Oeuvres complètes. Tome XXII. Supplément à la correspondance. Varia. Biographie. Catalogue de vente

[p. 333]

Première partie

[p. 335]

Première partie.
Résistances éprouvées par des surfaces.

§ 1.

Man. G.f. 103-104.

22 Apr. 91. In his semper hoc theoremate usus sum. Sicut quadr. AC ad qu. AB, ita vis aquae in superficiem AB, cum fertur secundum directionem DE, perpend. AE, ad vim in superficiem inclinatam AC, tantundem aquae ac superficies AB excipientem¹⁾. Eademque ratio est si utraque superficies per quiescentem aquam trahatur secundum directionem ED.

§ 2. Annulus ab AB, aut etiam vis in annulum eundem²⁾.

vis in annulum ab AB.

xx vis in circulum CF.

Addantur vires.

1) La dimension des surfaces AB et AC perpendiculaire au plan du papier étant par hypothèse la même, ceci équivaut à la loi énoncée dans notre Avertissement.

2) Comparez ce que Huygens dit au § 3: Pro resistentijs planorum AB et CF accipio ipsa AB et CF: il désigne par 1 la force exercée sur l'unité de surface par un courant qui lui est perpendiculaire.

[p. 336]

Problema Newtoni quaeritur quo modo solvatur.

³⁾

M^r. Newton dit⁴⁾ que EG estant ½ EF il faut faire GD ∞ GA. Et que joignant AD, que la perpend. FC couppe en C, le tronc de cone cherchè sera ACFE, (c'est a dire tournè sur l'axe EF) qui causera la moindre resistence de ceux qui ont la base au rad. AE, et la hauteur EF.

§ 3. Datur AE ∞ a et EF ∞ b, quaeritur quae debeat esse ppd. FC ut plana AC, CF minore vi impellantur à fluido secundum directionem DE tendente quam ulla alia, manente distantia parallelorum planorum AE et CF eâdem, nempe EF.

Sit EK ∞ EF. Et perpd. FC ∞ KA, jungaturque AC. Erit compositum ex planis AC, CF, quaesitum.

3) Calcul du minimum d'après la règle énoncée à la p. 235 du T. XX (‘Regula de maximis et minimis’).

4) Scholium appartenant à la Prop. latV. Theor. XXVIII du Lib. II des ‘Principia’.

[p. 337]

Pro resistentijs planorum AB et CF accipio ipsa AB et CF.

Apparet autem ex constructione angulum EAC esse semper dimidium recti. Ergo si b ∞ a, erit planum solum AF minimae resistentiae. Quid si b major quam a, an tunc semper AF minimae resistentiae?

Voyez sur ce dernier sujet le § 9 qui suit.

§ 4. AB et BC sunt lineae aut plana aequalis altitudinis ad horizontem erecta, in quae fertur aer aut aqua secundum directionem LA. Distantia AE ∞ BD. CB est data. Quaeritur BA ita ponenda, ut resistentia duarum fiat minima earum quae duabus ab A in rectam EB et inde ad punctum C ductis offici queat.

[p. 338]

Aequatio (1) divisibilis per x-b et fit

x³+bxx+bbx+2aax-a⁴/b∞0

Ergo si b ∞ a, dividetur aequatio etiam per a-x; itaque tunc x ∞ a. Sed et alter valor x tunc habetur.

§ 5. Ex resolutione problematis pag. 104⁵⁾ in fine, patet angulum D majorem dari



debere quam gr. 45 et AB majorem quam BD ut possit duci AC, ut resistentia AC, CD⁶⁾ sit minima.

La figure fait bien voir que Huygens songeait a la possibilité



d'étendre sa recherche à des surfaces courbes.

§ 6. 25 Apr. 91. Angulus B rectus. BAE 45 gr. CE parall. AB.

Non potest intra trapezium AECB describi linea ex rectis composita ut AGKC, quin magis resistat fluido secundum directionem DB occurrenti quam duae rectae AE, EC.

Ergo neque curva quidem AGKC quin idem fiat.

Hic plana aeque alta perpendiculariter erecta considerantur.

Ducantur per puncta G, K parallelae ad AB rectae FGO, HKP. Item GN, KM parallelae AE.

Demonstravi resistentiam duarum AF, FO minorem esse quam duarum AG, GO. Ergo resistentia duarum AF, FG minor quam solus AG.

5) Numération de Huygens, correspondant à la f. 103r. Il s'agit de ce que nous avons appelé le § 3.

6) Il s'agit ici aussi de deux plans, AC et CD, perpendiculaires à celui du papier.

[p. 339]

Similiter constat resistentiam duarum GL, LK minorem esse quam unius GK: et resistentiam duarum KM, MC minorem quam unius KC.

Ergo figurae dentatae AFGLKMC minor est quam figurae AGKC.

Sed figurae dentatae resistentia eadem esse ostenditur atque duarum AE, EC. Est enim AF utrique communis. GL vero tantundem resistit ac FH, et KM tantundem ac HE adeoque AF, GL, KM in figura dentata tantundem resistunt ac tota AE. Sed et FG, LK, MC in figura dentata tantundem resistunt ac EN, NM, MC quibus aequales sunt ac parallelae. Ergo tota figura dentata AFGLKMC tantundem resistit atque AE, EC, ac proinde minus quam inflexa AGKC. quod erat demonstrandum.

En marge:

Nulla minime resistens in planis perpendicularibus datur quae, in prora, curvae rotunditate finiatur.

§ 7. Distantiae rectarum parallelarum AF, DG, HL, BE aequales. Posita AD, et producta ad M, erit MD recta una cum DA, minimae resistentiae omnium quae a puncto M inter parallelas datas inflecti possunt manente nimirum DA. propter b-x ∞ 0 quo aequatio dividitur p. 105⁷⁾.

Invenitur item et inflexa DKEN, ejusmodi ut a puncto N non possit inflecti altera inter dictas parallelas, ad punctum D, ita ut una cum DA sit minoris resistentiae quam NEKDA.

Erit et recta NA minimae resistentiae omnium quae inter parallelas inflecti possunt ab N ad A, manente nimirum GA.

Non putandum vero NEKDA esse minimae resistentiae inflectendarum ab N ad A, nisi ita ut DA partem faciat. Potest enim alioqui minoris resistentiae esse recta NA.

§ 8. Posset calculo inquiri, in figura tornatili⁸⁾ cujus axis BD, an non aliquae AV, VE minus resistant quam recta AE, quod prorsus verisimile est, eo quod annulo ex TE fluidi respondentis augetur quidem impressio, sed annulo multo majori respondentis fluidi diminuitur impressio quae est in superficie ex rotatione AV lineae.

§ 9.

Chartae mechanicae, f. 86, feuille séparée.

ER et RD resistent plus que ED. Et partant ER et RD et DN plus que EDF mais non pas pour cela ER et RN plus que ED et DN.

7) Numération de Huygens, correspondant à la s. 103 v. Voyez sur cette division par b-x la l. 4 de la p. 338 qui précède.

8) Surface de révolution. - Man. G, f. 106.

[p. 340]

Punctum D assumptum. DE perpend. AB. BG ∞ BE. AP parallela DK. P, H et V in circumferentia AHB.

Ut BA ad AG ita AH ad f.

Ut AB ad BG ita AP ad g.

Quanto jam ff+gg majora quam AV² tanto erit major resistentia superficierum conicarum ex AD et DK quam coni cujus latus AK. KB est axis circumvolutionis.

Experire numeris posito a ∞ 2b et c majore quam 2d⁹⁾, an non ex aequatione hinc appareat quod major resistentia sit duarum AD, DK quam AK, nempe superficierum ex his factarum conversione circa KB.

À la fin du § 3 Huygens se demandait déjâ, en considérant (présente figure) le cas où BK > AB, si, pour un mouvement dans le sens BK, la résistance éprouvée par la surface conique déterminée par la révolution de AK autour de BK, peut être rendue plus petite lorsqu'on lui substitue la figure plus pointue obtenue par la révolution d'une ligne brisée telle que ADK autour du même axe BK. Ici il se pose la même question en prenant de nouveau un axe BK plus long que le rayon BA du cercle qui constitue la base du cône considéré.

9) Lisez 2b.

[p. 341]

On peut démontrer généralement, et cela quel que soit le rapport des longueurs de l'axe et du rayon de la base, que la résistance éprouvée par le cône ne peut pas, en adoptant toujours la loi de Newton et de Huygens sur les résistances, être rendue plus petite par la dite substitution d'une figure plus pointue vers le bout.

En effet, en représentant par 1/R² (où R=AB, rayon de la base) la résistance que ce cercle de rayon R éprouverait, celle éprouvée par le cône AFA' sera 1/AF² d'après la loi adoptée.
De même pour les cônes ALA' et DLD' (où r=OD, rayon de la base) les résistances seront respectivement 1/AL² et r⁴/R⁴.1/DL². Et pour le cône DFD' r⁴/R⁴.1/DF².
Il faut donc démontrer
1/AF²<1/AL²-r⁴/R⁴.1/DL²+r⁴/R⁴.1/DF²
ou
R⁴(1/AL²-1/AF²)>r⁴(1/DL²-1/DF²)
ou
R⁴(BF²-BL²/AF².AL²)>r⁴(OF²-OL²/DL².DF²)
ou R²/AF²(BF²-BL²)>r²/DF²(OF²-OL²)....(1)




Or, R/AF=sin AFB>r/DF=sin DFO et BF²-BL²>OF²-OL² puisque BF-BL=OF-OL et BF+BL>OF+OL. D'où résulte l'inégalité (1). C.Q.F.D.