meer ghewichts dan des waters H B C F, ende vervolgens op den heelen bodem D C sal meer ghewichts rusten, dan des heelen waters A B C D, t'welck (ghemerckt A B C D een lichamelick rechthouck is) ongheschicktwaer. S'ghelijcx salmen oock bethoonen dat op den bodem E F niet min en rust dan t'water G H F E, daer rust dan nootsakelick op t'ghewicht even ande swaerheyt waters des pylaers G H F E. 1 Vervolgh. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Laet ons nu in t'water A B C D des 10 voorstels, legghen een stijflichaem I K L M, stoflichter dan water, dat is drijvende op t'water, mettet deel N O L M daer binnen, ende mettet deel N O K I daer buyten, welcker gestalt dan sy als hier onder. Dit soo sijnde, t'stijflichaem I K L M is evewichtich mettet water evegroot an N O L M door het 5 voorstel, waer door t'lichaem I K L M, met de rest des waters rondom hem, evewich- {==133==} {>>pagina-aanduiding<<} tich is an een lichaem waters evegroot an A B C D daerom segghen wy noch naer luyt des voorstels, dat teghen den bodem E F een ghewicht rust, even ande swaerheyt waters die evegroot is met den pylaer, diens gront E F is, ende hoochde de hanghende lini G E, vanPlano. t'plat A B, door t'waters oppervlack A N totten grondt F F: Waer uyt blijckt dat eenighe drijvende stof in t'water gheleyt, sy en verswaert noch en verlicht (welverstaende als t'water inde selfde hoochde blijft) den grondt niet. 2 Vervolgh. Laet andermael int water A B C D, legghen een stijflichaem, ofte verscheyden stijflichamen evestofswaer mettet water, ick neem alsoo, datter maer water en blijft als t'begrepen binnen I K F E L M; T'welck soo sijnde, dese lichamen en beswaren noch en verlichten den grondt E F niet meer dan t'water eerst en {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dede: Daerom segghen wy noch naer luyt des voorstels, dat tegen den bodem E F, een gewicht rust even ande swaerheyt waters die evegroot is metten pylaer, wiens gront E F is, ende hoochde de hanghende lini G E, van t'plat A B door t'waters oppervlack M I, totten grondt E F. 3 Vervolgh. Laet wederom A B C D t'eenemael water sijn, ende E F een bodem daer in, evewijdich vanden sichteinder. T'welck soo wesende, t'water onder den bodem E F, stoot even soo stijf daer teghen opwaert, als t'water boven den bodem {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} E F, daer teghen neerwaert stoot: Want by aldient so niet en waer, t'cranckste soude voor t'sterckste wijcken, t'welck niet en ghebeurt, want yder hout sijn gegheven plaets door het 1 voorstel. Laet nu eenighe stijflichamen evestofswaer mettet water, alsoo geleyt worden, dattet water I K E F L M, van onder anstoot teghen E F, als hier nevens. Dit soo sijnde, t'water onder den boden E F, stoot nu soo stijf teghen E F, dat is teghen t'stijflichaem, alst te vooren teghen t'water dede; maer t'stack daer teghen soo stijf als t'bovenste teghen E F stiet, so vooren gheseyt is, ende t'bovenste stiet teghen E F naer luyt deses voorstels, daerom t'onderste stoot oock tegen E F naer luyt deses voorstels, dat is soo wy boven gheseyt hebben, dat teghen den bodem E F noch een ghewicht rust, even ande swaerheyt waters die evegroot is metten pylaer, diensgrondt E F is, ende hoochde de hanghende lini G E, van t'plat A B door t'waters oppervlack M I totten grondt E F. 4 Vervolgh. Laet ons nu de stijflichamen des 2 ende 3 vervolghs tot haer plaets hechten, ende t'water uytgieten, ende daer sal een ledige plaets I K F E L M blijven, ende den grondt E F en sal gheen ghewicht draghen; waer uyt blijckt, dat met die cleyne ledighe plaets weder vol waters te gieten, soo salmen den gront E F even {==134==} {>>pagina-aanduiding<<} soo seer beswaren, als of t'gheheele vat A B C D (de ingheleyde stijflichamen gheweert sijnde) vol waters waer. 5 Vervolgh. Maer anghesien de ingheleyde stijflichamen des 2 ende 3 vervolghs t'haerder plaets ghehecht sijn, soo en gheeft noch en neemt haeruyterste stof tot de beswaring ofte verlichting des grondts E F, daerom laet ons de stof der selver rondtom afcorten, alsoo datter blijven de inwendighe ongheschickte formen oft vaten met water ghevult M I K F E L, als hier onder. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ende sullen noch segghen naer luyt des voorstels, dat teghen den bodem E F een ghewicht rust, even ande swaerheyt waters die evegroot is metten pylaer, wiens gront E F is, en̄ hoochde de hangende lini van t'plat door t'waters oppervlack M I, totten grondt E F. Ende dit alsoo om de selve reden van alle ander formen diens bodems in een plat sijn evewijdich vanden sichteinder. Tbeslvyt. Op yder bodem dan des waters evewijdich sijnde, &c. Leest d'ervaringhen hier af breeder inden Anvang der Waterwichtdaet. Merckt. Wy souden t'boveschreven 10 voorstel eyghentlicker aldus uytghesproken hebben: Op yder bodem des vvaters in een vvereltvlack sijnde, rust een ghevvicht even ande svvaerheyt vvaters die evegroot is mettet clootsdeel begrepen tusschen den bodem ende t'vvereltvlack door t'vvaters hoochste punt, ende t'vlack tusschen die tvvee vlacken, beschreven met de oneyndelicke rechte lini vast in t'vverelts middelpunt, ende ghedraeyt door des bodemsCircumserentiam. omtreck. Daer afbewijsende sulcx als boven bewesen is, maer om de redenen onder de 7 begheerte verclaert, soo ist beter ghelaten. 9 Vertooch. 11 Voorstel. Wesende een gheschickt bodem diens hoochste punt in t'vvaters oppervlack is: T'ghevvicht daer teghen rustende is even anden helft des pylaers vvaters, diens gront even an dien bodem is, ende hoochde, dePerpendicularis. hanghende lini van {==135==} {>>pagina-aanduiding<<} des bodems hoochste punt, tot hetPlano. plat evevvijdich van denHorizonte. sichteinder door des bodems leeghste punt. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B een vat waters wesen, en̄ den bodem A C D E sy ten eersten een evewijdich vierhouck, onevewijdich vanden sichteinder, daer op rechthouckich, diens hoochste sijde A C in t'waters oppervlack A C F G is, ende A E sy de hanghende lini van des bodems hoochste punt, tot het plat evewijdich vanden sichteinder door des bodems leeghste punt, dat is door E D, en̄ A G sy soo lanck alst valt. Laet oock de lini D B evewijdich sijn vanden sichteinder, ende daer in gheteeckent H, alsoo dat D H even sy an D C, oock getrocken worden C H, ende met A C H D E sy beteeckent den helft des pylaers diens gront A C D E, ende hoochde D H even an A E. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet ghewicht waters teghen den bodem A C D E rustende, even is anden voornoemden halven pylaer A C H D E; Dat is (om t'selve opentlicker te verclaren) ghenomen dat I een scheefwicht sy, eveswaer met A C H D E, diens trecklini K L, evewijdich is met {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} D H, ende dat K swaerheyts middelpunt sy vande macht des gheprangs vergaert inden bodem (wiēs middelpunts vinding door t'volghende 18 voorstel bekent wort) t'ghewicht I staet teghen t'gheprang des waters evewichtich, houdende den bodem A C D E (ghenomen datse beweeghlick waer) in die stant. Ofte tot meerder claerheyt, laet M N O P een bodem sijn, even ende ghelijck an A C D E, te weten de sijde M PHomologa. lijckstandige met A C, ende M N met A E, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} op welcken bodem M N O P, ligt een stijflichaem M N O P Q, even, ghelijck, ende eveswaer met den halven pylaer A C H D E, ende de lini Q O even an D H, sy rechthoukich op den sichteinder. Ick seg dat alsulcken gheprang als dat stijflichaem M N O P Q, doet teghen den bodem M N O P, te weten meer pranghende naer N O dan naer M P, om dattet aldaer dicker en swaerder is dan alhier, even soodanigen gheprang doet t'water A B, oock teghen den bodem A C D E, meer pranghende naer E D dan naer A C. Tbereytsel. Laet de sijde A E ghedeelt worden in vier even deelen, met de punten R, S, T, ende daer uyt ghetrocken worden R V, S X, T Y, evewijdighe met A C; Laet oock ghetrocken worden V Z, X α, Y β evewijdige met D H, ende snyende C H inde punten γ, δ, ε, ende alsoo, dat yder der linien γ Z, δ α, ε β, even sy an V γ; Laet daer naer door t'punt γ ghetrocken worden de lini ζ η, evewijdighe met C D, snyende X α in ς, ende Y β in ι, sghelijcx de lini Z ϰ, door δ, snyende Y β in λ, sghelijcx de lini α μ door ε, ende ten laetsten β H. {==136==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. Teghen den bodem A C V R rust meer ghewichts dan niet, want waer dien bodem in t'waters oppervlack, soo souder niet teghen rusten, maer sy comt nu leegher, daer rust dan meer teghen als niet: Ten anderen segh ick datter min teghen rust dan t'lichaem waters A C ζγ V R, want waer sy evewijdich vanden sichteinder door R V, soo souder dat lichaem A C ζ γ V R teghen rusten, door het 10 voorstel, maer sy comt nu hoogher, daer rust dan min teghen. S'ghelijcx segh ick dat teghen den bodem R V X S, meer ghewichts rust dan des lichaems A C ζ γ V R, want waer dien bodem evewijdich vanden sichteinder door R V, daer soude dat lichaem teghen rusten door het 10 voorstel, maer sy comt nu leegher, daer rust dan meer tegen, maer t'lichaem R V γϑ X S is even an t'lichaem A C ζγ V R, daerom teghen den bodem R V X S, rust meer ghewichts dan des lichaems R V γ ϑ X S. Ten anderen seg ick datter min tegen rust dan t'lichaem A C ζ ϑ X S, want waer dien bodem evewijdich vanden sichteinder door S X, soo souder dat lichaem A C ζτ X S teghen rusten door het 10 voorstel, maer sy comt nu hoogher, daer rust dan min teghen, maer t'lichaem R V Z δ X S is even an t'lichaem A C ζ ϑ X S, daerom rust teghen den bodem R V X S min als t'lichaem R V Z δ X S. S'ghelijcx segh ick dat teghen den bodem S X Y T meer gewichts rust dan des lichaems A C ζϑ X S, want waer dien bodem evewijdich vanden sichteinder door S X, daer soude dat lichaem teghen rusten door het 10 voorstel, maer sy comt nu leegher, daer rust dan meer teghen, maer t'lichaem S X δλ Y T is even an t'lichaem A C ζϑ X S, daerom tegen den bodem S X Y T rust meer ghewichts dan des lichaems S X δλ Y T. Ten anderen segh ick datter min teghen rust dan t'lichaem A C ζι Y T, want waer dien bodem evewijdich vanden sichteinder door T Y, soo souder dat lichaem A C ζ ι Y teghen rusten, door het 10 voorstel, maer sy comt nu hoogher, daer rust dan min teghen, maer r'lichaem S X α ε Y T is even an t'lichaem A C ζ ι Y T, daerom rust teghen den bodem S X Y T min als t'lichaem S X αε Y T. S'ghelijcx segh ick dat tegen den bodem T Y D E, meer ghewichts rust dan des lichaems A C ζ ι Y T, want waer dien bodem evewijdich vanden sichteinder door T Y, daer soude dat lichaem teghen rusten door het 10 voorstel, maer sy comt nu leegher, daer rust dan meer teghen, maer t'lichaem T Y ε μ D E is even an t'lichaem A C ζ ι Y T, daerom teghen den bodem T Y D E rust meer gewichts dan des lichaems T Y ε μ D E. Ten anderen segh ick datter min teghen rust dan t'lichaem A C ζη D E, want waer dien bodem evewijdich vanden sichteinder door E D, soo souder dat lichaem A C ζ η D E teghen rusten, door het 10 voorstel, maer sy comt nu hoogher, daer rust dan min tegen, maer t'lichaem T Y β H D E, is even an t'lichaem A C ζη D E, daerom rust teghen den bodem T Y D E min als t'lichaem T Y β H D E. Nu anghesien als vooren bewesen is, dat teghen den bodem A C V R meer rust dan niet, ende teghen den bodem R V X S meer als t'lichaem R V γ ϑ X S, ende teghen den bodem S X Y T meer dan t'lichaem S X δ λ Y T, ende teghen den bodem T Y D E meer als t'lichaem T Y ε μ D E, soo rust teghen den heelen bodem A C D E meer dan t'ghewicht van alle die lichamen t'samen, t'welck is t'binneschreven lichaem R V γ ϑ δ λ ε μ D E inden halven pylaer A C H D E: Tis oock bewesen dat teghen den bodem A C V R min rust dan t'lichaem A C ζ γ V R, ende teghen den bodem R V X S min als t'lichaem R V Z δ X S, ende teghen den bodem S X Y T min dan t'lichaem S X αε Y T, ende teghen den bodem T Y D E min als t'lichaem T Y β H D E, daerom rust tegē den heelen bodem A C D E min dan t'gewicht van alle die lichamen t'sa- {==137==} {>>pagina-aanduiding<<} men, dat is t'omschreven lichaem A C ζ γ Z δ α ε β H D E. Maer datmen nu den bodem A C D E welcke hier boven ghedeelt is in vier even deelen, alsoo deelde in acht even deelen, tis kennelick dat het binneschreven lichaem inden halven pylaer A C H D E, ende het omschreven, alsdan van dien halven pylaer maer den helft soo veel verschillen en souden als sy nu doen, tis dan openbaer door sulcke oneyndelicke deeling des bodems, datter gheen ghewicht soo cleen ghegheven en can worden, oft men sal bethoonen dattet verschil(sooder eenich waer)des ghewichts teghen den bodem A C D E rustende, tot het ghewicht des halven pylaers A C H D E noch minder is, waer uyt ick aldusArgumentor. strye: A.Alle swaerheyt die min verschilt van t'ghewicht tegen den bodem A C D E rustende dan ghegheven can worden, is even mettet ghewicht tegen den bodem A C D E rustende; I.T'ghewicht des halven pylaers A C H D E, is een swaerheyt die min verschilt van t'ghewicht teghen den bodem A C D E rustende dan ghegheven can worden; I.T'ghewicht dan des halven pylaers A C H D E, is even mettet gewicht tegen den bodem A C D E rustende. 2 Voorbeelt. Tgegheven. Laet A B andermael een vat waters wesen, en̄ den bodem A C D E sy een evewijdich vierhouck des selfden, onevewijdich vanden sichteinder, en̄ daer op scheefhouckich, diens hoochste sijde A C in t'waters oppervlack A C F G is; T'selve water ende bodem sy also gedeelt ende geteeckent als t'water des 1 voorbeelts, ende A ν sy hanghende lini van des bodems hoochste sijde, tot het plat evewijdich vanden sichteinder door des bodems leeghste sijde E D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet ghewicht waters teghen den bodem A C D E rustende, even is anden helft des pylaers diens bodem A C D E, ende hoochde A ν. Tbereytsel. Laet de sijde A ν gedeelt worden in vier even deelen met de punten ο, π, ϱ. Tbewys. Teghen den bodem A C V R, rust meer ghewichts dan niet, want waer dien bodem in t'waters oppervlack, soo souder niet teghen rusten, maer sy comt nu leegher, daer rust dan meer teghen als niet: Ten anderen segh ick datter min tegen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} rust dan den pylaer diens grondt A C V R is, ende hoochde A ο, want waer sy evewijdich vanden sichteinder door R V, soo souder dien pylaer tegen rusten door het 10 voorstel, maer sy comt nu hoogher, daer rust dan min teghen, maer A C ζ γ V R is31. v.11.b.E. even an dien pylaer, daerom teghen den bodem A C V R rust min gewicht dan des pylaets A C ζγ V R. S'ghelijcx {==138==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} salmen oock al de rest bethoonen even so sy in t'eerste voorbeelt bewesen was, waer uyt besloten sal worden dattet ghewicht teghen den bodem A C D E rustende, ev῭ is an t'lichacm A C H D E, maer dat lichaem is even anden helft des pylaers diens bodem A C D E, ende hoochde A ν, (want A ν is even ande hanghende van H rechthouckich op t'plat door A C D E) Daerom t'ghewicht teghen den bodem A C D E rustende, is even anden helft des pylaers waters diens gront even is an A C D E, ende hoochde A ν. 3 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B eenich gheschickt bodem sijn; Ick neem eenEllipsim. scheefrondt, diens hoochste punt A in t'waters oppervlack is, ende B sy t'leegste punt, ende A C de hanghende lini van t'hoochste punt A, tot het plat evewijdich vanden sichteinder door B. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet ghewicht waters teghen den bodem A B rustende, even is anden helft {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} des pylaers diens grondt den bodem A B is, ende hoochde A C. Tbereytsel. Laet ghetrocken sijn een evewijdich vierhouck D E F G, in wiens plat begrepen sy t'scheefrondt A B, alsoo dat D E in t'waters oppervlack sijnde, naecke an t'punt A, ende dat G F naecke an t'punt B; Laet daer naer ghetrocken worden F I even an A F ende rechthouckich op F G, maer evewijdich vanden sichteinder, ende uyt G F ende F I sy beschreven den rechthouck F G H I, voorts de linien E I ende D H. Laet daer naer een ander form gestelt sijn {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} even, ghelijck, ende eveswaer met de voorgaende, maer alsoo dat F I rechthouckich sy op den sichteinder ghelijck hier neven. Ende laet in dese tweede form t'lichaē D E F G H I een stijflichaem wesen, rustende op den boden D E F G. Tbewys. Alsulckē drucsel als t'stijflichaem DEFGHI der tweeder form, veroirsaeckt teghen den bodem D E F G, even soodanighen drucksel veroirsaeckt het water des eersten forms teghen sijn bodem D E F G, soo boven {==139==} {>>pagina-aanduiding<<} bewesen is, ende vervolghens alsulcken drucksel alsser valt teghen t'scheefrondt A B der tweede form, even soodanighen drucksel valter oock teghen t'scheefrondt A B der eerste form, maer het drucksel op t'scheefrondt der tweede form is den helft des pylaers (soo wy hier onder verclaren sullen) diens grondt dat scheefrondt is, ende hoochde even an A C, (want ghetrocken een hanghende lini van K rechthouckich op t'plat door t'scheefront A B, sy is even an A C) daerom het drucksel des waters teghen t'scheefrondt A B der eerste form, is even anden helft des pylaers wiens grondt dat scheefrondt is, ende hoochde A C. Maer dattet ghewicht rustende in dese tweede form teghen t'scheefront A B, even is anden helft des pylaers diens gront dat scheefront is, ende hoochde even an A C, wort aldus bethoont: Laet ghetrocken worden de lini B K even ende evewijdighe met F I; Laet nu het onderste B der selver lini B K, ghedraeyt worden inden omtreck des scheefrondts A B, tot dat sy weder ter plaets comt daer sy begon te roeren, ende blijvende int roeren altijt evewijdich van F I, de selve sal tusschen de twee bodems een pylaer A B K L beschrijven, welcke mettet plat D E I H, ghesneen wort door twee lijckstandighe punten A, K, schuens teghen over malcander staende inde omtrecken der bodems; Maer alle pylaer diens grondt een gheschickt bodem sijnde, ghesneen wort met een plat door twee lijckstandighe punten inde omtrecken der bodems schuens teghen over malcander staende, die pylaer wort van dat plat in twee even deelen ghedeelt, daerom het deel diens pylaers onder t'plat D E I H, is den helft des heelen pylaers A B K L rustende op t'scheefrondt A B, maer dat den pylaer A B K L even is anden pylaer diens grondt A B ende hoochde A C, blijckt daer an, dat sijn hoochde even is an A C, daerom t'ghewicht rustende teghen t'scheefront A B, is even anden helft des pylaers diens grondt dat scheefrondt is, ende hoochde even an A C. 4 Voorbeelt. Wy hebben hier boven drie voorbeelden ghegheven metMathematica demonstratione. Wisconstich bewijs, t'welck, wel is waer, den grondt volcommentlicker verclaert als ander; doch anghesien t'bewijs door ghetalen tot opentlicker kennis van alles, niet en verachtert, sullen dit 4 voorbeelt door ghetalen stellen. Tghegheven. Laet A B een vat waters sijn, diens bodem A C D E wy nemen te wesen een rechthouckich vierhouck, rechthouckich op den sichteinder, ende d'hoochste sijde A C doende een voer, sy int waters oppervlac A C F G, ende A E doe oock een voet, maer A G sy soo lanck alst valt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tbegheerde. Wy moeten door getalen bewijsen, dattet ghewicht waters rustende teghen den dodem A C D E, even is anden helft des pylaers waters, wiens gront even is an dien bodem, ende hoochde de hanghende lini A E: Maer dien pylaer is een teerlinck doende een voet, wy moeten dan bethooneu dat teghen den bodem A C D E rust het ghewicht van een halve voet waters. Tbereytsel. Laet door den bodem getrockē worden drie evewijdige linien met A C, als H I, K L, M N, alsoo dat A H even sy an H K, ende an K M, ende an M E. {==140==} {>>pagina-aanduiding<<} Tbewys. Tis blijckelick dat op den bodem A I meer rust dan 0, want alwaer sulcken bodem door A C evewijdich vanden sichteinder, soo souder 0, op rusten, maer sy comt nu leegher daer rust dan meer op als 0. Ten anderen seg ick datter min op rust dan 1/16, voets, want al waer sulcken bodem door H I evewijdich vanden sichteinder, soo souder 1/16 voets op rusten, maer sy comt nu hoogher, daer rust dan min op als 1/16, ende om dergelijcke reden ist oock openbaer, dat op den bodem H L meer rust dan 1/16, ende min als 2/16, ende op den bodem K N meer dan 2/16, ende min als 3/16; maer op den bodem M D meer dan 3/16 ende min als 4/16. Nu dan vergaert de vier ghewichten (ghenomen dat 0 gewicht waer) die lichter sijn d'ander op elcken bodem rust, als 0. 1/16. 2.16. 3/16. maken t'samen 6/16: Insghelijcx vergaert de vier ghewichten die swaerder sijn d'ander op elcken bodem rust, als 1/16. 2/16. 3/16. 4/16. maken t'samen 10/16: Tis dan openbaer dat op den heelen bodem A C D E meer rust dan 6/16 voets, ende min als 10/16 voets, tusschen welcke twee den ½ voet is, die wy noch bewijsen moeten op den bodem A C D E te rusten. Nu ghelijck den bodem hier boven door de drie evewijdighe linien ghedeelt is in vieren, alsoo meughen wijse deelen in soo veel deelen alst ons belieft, latet sijn in thienen, ende om de voorgaende redenen, de thien ghewichten die lichter sijn d'ander op elcken bodem rust, sullen sijn 0. 1/100. 2/100. 3/100. 4/100. 5/100. 6/100. 7/100. 8/100. 9/100. t'samen 45/100. S'ghelijcx de thien ghewichten die swaerder sijn d'ander op elcken bodem rust, als 1/100. 2/100. 3/100. 4/100. 5/100. 6/100. 7/100. 8/100. 9/100. 10/100. maken t'samen 55/100; tis dan kennelic dat op dē bodem A C D E meer rust dan 45/100 voets, ende min als 55/100 voets, tusschen welcke twee den halven voet is die wy noch bewijsen moeten op den bodem A C D E te rusten: Maer dese tweeTermini. palen sijn naerder den halven voet dan d'eerste twee, want min verschilt 45/100 van ½, dan 6/16, alsoo oock verschilt 55/100 min van ½, dan 10/16; Waer uyt blijckt dat hoe wy den bodem A C D E in meer sulcke even deelen snyen, hoe dat wy den halven voet altijt naerder commen. T'wlck soo verstaen sijnde, laet op den bodem A C D E min of meer rusten 1/1000 voets (waert meughelick) dan een halve voet, ende laet ons de waerheyt daer af ondersoucken, deelende den bodem door de gedacht in 1000 even deelen alsvooren. Ende om de voorgaende redenen, de duysent ghewichten die lichter sijn d'ander op elcken bodem rust, sullen sijn 0, 1/1000000. 2/1000000 ende soo voorts tot het laetste, dat sijn sal van 999/1000000, alle welcke ghetalen t'samen, sullen maken (wiens corte manier om te vergaren wy hier onder verhalen sullen) 499500/1000000. S'ghelijcx de duysent ghewichten die swaerder sijn d'ander op elcken bodem rust als 1/1000000. 2/1000000. 3/1000000. ende soo voorts tot het laetste, dat sijn sal van 1000/1000000, maken t'samen 500500/1000000, daer rust dan meer op den bodem als 499500/1000000 voets, ende min dan 500500/1000000 voets; Maer 499500/1000000 en is maer 1/1000 minder dan ½. daer en rust dan gheen 1/1000 voets min op den bodem dan ½ voet. Alsoo en is 500500/1000000 maer 1/2000 meerder dan ½. daer en rust dan geen 1/1000 meer op den bodem dan ½ voet. Ende alsoo salmen dierghelijcke bethoonen over alle ghestelt deel hoe cleen het sy. Het blijckt dan, dat het verschil (sooder eenich waer) tusschen t'water op den bodem A C D E rustende, ende een halve voet waters, minder soude moeten sijn dan meughelick is ghestelt te worden, waer uyt ick aldusArgumentor. strye: A.Nevenyder ghewicht dat met een halve voet waters verschil heeft, can een ghewicht ghestelt worden daer af min verschillende; {==141==} {>>pagina-aanduiding<<} O.Neven t'ghewicht waters op den bodem A C D E rustende, en can gheen gewicht ghestelt worden van een halve voet waters min verschillende; O.T'ghewicht waters dan op den bodem A C D E rustende, en heeft met een halve voet waters gheen verschil. Tbeslvyt. Wesende dan een geschickt bodem diens hoochste punt int waters, &c. DE reden waerom het half hier boven, altijt blijft tusschen de twee getalen, welcke an het half oneyndelick naerderen, maer mimmermeer daer toe en gheraken, is begrepen in sulckenTheoremata. vertooch: Wesende eenProgressio. voortganck van getalen malcanderen inVnitate. een heyt te boven gaende, ende beginnende vande eenheyt: Den helft des viercants van t'laetste, is minder dan de somme van al de getalen, maer meerder dan de somme van al de ghetalen min t'laetste. Maer om te verclaren (als boven belooft is) de manier om door cortheyt te vergaren die groote menichte der ghetalen; Soo is ten eersten kennelick, dat haer noemers al even sijn, waer door wy alleenelick op der ghetalen telders te letten hebben, de selve sijn in oirdentlicke voortganck beginnende van de eenheyt, ende met eenheyt malcanderen te boven gaende, daeromme vermenichvuldicht t'laetste met sijn helft, ende an t'uytbreng noch gevoucht sijn helft, gheeft de begeerde somme. By voorbeelt ick wil weten hoe veel de somme is van 1,2,3,4,5,6; Ick segh 6 mael 3 is 18, met 3 maeckt 21 voor de begeerde somme. Laet het laetste nu oneven ghetal sijn, als 1,2,3,4,5,6,7; Ick segh 7 mael 3½ is 24½, met 3½ maeckt, 28, voor de begheerde somme. Maer als t'laetste aldus oneven is, soo vallet lichter om door gheen ghebroken te wercken, datmen t'laetste menichvuldicht door den helft der somme van t'laetste met 1, als andermael willende weten de somme van 1,2,3,4,5,6,7; Ick doe 1 tot 7, maect 8, sijn helft is 4, die vermenichvuldicht door 7, comt alsboven 28, voor de begheerde somme, ende alsoo met allen anderen. Merckt. Anghesien de boveschreven helft des pylaers even is anden heelen pylaer diens grondt den ghegeven bodem is, ende hoochde den helft der hangende lini van des bodems hoochste punt, tottet plat evewijdich vanden sichteinder door des bodems leegste punt, men soude t'boveschreven 11 voorstel oock meughen aldus uyten. Wesende een gheschickt bodem diens hoochste punt in t'vvaters oppervlack is: T'ghevvicht daer teghen rustende is even anden pylaer vvaters diens grondt even an dien bodem is, ende hoochde den helft der hangende lini van des bodems hoochste punt, tottet plat evevvijdich vanden sichteinder door des bodems leeghste punt. Ende na sulcke wijse sullen wy t'laetste deel deses 12 voorstels formen. {==142==} {>>pagina-aanduiding<<} 10 Vertooch. 12 Voorstel. Wesende een gheschickt bodem diens hoochste punt onder t'vvaters oppervlack is: T'ghevvicht daer teghen rustende is even anden pylaer vvaters diens grondt even is an dien bodem, ende hoochde dePerpen dicularis. hanghende lini vanPlano. t'plat door t'vvaters oppervlack, tot des bodems hoochste punt, ende boven dien den helft der hangende lini van des bodems hoochste punt, tottet plat evevvijdich vandenHorizonte. sichteinder door des bodems leeghste punt. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een geschickt bodem sijn, als ten eersten een evewijdich vierhouck diens hoochste sijde A B onder t'waters oppervlack is, evewijdich neem ick, vanden sichteinder, ende E A sy de hanghende lini van t'waters oppervlack, tot des bodems hoochste punt A, ende A F de hanghende lini van A, tot het plat evewijdich vanden sichteinder door D C, ende A G sy den helst van A F. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet ghewicht {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} waters teghen den bodem A B C D rustende, even is anden pylaer diens grondt dien bodem is ende hoochde G E. Tbereytsel. Laet D A ende C B voortghetrocken worden tot H ende I, beyde in t'waters oppervlack; laet oock ghetrocken sijn H I, daer naer C K evewijdich vanden sichteinder, ende even an C I, maer rechthouckich op D C, sgelijcx D L even endeevewijdighe met C K, voort L K, daer naer I K ende H L, voort B M evewijdige met C K, ende alsoo dat Minde lini I K sy, daer naer A N even ende evewijdighe met B M, voort M O ende N P beyde even ende evewijdighe met B C. Laet daer nae een ander form ghestelt worden, even, ghelijck, ende evewichtich mettet water even ande voorgaende C D H I K L, maer also dat C K rechthouckich sy op den sichteinder als hier neven. Tbewys. Alsulcken drucksel als t'stijflichaem C D H I K L der tweede form, veroirsaeckt teghen den bodem C D H I, even soodanigen drucksel veroirsaeckt t'water des eersten forms teghen sijn bodem C D H I soo bewesen is int 11 voorstel, ende vervolghens sulcken drucksel alsser valt teghen het deel A B C D der tweede form, even soodanighen drucksel valter oock teghen het deel A B C D der eerste form, maer het drucksel teghen A B C D der tweede form is t' lichaem {==143==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A B C D L K M N, t' welck even is anden pylaer diens bodem A B C D en̄ hoochde G E, ghelijck wy terstont segghen sullen, daerom t'gewicht des waters rustende tegen A B C D der eerste form, is even anden pylaer diens grondt A B C D, ende hoochde G E. Maer dattet lichaem A B C D LK N M even is anden pylaer diens bodem A B C D en̄ hoochde G E blijckt aldus: Ghetrocken O Q rechthouckich op t'plat door A B C D, de selfde O Q is d'hoochde des pylaers A B C D P O M N, daerom dat lichaem is even anden pylaer diens gront A B C D ende hoochde O Q: Maer angesien A H even is an O C, ende den houck H A E even anden houck C O Q, ende dat A E rechthouckich is op t'plat door de punten H, E, sghelijcx O Q rechthouckich op t'plat door de punten C, Q, soo is A E even an O Q, daerom t'lichaem A B C D P O M N is even anden pylaer diens grondt A B C D, ende hoochde A E. Maer t'lichaem M N P O K L is even anden pylaer diens grondt A B C D ende hoochde A G door t'vervolgh des 11 voorstels, daerom die twee lichamen makende t'samen t'lichaem A B C D L K N M, sijn even anden pylaer diens bodem A B C D ende hoochde G E. Ander bewys. Ghenomen datter in t'water der eerste form hier boven een bodem sy, even ende ghelijck met A B C D, maer evewijdich vanden sichteinder in t' plat daer A B in is: Teghen den selven bodem sal rusten t'ghewicht even anden pylaer waters diens grondt even is an A B C D, ende hoochde A E door het 10 voorstel, t'selve ghewicht rust oock teghen alle bodem die even is an dien bodem en̄ leegher; Daer rust dan voor al teghen A B C D, een pylaer diens grondt even is an A B C D, ende hoochde A E: Nu gheweert al t'water datter boven den voornomden bodem is, die wy even stelden an A B C D, alsoo dat A B in t'waters oppervlack sy soo ruster teghen A B C D door t'vervolgh des 11 voorstels, den pylaer diens gront even is an A B C D, ende hoochde A G, welcke twee pylaren maken t'samen den pylaer diens gront A B C D, ende hoochde E G, voor t'ghewicht rustende teghen den bodem A B C D als vooren. 2 Voorbeelt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Laet A B eenich geschickt bodem wesen, dienshoochste punt onder t'waters oppervlac sijnde, is A, ende t'leegste B, ende de hanghende lini van t'waters oppervlack tot des bodems hoochste punt sy C A, ende van des bodems hoochste punt tot het plat evewijdich vanden sichteinder door des bodems leeghste punt B, sy A D, diens helft A E. Ick segh dattet ghewicht waters teghen den bodem A B rustende, even is anden pylaer waters diens bodem even is ande selve A B, ende hoochde E C, waer af t'bewijs sijn sal als van t'voorgaende. Tbeslvyt. Wesende dan een gheschickt bodem diens hoochste punt, &c. {==144==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. Wy hebben hier boven bethoont t'ghe wicht teghen een gheschickt bodem rust ende, mettet behulp der hanghende lini door des bodems hoochste punt; Maer alst een ongheschickt bodem is, soo en wort dat ghewicht door die hanghende lini niet bekent: Tis wel waer, datter altijt voor al op rust t'gewicht even an den pylaer waters diens grondt den bodem is, ende hoochde de hangende lini van t' waters oppervlack tot des bodems hoochste punt, maer t' ander deel en is niet even anden helft des pylaers wiens gront dien bodem is, ende hoochde de hanghende lini van des bodems hoochste punt, tottet plat evewijdich vanden sichteinder door des bodems leeghste punt, waer af d'oirsaeck is, dat den pylaer met een ongeschickt bodem niet nootsakelick in twee even deelen (ghelijck den pylaer met een gheschickt bodem) ghedeelt en wort, met een plat, door twee lijckstandighe punten scheuns teghen over malcanderen staende inde omtrecken des bodems. Maer op dat wy t' ghewicht teghen alle ongeschickt plat bodem oock bekent maken, sullen daer af soodanighen eysch beschrijven. 3 Werckstvck 13 Voorstel. Wesende in t'vvater een platte bodem van form soot valt: Te vinden een lichaem vvaters evesvvaer an t'ghevvicht teghen dien bodem rustende. Tghegheven. Laet A B een platte bodem in t'water sijn, geschickt ofte ongheschickt soot valt. Tbegheerde. Wy moeten een lichaem waters vinden eveswaer an t'ghewicht rustende teghen A B. Twerck. Ick treck het plat A B over allen sijden oneyndelick voort, diens gemeen sne mettet waters oppervlack sy C, uyt de selve sne C treck ick een lini door t'plat A B als C D, maer alsoo dattet plat rechthouckich op den sichteinder door C D, oock rechthouckich sy op t'oneyndelick plat door den ghegheven bodem; Daer naer treck ick de lini D E, even ande lini D C, maer evewijdich vanden sichteinder, ende rehthouckich op de ghemeene sne der twee platten, t'een het boveschreven door den bodem A B, t'ander door D E evewijdich vanden sichteinder, Daer na treck ick door C en E een oneyndelick plat, rechthouckich opt plat {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} C D E, voort, uyt eenich punt vanden omtreck des ghegheven bodems als uyt A, een oneyndelicke lini A F, draeyende de selve mettet punt A in des bodems A B omtreck, tot datse weder ter plaets comt daerse begon te roeren, maer alsoo datse int roeren altijt evewijdich blijft met de lini D E, beschrijvende also een lichaem begrepen tusschen de twee deelen der oneyndelicke platten, ende t'vlack van die roerlicke lini beschreven, als t'lichaem A G H B. Ick seg dat een lichaem waters evegroot an t'lichaem A G H B, eveswaer is an t'ghewicht rustende teghen den ghegheven bodem. Tbereytsel. Laet beschreven sijn dese tweede form even ende gelijck {==145==} {>>pagina-aanduiding<<} an d'eerste, ende eveswaeran water, maer alsoo dat de lini D E rechthouckich sy op den sichteinder. Tbewys. Alsulcken ghewicht alsser rust teghen den bodem A B der tweede form, even soodanighen ruster oock teghen den bodem A B van d'eerste, als vooren bewesen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} is, maer teghen A B der tweeder form, rust het ghewicht des lichaems A G H B, daerom teghen den bodem A B der eerste form, rust oock een ghewicht even an t'lichaem waters A G H B, t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan int water een platte bodem van form soot valt, wy hebben een lichaem waters ghevonden eveswaer an t'ghewicht teghen dien bodem rustende, naer den cysch. 11 Vertooch. 14 Voorstel. Wesende tvvee evevvijdige vierhouckighe bodems van even breeden, ende evediep intvvater, ende haer hoochste sijden int vvaters oppervlack: Ghelijck der bodems langde tot langde, alsoo haer gheprang des vvaters, tot gheprang des vvaters. Tghegheven. Laet A B C D een water sijn, daer in twee evewijdighe vierhouckighe bodems wesende, E F ende G H, van even breeden, ende evediep int water, te weten, dat dePerpendicalaris. hanghende I F, even sy ande hanghende K H, ende haer hoochste sijden E en G, sijn int waters oppervlack. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck de langde E F, tot de langde G H, alsoo t'gheprang des waters teghen den bodem E F, tottet gheprang des waters teghen den bodem G H. Tbewys. T'ghewicht des waters teghen den bodem E F rustende, is even anden helft des pylaers waters diens hoochde I F, ende grondt het plat E F, door het 11 voorstel; S'ghelijcx is t'ghewicht des waters teghen den bodem G H rustende, even {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} anden helft des pylaers waters diens hoochde K H, ende grondt het plat G H: maer dit sijn twee pylaren met even hoochden32. v.11.b.E. daerom sijnse inde reden haerder gronden; maer ghelijck de langde E F, totte langde G H, alsoo den grondt E F, totten grondt G H, want syPer hypothesin. door t'ghestelde van even breeden sijn, daerom ghelijck de langde E F totte langde G H, also diens pylaer tot desens pylaer, ende wijder also diens halven pylaer tot desens halven pylaer, ende vervolgens also diens gewicht des waters teghen haer rustende, tot desens ghewicht des waters teghen haer rustende. Tbeslvyt. Wesende dan twee evewijdighe vierhouckige {==146==} {>>pagina-aanduiding<<} bodems, van even breeden, ende evediep int water, ende haer hoochste sijden int waters oppervlack: Ghelijck der bodems langde tot langde, alsoo haer gheprang des waters, tot gheprang des waters, t'welck wy bewijsen moesten. 4 Werckstick. 15 Voorstel. Wesende den bodem des vvaters een evevvijdich vierhouck onevevvijdich vandenHorizonte. sichteinder, met sijn bekende hoochste sijde in t'vvaters oppervlack, ende bekent vvesende de lini vande hoochste sijde rechthouckich op de voortghetrocken leeghste, oock dePerpendicularis. hanghende vande hoochste sijde tot hetPlano. plat evevvijdich vanden sichtemder door de leeghste sijde: Te vinden t'ghevvicht vvaters daer teghen rustende. Merckt. Alle evewijdich vierhouck onevewijdich vanden sichteinder met sijn hoochste sijde int waters oppervlack, is of rechthouckich of scheefhouckich, ende elck van desen is op den sichteinder rechthouckich oft scheefhouckich, daerom vallender vier verscheyden ghestalten, daer wy soo wel inde volghende twee voorstellen als in dit, vier voorbeelden af beschrijven sullen: T'eerste van een rechthouck op den sichteinder rechthouckich, wiens drie linien, als de sijde onevewijdich vanden sichteinder, ende de lini uyt het uyterste vande hoochste sijde rechthouckich op de voortgetrocken leegste sijde, ende de hanghendc uyt het uyterste vande hoochste sijde tottet plat evewijdich vanden sichteinder door de leeghste sijde, al een selfde lini sijn: Het tweede voorbeelt sal sijn van een evewijdich scheefhouckich vierhouck op den sichteinder rechthouckich, diens twee linien als de lini vande hoochste sijde rechthouckich op de leeghste sijde, ende de hanghende vande hoochste sijde tottet plat evewijdich vanden sichteinder door de leeghste sijde, beyde een selve sijn: Het derde voorbeelt sal sijn van een rechthouck scheefhouckich op den sichteinder, diens twee linien, als de sijde onevewijdich vanden sichteinder, ende de lini van t' uyterste der hoochste sijde rechthouckich op de leegste sijde, beyde een selve sijn: T'vierde voorbeelt van een evewijdich scheefhouckich vierhouck op den sichteinder scheefhouckich, diens voornoemde drie linien al verscheyden sijn. 1 Voorbeelt. Tgegheven. Laet A B C D een rechthouck wesen rechthouckich op den sichteinder, diens sijde A B in t'waters oppervlack doe 4 voeten, ende A D 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten t'ghewicht waters vinden rustende teghen A B C D. Twerck. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ick menichvuldighe 3 van A D door 4 van A B, maeckt 12, die andermael ghemenichvuldicht door 3 van A D comt 36 voeten, diens helft voor t'begheerde 18 voeten. Ofte andersins {==147==} {>>pagina-aanduiding<<} ick menichvuldighe t'viercant der 3 van A D, door den helft der 4 van A B, comt als vooren 18 voeten. Nu ghenomen den voet te weghen 65 ℔, soo ruster 1170 ℔ teghen. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een evewijdich scheefhouckich vierhouck wesen, rechthouckich op den sichteinder, diens sijde A B in t'waters oppervlack doe 4 voeten, ende A E hangende lini vande hoochste sijde A B, tot inde voortghetrocken C D, sy van 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten t'gewicht waters vinden rustende teghen A B C D. Twerck. Ick menichvuldighe 3 van A E door 4 van A B, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} maeckt 12, die andermael gemenichvuldicht door 3 van A E comt 36 voeten, diens helft voor t'begheerde 18 voeten. Oft andersins ick menichvuldighe als boven t'viercant der 3 met den helft der 4 van A B. 3 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck wesen scheefhouckich op den sichteinder, diens sijde A B in t'waters oppervlack sijnde doet 6 voeten, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A D 4 voeten, maer A E hanghende van A tot in t'plat evewijdich vanden sichteinder door C D doet 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten t'ghewicht waters vinden teghen A B C D rustende. Twerck. Ick menichvuldighe 4 door 6 comt 24, de selve door 3 maeckt 72 voeten, diens helft voor t'begheerde 36 voeten. Ofte andersins ick menichvuldighe den uytbreng van 3 met 4, door den helft van 6, comt als vooren 36 voeten. 4 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een evewijdich scheefhouckich vierhouck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sijn, scheefhouckich op den sichteinder, diens sijde A B in t'waters oppervlac sijnde doet 6 voeten, ende A E rechthouckich op de voortghetrocken C D doet 4 voeten, ende A F hangende van A tot het plat evewijdich vanden sichteinder door D C doet 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten t'ghewicht waters vinden teghen A B C D rustende. {==148==} {>>pagina-aanduiding<<} Twerck. Ick menichvuldige 4 van A E, met 6 van A B comt 24, t'selve met 3 van A F, comt 72 voeten, diens helft voor t'begheerde 36 voeten. Ofte andersins, ick menichvuldighe, als vooren, den uytbreng van 3 met 4, door den helft van 6, comt oock 36 voeten. Tbewys. Wesende een pylaer diens gront 12 voeten, ende hoochde 3 voeten, den helft van dien doet 18 voeten; maer sulcken lichaem ruster tegen den bodem A B C D des 1 voorbeelts, door het 11 voorstel, daer rust dan t'ghewicht van 18 voeten waters teghen. S'ghelijcx sal oock t'bewijs sijn van d'ander voorbeelden. Tbeslvyt. Wesende dan den bodem des waters een evewijdich vierhouck, &c. 1 Vervolgh. Uyt het boveschreven is blijckelick, hoemen vinden sal t'ghewicht waters teghen een evewijdich vierhouck rustende, wesende d'hoochste sijde des ghegeven vierhoucx onder t'waters oppervlack, want tot het ghewicht ghevonden alsvooren, noch vergaert den pylaer diens grondt dien bodem is, ende hoochde de hanghende lini van t'plat door t'waters oppervlack tot de hoochste sijde des bodems, de somme sal t'begheerde sijn. Laet by voorbeelt A B C D een evewijdich vierhouck sijn onevewijdich van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} den sichteinder, diens hoochste sijde AB onder t'waters oppervlack E F is, ende G A doende drie voeten sy de hanghende lini van t'plat door E F tot de sijde A B, ende t'plat A B C D sy groot 20 voeten, ende als A B in t'waters oppervlack waer, soo souder op rusten (t'welck ick neem ghevonden te sijne door de voorgaende leering) 40 voeten waters: Vraegh hoe veel datter nu op rusten? Ick menichvuldighe 20 des plats van A B C D, door 3 van G A, comt een pylaer van 60 voeten, die tot de 40 maeckt 100 voeten dieder teghen A B C D rusten. 2 Vervolgh. Soo den ghegheven platten bodem ongheschickt waer, men sal vinden een lichaem waters eveswaer an t'ghewicht teghen dien bodem rustende door het 13 voorstel, t'selve lichaem gemeten sal de begheerde swaerheyt bekent maken. 5 Werckstvck 16 Voorstel. Wesende den bodem des vvaters een evevvijdich vierhouc, onevevijdich vandenHorizonte. sichteinder, met sijn hoochste sijde intvvaters oppervlack, ende bekent sijnde t'ghevvicht daer teghen rustende, oock de lini vande hoochste sijde rechthouckich op de voortghetrocken leegste sijde, mettePerpendiculari. hangende van de hoochste sijde, tottetPlanum. plat eve- {==149==} {>>pagina-aanduiding<<} vvijdich vandē sichteinder door de leegste sijde: D'hoochste sijde bekent te maken. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck wesen rechthouckich op den sichteinder, daer teghen rustende t'ghewicht van 18 voeten waters, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} d'hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sy onbekent, maer AdD doet 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten de sijde A B bekent maken. Twerck. Ick deel de 18 door t'viercant der 3 van A D comt 2 voeten, diens dobbel A B 4 voeten. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een evewijdich scheefhouckich vierhouck wesen, rechthouckich op den sichteinder, daer tegen rustende t'gewicht {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van 18 voeten waters, ende de hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sy onbekent, maer de lini A E vande hoochste sijde rechthouckich op de voortghetrocken leeghste sijde doet 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten de sijde A B bekent maken. Twerck. Ick deel de 18 door t'viercant der 3 van AE comt 2 voeten, diens dobbel voor A B 4 voeten. 5 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck wesen scheefhouckich op {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} den sichteinder, daer teghen rustende t'ghewicht van 36 voeten waters, ende d'hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sy onbekent, maer de lini A D doet 4 voeten, ende A E hanghende vande hoochste sijde tot het plat evewijdich vanden sichteinder door de leeghste sijde doet 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten de sijde A B bekent maken. Twerck. Ick menichvuldighe 3 van A E door 4 van A D comt 12, daer door ghedeelt de 36 comt 3 voeten, diens dobbel voor A B 6 voeten. {==150==} {>>pagina-aanduiding<<} 4 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een evewijdich scheefhouckich vierhouck sijn scheefhouckich op den sichteinder, daer teghen rustende t'ghewicht van {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 36 voeten waters, ende de hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sy onbekent, maer A E lini vande hoochste sijde rechthouckich op de voortghetrocken leegste sijde C D, doet 4 voeten, ende A F hanghende vande hoochste sijde tot het plat evewijdich vanden sichteinder door de leeghste sijde, doet 3 voeten. Tbegheerde. Wy moeten de sijde A B bekent maken. Twerck. Ick menichvuldighe 3 van A F, met 4 van A E, comt 12, daer door gedeelt de 36, comt 3 voeten, diens dobbel voor A B 6 voeten. Tbewys. Soo A B des 1 voorbeelts langher of corter waer als 4 voeten, t'ghewicht waters teghen den bodem rustende soude moeten meerder of minder sijn dan 18 voeten, t'welck teghen t'ghestelde waer, daerom A B is van 4 voeten. S'gelijcx sal oock t'bewys sijn van d'ander voorbeelden. Tbeslvyt. Wesende dan den bodem des waters een evewijdich vierhouck onevewijdich, &c. 1 Vervolgh. Uyt het voorgaende is blijckelick, hoemen d'hoochste sijde bekent sal maken, als sy onder t'waters oppervlack is, want van t'gheheel ghewicht waters teghen den bodem rustende, ghetrocken den pylaer diens grondt dien bodem is, ende hoochde de hanghende lini van t'plat door t'waters oppervlack tot de hoochste sijde des bodems, daer sal resten t'ghewicht waters op den bodem rustende als haer hoochste sijde in t'waters oppervlack is, waer door sy alsdan bekent sal worden als vooren gheleert is. Maer om in dit 1 vervolgh dien aftreckelicken pylaer te vinden, men sal nemen een deel des heel ghegheven gewichts, of des heelen pylaers, in sulcken reden totten selven heelen pylaer, als de hanghende lini tusschen t'waters oppervlack en des bodems hoochste sijde, totte ghegheven hanghende lini tusschen t'waters oppervlack en de bodems hoochste sijde, metten helft der hanghende lini tusschen des bodems hoochste sijde, en t'plat evewijdich door des bodems leeghste sijde. Om t'welck te verclaren door de form des 1 voorbeelts van het 12 voorstel, soo laet dit aftreckelick deel daer te vinden sijn: Ick segh E G gheeft E A, wat het ghegheven ghewicht? t'ghene daer uyt comt is den aftreckelicken pylaer. 2 Vervolgh. Soomen inden bodem een lini wilde trecken evewijdich met de sijde die van den sichteinder onevewijdich is, de noodighe langde der hoochste sijde can bekent worden. Laet by voorbeelt inde form des boveschreven 4 voorbeelts, te {==151==} {>>pagina-aanduiding<<} ken sijn een lini als G H, evewijdich met A D, alsoo dat op A G H D ruste t'gewicht van 12 voeten waters. Ick sie wat deel dese 12 sijn vande 36 dieder teghen rusten, wort bevonden het derdedeel, daerom oock sal A G ⅓ wesen van AB dat sijn 2 voeten. 6 Werckstvck. 17 Voorstel. Wesende den bodem des vvaters een evevvijdich vierhouck onevevvijdich vandenHorizonte. sichteinder, met sijn bekende hoochste sijde in t'vvaters oppervlack, ende bekent sijnde t'ghevvicht daer teghen rustende, oock dePerpendicularis. hanghende lini vande hoochste sijde tot hetPlanum. plat evevvijdich vanden sichteinder door de leeghste sijde: De lini vande hoochste sijde rechthouckich op de voortgetrocken leegste sijde bekent te maken. 1 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een rechthouck wesen, rechthouckich op den sichteinder, daer teghen rustende t'ghewicht van 18 voeten waters, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} d'hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sijnde, doet 4 voeten. Tbegheerde. Wy moeten de sijde A D bekent maken. Twerck. Ick deel de 18 door 2, helft van A B, comt 9, diens viercantighe sijde voor A D doet 3 voeten. 2 Voorbeelt. Tghegheven. Laet A B C D een evewijdich scheefhouckich vierhouck wesen, rechthouckich op den sichteinder, daer teghen rustende t'gewicht {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} van 18 voeten waters, ende d'hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sijnde doet vier voeten. Tbegheerde. Wy moeten de lini A E bekent maken. Twerck. Ick deel de 18 door 2 helft van A B, comt 9, diens viercantighe sijde voor A E is 3 voeten. 3 Voorbeelt. Tghegheven Laet A B C D een rechthouck wesen scheefhouckich op den sichteinder, daer teghen rustende t'gewicht van 36 voeten waters, ende {==152==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} de hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sijnde doet 6 voeten, ende A E doende 3 voeten, sy de hanghende lini vande hoochste sijde tot het plat evewijdich vanden sichteinder door de leeghste sijde. Tbegheerde. Wy moeten A D bekent maken. Twerck. Ick deel de 36 door 3 helft van A B, comt 12, de selve ghedeelt door 3 van A E, comt 4 voeten voor A D. 4 Voorbeelt. Tgegheven. Laet A B C D een evewijdich scheefhouckich vierhouck sijn scheefhouckich op den sichteinder, daer op rustende t'ghewicht van 36 voeten waters, en̄ de hoochste sijde A B in t'waters oppervlack sijnde doet 6 voeten, ende A E sy de lini van d'hoochste sijde rechthouckich op de voortghetrocken {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} leeghste sijde, ende A F doende 3 voeten, is de hanghende vande hoochste sijde tot het plat evewijdich vanden sichteinder door de leeghste sijde. Tbegheerde. Wy moeten de lini A E bekent maken. Twerck. Ick deel de 36 door 3 helft der 6 van A B, comt 12, de selve door 3 van A F comt 4 voeten, voor A E. Tbewys. Soo A D des 1 voorstels langher of corter waer als 3 voeten, t'ghewicht waters teghen den bodem rustende soude moeten meerder of minder sijn dan 18 voeten, t'welck teghen t'gestelde is, A D dan is van 3 voeten, S'gelijcx sal oock t'bewijs sijn van d'ander voorbeelden. Tbeslvyt. Wesende dan den bodem des waters een evewijdich vierhouc onevewijdich vanden sichteinder, &c. 1 Vervolgh. Uyt het voorgaende is blijckelick hoemen de lini vande hoochste sijde rechthouckich op de leeghste sijde, bekent sal maken, als de hoochste sijde onder t'waters oppervlack is, want van t'gheheel ghewicht waters teghen den bodem rustende, ghetrocken den pylaer diens grondt dien bodem is, ende hoochde de hanghende lini van t'plat door t'waters oppervlack, tot de hoochste sijde des bodems, daer sal resten t'ghewicht waters op den bodem rustende als haer hoochste sijde in t'waters oppervlack is, waer door sy alsdan bekent sal worden als voren gheleert is. 2 Vervolgh. Soomen inde ghegheven bodem een lini wilde trecken evewijdich met de hoochste sijde, alsoo datse afsne een deel des bodems daer een begheert gewicht {==153==} {>>pagina-aanduiding<<} teghen ruste, de noodighe langde der lini vande hoochste sijde rechthouckich op de voortghetrocken leeghste sijde can bekent worden. Laet by voorbeelt in de form des boveschreven 4 voorbeelts, te trecken sijn een lini als G H, snyende A D in I, evewijdich met A B, alsoo dat op A B H I rust t'ghewicht van 24 voeten waters; Ick deel die 24 door 3, helft van A B, comt 8, daer naer vinde ick twee getalen tot malcanderen in sulcken reden als 3 van A F, tot 4 van A E, ende dat haer uytbreng de voornoemde 8 make, die ghetalen sijn √ 6 ende √ 10⅔, t'laetste is voor A G, want uyt G ghetrocken G H evewijdighe met A B, daer sal teghen A B H I rusten t'ghewicht van 24 voeten waters door het 15 voorstel. Merckt. Wy moeten nu naer luyt des Cortbegrijps, inde volghende 18, 19, 20, voorstellen, schrijven vande swaerheyts middelpunten der gheprangselen des waters in bodems vergaert; alwaer niet onbillichlijck eerst soude meughen gheseyt worden, vande bodems evewijdich sijnde vanden sichteinder, maer overmidts der selver swaerheydts middelpunten (welcke ghevonden worden nae de leering des 2 boucx vande beginselen der Weeghconst) oock de swaerheyts middelpunten sijn der voornoemde haer gheprangselen, soo en beschrijven wy daer afom cortheyts wil, gheen besonder voorstel. Sullen dan beginnen ande bodems onevewijdich vanden sichteinder als volght. 12 Vertooch. 18 Voorstel. Wesende den bodem des vvaters een evevvijdich vierhouc onevevvijdich vandenHorizonte. sichteinder, diens hoochste sijde in t'vvaters oppervlack is, uyt vvelcke sijdens middel een lini ghetrocken is, tot in t'middel vande leeghste sijde:Centrum gravitatis. T'svvaerheyts middelpunt des geprangs inden bodem vergaert, deelt die lini alsoo, dat haer opperste stuck dobbel is an t'onderste. 1 Voorbeelt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tghegheven. Laet A B een water sijn, ende den bodem A C D E sy een evewijdich vierhouck onevewijdich vanden sichteinder, diens hoochste sijde A C in t'waters oppervlack is, ende F sy t'middel van A C, ende G t'middel van E D, ende tusschen de punten {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} F G sy getrocken de lini F G, welcke in Halsoo ghedeelt is, dat F H dobbel is tot H G. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat H t'swaerheyts middelpunt is des geprangs inden bodem vergaert. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden de lini C I, also dat D I even sy an D C, ende mettet lichaem A C I D E sy beteeckent den helft des pylaers diens gront A C D F, en̄ {==154==} {>>pagina-aanduiding<<} hoochde de hangēde van A tot in t'plat evewijdich vandē sichteinder door E D. Laet daer naer ghetrocken worden t'stijflichaem K L M N O P even ende ghelijck ende eveswaer an t'lichaem A C I D E, te weten K L M NHomologum planum. lijckstandich plat met A C D E, ende M O rechthouckich op den sichteinder, sy lijckstandighe lini met D I, ende Q R sy lijck standighe lini met F G, ende van S in t'middel van O P, sy getrocken de lini S Q, ende S R, ende des driehoucx Q S R swaer heyts middelpunt sy T, door t'welck ghetrocken is de lini V X rechthouckich op den sichteinder. Tbewys. Alsulcken gheprang als t'lichaem K L M N O P doet teghen den boden K L M N, even sulcken gheprang doet t'water A B tegen den bodem A C D E door het 11 voorstel, daerom ghelijck t'swaerheyts middelpunt des gheprangs inden bodem K L M N valt, alsoo salt oock vallen inden bodem A C D E. Om dan tottet bewijs te commen, soo is ten eersten blijcklick dat T, welcke doorHypothesin. t'ghestelde swaerheyts middelpunt is des driehoucx Q S R, oock swaerheyts middelpunt is (door het 15 voorstel des 2 boucx der beginselen vande Weeghconst) des lichaems K L M N O P, maer V X is door T rechthouckich op den sichteinder, V X dan is des lichaems swaerheyts middellini, daerom soo wy de lini X Y neerwaert trecken, t'lichaem K L M N O P sal mettet punt X op de lini X Y,Mathematicè. Wisconstlick verstaen, sijn gegheven stant houden, daerom X is swaerheyts middelpunt van des lichaems gheprang, vergaert inden bodem K L M N, maer V X is door t'swaerheyts middelpunt T rechthouckich op den sichteinder, daerom oock evewijdich met S R, ende vervolghens sy snijt Q R (door het 5 voorstel des 2 boucx vande beginselen der Weeghconst) alsoo dat Q X dobbel is an X R; Maer soo boven gheseyt is, t'swaerheyts middelpunt valt inden bodem A C D E, in sulcken ghestalt ghelijckt inden bodem K L M N doet, het valter dan also in, dattet bovenste deel der lini F G, dobbel is an t'onderste, maer dat is in H, daerom H is t'swaerheyts middelpunt van t'gheprang des waters in den bodem A C D E vergaert. 2 Voorbeelt. Om alsulcke redenen als int 4 voorbeelt des 11 voorstelsgheseyt sijn, sullen wy hier boven t'voorgaendeMathematicam demonstrationem. Wisconstich bewijs, noch een voorbeelt door ghetalen stellen, aldus: Laet A B C D een bodem sijn, daer in ghetrocken is de lini E F, tusschen de middelen van A B, ende D C, deelende dien bodem in ettelicke even deelen (die wy maten noemen) met linien evewijdich van A B, ick neem ten eersten in {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} tween, mette lini G H, snyende E F in I, ende t'punt K sy alsoo, dat E K dobbel is an K F, welcke K wy bewijsen moeten t'swaerheyts middelpunt des gheprangs te sijn aldus: Genomen dat teghen A B H G, ruste 1 pont, ofte ghewicht waters, soo salderteghen G H C D sulcke 3 ghewichten rusten: Dit soo sijnde, ick acht ten eersten al oft t'swaerheyts middelpunt des gheprangs van A B H G, waer in I, ende van G H C D in F, (tis seker dat sy hoogher sijn) soo sal I F balck wesen, welcke ghedeelt in haer ermen tot malcanderen in sulcken reden als de voornoemde gewichten van 3 tot 1, t'welck in t'punt L valle, so sal F L doen ¼ eender maet, dat is ¼ van I F. Ten tweeden soo acht ick, al of t'swaerheyts middelpunt des gheprangs van A B H G waer in E, ende van G H C D in I, (tis seker {==155==} {>>pagina-aanduiding<<} dat sy leegher sijn) so sal haer ghemeen swaerheyts middelpunt vallen een maet boven I als in M. Tis dan blijckelick dattet ware begheerde swaerheyt middelpunt is tusschen M ende L. Maer ghelijck wy den bodem hier boven ghedeelt hebben in tween, alsoo canmense deelen in oneyndelicke stucken, daer af vindende twee swaerheyts middelpunten als boven, tusschen de welcke altijt is, het ware begheerde swaerheyts middelpunt. Wy connen dan door sulcke middel altijt oneyndelick naerderen, daerom als wy door dese ervaring bevinden, dattet punt als L nimmermeer tot K en comt, maer seer by en̄ altijt daer onder blijft; S'ghelijcx dattet punt als M nimmermeer tot K en comt, maer altijt daer boven blijft, wy besluyten uyt sulcx, dat K het ware begheerde swaerheyt middelpunt is. Maer want het moeylicke rekening soude sijn t'ghemeene swaerheyts middelpunt van alle die bodems also te vinden, wy sullen daer af een corte manier verclaren aldus, ick schrijf eenProgreßionē. voortganck als 1. 3. 5. 7. 9. ende so voort altijt met tween opclimmende, want in sulcken voortganc ende reden sijn de prangselen der even deelen eens bodems A B C D door het 15 voorstel, daer naer stel ick ¼, (t'welck hier boven bevonden is voor F L) boven het tweede getal 3, als hier onder. ¼ 1. 3. 5. 7. 9. 11. Daer naer vergaer ick 4, noemer van ¼, met de 5 derde in d'oirden, comt 9, die stel ick als noemer boven de 5, ende boven de 9 set ick 5, dat is de somme des noemers en telders van het ¼ welcker ghestalt dan aldus is: ¼ 5/9 1. 3. 5. 7. 9. 11. S'ghelijcx vinde ick oock alle d'ander, want om t'ghetal te hebben dat boven 7 comen sal, ick vergaer den telder 9 ende 7, maeckt 16, daer boven stel ick de somme van 9 ende 5 (die noemer ende telder sijn vande 5/9) maeckt 14. Inder voughen dat boven de 7 comen sal 14/16, wiens ghestalt dan aldus sijn sal: ¼ 5/9 14/16 1. 3. 5. 7. 9. 11. Ende soo voortgaende, boven de 9 ende 11 sullen ghetalen comen als hier onder: ¼ 5/9 14/16 30/25 55/36 1. 3. 5. 7. 9. 11. Dit soo verstaen sijnde, men wilt weten neem ick, waer t'punt als L vallen sal, wanneer den bodem ghedeelt is in vijf even deelen: Ick sien wat ghetal dat ter boven t'vijfde in d'oirden staet, dat is boven de 9, ende bevinde 30/25 diens eerste ghebroken doet 6/5, daer uyt besluyt ick dat de lini als L F van sulcken bodem in vijven ghedeelt, sijn sal van 6/5 eender maet, der maten daer den bodem in ghedeelt is, maer dat die min sijn dan ⅓ van EF, ende dat haer uyterste als L vallen sal onder K, wort aldus bethoont: De 6/5 eender maet der maten daer den bodem in ghedeelt is, dat is 6/5 van ⅕ doen 6/25, vande heele lini als E F, welcke 6/25 minder sijn als ⅓ F K, want ghetrocken 6/25 van ⅓, blijft 7/75 der lini E F, ende soo verre sal dan t'punt als L van K vallē. Maer om t'punt als M te vinden, ick doe eē maet tot de 6/5 maets, comt 11/5 eender maet, de selve doen 11/25 vande heele lini E F, welcke 11/25 meerder sijn dan ⅓ van F K, want getrocken ⅓ van 11/25 blijft 8/75 der lini {==156==} {>>pagina-aanduiding<<} E F, ende soo verre sal dan t'punt als M van K vallen, dat is 1/75 verder dander L afviel, ende alsoo met allen anderen, want soomen den bodem A B C D deelde in 40 even deelen, de lini als F L soude bevonden worden van 20550/1600 eender maet, dat is eens veertichstendeels der lini E F, door t'welcke men de punten als L, M, veel naerder soude bevinden dan boven, maer nimmermeer daer toe comen, waer af de nootsakelicheyt int bovenschreven 1 voorbeelt Wisconstelick betoocht is. De reden vande boveschreven corte manier der vindingh des ghemeen swaerheyts middelpunts van die verscheyden prangselen, sal den ghenen lichtelick connen bemercken, diese in t'lange souckt naer de leering des 2 voorstels van het 1 bouck der beginselen vande Weeghconst. Tbeslvyt. Wesende dan den bodem des waters een evewijdich vierhouck onevewijdich, &c. 13 Vertooch. 19 Voorstel. Wesende den bodem des vvaters een evevvijdich vierhouck onevevvijdich vandenHorizonte. sichteinder, diens hoochste sijde onder t'vvaters oppervlack is, maer evevvijdich vanden sichteinder, uyt vvelcke sijdens middel een lini getrocken is, tot in t'middel vande leeghste sijde: T'svvaerheyts middelpunt des geprangs inden bodem vergaert, is inde lini tusschen t'middelpunt des bodems, ende t'punt dat het onderste derdendeel dier liniafsnijt; ende tusschen die tvvee punten in soodanigen punt, t'vvelck t'onderste deel alsoo afsnijt, dattet sulcken reden heeft tottet bovenste, ghelijck dePerpendicularis. hanghende lini van t'vvaters oppervlack in des bodems hoochste sijde, tot den helft der hanghende lini van des bodems hoochste sijde, tottetPlanum. plat evevvijdich vanden sichteinder door des bodems leeghste sijde. Tghegheven. Laet A B C D een bodem sijn onevewijdich vanden sichteinder diens hoochste sijde A B onder t'waters oppervlack E F is, maer evewijdich vanden sichteinder, ende G A sy de hanghende lini van t'waters oppervlack tot de hoochste sijde A B, ende A H de hanghende lini van A, tottet plat evewijdich vanden sichteinder door D C, ende A I sy den helft van A H, ende K L sy de lini ghetrocken tusschen de middelen van A B ende D C, ende L M sy het derdendeel vande lini L K, ende N t'middelpunt des bodems A B C D, en̄ O een punt tusschen M ende N, alsoo dat O M sulcken reden heeft tot O N, gelijck A G tot H I. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat O t'swaerheyts middelpunt is van t'gheprang des waters inden bodem A B C D vergaert. Tbereytsel. Laet C B ende D A voortghetrocken worden tot in t'waters oppervlack, als tot P ende E, daer naer C Q even an C P, maer evewijdich vanden sichteinder, ende rechthouckich op C D, daer naer B R evewijdige met {==157==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} C Q, wesende R inde lini P Q: S'ghelijcx A S even ende evewijdighe met B R, voort R T, ende S V even ende evewijdige met B C. Laet daer naer een ander form ghestelt worden, even ghelijck ende evewichtich ande voorgaende E P C D Q, maer alsoo dat C Q rechthouckich sy op dē sichteinder, ende X sy swaerheydts {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} middelpunt des pylaers A B C D R S V T, en̄ Y swaerheyts middelpunt des lichaems R S V T Q, Laet oock ghetrocken worden de linien X N ende Y M. Tbewys. Anghesien in dese tweede form, X swaerheyts middelpunt is des pylaers A B C D R S V T, ende N swaerheyts middelpunt haersgrondts A B C D, ende dat C T rechthouckich is op den sichteinder, soo is X N haer evewijdighe, oock rechthouckich op den sichteinder, ende vervolgens heur swaerheyts middellini, daerom oock is N swaerheyts middelpunt des gheprangs diens pylaers; Maer M swaerheyts middelpunt te wesen des gheprangs van t'lichaem S R T V Q dat is int 18 voorstel betoocht: T'welck soo sijnde, M N is Weeghconstighen balck, die in O alsoo ghedeelt is, dat ghelijck A G tot A I, alsoo O M tot O N door t'ghegheven, maer ghelijck A G tot A I, alsoo den pylaer A B C D R S V T, tottet lichaem S R T V Q, daer om ghelijck den pylaer A B C D R S V T, tottet lichaem S R T V Q, also O M tot O N, waer door O t'swaerheyts middelpunt is deser tweede form, door het 1 voorstel des 1 boucx vande beginselen der Weeghconst, maer t'swaerheyts middelpunt van d'eerste form, om de redenen alsvooren, valt aldaer gelijck in de tweede, O dan der eerste form, is t'begheerde swaerheyts middelpunt. Tbeslvyt. Wesende dan den bodem des waters een evewijdich vierhouck onevewijdich vanden sichteinder, &c. 7 Werckstvck 20 Voorstel. Wesende den bodem in t'vvater een rechtlinichPlanum. plat van form soot valt: Te vinden het svvaerheyts middelpunt des gheprangs daer in vergaert. Tghegheven. Laet A B een water wesen, diens oppervlack A C, ende D E een bodem, welcke een rechtlinich plat sy. Tbegheerde. Wy moe- {==158==} {>>pagina-aanduiding<<} ten het swaerheyts middelpunt vinden van t'gheprang des waters in dien obdem vergaert. Twerck. Men sal eerst vindē eē lichaem waters eveswaer {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} an t'geprang tegē den bodem D E, na de leering des 13 voorstels, t'selve sy DEFG, vindende daer naer sijn swaerheydts middelpunt door het 21 voorstel des tweeden boucx vande beginselen der Weeghconst, t'welck H sy, daer naer ghetrocken H I evewijdighe met G E, diens uyterste punt I inden bodem D E sy; Ick seg t'selve punt I te wesen t'begeerde swaerheyts middelpunt, waer af t'bewijs gelijck sal sijn ande bewijsen des voorgaenden 18 ende 19 voorstels. Tbeslvyt. wesende dan den bodem int water een rechtlinich plat, &c. 8 Werckstvck. 21 Voorstel. Wesende ghegeven een vvater onbekender grootheyt, maer bekender svvaerheyt: Sijn grootheyt door sijn eyghenvvicht te vinden. Merckt. Men soude des waters grootheyt meughenGeometricè. Meetconstlick vinden naer de ghemeene reghel van dien, maer want het in cleyne menichvuldicheyt, Weegconstlick ghereeder ende sekerder wercking is, voornamelick inde ongeschickte formen, wy sullense daer door beschrijven. Tghegheven. Laet A een water sijn diens grootheyt onbekent is, maer tis bekender swaerheyt, dat is (door de 1 bepaling deses boucx) dat sijn bekende grootheyt door bekent ghewicht can gheuytet worden; ick neem dat een voet des selfden weghe 65 ℔. Tbegheerde. Wy moeten de grootheyt van A door haer eyghenwicht vinden. Twerck. Men sal t'water A weghen, t'welck ick neem bevonden te worden van 5 ℔, die ghedeelt door de voornoemde 65 ℔, comt 1/13; dat is 1/13, voets voor de begeerde grootte van A. Tbewys. Anghesien t'water A 5 ℔ weeght, ende dat een voet des selfden {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} weeght 65 ℔, ende dattet over al eenvaerdigher swaerheyt is door de 2 begheerte, soo heeft sijn gewicht sulcken reden tot 65 ℔, als sijn grootheyt tot een voet, maer 5 ℔ heeft tot 65 ℔, de reden van 1 tot 13, daerom sijn grootheyt heeft sulcken reden tot 1 voet, als 1 tot 13, de grootheyt dan des waters A is 1/13 voets, t'welckwy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven een water onbekender grootheyt maer {==159==} {>>pagina-aanduiding<<} bekender swaerheyt, wy hebben sijn grootheyt door sijn eyghenwicht ghevonden, naer den eysch. 9 Werckstvck. 22 Voorstel. Wesende ghegeven tvveer lichamen redenen der grootheyt, ende stofsvvaerheydt, ende t'ghevvicht van t'een lichaem: T'ghevvicht van t'ander te vinden. Tghegheven. Laet A B t'een lichaem wesen, ende C t'ander, ende de reden der grootheyt van A B tot C, sy van 3 tot 1, ende der stofswaerheyt van 1 tot 2, ende A B weghe 6 ℔. Tbegheerde. Wy moeten t'ghewicht des lichaems C vinden. Twerck. Ick teecken D B evegroot met C, de selve D B dan is het derdendeel van A B 6 ℔, daerom D B weeght 2 ℔, maer de stofswaerheyt van D B tot C, is als van 1 tot 2, daerom soo weeght C 4 ℔. Tbewys. Laet C (soot meughelick waer) meer dan 4 ℔ weghen; T'welck soo ghenomen heur swaerheyt sal meerder dan {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dobbel reden hebben tot de swaerheyt van D B, want D B weeght 2 ℔, ende vervolghens de stofswaerheyt van C (anghesien C ende D B even groot sijn) sal in meerder dan dobbel reden sijn tot D B, t'welck teghen t'gestelde is, daerom en weeght C niet meer dan 4 ℔. S'ghelijcx salmen oock bethoonen dat sy niet min en weeght, sy weeght dan nootsakelick 4 ℔ t'welck wy bewijsen moesten. Tbeslvyt. Wesende dan ghegheven tweer lichamen redenen der grootheyt, ende stofswaerheyt, ende t'ghewicht van t'een lichaem, wy hebben t'ghewicht van t'ander lichaem ghevonden na den eysch. Vervolgh. Tis uyt het voorgaende openbaer dat, Chetrocken reden der grootheyt, van reden des ghewichts, rest reden der stofswaerheyt. Ghetrocken reden der stofswaerheyt, van reden des ghewichts, rest reden der grootheyt. Vergaert reden der stofswaerheyt, tot reden der grootheyt, comt reden des ghewichts. Waer uyt blijckt dat een gebrekendeTerminus. pael der ses, door de vijf gegeven palen altijt bekent can worden. Maer om t'selve by voorbeelt te verclaren, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Ghewichten. 6 ℔. 4⅕ ℔ Grootheden. 5 voet. 2 voet Stofswaerheden. 4 7 laet A weghen 6 ℔, ende groot sijn 5 voeten; ende t'gewicht van B sy onbekent, maer heur grootheyt is van 2 voeten, ende de reden der stofswaerheydt van A tot B, sy van 4 tot 7. Nu om t'onbekende ghewicht van B te vinden, ick vergaer reden der stofswaerheyt, dat is Reden 4/7 tot reden der grootheyt, dat is Reden 5/2, comt reden des ghewichts Reden 10/7, t'ge- {==160==} {>>pagina-aanduiding<<} wicht dan van A heeft sulcken reden tottet ghewicht van B, als 10 tot 7, maer A weeght 6 ℔, daerom segh ick 10 gheeft 7, wat 6 ℔? comt voor t'ghewicht van B 4⅕ ℔. Laet ten tweeden de grootheyt van B onbekent sijn, welcke wy door d'ander vijf palen vinden willen. Ick treck reden der stofswaerheyt, dat is Reden 4/7 van reden des gewichts, dat is Reden 10/7, rest reden der grootheyt Reden 5/2; de grootheyt dan van A, heeft sulcken reden tot de grootheyt van B, als 5 tot 2, maer A is groot 5 voeten, daerom segh ick 5 gheeft 2 wat 5 voeten? comt voor B 2 voeten. Laet ten laetsten de reden der stofswaerheyt onbekent sijn, welcke wy door d'ander twee ghegheven redenen bekent willen maken. Ick treck reden der grootheyt, dat is Reden 5/2, van reden des ghewichts, dat is Reden 10/7, rest reden der stofswaerheyt van 4 tot 7. Dit voorstel is gemeen over alle stoffen, doch schijnt sijn grootste gebruyck inAquaticis questionibus. watersche verschillen te bestaen. vierde bovcx EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==161==} {>>pagina-aanduiding<<} Vyfde bovck der weeghconst, van den anvang der waterwichtdaet. {==162==} {>>pagina-aanduiding<<} Anden leser. Nadien hier vooren beschreven sijn de Beginselen des VVatervvichts, soo soudet betamelick sijn, dat beken ick, de VVatervvicht daet te volgen, van sulcx als vvy daer af connen verclaren; maer hebben om seker redenen gheschict, dat voor t'eerste niet schriftelick, maer vverckelick te lat en gheschien: Alleenlick sullen hier drie voorstellen setten, die opentlick uyt het voorgaende volghen, vvelcke ons niet vveerdich dunckende den naem van VVatervvichtdaet te verstrecken, doch ghemeenschap daer mede hebbende, vvy noemense Anvang van dien. De selve beminde Leser believe u int goede te nemen, ende de rest t'sijnder tijt te vervvachten. {==163==} {>>pagina-aanduiding<<} Hoe t'ghewicht van een schip met al datter in ende op is, oft van eenich lichaem int water drijvende, bekent wort door de bekende grootheyt des deels int water ligghende, sulcx is uyt het 6 voorstel openbaer ghenouch, daerom sullen wy dat overslaen, ende wat segghen van t'gene uyt het 7 volght, aldus. 1 Voorstel. Te vinden hoe veel een selfde lichaem dat stoflichter is dan vvater, in t'een vvater dieper sincken sal als int ander dat stofsvvaerder is. Laet by voorbeelt een schip ligghen inden Rhijn te Leyen, ende men wil weten hoe veel dattet daer in dieper sincken sal dan in Zee voor Catwijck. Men sal ondersoucken de reden der stofswaerheyt van dat water tot dit, welcke sy als van 42 tot 43, soo heb ickse in Hoymaent door d'ervaring bevonden, want nemende twee evegroote lichamen, dat vanden Rhijn wouch 4260 azen, maer t'Zeewater 4362 azen, t'welck na ghenouch is als van 42 tot 43. Daerom salmen segghen, de grootheyt des deels van dat schip onder water in den Rhijn is tot de grootheyt van sulck deel onder water in Zee voor Catwijck, als van 43 tot 42, waer uyt denGeometra. Meter naer ghelegentheyt der form des voorghestelden schips, dese diepte tot die sal connen oirdeelen, waer afde nootsaecklickheytMathematicè. Wisconstlick blijckt int 7 voorstel der beginselen des Waterwichts. 2 Voorstel. Door daetlicke voorbeelden te verclaren het 10 voorstel der beginselen des Watervvichts. Wy hebben int 10 voorstel der beginsesen des Waterwichts int 5 vervolgh Wisconstlick bewesen, dat den bodem des waters aldaer E F, door een grooter water (d'hoochde de selfde blijvende) niet meer beswaert en wort dan door een cleynder, ende weder verkeert, datse door een cleynder water soo seer beswaert wort, als door een grooter: Maer want den menighen dat voor onnatuerlick mocht achten, sullen boven t'voorgaende Wisconstich bewijs, daer af vijf daetlicke voorbeelden beschrijven, welcke yeghelick versoucken, ende oogenschijnlick sien mach. 1 Voorbeelt. Laet den bodem A B even ende ghelijck sijn anden bodem C D, ende de hoochde des waters op A B als E F, sy even ande hoochde des waters op C D, als G H; maer het deel I E boven t'water K L B A staende, sy cleender dan alsulck deel des lichaems G C D, ende t'water van E A B weghe 1 ℔, ende van G C D 10 ℔, ende de form van G C D sy een ront pylaer, ende {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} t'water G C D sal thienmael grooter en swaerder sijn dan t'water E A B, nochtans segghen wy t'ghewicht des waters E A B, even soo stijf te drucken op den gront A B, als t'ghewicht des waters G C D op den bodem C D. T'welck aldus daetlick bewesen wort. {==164==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Laet M N O een waeg sijn, diens schalen M, O, welcker schalen M vande form eens pylaers sy, even ende gelijck an t'vat hier boven G C D, ende sal houden 10 ℔waters; Laet oock P een houten lichaem wesen, vast staende als hier neven, ende lijcformich ande schael M, maer so veel cleender datment daer in steecken can sonder erghens ande schael te genaken. Laet nu t'lichaem P gesteken worden inde schael M, als in dees tweede form, en̄ inde schael O sy gheleyt t'gewicht Q van 10 ℔, ende den bodem der schael M sal so stijf genaken tegē t'onderste des lichaems P, als de 10 ℔ van Q veroirsaken. Ick neem nu dat de ledighe plaets tusschen t'lichaem P ende de schael M, gevult can worden met 1 ℔ waters, dat is met een lichaem waters evegroot an t'lichaem E A B; Daerom 1 ℔ waters in die ledighe plaets ghegoten, sal de schael M doen dalen, ende O doen rijsen, soo d'ervaring dat betuyghen sal, ende ghelijck de redenen daer af oock openbaer sijn door t'boveschreven 10 voorstel. Dat 1 ℔ waters dan in die schael M gheleyt, sal daer in soo grooten macht doen, als 10 ℔ ghewichts van loot yser ofte eenige ander stijve stof ande schael M ghehecht. Ende om de selve reden sal 1 ℔ waters, also connen meer ghewelts doen dan duysent ponden ander ghewicht. Dit so sijnde daer is water tusschen den bodem der schael M, ende t'onderste des lichaems P, tegen welck water den bodem van M nu so stijf druckt, als sy eerst tegen t'onderste des lichaems P stack, want t'selve ghewicht Q ligt noch in d'ander schael O; Maer sy stack eerst soo stijf daer tegen als 10 ℔ van Q veroirsaeckten, daerom {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} den bodem van M steeckt soo stijf teghen t'water als de 10 ℔ van Q veroirsaken, ende weder verkeert, t'water steeckt soo stijf teghen den bodem M, als die 10 ℔ van Q veroirsaeckē. Laet ons nu nemen dattet water op den bodem M ligghende, evegroot sy an t'water K L B A, ende de rest rontom t'lichaem P staende, evegroot mettet water I E; t'water dan E A B, druckt even soo stijf teghen den grondt A B, als dit water tegen den grondt M, maer dit druckt soo stijf als 10 ℔, soo boven bethoont is, dat water E A B dan, druckt oock soo stijf teghen den gront A B als 10 ℔, ende so stijf druckt oock t'water G G D teghen den grondt C D: Daerom soo wy voorghenomen hadden daet lick te bewijsen, t'water E A B weghende 1 ℔, druckt even soo stijf teghen sijn grondt A B, als t'water G C D wegende 10 ℔, teghen sijn grondt C D. Ende ghelijck wy hier bewesen hebben 1 ℔ soo stijf te drucken als 10 ℔, alsoo salmen oock bewijsen 1 ℔ stijver te connen drucken als duysent ponden. {==165==} {>>pagina-aanduiding<<} 2 Voorbeelt. Laet A B C D een cleen dun buysken sijn, ende C D E F een groot dick vat afghesondert van t'buysken, met een ghemeene bodem C D, ende beyde vol {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} waters, alsoo dat der wateren oppervlacken in een selfde wereltvlac sijn. Nu dat het groot water des vats C D E F, niet stijver en druckt teghen den bodem C D, dan t'cleyne water der cleyne buys, blijckt daetlick aldus: Laet geweert worden den bodem D C, ende t'groot water sal op die plaets teghen t'cleynste stooten: Nu soo t'water C D E F, van te vooren stijver ghestooten had teghen den bodem D C, dan t'water A B C D, soo salt nu oock stijver stooten teghen dat water dan dat teghen dit:waer door t'cranckste voor t'sterckste sal moeten wijcken, dat is, t'water A B C D sal rijsen, ende van C D E F sal dalen; Maer dit so wesende, haer oppervlacken en sullen niet even hooch sijn, t'welck opentlick teghen d'ervaring is. Daerom t'cleynste water A B C D druckt even soo stijf teghen den bodem C D, als t'grootste water C D E F. 3 Voorbeelt. Laet A B C D een vat vol waters sijn, in wiens bodem D C evewijdich ligghende vanden sichteinder, een rondt gat E F is waer op ligt een ronde houten schijf G H, stoflichter dan water, ende dat gat E F bedeckende, ende rontom dicht sluytende teghen den bodem D C. Laet oock I K L eeen ander vat vol waters sijn, evenhooch mettet vat A B C D, maer cleynder, in wiens bodem K L oock een rondt gat M N sy, even an t'gat E F, waer op light een schijf O P, evegroot ende eveswaer ande schijf G H: T'welck soo wesende, d'ervaring sal bethoonen dat de schijf G H niet rijsen en sal, naer de ghemeenen aert des hauts in t'water, maer sal soo stijf op t'gat E F drucken, als een ghewicht eveswaer an t'water dat evegroot is anden pylaer E F Q R, min t'verschil des ghewichts der houte schijf G H, tot het ghewicht des waters an die schijf evegroot. Maer om sulcx door de daet oock te sien, men mach ande schijf G H een waegh voughen, diens ghewicht {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} S eveswaersy an dat voornoemde gewicht, ende de schijf G H sal daer tegen evewichtich blijven. Laet nu insghelijcx ande schijf O P oock een waegh vougen, diens ghewicht T eveswaer sy an S, ende de schijf O P sal daer teghen oock evewichtich blijven. Maer soomen S ende T yet swaerder maect, sy sullen haer schijven doen rijsen, inder voughen dat de schijven G H, O P, door sulcke evewichten bevonden worden evestijf tegen haer bodems te drucken, waer uyt het voornemen blijckt, te weten het cleynder water I K L, even soo stijf teghen sijn grondt te drucken, als t'grooter A B C D. {==166==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. Tis kennelick dat soo t'verschil des ghewichts der schijf als G H, tot het ghewicht des waters an haer evegroot, meerder waer dan t'ghewicht des waters evegroot anden pylaer, als E F Q R, sulcken schijf en soude op t'gat als E F niet connen rusten, maer soude nootsakelick oprijsen. Tis oock blijckelick dat so de schijf als G H stofswaerder waer dan water, als van loot, yser, &c. datse dan op t'gat E F soo stijf drucken soude, als een gewicht des waters evegroot anden pylaer E F Q R, meer t'verschil des ghewichts der schijf, tottet ghewicht des waters an haer evegroot. Maer waer de schijf G H evestofswaer an t'water, tis openbaer datse dan effen soo stijf op t'gat E F drucken soude, als een ghewicht des waters evegroot anden pylaer E F Q R. 4 Voorbeelt. Laet A B C D een vat vol waters sijn, met een gat E F inden gront C D, daer op een schijf G H light, stoflichter dan t'water, de selve sal op t'gat E F soo stijf pranghen als vooren bewesen is. Laet oock, I K L een cleen dun buysken wesen, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} diens opperste gat I inde selfde hoochde van A B sy, ende t'onderste gat sy E F: Daer naer dit buysken vol waters ghegoten, dat cleen water sal soo groot gewelt doen teghen den grondt des schijfs G H, als al t'water dat in t'vat A B C D is, want de schijf G H sal rijsen. Inder voughen dat 1 ℔ waters (door t'welck ick neem de buys I K L te meughen ghevult worden) meer ghewelts sal connen doen teghen de schijf G H, dan hondert duysent ponden als S hier vooren, t'welckmen der natueren verborghentheyt soude meughen noemen dat d'oirsaken onbekent waren. 5 Voorbeelt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Om nu oock werckelick betooch te gheven over de voorbeelden alwaer t'water opwaert teghen den bodem steeckt, als int 3 vervolgh des voornoemden 10 voorstels, soo laet A B C D een water sijn, ende E F een dichte buys, ende G een schijf stofswaerder dan water, ick neem van loot, als in dese eerste form. Laet die schijf G geleyt worden tegen t'gat F, also datse dicht daer op pas, ende de buys met de schijf dan alsoo t'samen in t'water A B C D ghesteken, ick neem {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} tot H toe, als hier onder, de schijf G en sal naer den gemeenen aert des loots, in t'water niet sincken, maer ande buys blijven hanghen, ende daer teghen soo stijf drucken, als een ghewicht eveswaer an t'water dat evegroot is an den pylaer, diens grondt de groote des gats F, ende hoochde H I is, min t'verschil des ghewichts der schijf G, tot t'ghewicht des waters an die schijf evegroot. Maer soo de schijf G niet dicht ghenouch teghen de buys en slote, ende datter eenich wa- {==167==} {>>pagina-aanduiding<<} ter indrong, soo sal de schijf G daer soo langhe aenhanghen, tot dat sulck inghedronghen water t'voornoemde ghewicht overwint. Maer want nu yemant dencken mocht, het groot swaer water rondom de buys staende, stijver drucking der schijf teghen de buys te veroirsaken, dan een {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} cleender water van de selfde hoochde, soo laet ons t'water neven de buys rondom afcorten, dat is, dat de rest water sy in een vat van form als hier neven, ende d'ervaring sal bewijsen (versouckende de macht des gheprangs in t'een en t'ander water, door evewichten inde buys op G rustende) dit cleen water even soo stijf te drucken als t'voornoemde grooter, waer af de reden boven grondelick beschreven is. Tbeslvyt. Wy hebben dan door daetlicke voorbeelden het 10 voorstel der beginselen des Waterwichts verclaert, naer t'voornemen. Merckt. Wat het 11 voorstel belangt, daer uyt is onder anderen kennelick, wat gewicht waters datter druct, tegen elcke sijde der deure van een sluys, ende diergelijcke: Oock dattet water over d'eensijde alleenlick een stroobreet, daer teghen soo stijf prangt als t'water diens breede de Zee van Oceane over d'ander sijde; Welverst aende als sy evenhooghe sijn. Van welcke dinghen wy om haer voornoemde claerheyt hier gheen besonder voorstellen en maken. 3 Voorstel. D'oirsaeck te verclaren vvaerom een mensch diep onder t'vvater svvemmende, niet doot gheprangt en vvort, van t'groot ghevvicht des vvaters op hem ligghende. Laet een mensch 20 voeten diep onder water ligghen, weghende elcke voet waters 65 ℔, ende t'gheheel vlack sijns lichaems sy groot 10 voeten. Dit so wesende, daer sal teghen sijn lijf perssen byde 13000 ponden ghewichts, door het 10 ofte 11 voorstel vande beginselen des Waterwichts. T'welck soo sijnde, hoe ist meughelick, sal yemant segghen, dat sulcken ghewicht den mensch niet doot en druckt? D'antwoort is daer op soodanich: A.Alle duwing die t'lichaem weedom aendoet, verset eenich deel des lichaems uyt sijn natuerlicke plaets; O.Dese duwing des waters en verset gheen deel des lichaems uyt sijn natuerlicke plaets; O.Dese duwing des waters dan, en doet het lichaem gheen weedom an. DesSyllogismi minor. bewijsredens tweede voorstel is openbaer door de daet, waer af de reden dese is: Soo eenich deel als vleesch, bloet, vochticheyt, wattet sy, uyt sijn natuerlicke plaets verset wierde, t'soude moeten plaets hebben daert in ginghe, die plaets en is buyten t'lichaem niet, overmits t'water over al evestijf anstoot, (Angaende t'onderste deel een weynich stijver gheprangt wort dan t'opperste, door het 11 voorstel der Beginselen des Waterwichts, dat en is in desen ghevalle van gheender acht, want sulck verschil gheen deel uyt sijn natuerlicke plaets versetten en can) sy en is oock binnen t'lichaem niet, wanttet daer soo vol lichame- {==168==} {>>pagina-aanduiding<<} lickheyts is als daer buyten, waer door yder dit deel, soo stijf stoot teghen yder dat deel, als yder dat, teghen yder dit, overmits t'water rondtom t'lichaem tot allen sijden met een selve reden staet. Die plaets dan en is buyten t'lichaem niet, noch daer binnen, daerom nergens, waer door het onmeughelick is, dat eenich deel uyt sijn natuerlicke plaets gebrocht worde, ende vervolghens t'lichaem en can daer af gheen weedom ontsaen. Maer om t'selve metter daet noch merckelicker te bewijsen, laet A B C D een water sijn, hebbende inden grondt D C een gat, ghesloten met den tap E, ende op den selven grondt ligghe een man F, met sijn rug op E: T'welck so sijnde, daer en can van weghen t'ghewicht des waters op hem ligghende, geen deel des lichaems uyt sijn natuerlicke plaets verset worden, overmidts t'water an allen sijden evestijf anstoot, als vooren gheseyt is. Maer wildy nu daerlick sien dit de warachtighe oirsaeck {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} te wesen, soo treckt den tap E uyt, ende dan en sal teghen sijn rug an E gheen stootsel sijn, als an alle d'ander plaetsen sijns lichaems, daerom ooc sal het lichaem daer prangsel lijdē, ende dat so stijf als int derde voorbeelt des 2 voorstels van desen betoocht is; te weten soo stijf, als veroirsaeckt wort door t'gewicht des pylaers waters, diens gront het gat E is, ende hoochde, de hoochde des waters boven hem, waer mede t'voornemen opentlick bewesen is. vyfden bovcx EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==169==} {>>pagina-aanduiding<<} AnhangAppendix. der weeghconst, inde welcke onder anderen vveerleyt vvorden etlicke dvvalinghen der wichtighe ghedaenten. Anden leser. MY ghedenckende van t'mishaghen dat ick somvvijlen ghehadt heb indeArgumentis. strijtredens ettelicker schrijvers, vvelcke ghedreven van haer ghemoet, ander persoonens dvvaling en in consten soo veracht elick berispten, dat sy daer mede een ghetuych gaven, van haer veel slimmer dvvalingheninde seden; ende dat my daer benevens overvloedigeMateriae. stof ontmoet vvas, om te connen vveerlegghen veel dolinghen vande vvichtighe ghedaenten door sommighe beschreven: Heb gevreest int verclaren der selver, den Leser van my een vermoeden te meughen gheven, van sulcx als my in anderen misviel. Nochtans achtende hier beneven, dattet gantschelick versvvijghen (vvant vvy met voorset daer af inde voorgaende boucken met en hebben vvillen roeren, om de leering met gheenArgumentatione. strijding te verduysteren) den sommighen eenich misverstant ende achterdeel mocht veroirsaken, heb my ghepoocht naer t'middel te trachten, ende inde plaets van veel besonder dvvalinghen, alleen haer gemeene oorspronck door de tvvee eerstvolgendeCapita. hooftsticken te verclaren en niet tot vermindering des naems van so vveer digen schrijvers, maer veel eer om die met danckbaerheyt te helpen vermeerderen, als van bevveghende oirsaken haerder nacommers, sonder vvelcke veel besonderheden dickmael ongheroert souden ghebleven hebben. {==170==} {>>pagina-aanduiding<<} Caput 1. 1 Hooftstick, Dat Der evestaltwichtigen Oirsaeck niet en Scvylt onder de ronden beschreven met d'uytersten der erven. DE redenen waerom even swaerheden an even ermen evestaltwichtich sijn, is door ghemeene wetenschap bekent, maer niet alsoo d'oirsaeck der evestaltwichticheyt van oneven swaerheden an oneven ermen met haerProportionales. everednich, welcke oirsaeck d'ouden ondersouckende, hebben die gheacht te schuylen onder de ronden beschreven door d'uytersten der ermen, als blijckt by Aristoteles in Mechanicis met sijn navolghers; T'welck wy ontkennen ende reden daer af aldus gheven: E.Dat stil hangt en beschrijft gheen rondt; A.Twee evestaltwichtighe hanghen stil; E.Twee evestaltwichtighe dan en beschrijven gheen rondt. Ende vervolghens soo en isser gheen rondt; Maer alwaer gheen rondt en is daer en can t'ront het ghene niet wesen daer eenige oirsaeck onder schuylt, waer door de ronden hier t'ghene niet en sijn, daer d'oirsaeck der evestaltwichticheyt onder bestaet. Angaende (op dat wy desSyllogismi minorem. Bewijsredens tweede voorstel verclaren) t'roersel ofte de beschrijving der ronden welcke haer ooghenschijnlick mach vertooghen, die en is niet eyghen der evestaltwichtighen, maer by gevalle, als door wint, hurting, oft eenighe ander beweging, met welcke niet alleen dese, maer oock d'onevestaltwichtighe ronden connen beschrijven. Tis dan openbaer dat dese oirsaeck in geen ronden en bestaet, maer onder t'ghene int 1 voorstel des 1 boucx vande beginselen der Weeghconst, daer afMathematicè. Wisconstlick betoocht is. Daerom die sulcke dwaling voor seker grondt namen, ten is gheen wonder dat sy, sonder te commen tot kennis der oirsaken, oock sonder te crijgen form van Weeghconst, hemlien in veel valsche voorstellen oeffenden, die wy hier int besonder souden connen weerleggen, maer sulcx laten om de redenen hier boven verhaelt, te meer dat sy door haer contrari, als t'voornoemde warachtighe, ghenouch bekent sijn. Men soude hier oock meugen weerlegghen ettelicke voorstellen van scheefwichten, beschreven door Cardanus lib. 5. De proportionib. daer hyse raemt uyt seker houcken van linien oft platten, maer dat de selve ghemist sijn, is openbaer ge nouch door het Wisconstich bewijs van anderProportione. everedenheyt, int 19 voorstel des 1 boucx vande beginselen der Weeghconst. 2 Hooftstick, Dat de gheroerden met haer Beletselen in gheenProportione. everedenheyt en bestaen. WY hebben inde voorreden der Weeghdaet anden Leser gheseyt, dat de gheroerden met haer beletselen niet everednich en sijn, oock aldaer belooft elders van dies eyghentlicker bewijs te doen, t'welck wy hier veroirdent hebben, alwaer weerleyt sullen worden deArgumenta. strijtredens vande gene die de contrarie meynen, aldus: Aristoteles int 4 bouck der Natuer int hooftstuck des ydels met sijn navolghers, willen, dat vallende twee lijckformighe evestofsware lichamen door de locht, ghelijck de swaerheyt van t'een tot die van t'ander, also diens tijt des doorlijdens tot desens, dat is, ghelijck swaerheyt tot swaerheyt, also {==171==} {>>pagina-aanduiding<<} belet tot belet. T'welck sijn meyning soo te wesen hy in verscheyden boucken opentlicker verclaert als lib. 6. Phys. oock lib. 1. 2. 3. 4. de Caelo, tot veel plaetsen. Hier in heeft teghen Aristoteles gheschreven Ioannes Taisnier Hannonius, willende oock everedenheyt, doch soo, dat die twee voornoemde lichamen in even rijden door even langden des lochts vallen; In welcke meyning Cardanus oock is lib. 5. de Proportionib. prop. 110. Maer d'een noch d'ander en heeft de saeck ghetroffen, t'welck wy eerst met daetlicke ervaring verclaren sullen, ende daer naer d'oirsaeck bethoonen. D'ervaring teghen Aristoteles is dese: Laet nemen (soo den hoochgeleerden H. Ian Cornets de Groot vlijtichste ondersoucker der Naturens verborghentheden, ende ick ghedaen hebben) twee loyen clooten d'een thienmael grooter en swaerder als d'ander, die laet t'samen vallen van 30 voeten hooch, op een bart oft yet daer sy merckelick geluyt tegen gheven, ende sal blijcken, dat de lichtste gheen thienmael langher op wech en blijft dan de swaerste, maer datse t'samen soo ghelijck opt bart vallen, dat haer beyde gheluyden een selve clop schijnt te wesen. S'ghelijcx bevint hem daetlick oock alsoo, met twee evegroote lichamen in thienvoudighe reden der swaerheyt, daerom Aristoteles voornoemde everedenheyt is onrecht. D'ervaring tegen Taisnier is dusdanich: Neemt een cleen ynckel cort haerken boomwols, ende een pacxken des selfden stijf in een ghebonden, weghende een pont, ende van ghelijcke form mettet haerken; dese laet t'samen neervallen van vijf ofte ses voeten hooch, ende d'ervaring sal betoogen dattet haerken (niet tegenstaende sijn stof veel dichter in een gesloten is, dan des pacx, waer in veel ledige plaets ofte locht is) wel vijfentwintichmael langer op wech blijft dan t'pacxken; daerom sy en vallen na sijn meyning op gheen even tijden door even langden des lochts. Ander ervaring blijckt oock teghen Taisnier int rijsendwicht, als in een lanck claer glas vol waters, t'welck gheroert, alsoo datter veel lochtclooten ofte lochtbellen in commen, ende daer na stil ghehouden, de grootste bellen sullen snellick in een oogblick opcommen, de cleender niet soo ras, maer de minste als sandekens, soo traechlick als een slecke cruypt; t'welck verre is van even tijden. Dit is van d'ervaring gheseyt. Daer rest nu noch d'oirsaeck te verclaren, waerom hier geen everedenheyt en is, aldus: Yder roerende lichaem heeft eenich belet sijns roersels, dat van een vallende lichaem door de locht, is t'ghenaecksel sijnsSupersiciei. vlacx teghen de locht, daerom ontfangt t'meeste der ghelijcke lichamen wel t'meeste beletsel, maer overmidts der lichamen grootheden met haer vlacken selfs niet everednich en sijn (want twee teerlinghen in achtvoudighe reden, hebben haer vlacken alleen in viervoudighe) soo en connen sy met die beletselen niet everednich wesen, ende daerom ist dat de minste lichamen meer belet ontfanghen, int aensien der everedenheyt, dan de meeste, waer door sy oock traechlicker neervallen. Ende of de vlacken schoon inde reden haerder grootheden waren, soo is t'middel daer de lichamen door vallen, alleen oock een oirsaeck die sulcke everedenheyt weert, t'welck opentlick blijckt in twee lichamen, t'een int water sinckende, t'ander daer op drijvende, wiens beletselen der vlacken eenighe reden hebben, maer de tijden gheen, daerom en sijnse niet everednich. Ymant sal hier toe meughen segghen t'ghemeen woortCateris paribus. D'ander parich, dat is, hem sulcx alleen te verstaen van lichamen die beyde door t'water sincken. Ick segh dat de voornoemde everedenheyt in sulcke oock niet en bestaet: Om t'welc te bewijsen so laet twee lichamen sijn, A t'swaerste, B t'lichtste, die beyde int water sincken, ende tusschen hun besta de voornoemde everedenheyt. Dit soo wesende, tis kennelick datmen neven A, ander oneyndelicke menichte van lichamen {==172==} {>>pagina-aanduiding<<} vougen can, t'een lichter als t'ander, en̄ elck lichter als B, die alle daer in sinckē. Nu yder van dese verleken met A, men sal allencx naerderen t'ghene boven geseyt is gheen everedenheyt te wesen, dat is men sal naken de verlijcking eens lichaems dat sinckt, met een dat niet en sinckt:Maer dit soo naerderende, ende in A, B, de begheerde everedenheyt bestaende, seker gheen dier oneyndelicke menichte der lichamen met A verleken, en sullen die everedenheyt hebben; want sooser in waer, sy en souden niet naerderen, t'welck teghen t'ghestelde is. Daerom so wy voorghenomen hadden te verclaren, t'middel daer de lichamen door vallen, is oock een oirsaeck die de voornoemde everedenheyt weert. Maer hier aldus bethoont hebbende, geen everedenheyt te bestaen tusschen de gheroerden met haer beletselen inde aldergheschickste voorbeelden, alwaer maer een eenvoudich strijcksel der vlacken en is teghen de locht, oft tegen t'water, soo en salder uyt noch stercker reden, gheen everedenheyt wesen in ongheschickter voorbeelden van verscheyden stoffen, als in reetschappen van haut, yser, en diergelijcke, want dit wort beolijt, dat besmeert, t'een can met een vochtich weer opswellen, t'ander verroesten, alle welcke (ick laet veel ander varen) de roerselen der reetschappen verlichten of beswaren. Daetom soo gheseyt is inde boveschreven voorreden der Weeghdaet, men sal hem op dese schijn van everedenheyt niet verlaten, maer t'ghene Cardanus lib. 5. de Proportionibus in veel verscheyden voorstellen, met meer ander Schrijvers daer afbesluyten, voordwalinghen houden, sich vernoughende met de Wisconstighe kennis der evestaltwichticheyt van t'roerende ende het te roeren, als tottet voornemen ghenouch doende. 3 Hooftstick, dat de weeghconst een besonder vryeArs Mathematica. wisconst is. Tis wel waer, dat van der dinghen namen die de saeck niet en verduysteren, dickwils onnoodigheQuoestiones. verschillen sijn, onder de welcke yemant dencken mocht dit verhael behoort gerekent te worden, doch angesiē wy de Weegconst daert te pas commen sal, een vrye Wisconst sullen noemen, soo moeten wy met corte woorden daer af wat redens gheven, aldus: Overmits deMateria. stof des ghetals al een ander is dan die dergrootheyt, soo sijn de leeringhen haerder eyghenschappen te recht vanden anderen ghescheyden, ende yder voor een besonder Const gehouden, alsArithmetica. Telconst endeGeometria. Meetconst, op dat elcke also oirdentlicker, eyghentlicker, ende verstaenlicker soude meugen beschreven worden. Ten anderen, want haer diepsinnigheAccidentia. anclevinghen ons niet uyter natuer bekent en sijn, maer dat wy die leeren uyt de vergaerde schriften der ghene die door besonder vlijt hun daer in gheoeffent hebben, ja dickmael by ghevalle ter kennis van yet besonders gherocht sijn, ende dat haer wetenschap den menschen daerenboven seer nut is, soo wordense met recht vrye consten ghenoemt. Ten derden, na dien de sekerheyt in haer bestaende, de ghewisheyt van d'ander Consten verre te boven gaet, soo wordense billichlick daer beneven Wisconsten gheheeten. T'selve is om derghelijcke redenen vande Weeghconst oock te oirdeelen; want anghesien haer stof, te weten swaerheyt, al een ander is dan ghetal ofte grootheyt; oock dat de nutte eyghenschappen van dese, in diepsinnicheyt an d'eyghenschappen van die niet en wijcken; (t'welck daer in blijckt, dat sy om sulcx laetst tot smenschen kennis gecomen sijn, en̄ of sy u schoon licht dochten, {==173==} {>>pagina-aanduiding<<} dat meucht ghy d'onbegrijpelicke volmaecktheyt der Duytsche spraeck daneken) Voorts dat sy door haer uyterste beginselen, in sulcken ghewisheyt bestaet als die, soo sal sy om haer ghemeene reden, een besonder vrye Wisconst ghenoemt worden. Yemant sal hier teghen meughen segghen, dat de Meetconst tot haer bewijsen dickmael ghebruyckt wort, ende die daerom alsSpecies. afcomst der Meetconst stellen. Ick antwoord de Telconst sulcx oock te ghebeuren, nochtans een besonder vrye Wisconst blijvende. Want wat voornamelickeTheoremata. Vertoogen heeftse, diens grondelicke kennis door de Meetconstighe formen niet vercreghen en wort? Ia de Meetconst selver hoe soudese sonder ghetalen bestaen? Siet haer beginselen als die van Euclides, hoe dickmael d'een form des anders dobbel, dese drie platten even an die twee gheseyt worden. T'blijckt dan die voorstellen sonder t'behulp van ghetalen onbewijslick te wesen, nochtans d'een des anders afcomst niet sijnde, ende alsoo oock met de Weeghconst. Angaende dat dePerspectiva. Deursichtighe endeCatoptrica. Spieghelconst voor geen besonder vrye Wisconsten, maer als afcomsten der Meetconst gheacht sijn, by welcke yemant de Weegconst mocht willen verlijcken; hun redens sijn seer verscheyden, overmits de stof van dese, te weten swaerheyt, sulcx is, dat sy ghelijck de grootheyt, en ghetal (na t'gemeen woortOmnia constant pondere, numero & mensura. alles te bestaen in ghewicht, ghetal en maet) bevonden wort in alle voorgestelde wesentlicke saeck, met smenschen groote nutbaerheyt; maer niet alsoo de stof van die. Wy besluyten dan te recht, de Weeghconst een besonder vrye Wisconst te sijne, ghelijck ons voornemen was te bethoonen. 4 Hooftstick, dat sommighe voorgaende bewysen door t'behulp der ghetalenMathematicae. VVisconstich sijn. DE geleerden maken onderscheyt tusschen Wisconstich endeMechanicam werckelick bewijs: T'welck niet sonder reden en is, want dat is ghemeen over allen, oock grondelick d'oirsaeck verclarende, dit besonder alleenlick op t'ghegheven, sonder kennis der reden waerom dat alsoo gheschiet. Als by voorbeelt, yemant om te bewijsen dattet viercant der langste sijde eens rechthouckich driehoucx, even is ande twee viercanten van d'ander sijden, neemt een driehouck, diens cortste sijde van 3 voeten, d'ander van 4, de derde van 5 voeten is, de selve wort rechthouckich bevonden; Bethoont daer mede dattet viercant der langste sijde 25, even is ande viercanten van d'ander twee sijden, als 16 ende 9. Maer dit is alleenlick bewijs van dat voorghestelde, waer uyt niet en volght sulcx over alle rechthouckighe driehoucken soo te moeten wesen, oock en sietmen daer door de oirsaeck niet, waerom dat also gebeurt, ende overmits dit aldus werckelick geschiet, so wordet daerom oock werckelick bewijs geheeten. Maer t' betooch van sulcx door Euclides ghedaen int 47 voorstel des 1 boucx, is ghemeen over allen, anwijsende door d'uyterste beginselen, de reden waerom dat soo is, ende niet anders sijn en can; t'selve wort om sulcke ghewisheyt Wisconstich ghenoemt, t'welck deMechanicam Wisconstnaers om de redenen hier vooren verhaelt, liever gebruycken dant werckelick door getalen. Yemant mocht nu segghen; Dit soo sijnde, waerom hebdy dan de bewijsen der 4, 11, 12, 18, voorstellen des 2 boucx vande beginselen der Weeghconst, door ghetalen ghedaen? D'ant woort valt daer op, dat de ghetalen der bewijsen ons op tweederley manieren ontmoeten, {==174==} {>>pagina-aanduiding<<} d'eene die alsTermini. palen alleenlick deRationes. redenen endeProportiones. everedenheden der deelen des voorghestelden forms verclaren, d'ander deQuantitatē. menichvuldicheyt; T'bewijs door die is Wisconstich, wanttet hem op alleSpecies. afcomsten des voorghestelden forms verstaet, ende d'oirsaken verclaert, maer door dese niet om de contrarie redenen. T'welck EutochiusCōmentator uytleggher van Apollonius int 11 voorstel des 1 boucx alsoo mede verstaet segghende: Niemant en beroer hem hier in dat dit door de ghetalen bethoont is, want d'ouden pleghen sulcke bewijsinghen te ghebruycken, soo sy doch beter Wisconstich sijn dan Telconstich, om de everedenheyts wil; Merckt oock dattet begheerde Telconstich is, want de everedenheden, ende de menichvuldicheden der everedenheden, oock deMultiplicationes. menichvuldiginghen, sijn ten eersten in ghetalen, ten anderen door ghetalen inde grootheden, na t'oirdeel van hem die aldus gheschreven heeft: ταῦτα γαρ τὰ μαϑήματα δοϰοῦντι ϵἶμεν ἀδελϕά, dat is, dese Consten alle een moers kinderen te schijnen. Nu soude yemant meughen voortbrenghen, dat Prolaemeus, Archimedes, Apollonius, Commandinus, Regiomontanus, ende meer ander in derghelijcke voorstellen, alle palen met gheen soo uytghedruckte ghetalen en beteeckenen, als hier ghedaen is. Daer op antwoord ick, dat met alsulcke reden als sy segghen van der palen tweevoudicheyt, drievoudicheyt, mette selve salmen oock meugen spreken daert te pas comt, van haer twaelfvoudicheyt, als A D tot R D int voornoemde 23 voorstel, ende van haer reden als 37 tot 23, gelijck A R tot R D des boveschreven 11 voorstels, ende alsoo met allen anderen, want sulcke linien in yder voorghestelde form dier afcomst, gheen ander reden en hebben. Nu anghesien datmen int ondersoucken der eyghenschap sulcker formen, dese ghetalen ghebruyckt, die ons als seker anwijs, met lichticheyt tot claer verstant der saeck brenghen, soo ist nut int beschrijven der selver, die ghetalen daer oock by te setten, om voor anderen niet duyster na te laten, t'gene denInventoribus. Vinders selfs licht ende openbaer was. Want sulcx is t'recht Wisconstich bewijs, t'voorghestelde door d'oirsaken verclarende; T'welck ons voornemen was te bethoonen. Angaende sommige bewijsen des eersten boucx vande beginselen der Weegconst, oock des Waterwichts, inde welcke de swaerheden door ghetal ende bekent ghewicht, als ponden, beteeckent sijn, t'welck yemant voor geen Wisconstige, maer voor werckelicke handeling mocht achten; die sal weten, dat beneven soodanighe, oock mede ghestelt sijn haer Wisconstighe bewijsen, als int 1 voorbeelt des eersten voorstels van t'eerste bouck, alwaer door ghetalen ende bekent ghewicht, des voorstels inhout bethoont is, maer int tweede voorbeelt, is t'selve oock Wisconstelick bewesen, ende also met d'ander. Inder vougen dattet werckelick bewijs tot meerder claerheyt somwijlen by t'Wisconstich ghevoucht is. 5 Hooftstick, welck verclaring is op het 8 voorstel der beginselen des VVatervvichts. Daer is int boveschreven 8 voorstel aldus gheseyt: Yder stijflichaems swaerheyt is soo veel lichter int water dan inde locht, als de swaerheyt des waters met hem evegroot. Waer uyt yemant sulcken vervolgh mocht willen maken: Yder stijflichaems swaerheyt is soo veel lichter int quicksilver dan int water, als de swaerheyt des quicksilvers met hem evegroot. Ofte aldus: Yder stijflichaems swaerheyt is soo veel lichter int water dan inde olye, als de swaerheyt des waters met hem evegroot; ende soo met dierghelicke. Welck nootlick vervolgh, de saeck een vou- {==175==} {>>pagina-aanduiding<<} dichlick anghesien, d'ervaring teghen schijnt, want een pont loot en sal na de ghemeene ghebruyck van weghen, int water niet soo veel lichter sijn dan inde olye, als de swaerheyt des waters met hem evegroot, maer alleenlick soo veel lichter, als t'verschil tweer lichamen van water en olye met dat voornoemde loot evegroot. Doch den grondt dieperinghesien, endeCoeteris paribus. d'ander parich ghestelt, soo bestaet alles in d'uyterste volmaecktheyt. Om t'welck te bewijsen, soo is t'anmercken, dat inde 1 begeerte der beginselen des Waterwichts versocht is, Der lichamen ghewicht inde locht eyghen ghenoemt te worden, ende inde 5 begeerte; T'vlackvat vol waters uytghegoten sijnde, ledich te blijven, dat is vol lochts te wesen door de 11 bepaling, daerom ghenomen dat de twee middelen quicksilver en water sijn, alwaer nu water inde plaets des lochts ghestelt is, ende datmen hier sghelijcx begheere, Der lichamen ghewicht int water eyghen genoemt te worden. Oock, T'vlackvat vol quicksilvers uytghegoten sijnde, vol waters te blijven, soo is t'voornoemde voorstel (Yder stijflichaems swaerheyt is soo veel lichter int quicksilver dan int water, als de swaerheyt des quicksilvers met hem evegroot) warachtich. Om t'welck door ghelijcknis noch opentlicker te verclaren, so neemt dat een man gantsch onder t'water sy, aldaer by hem hebbende quicsilver, gout, met een waegh, ende houdende t'water als voor locht: Ick segh dattet gout aldaer soo veel lichter sal sijn int quicksilver dan int water, als de swaerheyt des quicksilvers mettet gout evegroot; t'welck openbaer is. Tis wel waer dat somen naem, Der lichamen ghewicht int ydel eyghen ghenoemt te worden, soot in eenvoudich ansien oock is, men soude naer sulcke eyghen heyt meughen segghen, Yder stijstichaems swaerheyt is soo veel lichter int water dan int ydel, als deswaerheyt des waters met hem evegroot. Maer anghemerckt d'omstaende, te weten dat ons ghemeene daetlicke wegingen (naer welcke deTheoria. Spiegheling altijt opsicht behoort te nemen) niet int ydel en gheschien, maer inde locht, soo ist beter na d'eerste wijse, der lichamen eyghenwicht inde locht te stellen; Int ansien van welcken, t'boveschreven 8 voorstel met dieder uytvolghen, in haer uyterste volcommenheyt sijn, soo wy voorghenomen hadden te verclaren. Anhangs EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==177==} {>>pagina-aanduiding<<} Byvovgh der weeghconst. {==178==} {>>pagina-aanduiding<<} Argumentum. Cortbegryp deses byvoughs der VVeeghconst. MY sijn na d'eerste beschrijving der Weeghconst, verscheyden stoffen der wichtighe ghedaenten voorghecommen, soo inTheoria quam praxi. spiegheling als daet, diemen in dese tweede druck elck t'haerder plaets van d'eerste oirden soude hebben meugen schicken, om daer af een verknocht lichaem te maken: Maer insiende dattet gheschapen staet, na dese meer ander te connen volghen, die om de selve reden dan dergelijcke schicking souden vereysschen, sulcx datter elckemael een verandering van t'voorgaende mocht vallen, so en souder des veranderens geen eynde sijn: En hoe wel dat in sijn selven best mocht wesen, nochtans belet van ander noodigher dinghen en latet my niet toe: Inder voughen dat ick d'eerste beschrijving der Weeghconst (veranderende alleen de veranderlicke) in haer form ghelaten heb, daer by voughende de voorschreven na ghecommen stoffen, die ick int geheel Byvovgh noem, inhoudende ses deelen: Het eerste van het Tauwicht. Het tweede van het Catrolwicht. Het derde vande vlietende Topswaerheyt. Het vierde vande Toomprang. Het vijfde vande Watertrecking. Het seste vant Lochtwicht. {==179==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste deel des byvovghs der weeghconst, van het tavwicht. {==180==} {>>pagina-aanduiding<<} Argumentum. Cortbegryp des tavwichts. WYhebben inde drie laetste voor stellen des 1 boucx der VVeeghconst, beschreven de vvichtige ghedaenten van svvaerheden hang ende an tvvee linten, gehecht ant lichaem tot tvvee verscheyden plaetsen. Maer vvant de svvaer heden op meer ander vvijsen an linien connen hanghen, vvaer afmen oock begheert te vveten vvat ghevvelt op yder lini ancomt, soo hebben vvy daer af dese besonder handelghemaeckt: Ende om dat in plaets van sulcke linien metter daet onder ander stoffen meest tauvvengebruyct vvorden, so noemen vvy dit na t'gemeenste gebruyck Tavwicht; vvaermen by verstaen mach, een handel verclarende vvat ghevvelt datter ancomt op yder tau, van verscheyden tauvven daer een bekende svvaerheyt anhangt. De somme des inhouts is dusdanich: Int 27 voorstel des 1 boucx der VVeeghconst, is bevvesen dat hangende een pylaer evest alt vvichtich teghen tvvee scheefhef vvichten: Gelijck alsdan scheef heflijn tot rechtheflijn, also scheefhef vvicht tot sijn rechthefvvicht: Hier uyt sullen vvy in dit 1 deel verscheyden vervolghen trecken, in vviens plaets men vvel soude hebben meughen maken gheformdePropositiones. voorstellen, doch is dat ghelaten, eensdeels om cortheyt, ten anderen dat dese vervolghen uyt het voorgaende aldus claer ghenouch schijnen. {==181==} {>>pagina-aanduiding<<} Eerste vervolgh des 27 voorstels vant 1 bouck der VVeeghconst. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Soomen inde form des 27 voorstels vant 1 bouck, an t'punt E, in plaets van het scheefwicht G, vervoughde een vastpunt als hier nevens, tis kennelick dat teghen dit vastpunt een persing soude sijn, even an t'ghewicht G, en dat met sulcken scheefheyt teghen t'selve punt E ancommende, als de scheeflijn L E anwijst. 2 Ver volgh. Soomen int boveschreven 27 voorstel de twee scheeflinien L E, M F, voorttreckt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} tot datse versamen, tis kennelick deur het 25 voorstel, dattet punt der saming comt inde hanghende swaerheyts middellijn des lichaems: Daerom somen wilde weten wat scheve persing datter ancomt, opt vastpunt E des 1 vervolghs, men sal aldus meughen doen: Ick treck deur des pylaers swaerheyts middelpunt als P hier nevens, de oneyndelicke swaerheyts middellijn, welcke vande voortgetrocken M F, ontmoet wort in Q; daer na van Q deur E de lini Q R, vallende R in A M. T'welck soo sijnde, de persing op E ancommende, is als van R na E, en om te weten hoe groot, men ghebruyckt int werck E R voor scheefheflijn, en E S voor rechtheflijn, waer me men openbaerlick tottet begheerde comt. 3 Vervolgh. Maer om nu te commen tot verclaring vande ghedaenten der gewichten an tauwen hanghende, soo laet A B een pylaer sijn, diens middelpunt C, en hanghende ande twee vastpunten D, E, met twee linien C D, C E, commende uyt het swaerheyts middelpunt C; de selve C D en C E sijn swaerheyts middellijnen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} des pylaers deur des bepaling: Daerom tusschen D C en C F, ghetrocken H I evewijdeghe met C E, soo is deur de 13 bepaling C I rechtheflijn, C H scheefheflijn, waer me wy segghen, dat ghelijck C I tot C H, also diens rechthefwicht, tot desens scheefhefwicht: Maer t'rechthefwicht van C I, is even ant ghewicht des heelen pylaers: Daerom ghelijck C I tot C H, alsoo t'ghewicht des heelen pylaers, tottet ghewicht op D ancommende: Ende inder selver voughen vintmen oock t'gewicht op E ancommende, midts te trecken van I tot in C E, de lini I K, evewijdeghe met D C, en meughen dan segghen, ghelijck rechtheflijn C I, tot scheefheflijn C K, also t'gewicht des heelen pylaers, tottet ghewicht op E ancommende. {==182==} {>>pagina-aanduiding<<} Maer C K valt altijt even an H I, daerom en ist niet noodich te trecken dese laetste lini I K, maer hebben alle noodighe bekende palen inde drie sijden des driehoucx H I C, met welcke wy meughen aldus segghen: Ghelijck C I tot C H, alsoo t'ghewicht des pylaers, tottet ghewicht op D ancommende. Voort ghelijck C I tot I H, alsoo t'ghewicht des pylaers, tottet ghewicht op E ancommende. Weerom ghelijck C H tot H I, alsoo t'ghewicht op D ancommende, tottet ghewicht op E ancommende. 4. Vervolgh. Maer op dat wy ons voorghenomen verclaring der ghedaente van ghewichten an tauwen hanghende noch naerder commen, so laet dē pylaer A B neerwaert ghetrocken worden, alsoo datse nu sy ter plaets als hier onder, en deur de 3 begeerte, soo en veroirsaeckse an t'ghene daerse an hangt, gheen ander ghewicht danse eerst en dede hoogher hanghende: Daerom de voorgaende everedenheyt des 3 vervolghs is noch inde form des 4 vervolghs. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 5 Vervolgh. Laet ons nu in plaets des pylaers A B int 4 vervolgh, hanghen een ander lichaem der selfde swaerte, maer van form en stofswaerheyt soot valt, als A B in dit 5 vervolgh. Ende is noch openbaer dat ghelijck C I tot C H, also t'ghewicht {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} A B, tottet ghewicht op D ancommende. Voort gelijck C I tot I H, also t'gewicht A B, tottet gewicht op E ancommende. Weerom ghelijck C H tot H I, alsoo t'ghewicht op D ancommende, tottet gewicht op E ancommende. Hier uyt is openbaer, dat sooder aen een lini D C E als coorde, hinghe een bekent ghewicht A B, en de houcken F C D, F C E, oock bekent sijnde, datmen can segghen hoe veel gewelt elck deel D C, C E te draghen heeft. 6 Vervolgh. Maer by aldien an een lini alsoo hinghen twee of meer ghewichten, als inde volghende form de lini A B C D E F, diens uyterste vastpunten sijn A en F, an welcke lini hanghen vier bekende ghewichten, als G, H, I, K: Tis openbaer datmen can segghen hoe veel gewelt datter comt an elck der vijf linien A B, B C, C D, D E, E F: Want treckende, by voorbeelt gheseyt, de lini G B voorwaert, als tot L, daer na M N evewijdeghe met B C: Ick segh B N gheeft B M, wat t'gewicht G? T'ghene daer uyt volght is voor t'ghewelt op A B ancommende. {==183==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Weerom B N gheeft M N, wat T'ghewicht G? T'ghene daer uyt volght is voor t'ghewelt op B C ancommende. Laet andermael H C voorwaert ghetrocken worden tot O, en B P evewijdeghe met C D. Ick segh C P gheeft C B, wat t'ghewicht H? T'gene daer uyt comt is voor t'ghewelt op B C ancommende. Waer uyt blijckt datmen alsdan t'selve sal moeten vinden, datmen te vooren van B C vant: En soo voort met al d'ander. Hier af en van meer ander heeft sijn Vorstelicke Ghenade dadelicke proef ghedaen, en bevonden die gantschelick t'overcommen metteTheoriae. spiegheling. De everedenheyt des 27 voorstels can deur ander manier uyt gesproken worden dan daer gedaen is, waer uyt lichter wercking volght. Om t'welck by voorbeelt te verclaren, laet hier andermael gestelt wordē de form des selven 27 voorstels, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} alwaermen seght, ghelijck scheefhefwicht tot rechthefwicht, also elck scheefhefwicht tot sijn rechthefwicht. Maer om dit deur ander manier uyt te spreken, waer uyt lichter wercking volght; ick treck tusschen rechtheflijn en scheefheflijn, een lini als L P evewijdighe met F M: T'welck soo wesende, ick segh nu, ghelijck rechtheflijn tot scheefheflijn, alsoo t'ghewicht des heelen pylaers, tot haer scheefhefwicht, dat is, ghelijck E P tot E L, alsoo t'ghewicht des pylaers tot G. Wederom ghelijck E P tot P L, alsoo t'ghewicht des pylaers tot H: Na welcke manier het vinden der onbekende palen openbaerlick corter valt, als na d'ander. Merckt noch datmen in plaets van L P, oock soude hebben meugen trecken een lini tusschen d'ander rechtheflijn en haer scheefheflijn, als hier M Q evewijdeghe met E L, waer me men dergelijcke soude meugen doen als met L F gedaen is, en tot een selve besluyt commen: Want ghelijck P E tot E L, alsoo Q F tot F M, uyt oirsaeck dat den driehouck F M Q, even en gelijck is met L P E, deur dien Q F evewijdeghe is met P E, en M F met L P. {==184==} {>>pagina-aanduiding<<} 8 Vervolgh. Tot hier toe is gheseyt van ghewichten hanghende an twee linien: Int volghende willen wy handelen van ghewichten an meer dan twee linien hangende: {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tot desen eynde segh ick aldus: Laet ons andermael nemen de form des 5 vervolghs, welcke sy de onderschreven deses 8 vervolghs, alleenelick daer in verschillende, dat de lini C G hier comt over een catrol an K, sulcx dat hoewel K C F een rechte lini is, nochtans comtse scheefhouckich op den sichteinder: Voort sy dit ghewicht A B t'selve, en de twee houcken D C F, F C E oock de selve. Dit soo wesende, tis kennelick dat wy hier meughen seggen als int 5 vervolgh, ghelijck C I, tot C H, alsoo t'ghewicht A B tottet ghewicht op D ancommende: Voort ghelijck C I, tot I H, alsoo t'ghewicht A B tottet ghewicht op E ancommende. Weerom gelijck C H, tot H I, also t'ghewicht op D ancommende, tottet ghewicht op E ancommende. Hier uyt is openbaer dat sooder an een lini D C E als coorde, hinghe een gewicht A B, datmen can segghen hoe veel ghewelt elck deel D C, C E, te doen heeft. 9 Vervolgh. Soo een ghewicht hinghe an drie linien, als hier onder, t'ghewicht A B hanghende ande twee linien C D, C E, maer de selve C E ande twee linien E F, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} F G, sulcx dattet ghewicht A B hangt ande drie linien C D, E F, E G, men can weten hoe veel ghewelt datter op elcke der selve drie linien ancomt. Want deur het 5 vervolgh is openbaer watter op C D en C E ancomt: Maer bekent wesende wat ghewelt op C E ancomt, soo wort deur het 8 vervolgh gheweten watter op elcke der twee linien E F, E G ancomt. Maer sooder ande lini C D hier boven ghehecht waren sulcke twee treckende linien als an C E, gelijck hier onder D H, D I, tis openbaer dattet ghewicht an yder dier twee linien, alsoo bekent soude worden ghelijck over d'ander sijde, en vervolghens dat bekent soude sijn hoe veel ghewelt op yder der vier linien E F, E G, D H, D I ancomt, t'sy oock dat de {==185==} {>>pagina-aanduiding<<} linien als D H en E F met dierghelijcke, commen in een selve plat of niet. Merckt noch openbaer te sijn dat de linien als C E G, C E F en dierghelijcke, niet recht en connen wesen, maer moeten een houck hebben an E, want de lini {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} E F eenighe ghewelt doende deur t'ghestelde, moet de lini C E G nootsakelick eenighe cromte gheven an E, alsoo oock moet de lini E G ande lini C E F. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Maer so ande lini E F hier boven, ghehecht waren sulcke twee treckende linien als F K, F L hier onder, men can weten om de voorgaende redenen hoe veel ghewelt datter ancomt op elck der twee linien F K, F L: En vervolgenshoe veel an elck der vijf linien D H, D I, F K, F L, E G. En soo voort int oneyndelick met allen anderen dierghelijcke. {==186==} {>>pagina-aanduiding<<} 10 Vervolgh. Tot hier toe is gheseyt van een ghewicht als A B, hanghende an een lini die streckt tot C, en commende vande selve C twee ander linien C D, C E. Maer soder van die C sulcke drie linien quamen, deTheoriae. spiegelingen vallen anders. Om hier af met onderscheyt te spreken ick segh aldus: De voorschreven drie linien sijn of in een selve plat, of niet: In een selve wesende, het voorstel en heeft geen eenich seker besluyt. Laet tot voorbeelt A B een ghewicht sijn, en de drie linien {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} daert an hangt sijn C D, C E, C F: De lini van C tottet ghewicht sy C G: Laet daer na de lini C F deursneen of ghebroken worden, sulcx dattet ghewicht A B blijve hanghen ande twee linien C D, C E; t'welck soo sijnde, t'ghewicht A B blijft op sijn selve plaets, en de twee houcken D C G, F C G blijven oock de selve sonder verandering; hoewel nochtans op de twee linien C D, C E, nu meer gewelt ancomt dan eer de lini C F deursneen was, wantse d'ander twee so veel verlichte, als heur ghewelt veroirsaeckte: Maer de ghewelt can an C F ghestelt worden van oneyndelicke verscheydenheden, d'een grooter als d'ander, waer uyt openbaerlick blijckt sulck voorstel gheen eenich seker besluyt te hebben, ghelijck het voornemen was te verclaren. 11 Vervolgh. Maer soo de boveschreven drie linien in twee verscheyden platten waren, het voorstel en heeft maer een besluyt, en dat bekent. Laet by voorbeelt t'gewicht A B hier onder genomē worden te hangen ande drie linien C D, C E, C F. Maer soo datse nu niet al in een selve plat en sijn, voort is C G de lini van C tottet gewicht. Om nu te vinden t'ghewicht op een der drie linien ancommende, als op C F, ick neem de ghemeene sne des plats daer C D, C E in sijn, en des plats daer G C, C F in sijn, welcke ghemeene sne fy de lini C H: De selve ghenomen voor lini daer t'ghewicht A B an hangt, en d'ander twee C D, C E doorsneen, of ghebroken sijnde, sulcx dattet alleenelick blijft hanghen ande twee linien C H, C F, tis kennelick dat den houck G C F de selve blijft, diese was voor de deursnijding der twee linien C D, C E; en de ghewelt die eerst op C F an quam, blijft na de doorsnijding oock de selve: Daerom ghenomen t'ghewicht A B te hangen ande voorschreven twee linien C F, C H, soo is deur het 5 vervolgh bekent wat ghe- {==187==} {>>pagina-aanduiding<<} welt op C F ancomt. En alsoo sal oock bekent worden wat ghewelt op elck der twee ander linien C D, C E ancomt. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tis oock openbaer dat by aldien an eenige, of an elcke deser drie treckende linien noch ander treckende linien quamen, na de manier des 9 vervolghs, dat bekent soude worden wat ghewelt op yder ancomt. 12 Vervolgh. By aldien een ghewicht hinghe an sulcke vier linien, ghelijckt int 11 vervolgh an drie hangt, t'voorstel en heeft gheen seker eenich besluyt. Laet tot voorbeelt A,B,C,D, als in grontteyckening, sijn vier uyterste bovenste punten der vier linien daer an deur t'ghedacht het ghewicht hangt: De hanghende swaerheyts middellijn des selfden sal commen of inde lini A D, of daer buyten binnen den driehouck A D B, of binnen den drichouck A D C. (want buyten den vierhouck A B C D, of in sijn omtreck te vallen is onmeugelick) Maer inde {==188==} {>>pagina-aanduiding<<} lini A D vallende, tis kennelick dat de ghewelt der twee linien onder B en C commende, wel meughen verlichten de ghewelt der twee linien onder A en {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} D commende, maer de ghestalt des driehoucx dier twee linien, te weten de twee onder A en D, mette derde A D, en crijcht gheen verandering: En daerom meugen oneyndelicke verscheyden grooter en cleender ghewelden ande linien onder C, B, vervought worden, die de ghewelden op A en D ancommende veranderen, blijvende nochtans deform van t'ghegheven de selve, sulcx datter gheen seker eenich besluyt en is. Maer vallende de hanghende swaerheyts middellijn in een der driehoucken, ick neem inden driehouck A D B an t'punt E, tis kennelick dat alsdan de ghewelt opt punt C ancommende, gheen verandering en geeft ande ghestalt der drie linien commende onder A, B, D, waer uyt hetselve alsvooren volght, te weten sulck voorstel gheen seker eenich besluyt te hebben. Noch valt hier dit te bedencken: Anghesien t'voorstel met een gewicht hanghende an vier linien als in dit 12 vervolgh, gheen seker eenich besluyt en heeft, soo en sal uyt noch stercker reden, t'voorstel met meer dan vier linien gheen seker eenich besluyt hebben. Voort anghesien een ghewicht hanghende an drie linien die in een selve plat sijn, als int 10 vervolgh, gheen seker eenich besluyt en hebben, soo en sal uyt noch stercker reden een ghewicht hanghende an vier of meer linien die in een selve plat sijn, gheen seker eenich besluyt hebben. Merckt. Een lichaem can noch hanghen an drie linien op een ander wijse dan de voorgaende des 11 vervolghs, te weten soo dat de linien ant lichaem self tot verscheyden plaetsen ghehecht sijn, in sulcker voughen datse voortgetrocken nerghens in een selve punt en vergaren, ghelijckt nootsakelick gebeurt alst lichaem alleenelick an twee linien hangt deur het 25 voorstel des 1 boucx. Maer hoe gevonden sal worden t'ghewicht op yder van sulcke drie linien ancommende, daer heb ick op gedacht, maer int beschrijven van desen en is t'begeerde my niet verschenen, watter een ander mael of commen wil, of wat ymant anders daer in sal doen of niet, dat wert den tijt leeren. 13 Vervolgh. Tot hier toe is gheseyt van ghewichten hanghende an een lini, uyt een punt van welcke twee of drie ander linien na verscheyden oirten strecken: Waer deur openbaer sijn derghelijcke wichtighe ghedaenten, van swaerheden hanghende an twee of drie linien, die ande selve swaerheyt ghehecht en opwaert voortstreckende, vergaren inde hanghende swaerheyts middellijn in een selve punt. Laet by voorbeelt A B een swaerheyt sijn, hanghende ande twee linien D C, E C, versamende in C, en hanghende ande swaerheyts middellijn C F. Om hier af te vinden de ghewelt op elck der twee linien D C, E C ancommende, men treckt F C voorwaert na G, en uyt eenich punt in D C, ick neem H, een lini tot in C G, als H I, evewijdich met C E. T'welck soo sijnde, icksegh dat ghelijck {==189==} {>>pagina-aanduiding<<} C I tot C H, alsoo t'ghewicht A B tottet ghewicht op D ancommende. Voort ghelijck C I tot I H, alsoo ghewicht A B, tottet ghewicht op E ancommende. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Wederom ghelijck C H tot H I, alsoo t'ghewicht op D ancommende, tot het ghewicht op E ancommende, waer aft'bewijs blijckt int 5 vervolgh. Tis oock openbaer dat sulcke eyghenschappen als gheseyt sijn te vallen inde formen van ghedaente des 9,10,11 en 12 vervolghs, derghelijcke eyghenschappen oock te vallen in derghelijcke formen van ghedaente deses 13 vervolghs. Tavwichts EYNDE. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} {==191==} {>>pagina-aanduiding<<} Tweede deel des byvovghs der weeghconst, vant catrolwicht. {==192==} {>>pagina-aanduiding<<} CortbegrypArgumentum. des catrolwichts. AL soo sijn Vorstelicke Ghenade deursien hadde het bouck Delle fortificationi di Buonaiuto Lorini, en daer in overlesen een handel van catrollen, vvaer in gheseyt vvort van ghevvichten alleenlick rechtopgaende, deur treckende crachtenrecht neer vvaert streckende: En dat nocht ans metter daet dicvvils de selve niet recht op en neer en gaen, so is hy begheerich gevveest oock te verstaen decrachten, reden en oirsaken der scheeve, om alsoo van desen handel volcommen kennis te hebben, vvelcke gheneghentheyt oock in genouchsaem reden ghegront schijnt, ghemerct catrollen dadelick seer ghebruyckt vvorden, tot optrecking van groote ghevvichten, en dattet somvvijlen oirboir cansijn, van te vooren te vveten vvat macht datter behouft om een voorghestelde svvaerheyt op te trecken. Nu alsoo hy hem gheoeffent hadde inde voorgaende VV eeghconst, mettet eerste deeldes Byvoughs, vvaer deur de vvichtighe ghedaenten des Catrolvvichts grondelick connen verstaen vvorden, en dat hy hem dadelick daer toebegaf, soo heb ick t'ghene daer af ghedaen vviert onder sijn vvisconstighe ghedachtenissen vervought, als volght. {==193==} {>>pagina-aanduiding<<} Voorstel. T'ondersoucken de ghedaenteder ghevvichten opghetrocken met catrollen. Eer wy totte saeck commen sullen int ghemeen dit segghen: Als wy spreken van een ghegeven ghewicht, men mach sich int ghedacht beelden, om vande saeck met volcommenheyt claerlicker te handelen, dattet ghewicht des ondersten catrols, mettet ghewicht daer an hangende, t'samen maken t'ghegeven gewicht; voort dattet verschil der swaerheyt veroirsaeckt deur de tau, hier voor gheen verschil ghenomen en wort. 1 Voorbeelt met rechtvvichticheyt. Laet in dees eerste form A een catrol sijn, hanghende daer an t'ghewicht B, de tau sy C D E F, wiens twee deelen C D, F E, evewijt van malcander sijn, of beyde rechthouckich op denHorizontem. sichteinder. Dit aldus wesende, en het heel ghewicht B alsoo hanghende ande twee deelen C D, F E, en op yder deel eveveel ghewelts ancommende, soo hangt om de draeyende beweeghlickheyt der schijf {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} an yder deel den helft van B: Daerom soo ymant sijn hant stelde ant punt F, houdende t'ghewicht in die standt, op sijn handt soude commen den helft der {==194==} {>>pagina-aanduiding<<} swaerheyt van B, waer uyt de oirsaeck blijckt, waerom de ghewichten alsoo met een catrol lichter opgetrocken worden dan sonder catrol. Merckt nochdatmen hier siet plaets te houden dese ghemeene weeghconstighe reghel: Ghelijck wech des doenders, tot wech des lijders, Alsoo ghewelt des lijders, tot ghewelt des doenders. Want de hant an F, welcke hier doender is, opgaende 2 voeten, t'ghewicht B, dats hier lijder, en gaet maer op 1 voet, en dat om bekende oirsaken. Deur t'ghene tot hier toe verclaert is vande eerste form, alwaer t'ghewicht op ghetrocken wort over een schijf, canmen verstaen derghelijcke ghedaente wanneerment treckt over twee schijven, als in dees tweede form, alwaer C {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} weerom tander uyterste der tau beteyckent: Want het ghewicht B dan hangende an drie tauwen, die elck een derdendeel draghen, soo en heeft de hant an F dan maer de ghewelt te doen van een derdendeel des ghegheven ghewichts. {==195==} {>>pagina-aanduiding<<} Ende over noch een schijf meer loopende als in dees 3 form, want het ghewicht B dan hanghende an vier tauwen die elck een vierendeel draghen van B, soo en heeft de hant an F dan maereen vierendeel des ghewichts B ghewelt te {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} doen. Waer me bekent is de ghemeene reghel van ghewichten over meer schijven ghetrocken sijnde. Hier staet noch te dedencken datmen metter daet selden alsoo an F opwaert treckt, ghelijck wy om claerder bewijs wille inde boveschreven drie formen by voorbeelt ghestelt hebben, maer men doet ghemeenelick de tau loopen over noch een schijf meer, om van boven neerwaert te trecken als in dese 4 form: Doch soo is te weten dat sulcke vierde oft laerste schijf, ande hant F gheen verlichting noch verandering desghewichts en brengt, om dattet gewicht B maer an vier tauwen en hangt ghelijck inde 3 form, want dese laetste tau een vijfde tau schijnende, en is eyghentlick mette vierde al maer een selve. Waer by te verstaen is, dat al liepe die tau over noch hondert sulcke catrollen, dat den trecker daer me gheen verlichting en crijcht. Maer soomen van t'voornomde dadelicke proef wilde sien, men sal an F deser vierde form, in plaets des hants hanghen een ghewicht als doender, wesende t'vierendeel van het optreckelick ghewicht, en sullen teghen malcander soo int werck gheen faute en is, evestaltwichtich bevonden worden. Macr om dat optreckelick ghewicht heel volcommelick uyt te spreken, het is de somme deser drie, te weten t'ghewicht B, t'onderste carrol A, en t'ghewicht veroirsaeckt deur de swaerheyt der tau. Maer om de selve swaerheyt der tau breeder te verclaren, soo laet D en E sijn de uyterste gheraeckselen der tau teghen de schijf A, en G H {==196==} {>>pagina-aanduiding<<} de uyterste gheraeckselen der tau teghen de bovenste schijf des bovenste catrols, L M de uyterste gheraeckselen der tau teghen de bovenste schijf des ondersten catrols; voort sy N t'middelste punt der tau tusschen G en H, en O t'middelste {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} punt der tau tusschen I en K, en C t'ander uyterste der tau: Laet voort gheteyckent worden in G E t'punt P, alsoo dat G P even sy met H F: Daer na in K D t'punt Q alsoo dat K Q even sy met I L. Dit so wesende, N G P is even en evewichtich met N H F, en O I L met O K Q: Maer C M en brengt lichticheyt noch swaerheyt by. Sulcx dattet ghegeven gewicht mettet catrol, noch beswaert worden, so veel als veroirsaken de drie sticken taus, te weten des halfronts L M, des halfronts D E, en het recht stick Q D. Merckt noch dat alsmen met catrollen dadelick yet optreckt, alsoo dattet eynde der voortghetrocken tau inde locht blijft hanghen, sonder vloer te gheraken, soo veel dat voortghetrocken deel taus weeght, soo veel sal openbaerlick den trecker min ghewelt behouven te doen. 2 Voorbeelt met scheefvvichticheyt. Laet dese eerste form sijn alsins ghelijck d'eerste des eersten voorbeelts, uytghenomen dat de hant hieran F niet recht op en treckt, maer scheefter sijdewaert uyt, t'welck soo sijnde, t'ghewicht op elcke tau ancommende, wort bekent deut het 5 vervolgh des 1 deels deses byvoughs der Weeghconst. Maer om daer af met een wat verclaring te doen; ick treck de lini daer t'ghewicht Ban hangt opwaert tot G, als B G, en F E voorwaert, tot datse de oneyndelicke door B G ontmoet, t'welck sy in H: Daer na uyt eenich punt der lini H F als I, een {==197==} {>>pagina-aanduiding<<} lini gherakende B G in K, als I K evewijdeghe met D C. T'welck soo sijnde, ick segh ghelijck I K tot K H, alsoo t'ghewicht deur de hant F ghetrocken, tottet ghegheven ghewicht B: Voort ghelijck H I tot I K (die in voorbeelden met een schijf als dit altijt evelanck moeten sijn, want C D voortghetrocken wesende moet commen in H, en den houck G H I, valt om bekende redenen altijt even anden houck G H C) alsoo t'ghewelt op de hant F ancommende, tottet ghewelt op C ancommende, welcke twee machten in voorbeelden met een schijfals dit, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} altijt even moeten sijn, doende elck den helft eens ghewichts, dat in sulcken reden is tottet ghegheven ghewicht, als H K tot H I deur het voorschreven 5 vervolgh des 1 deels deses Byvoughs der Weeghconst. Maer by aldien de scheefstreckende tauwe liepe over twee of meer schijven, alles wort oock bekent. Laet by voorbeelt dese tweede form sijn alsins ghelijck de tweede des eersten voorbeelts, uytghenomen dat de hant hier an F niet recht op en treckt, maer scheef ter sijdewaert uyt, t'welck soo sijnde, t'ghewicht op elcke tau ancommende, wort oock bekent deur het boveschreven 5 vervolgh. Maer om daer af met een wat verclaring te doen, ick treck de lini daer t'gewicht an hangt opwaert tot G, als B G, en F E voorwaert tot datse de oneyndelicke door B G ontmoet, t'welck sy in H, teyckenende daer na t'bovenste punt daert bovenste catrol an hangt met I, en treck H I, daer na wt eenich punt der lini H F als K, een lini gherakende H G in L, als K L evewijdighe met H I: T'welck soo sijnde, ick segh ghelijck K H tot L H, also t'ghewelt op de hant ancommende, tottet gegeven ghewicht: Maer K H is in alle voorbeelden met twee schijven als dit, altijt even an den helft van K L, daerom t'ghewelt op Fancommende, is {==198==} {>>pagina-aanduiding<<} den helft des gewelts op I ancommende, waer deur op elck der drie tauwen eveveel ghewelts comt, te weten het derdendeel eens ghewichts, dat in sulcken reden is tottet ghegheven ghewicht, als L H tot H K, daerom segghende in alle {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} sulcke voorbeelden, K H gheeft H L, wat t'ghegheven ghewicht? het derdendendeel van t'ghene daer uyt comt is voor de ghewelt op de hant F ancommende, en oock op elcke van d'ander twee tauwen. Maer alsser alsoo drie schijven sijn, soo ist kennelick datmen dan moet nemen het vierendeel van dat uytcommende ghewicht, en soo voort met allen anderen. De reden waerom K L hier boven meer evewijdeghe moest sijn met H I, dan met eenighe der tauwen, is kennelick deur t'ghene wy van derghelijcke gheseyt hebben int 2 en 3 vervolgh vant 1 deel des Byvoughs der Weeghconst, want de hanghende swaerheyts middellijn des gheheels, streckt deur t'punt H, van welck punt openbaerlick de twee linien moeten commen daer wy ons rekening op maken. Tbeslvyt. Wy hebben dan ondersocht de ghedaente der ghewichten opghetrocken met catrollen, na den eysch. Catrolwichts EYNDE. {==199==} {>>pagina-aanduiding<<} Derde deel des byvovghs der weeghconst, vande vlietende topswaerheyt. {==200==} {>>pagina-aanduiding<<} Cortbegryp der vlietende Topsvvaerheyt.Argumentum. TIs ghebeurt dat men vvilde bereyden seker schuyten, met leeren daer in overeynde staende, ontrent 20 voeten hooch, om crijchsvolck daer op tegaen: Maer alsoot in tvvijfel stont oft niet te groote topsvvaerheyt by en soude brengen, sulcx dat de schuyt mocht ommeslaen, en t'volck int vvater vallen, men bereyde, om versekerder te sijn, een schuyte met haer leere en toebehoorten; daer na versochtment dadelick. Dit veroirsaeckte my te overdencken, oft niet meughelick en soude sijn sulcx te vveten deur vveeghconstighe rekening hen op ghest elde formen en svvaerheden, sonder de saeck eerst int groot te moeten maken, en daer na dadelick te versoucken. Tot dien eynde vonden en beschreven vvy het volghendeTheorema. vertooch: T'vvelckalsment een onderscheyden naem vvilde gheven, nagheleghentheyt vant voornaemste eynde daert toe streckt, men soudet meugen heeten Vertooch der vlietende Topsvvaerheyt, dat is van topsvvaerheyt der stoffen die opt vvater vlieten, of drijven, vvant van ander topsvvaerheyt der lichamen opt vast lant, die omvallen als des lichaems svvaerheyts middelpunt is buyten de hanghende svvaerheyts middellijn, en is ons voornemen niet hier te handelen. {==201==} {>>pagina-aanduiding<<} Vertooch. Een lichaem vlietende opt vvater, neemt daer in altijt sulcken ghestalt, dat sijn svvaerheyts middelpunt, is in des vvaterhols hanghende svvaerheyts middellijn. Tghegheven. Laet A B C D een lichaem sijn, drijvende opt water E F G H, diens oppervlack E F, en steeckt daer in tot I K toe, sulcx dat I C K het waterhol beteyckent, diens swaerheyts middelpunt L, sijn hanghende swaerheyts middellijn M L N, en des lichaems A B C D swaerheyts middelpunt O. Tbegeerde. Wy moeten bewijsen datter lichaems A B C D swaerheyts middelpunt O, is in des waterhols I C K hangende swaerheyts middellijn M N. Tbewys. Laet ons t'lichaem A B C D uyt het water trecken, en nemen door t'gedacht datter waterhol I C K in sijn selve form blijve: En tot noch meerder claerheyt, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dattet selve waterhol sy een vlackvat, na de wijse der 7 bepaling des waterwichts. Dit vlackvat aldus gheledicht wesende van sijn lichaem, later vol waters ghegoten worden: En want water in water alle ghestalt hout diemen hem gheeft, deur het 1 voorstel des waterwichts, so sal t'vlackvat in die ghestalt blijven, sulcx {==202==} {>>pagina-aanduiding<<} dattet so wel met water ghelaen, als mettet lichaem A B C D, al een selve ghestalt hout: Maer dit inghegoten waters swaerheyts middelpunt is oock des waterhols of vlackvats swaerheyts middelpunt, te weten L; en daerom moet des lichaems ABCD swaerheyts middelpunt sijn in des vlackvats hangende swaerheyts middellijn M N: Want latet soot meughelick waer daer buyten wesen, ick neem ant punt P: Maer dat en can niet gheschien sonder verandering vande form des waterhols I C K, want nadient dese gestalt hadde wesende des lichaems swaerheyts middelpunt an O deur t'ghestelde, so soude deur verlegging der stof des lichaems, sulcx dattet swaerheyts middelpunt quaem an P, alsdan B moeten dalen, D oprijsen, en C keeren na K toe, t'welck teghen t'gestelde waer, en een ander waterhol soude sijn dan daer verschil af is: Daerom des lichaems swaerheyts middelpunt is in M N, te weten of onder des waterhols swaerheyts middelpunt L, of daer boven, of daer in. Tbeslvyt. Een lichaem dan drijvende opt water, neemt daer in altijt sulcken ghestalt, dat sijn swaerheyts middelpunt is in des waterhols hanghende swaerheyts middellijn, t'welck wy bewijsen moesten. 1 Vervolgh. Tis kennelick dat als des lichaems swaerheyts middelpunt, is boven des waterhols swaerheyts middelpunt, so heeftet sulcken topswaerheyt dat alles omkeert, (midts welverstaende dattet niet onderhouden en worde) tot dat des lichaems swaerheyt middellijn, is in des waterhols hanghende swaerheyts middellijn, onder des waterhols swaerheyts middelpunt. Als by voorbeelt een cromme stock opt water vlietende, sy hout daer in een seker ghestalt, sulcx dat al keertmen opwaert t'gene onder was, ten wil so niet blijven, maer neemt weerom d'eerste gestalt, uyt oirsaec dat des stocx swaerheyts middelpunt, dan niet en is in des waterhols hangende swaerheyts middellijn, onder des selfden swaerheyt middelpunt. 2 Vervolgh. Tis kennelick dat eenich gewicht in een schip of ander vat'verleyt sijnde, sulcx dat de form des waterhols verandert, dat daer me oock verandert de plaets van des waterhols swaerheyts middelpunt. 3 Vervolgh. Tis openbaer dat alle ghewicht geleyt onder des waterhols swaerheyts middelplat, dat evewijdich is metten sichteinder, streckt tot vaster ganck des schips de topswaerheyt min onderworpen sijnde: Maer alle ghewicht datmen daer boven leght, streckt tot meerder topswaerheyt. Merckt. Soo de twee swaerheyts middelpunten, te weten des waterhols en des schips, met al de lichamelicke stof dieder in en op is, licht om vinden waer, tis kennelick datmen soude connen segghen deur weeghconstige wercking sonder dadelicke ervaring te doen, wat scheefheyt of ghestalt een verdocht gheladen schip int water nemen fal; en of t'water over de canten soude commen of niet, gelijck mijn voornemen was te willen weten: Maer want die soucking der swaerheyts middelpunten van soo veel verscheyden stoffen als ghemeenlick in een schip sijn te moeyelick soude vallen, soo en dienet niet om in sulck voorbeelt hem daer me te behelpen. Nochtans insiende dat kennis der oirsaken van topswaerheyt, en der ghestalt eens vlietende lichaems int water elders can te pas commen: Oock me dat de ghene die moeyte mocht doen van dat te soucken, hier me geholpen can worden, soo heb ick dit by ghedachtnis ghestelt alsboven. Der vlietende Topswaerheyts EYNDE. {==203==} {>>pagina-aanduiding<<} Vierde deel des byvovghs der weeghconst, vande toomprang. {==204==} {>>pagina-aanduiding<<} Cortbegryp des toomprangs.Argumentum. HEbbende sijn Vorstelicke Ghenade van kintsche daghen af tot noch toe, hem gheduerlick met grooten yver seer vlietich gheoeffent inde Ruyterconst, (soo vvort der Italianen Cavallarizzo, in Duytsch ghenoemt, deur den Schrijver L.B.C. Stalmeester des Keysers) en benevens mondelicke t'saemspraeck mette ervarenste die hem in dese stof ontmoeteden, noch deurlesen veel verscheyden Schrijvers daer afhandelende, soo vvel nieu uytcommende als ouden: En heeft nochtans deur vvoor den noch schriften, noyt connen geraken tot grondelicke kennis der reden van t'geprang der toomen, t'vvelc deur cleyne vercorting, verlanging en cromming der toomdeelen, haest groote onseker veranderinghen crijcht int regieren des peerts. Sulcx dat onder anderen oock dit, hem seer begheerich maeckte te verstaen de voorgaende VVeeghconst, verhopende daer deur tot grondelicke kennis dier saeck te commen: T'vvelck tot sijn vernougen oock ghebeurde, sulcx dat hy nu toomen doet maken, niet onsekerlick tastende ghelijck te vooren, maer met kennis der reden. Al t'vvelck opSubiecto Machematico. vvisconstighengront gebout sijnde, my heeft behoirlick ghedocht t'selve (dat hier om de voorgaende redenen int ghemeen Toomprang ghenoemt vvort) by sijn vvisconstighe ghedachtenissen te vervoughen: Te meer dat anderen dit ter hant commende, noch meer daer in sullen meughen mercken tot voordering deser stof streckende. {==205==} {>>pagina-aanduiding<<} Bepalinghen. DE ghewoonlicke namen vande deelen des tooms tot dit voornemen noodich, worden deur de byghestelde form verclaert als volght. {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} 1 Bepaling. AB Stang. 2 Bepaling. C Stangbout. 3 Bepaling. D Teughelrinck. 4 Bepaling. EF Stangs bovedeel. {==206==} {>>pagina-aanduiding<<} 5 Bepaling. G Oogh. 6 Bepaling. HI Montstick. 7 Bepaling. KL Kinketen. 8 Bepaling. KM De es. 9 Bepaling. NO Kinketenhaeck. 10 Bepaling. P,Q Tvvee tusscheketens. 11 Bepaling. Wree toom, of vvree deelen der selve, sijn die t'montstick stijf teghen het onderste tantvlees en de kinketen tegen de kin doen drucken. Slappe, die ter sacht tegen doen drucken. Verclaring. Hoe wel een ghetrocken toom verscheyden druckingen veroirsaeckt, als beneven de boveschreven teghen het tantvlees, en kin noch vande tusscheketen teghen de borst: En vanden teughelrinck teghen de stangbout: Nochtans soo verstaetmen mettet woort wreetheyt, alleenelick de stijve drucking des montsticx teghen het onderste tantvlees en des kinketens teghen de kin, als wesende de drucking daer t'peert deur beweeght wort, en die hem wee doet, sulcx dattet om die weedom te versachten, de kin na sijn borst brengt, en den hals cromt: Want ghenomen dat de kin deur de tueghel een palm verre na t'peert ghetrocken worde, het can deur de buyging vanden hals, maken dat de drucking onvermeerdert blijve. Tis oock dese persing die hem doet achterwaert deysen, meynende de selve alsoo t'ontcommen of verminderen, en vreesende deur voorwaert te gaen die te vermeeren. Dit dan wreetheyt sijnde, soo worden die toomen of deelen der selve, welcke also het montstick stijf of sacht teghen het tantvlees en kinketen teghen de kin doen drucken, gheseyt wreet, of slap te sijn, als wree toom, slappe toom, wree stang, slappe stang, wree bovedeel, slap bovedeel. {==207==} {>>pagina-aanduiding<<} 12 Bepaling. De cromme bochten der stanghen vvordenInt hoochduyts wronghen. Int François coudes. keeren ghenoemt. Verclaring. De stanghen worden recht en crom ghemaeckt, recht als in d'eerste form, {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} crom als in dese tweede, met een bocht keerende van X na Y, van Y na Z, en van Z na a, welcke men daerom deses stangs keeren noemt. De volghende bepalinghen syn niev. 13 Bepaling. T'middelste punt R des raecksels vanden teughelrinck D teghen den bout C, als t'peert ghetoomt sijnde de teughels ghespannen staen, noemen vvy Teugelrijncx raeckpunt. 14 Bepaling. T'middelste punt S des raecksels van de es teghen het oogh, oock het middelste punt T des raecksels vanden haeck teghen het oogh als t'paert ghetoomt sijnde de teughels gespannen staen, noemen vvy ooghraeckpunt. 15 Bepaling. Het punt H vanden as des montsticx int middel vande olive commende daer den as in draeyt, noemen vvy Montsticx aspunt. 16 Bepaling. Den houck R H S begrepen tusschen tvvee linien, d'eene van des teughelrincx raeckpunt R, tot des montsticx aspunt H; d'ander vant montsticx aspunt H, tottet ooghraeckpunt S, noemen vvy Raeckpunthouck. {==208==} {>>pagina-aanduiding<<} 17 Bepalinc. Prouftoom noem ick, een toom dienende om an alle peerden te prouven vvat ghebruyckelicke toom hun bequaemst sal sijn, en die met sekerheyt ten eersten vvelpassende te maken. Vande form en omstandighen deses prouftooms sal int volghende t'sijnder plaets gheseyt worden. 1 Voorstel. De keeren an een stang meerder noch minder vvreetheyt te veroirsaken. Sijn Vorstelicke Ghenade voor seker wetende, dattet ghemeen ghevoelen van velen onrecht is, gheloovende de keeren der stang tot wreetheyt of slapheyt te helpen, blijvende nochtans de drie punten als R, H, S, t'haerder plaets, seght daer teghen aldus: Laet op de rechte stang A B hier vooren, gheschrouft of ghehecht worden yser stucken, die de stang een form gheven als met groote keeren ghemaeckt te sijn: Soomen nu seght uyt die anhechting eenighe verandering der wreetheyt te volghen, het is soo veel al ofmen seyde dat de selve aenghehechte ysers eenighe verborghen treckende of stekende cracht in haer hadden, ghelijck de seylsteen heeft, of dierghelijcke: T'welck ongeschickt waer. Belanghende sy segghen verandering metter daet te blijcken, dat wort weerleyt met te seggen dat sulcx metter daet niet en blijckt. Angaende Pyqueurs, toommakers, en ander met desen handel dadelick omgaende, sullen voortbrenghen de ghemeene spreuck, Men moet yghelick in sijn const ghelooven: Daer wort op gheantwoort sulcx teghen hemlien te strijden, om dat sy oirdeelen vande wichtighe ghedaenten sonder in Weeghconst ervaren te wesen, waer inmen verstaet datter verandering gheschien can deur verandering der boveschreven drie punten R, H, S: Maer die blijvende, en vervolghens oock de twee verdochte linien R H, H S, metten houck R H S, soo blijft de wreetheyt oock de selve, uytghenomen, om heel eyghentlick te spreken, t'verschil dattet ghewicht des bygevoughden ysers mocht veroirsaken, t'welck tot dese saeck niet en ghelt: En alsmender immers op letten wilde, t'can soo wel tot achterdeel strecken van t'ghene sy drijven, als tot voordeel. Merckt noch wijder, dat de lini des bovedeels der stang als hier vooren V W, tot gheen seker ghemeene gront en can verstrecken om daer uyt de bocht der stang te veroirdenen, ghelijck gemeenlick ghedaen wort, maer wel de lini H S, want d'een stangs bovedeel een breeder oogh hebbende als d'ander, t'gheeft verandering en onsekerheyt inde saeck. Tbeslvyt. De keeren dan en veroirsaken meerder noch minder wreetheyt an een stang, t'welck wy bewijsen moesten. 2 Voorstel. De cortste stanghen de vvreetste te sijn. De reden is hier af tweederley: D'eene, dat met eveveel optrecking der teu- {==209==} {>>pagina-aanduiding<<} ghels, meerder beweeghnis des kinketens ghemaeckt wort deur corte stanghen {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} dan deur lange. Om van t'welck verclaring te doen; Laet A B een langhe stang beteyckenen, A C een corter, hebbende een self bovedeel der stang A D, diens ooghraeckpunt D is, voort sy deur optrecking der teughels, des teughelrincx raeckpunt C vande corste stang A C gecommen tot E, beschreven hebbende de booch C E: En het ooghraeckpunt D sal ghecommen wesen tot F, beschreven hebbende de booch D F: Laet daer na deur der teughels even soo veel optrecking als d'eerste, des teughelrincx raeckpunt B vande langste stang, ghecommen sijn tot G, te weten dat de booch B G, even sy ande booch C E, en het ooghraeckpunt D, sal ghecommen wesen tot H, beschreven hebbende de booch D H. Maer de booch D F is meerder dan D H, en daer teghen in sulcken reden als de langste stang A B, totte cortste A C: Daerom de kinketen ant oogh vast sijnde, crijcht met eveveel optrecking der teughels, meerder beweeghnis deur corte stanghen dan deur langhe. Maer de meeste beweging of opganck des kinketens druckt stijver teghen de kin, en veroirsaeckt oock de stijfste drucking des montsticx teghen het tantvlees: Daerom de corter stangen veroirsaken de meeste wreetheyt, en vervolghens sijn daerom de wreetste. D'ander reden is de bochtighe form van t'peerts hals, welcke maeckt dat de tusscheketen der cortste stang, verder vande borst staet dan vande langher, waer uyt volght datmen de tueghels van een corte stang, verder can voorttrecken eer de tusscheketen de borst gheraeckt, dan de tuegels van een langhe stang, t'welck soo ghebeurt openbaerlick oock meerder wreetheyt mebrengt. Merckt. Ymant mocht nu twijfelen, en dencken hoe dit overcomt mette weeghconstighe reghelen, die leeren dat de langste steerten de grootste gewelt doen, want ansiende B D voor stock die de timmerlien waegh noemen, wiens langste steert daer denEfficientis. Doender an treckt A B is, en A vastpunt, soo schijnt hier t'verkeerde besloten te worden: Men antwoort hier op aldus: De vraegh en is niet na de gewelt die den rijder metter hant int trecken doet, want hy an een corter stang, om het ooghraeckpunt eveveel bewegingh te gheven, stijver moet trecken dan an een langher: Maer stijf ghenouch ghetrocken wesende, men vraecht welcke trecking alsdan de meeste wreetheyt mebrengt. Tbeslvyt. De cortste stanghen dan sijn de wreetste, t'welck wy bewijsen moesten. 3 Voorstel. De langste bovedeelen der stang de vvreetste te sijn. De reden is dat met eveveel optrecking der teughels, meerder beweeghnis des kinketens ghemaeckt wort deur langhe bovedeelen der stang dan deur corte: Om van t'welck verclaring te doen; Laet A B een lanck bovedeel beteyckenen, diens ooghraeckpunt B, en A C een corter, diens ooghraeckpunt C, en hebben de beyde een selve stang A D. Voort sy deur optrecking derteugels, des teughelrincx raeckpunt D, ghecommen tot E, en het ooghraeckpunt B sal ghecommen sijn tot F, beschreven hebbende den booch B F: Maer het ooghraeckpunt C tot G, beschreven hebbende de booch C G, cleender dan B F, want ghe- {==210==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} lijck A C tot A B, also C G tot B F: Daerom de kinketen ant oogh B des langste bovedeels der stang vast sijnde, crijcht met eveveel optrecking der teughels, meerder beweeghnis dan ant oogh C des cortste bovedeels vast sijnde: Maer de meeste beweging of opganck der kinketen druckt stijver teghen de kin, en veroirsaeckt oock de stijfste drucking des montsticx teghen het tantvlees, daerom de langste bovedeelen sijn de wreetste. Angaende ymant twijselen mocht waerom den Doender an D, meer ghewelt doet op des waeghs langer eynde A B, dan op het corter A C, schijnende teghen de Weeghconstighe reghelen te strijden: De reden daer af machmen verstaen deur t'ghene van derghelijcke gheseyt is int Merck des 2 voorstels. Tbeslvyt. Langhe bovedeelen dan sijn de wreetste, t'welck wy bewijsen moesten. 4 Voorstel. Teughelrincx raeckpunt verder vant peerts borst, geeft meerder vvreetheyt. Tghegheven. Laet A den as des montsticx beteyckenen, A B een stang, B C den teughel, B des teughelrincx raeckpunt, A D een ander stang even an A B, en D C sijn teughel, D des teughelrincx raeckpunt: Ende het teughelrincx {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} raeckpunt B, sy verder vant peerts borst dan het teughelrincx raeckpunt D. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dattet teughelrincx raeckpunt B, meerder wreetheyt geeft dan D. Tbereytsel. Laet opt punt A als middelpunt, mette halfmiddellijn A B, beschreven worden de booch B D E: Daer {==211==} {>>pagina-aanduiding<<} na sy des teughelrincx raeckpunt B, deur optrecking des teughels ghecommen tot F, en des teughelrincx raeckpunt D tot E, sulcx dat de booch D E, even sy an de booch B F. Tbewys. Tis daer voor te houden, dat soo veel de lini B C lang her is dan F C, soo veel heeft de treckende hant by C, hoogher moeten sijn wesende des teughelrincx raeckpunt an F, dan doent was an B. S'ghelijcx dat soo veel de lini D C langer is dan E C, so veel heeft de treckende hant by C, hoogher moeten sijn wesende des teughelrincx raeckpunt an E dan doent was an D: Maer E C verschilt meer van D C, dan F C van B C: En daerom soo veel t'verschil dier twee verschillen bedraecht, soo veel gaet de hant hoogher mettet roersel des teughelrincx raeckpunt van D tot E, dan mettet roersel van B tot F: Maer t'roersel of de booch B F, is even an t'roersel of de booch D E deur t'bereytsel, daerom de hant an C, gaet op evegroote roersels van B en D, hoogher metter roersel van D, dan mettet roersel van B: En vervolgens by aldien de hant an d'een en d'ander even hooch ginghe, soo soude t'roersel van B na F, grooter moeten sijn dan t'roersel van D na E: Maer t'grooter roersel van B na F, veroirsaeckt oock grooter roersel des ooghs, en vervolghens des kinketens, dan het cleender roersel van D na E: Daerom de hant an d'een en d'ander even hooch ghegaen hebbende, soo sal t'roersel des kinketens veroirsaeckt deur trecking van B na F, grooter sijn dan deur t'roersel des kinketens veroirsaeckt deur trecking van D na E: Maer t'grooter roersel of grooter opganck des kinketens, druckt stijver teghen des peerts kin, ende vervolghens doedet montstick stijver drucken teghen het tantvlees dan een cleender opganck des kinketens: Daerom met evenhooghe trecking des hants an C, doetmen het peert meer weedom, wesende des teughelrincx raeckpunt an B der stang A B, dan an D der stang A D: En vervolghens het teughelrincx raeckpunt B verder vant peerts borst, geeft meerder wreetheyt dan D. 1 Merck. Anghesien den houck A D C, naerder den rechthouck is dan den houck A B C, die veel scherper is, soo doet de macht des hants by C, meerder ghewelt ande stang A D, dan de selve macht des hants by C, ande stang A B deur t'vervolgh des 24 voorstels vant 1 bouck der Weeghconst. Maer want ymant dencken mocht dit te strijden teghen t'voorgaende bewijs, soo segghen wy daer op ghelijck int merck des 2 voorstels gheantwoort wiert, te weten dat de vraegh niet en is wat macht de hant an C doet, maer de hant opden houck A B C, soo veel stijver treckende dan op den houck A D C, datse op d'een en d'ander eveveel verhoocht, men vraeght welcke trecking alsdan de meeste wreetheyt mebrengt. 2 Merck. Beneffens de voorgaende oirsaeck der wreetheyt, vervought heur somwijlen noch een tweede, in deser voughen: Hoe het teughelrincx raeckpunt naerder des peerts borst comt, hoe de tusscheketen oock meer de borst naerdert, volgende de ghemeene manier diemen int toommaken ghebruyckt: Maer die tusscheketen soo na commende, datse int trecken des tooms de borst gheraeckt, soo is de wreetheyt daer ten eynde; want al treckmen dan veel stijver, dat comt al opt {==212==} {>>pagina-aanduiding<<} peerts borst an, sonder teghen kin of tantvlees meerder persing te maken: Maer een ander tueghelrincx raeckpunt verder vande borst sijnde, en de tusscheketen daerom oock verder, soo volght daer uyt datmen die stanghen verder achterwaert na de borst sal connen trecken als d'ander, eer de tusscheketen de borst gheraeckt, waer uyt oock open baerlick meerder wreetheyt moet volgen. Doch en valt daer af niet te segghen als de tusscheketen na d'een en d'ander wijse de borst niet en raeckt. 3 Merck. T'ghebeurt ettelicke peerden datse hun selfs van t'gheprang des tooms verlossen, mette mont om hooch te steken, ghelijck de byghevoughde form anwijst: Sulcx dat hun alsdan den Ruyter niet dwingen en can, maer lcopen daerse willen: Nochtans mocht ymant segghen, is dan des teughelrincx raeckpunt verder van des peerts borst, als in ander ghestalt, inder voughen dat daer me den toom wreeder behoort te wesen, t'welck teghen de regel deses voorstels schijnt {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} te strijden. Hier op wort gheseyt, dat wanneer de ghespannen teughelriem A B, evewijdich is mette verdochte rechte lini van des teughelrincx raeckpunt A, tot des montsticx aspunt C, ghelijck dese ghestalt mebrengt, alsdan en can stijver trecking ant bovedeel gheen roersel gheven, noch de kinketen doen opgaen, en vervolghens en isser gheen wreetheyt, want hoe wel het montstick stijver achterwaert ghetrocken wort, dat en veroirsaeckt het boveschteven wreet geprang niet. Maer soo de ghespannen teughelriem noch hoogher waer alsvooren gheseyt is, hoemen dan stijver treckt, hoe openbaerlick de kinketen slapper wort. Sulcx dat dit een uytneming is in bekende oirsaken bestaende. 5 Voorstel. De cortste kinketens gheven de meeste vvreetheyt. Tis daer voor te houden, dattet gheprang des montsticx eerst begint als de kinketen teghen de kin gheraeckt: Maer tot een langhe kinketen moet de hant verder opgaen eerse de kin gheraeckt dan tot een corte, en daerom doetmen met eveveel beweeghnis des hants, meer geprang met corte kinketens dan met langhe. Tbeslvyt. De cortste kinketens dan gheven de meeste wreetheyt, t'welck wy bewijsen moesten. {==213==} {>>pagina-aanduiding<<} Merckt. Wy hebben hier boven gheseyt daer voor te houden te sijn, dattet gheprang des montsticx eerst begint als de kinketen teghen de kin gheraeckt: doch ghebeutet wel dat de peerden eenich gheprang ghevoelen voor sulck gheraecksel, ja met een toom sonder kinketen, t'een peert eer als t'ander, na datse teer of hart van monde sijn: Oock na dat d'een toom van stijver of slapper stof, losser of sluytender mocht ghemaeckt sijn als d'ander: Doch soo cleyn onseker en onghelijck gheprang, en schijnt gheen dieper ondersoucking noch beschrijving der omstandighen te vereysschen, als van gheender acht wesende. 6 Voorstel. Een prouftoom te maken, en daer uyteen ghebruyckelicke toom. Wat prouftoom is hebben wy verclaert inde 17 bepaling. Om hier van het maecksel te segghen, dat mach aldus gheschien: De ghestalt is ghelijck de volghende form aenwijst, alwaer A B twee stanghen beteyckenen, die verlangt en vercort connen worden deur de schuyvende sticken als C B, welcke ter begeerde langde connen vast gehecht worden mette schrouven als D. Dese stanghen draeyen elck op een bout als E, makende mettet bovestick sulcken houck of cromte alsmen begheert, en worden alsoo vast ghehecht mette schrouven F. De bovedeelen G H sijn eenvaerdigher dickte, soo lanck als de langste diemen behouft. De ooghen als I sijn daer aen schuyvende ghemaeckt, en worden met schrouven als K vast ghehecht ter plaets daermense begheert. Inder voughen dat hier mede soo wel het bovedeel als onderdeel sulcken langde gegeven wort alsmen wil. {==214==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tot hier toe is beschreven de maniere des prouftooms int gheheel, de sticken by malcander vervoucht: Maer om noch breeder verclaring te doen vande form der stucken int besonder, soo sullen wy die hier nu verscheyden stellen, alwaer de letteren andermael van beteyckening sijn als vooren. {==215==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Dit is de form die sijn Vorstelicke Genade alsoo heeft doen maken, en metter daet bequaem bevint: doch alsmen daer in betering merckt, t'sal billich sijn die t'sijnen voordeele te nemen. {==216==} {>>pagina-aanduiding<<} Nv vant maken des ghebruyckelicken tooms deur t'behulp des prouftooms. An de prouftoom een montstick vervought sijnde na den eysch van t'peert, men sal deur t'behulp der schuyverkens, de langde der stanghen en bovedeelen, oock den raeckpunthouck, voor t'eerste stellen na t'ghene het voorghestelt peert schijnt te vereysschen: Maer t'selve an t'peert dadelick versocht sijnde, en bevonden wesende datter verandering moet gedaen sijn an een der vier saken, of an altemael, teweten verlangingh of vercortingh der stanghen, verlanging of vercorting der bovedeelen, vermeerdering of vermindering des raeckpunthoucx, of verlanging of vercorting des kinketens, dat can van elck met luttel moeyte, groote sekerheyt, en seer haest gheschien; Ia sonder den toom telcken af te moeten doen, oock sonder dat den Rijder behouft af te stijghen. Nu de prouftoom soo ghestelt hebbende, datse voor dat peert past, men salse af doen, en een ghebruyckelicke toom doen maken, met sulcke keeren, form, en cyraet alsmen begheert, mits welverstaende, dat de drie punten des raeckpunthoucx, even comen sulcken houck te maken als die des prouftooms, en de twee rechte verdochte linien dien houck begrijpende, oock vande selve langde als d'andere: Dat voort de tusschenketen, kinketen, en montstick, mede commen op dergelijcke ghestalt en form: T'welck soo sijnde, dees ghebruyckelicke toom moet het peert passen, en sal daer mede ter handt sijn, even als mette prouftoom, ghelijck sijn Vorstelicke Ghenade dat oock dadelick bevint. Ettelicke van dese stof schrijvende, hebben gemaeckt toomen daermen verscheyden stanghen in mach steken met onghelijcke keeren, d'een crommer als d'ander: Maer het teughelrijncx raeckpunt op een selve plaets commende, soo en gheeft meerder noch minder cromheyt der keeren totte saeck niet, ghelijck int eerste Voorstel verclaert is: Of anders gheseyt, commende het teughelrijncx raeckpunt op een ander plaets, so en is meerder of minder cromheyt des stangs, de oirsaeck niet der veranderingh diemen inde regieringhe des peerts ghewaer wort, ghemerckt sulcx comt uyt verandering van plaets des teugelrijncx raeckpunt: Waer deur sulcke soucking sonder kennis der oirsaken soo moeylick en onseker valt, datter hun weynigh begheven tot deur soodanighe middel welpassende toomen te maken. T'beslvyt. Wy hebben dan een prouftoom gemaeckt, en daer uyt een ghebruyckelicke toom na den eysch. Merckt. Ymant overdenckende de ghemeene reghel der wichtighe ghedaenten van alle tuych daermen ghewelt mede doet, mocht segghen, dat wanneermen met even voorttreckingen des handts, de kinketen eveveel voortgancx geeft, t'mach mette langde der bovedeelen en stanghen sijn hoe't wil, daer volght een selve gheprang uyt. Om hier af by voorbeelt te spreken, gemaeckt sijnde twee toomen op even raeckpunthoucken, en de kinketen in d'een, met sulcken losheyt of verheyt vande kin als in d'ander, voort de stangen en bovedeelenProportionales. everedenich, doch van d'een kleender als van d'ander, de kinketen crijcht dan met eveveel voorttrecking des handts eveveel beweeghnis, en vervolghens een selve gheprang, t'welck ick deur een form breeder verclaren sal. {==217==} {>>pagina-aanduiding<<} {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Tghegheven. Laet A B een langhe stang beteyckenen, A C heur lanck bovedeel inde voorghetrocken B A, daer na sy A D een corte stang, A E heur cort bovedeel, in sulcken reden tot A D, als A C tot A B, voort sy ghetrocken A F even an A B, en A G inde voortgetrockē F A even an A C, en van F de lini F H rechthouckich op B C, oock G I rechthouckich op de selve B C, daer na A K even met A D, oock soo dat K L rechthouckich op B C even sy met F H, en A M inde voortghetrocken K A even met A E, en M N rechthouckich op B C. Dit so wesende, laet ons nu nemen den teughelrinck B der langhe stang, ghetrocken te sijn van B tot F, sulcx dat haer voortganck sy H F, en de corte stang van D tot K, soo dat haer voortganck sy L K, en sal dan het oogh C des langsten bovedeels ghecommen sijn an G, diens voortganck I G, en t'oogh E des cortsten bovedeels an M, diens voortganck N M. Maer de voortganck H F en L K, is te houden voor des handts voorttreckingh an de teughelriem, om datse daer me even sijn, en I G met M N voor de kinketens voortganck, als daer me oock even wesende. T'welc soo sijnde, wy moeten bewijsen dat N M even is met I G, waer uyt gelijck t'voornemen was te bewijsen een selve gheprang moet volghen. Tbewys. Den driehouck A K L, is ghelijck metten driehouck A M N, waer deur sy haer lijckstandighe sijden everedenich hebben, te wetenHolomoga latera. Ghelijck A K tot A M, alsoo K L tot M N. Den driehouck A F H, is gelijck metten driehouck A I G, waer deur sy haer lijckstandighe sijden everedenich hebben, te weten Ghelijck A F tot A G, alsoo F H tot G I. Maer ghelijck A F tot A G, alsoo A K tot A M, daerom Ghelijck A K tot A M, alsoo F H tot G I. Maer F H is even met K L deur t'ghegheven, daerom Ghelijck A K tot A M, alsoo K L tot G I. Sulcx dat G I en M N, elck vierde everedenighe pael sijn der selve drie, te weten M N in d'eerste everedenheyt, en G I in dese laetste, waer deur sy even moeten wesen. {==218==} {>>pagina-aanduiding<<} Nu dan de kinketen van d'een en d'ander toom aldus eveveel voortganck crijghende, waer uyt ymant dencken mocht sulcx een selve gheprang te geven, en datter nochtans groot verschil in valt, so sullen wy daer af wat breeder seggē. D'ervaring leert, soo ettelicke oock schrijven, dat langer bovedeelen aen sommighe peerden het hooft hoogher doen verheffen als corter: Waer af sijn Vorstelicke Genade d'oirsaeck hout dusdanich te wesen: Laet A B een lanck bovedeel beteyckenen, A C een cort, B D de kinketen ant lang bovedeel, en C D de kinketen ant cort bovedeel. De langhe kinketen B D maect opt bovedeel een scherper houck dan de corter kinketen C D, want scherper is den {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} houck A B D, dan A C D. Hier me sietmen dat deur trecking des teughelriems E F, het bovedeel A B beweeghnis crijghende, soo perst de kinketen C D platter teghens t'peerts kin, dan de kinketen B D, welcke daer teghen meer opwaert druct: En t'peert om die opwaert persing te versachtē, verheft het hooft hooger. Ymant soude hier op meughen segghen, dat by aldien sulcx de eyghenschapEffectus. waer van langher bovedeelen, dat de * daet daer af niet alleen blijcken en soude an sommighe peerden, ghelijck boven gheseyt is, maer an allen, t'welck nochtans teghen d'ervaring te strijden by verscheyden betuycht wort, en onder anderen deur le Sieur de la Brouë int 3 bouck onder dit opschrift. Occasions pour lesquelles on doit faire l'oeil de la branche plus haut ou plus bas que la mesure ordinaire. Ick heb oock sijn Vorstelicke Ghenade hooren bevestighen dadelick bevonden te hebben, dat verlanging van bovedeelen an sommige peerden het hooft dede dalen, an ettelicke verheffen: T'welck hy doen, ghelijck ander, met verwonderen ansach: Maer daer na hier op met kennis der Weeghconst lettende, heeft voor ghewis gehouden dit d'oirsaeck te wesen. Verlanging des bovedeels, t'welck meerder wreetheyt mebrengt op het tantvlees en teghen de kin deur het 3 voorstel, werckt twee verkeerde saken t'seffens, want deur de stijver perssing des montsticx teghen het tantvlees, is t'peert geneycht het hooft neerwaert te buyghen, om die weedom te versachten, maer deur de stijver opwaert perssing des kinketens teghen de kin, ist om die smerte te verminderen gheneycht het hooft opwaert te verheffen, gelijck wy boven verclaert hebben: Dese twee t'seffens aencommende, het souckt hem dadelick meest t'ontlasten {==219==} {>>pagina-aanduiding<<} van t'ghene hem de meeste weedom aendoet: Maer sommige peerden sijnteer van tantvlees en hart van kin, ander verkeert, hart van tantvlees en teer van kin, waer uyt volght dattet een peert deur verlanging des bovedeels het hooft leger buycht, het ander hoogher verheft: Maer om int ghemeen daer af te spreken, alle langher bovedeelen intansien der opwaert persing des kinketens alleen, veroirsaken eenige genegentheyt des peerts tot verheffiing des hoofts, hoe wel het nochtans om d'ander meerder smerte t'verkeerde wel mocht te werc stellē. uyt het voorgaende valt te besluyten, datmen tot peerden die uyter natuer het hooft hooch genouch dragen, en het tantvlees niet te teer en hebben, soude meughen ghebruycken corter bovedeelen met een sluytender kinketen, te meer dat langer bovedeelen en losser kinketens met een stercke snack ghetrocken wesende, het montstick en kinketen veel harder, als met een slach ancommende, de peerden den mont bederven, meer als corte bovedeelen, en sluytender kinketens, die sachter ancommen, en nochtans daer na eveveel persing gheven. Ten anderen dat al te langhe kinketens als B D, lichtelick over de kin slibberen, sonder dat den Ruyter het peert dan regieren can, welck ongheval de kinketens, als C D niet onderworpen en sijn. Merckt noch dat alsmen niet ghedronghen en is langhe bovedeelen te nemen om t'peert sijn hooft te doen verheffen, (t'welck ghebeurt als de teerheyt des tantvlees niet en overtreft de teerheyt des kins) soo machmen een seer cort bovedeel ghebruycken, en de stanghen van langde soose best vougen: Daer na vermeerderen of verminderen de wreetheyt na sijn wille, met verlanging of vercorting der kinketen. Maer want sijn Vorstelicke Ghenade dese eygenschappen seer nauwe deurgront heeft, soo sal ick hier stellen noch wat ander onghelijckheyt, tusschen de boveschreven toomen met everedenighe stangen en bovedeelen: {== afbeelding ==} {>>afbeelding<<} Laet tot dien eynde A B een lange sijn, diens teugelriem B C, en A D een corte, diens teughelriem D E, en met haer bovedeelen neem ick everedenich. Alwaert nu dat dese twee stanghen om die everedenheyt een selve gheprang gaven, soo ist nochtans kennelick dat de treckende hant niet tot een selve plaets en soude moeten blijvē, maer sose op B treckende, is an C, sy sal op D treckende, moeten sijn by E, sulcx dat D EParallela. evewijdeghe is met B C, want treckende de teughelriem van D tot C, sy maeckt op de rechte lini A B een ander houck dan D E, t'welck openbaerlick verandering moet mebrenghen, te weten minder wreetheyt an C, dan an E. Des Toomprangs EYNDE. * Perpendicularem. * Proportionē. * Perpendicularis.