Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

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Travaux divers de statique et de dynamique de 1659 à 1666.

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Avertissement.

Toutes les Pièces que nous avons réunies sous le nom de ‘Travaux divers de Statique et de Dynamique de 1659 à 1666’ sont inédites, à l'exception de la Première Pièce de la Statique. Elles sont empruntées en majeure partie au Manuscrit B, quelques-unes cependant aux Manuscrits A et C (voir sur les Manuscrits A, B, etc. la p. 4 du T. XV) et à quelques feuilles séparées qui se trouvent dans le portefeuille ‘Chartae Mechanicae’.

Statique.

Les Manuscrits de Huygens, datant de 1659 et des années suivantes jusqu'à son départ pour Paris en 1666, ne contiennent que quelques rares pages consacrées à la Statique: ses considérations se bornent à la solution des problèmes discutés dans les trois Pièces qui suivent (p. 379-383).

La Première de ces Pièces, datant de 1659, a déjà paru dans le T. II (p. 394-395). Il y est question de l'équilibre de poids suspendus à des cordes. Comme les figures l'indiquent, Huygens calcule les positions d'équilibre en partant du principe que pour un très petit déplacement compatible avec les liaisons le centre de gravité des poids doit rester à la même hauteur. En d'autres termes (puisque dans les cas considérés l'équilibre ne peut être instable ou indifférent) il admet que dans la position d'équilibre le centre de gravité de l'ensemble des poids

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considérés se trouve aussi bas que possible. C'est là pour lui un Axiome qu'il avait déjà formulé en 1646 en considérant le cas particulier de la chaînette: ‘Duae vel plures gravitates... alligatae chordae... non possunt nisi unico situ quiescere: idque tali ut centrum gravitatis earum... quantum potest descendat et plano terrae [plan supposé perpendiculaire à la direction de toutes les lignes droites suivant lesquelles les points matériels tendent à descendre] admoveatur’ (Chr. Huygens à Mersenne, T. I, p. 40; comparez la démonstration de la Prop. 2 à la p. 44 du T. I). Lorsqu'il écrivit en 1650 son Traité ‘De iis quae liquido supernatant’, il partit du même principe, d'après lequel le centre de gravité du système des corps considérés, solides ou liquides, se place toujours aussi bas que possible (voir le premier alinéa de la p. 84 du T. XI)¹⁾.

Dans la Deuxième Pièce, datant également de 1659, Huygens considère un cas d'équilibre indifférent, celui de deux poids D et E [Fig. 3, p. 380] reliés entre eux par une corde et inversement proportionnels aux côtés AB et AC du triangle à base horizontale AC: il démontre géométriquement qu'il y a équilibre parce que, lorsqu'un des poids monte, de sorte que l'autre descend, le centre de gravité

1) Comparez la note 1 de la p. 56 du présent Tome. On trouve dans le Traité ‘de Motu Gravium naturaliter descendentium et projectorum’, saisant partie des ‘Opera geometrica’ de E. Torricelli, publiés à Florence en 1644, le principe suivant (p. 99): ‘Praemittimus. Duo gravia simul coniuncta ex se moueri non posse, nisi centrum commune grauitatis ipsorum descendat’... ‘Quando vero [graue unum ex duobus compositum] ita constitutum fuerit ut nullo modo commune ipsius centrum grauitatis descendere possit, graue penitus in sua positione quiescet’. Ce que Torricelli dit ici pour le cas de deux corps, Huygens le dit pour un nombre de corps quelconque. Rien ne prouve d'ailleurs que Huygens connaissait l'ouvrage de Torricelli déjà en 1646. Dans la Correspondance on rencontre le nom de Torricelli pour la première fois à la p. 52 du T. I (lettre de Mersenne à Huygens du 8 janvier 1647).
D'autres auteurs avant Torricelli avaient formulé ce principe plus vaguement (voir P. Duhem, ‘Les Origines de la Statique’, Paris, A. Hermann, 1905-1906); le Père Mersenne p.e. écrit: ‘Centrum grauitatis cuiuscunque corporis nunquam ascendit naturaliter, sed tantum violenter, alioqui media, vel plusquam media pars grauitatis ascenderet, quod fieri nequit; nec enim vnquam vna pars ascendit, nisi descendens praeualeat; sicut nec in bilance vna pars aliam attollere potest, nisi grauior fuerit’ (‘Universae Geometriae Mixtaeque Mathematicae Synopsis’, publiée pour la première fois en 1626; le passage cité se trouve à la p. 436, ‘De Centro Gravitatis Solidorum XV’, de l'édition de 1644, à Paris, chez A. Bertier). Huygens lisait Mersenne en novembre 1646 (voir la p. 34 du T. I). La ‘Synopsis’ se trouve dans le volume des ‘Cogitata Physico-mathematica’ de 1644 dont Huygens fait mention à cet endroit.

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reste toujours à la même hauteur. C'est une preuve plus directe que la célèbre démonstration de Stevin dans ses ‘Beghinselen der Weeghconst’ de 1586²⁾, d'après laquelle il doit y avoir équilibre dans le cas considéré parce que sinon il se produirait un mouvement perpétuel, ce qui suivant Stevin est inadmissible³⁾.

Huygens connaissait les Travaux de Stevin depuis sa jeunesse: Stampioen de Jonge lui en recommande la lecture déjà en 1645; voir la p. 7 du T. I⁴⁾.

La Troisième Pièce (p. 381), de 1662, qui traite de la rupture d'une poutre linéaire homogène soutenue en deux points est la plus remarquable⁵⁾. Huygens étend hardiment le principe d'après lequel le centre de gravité descend autant que possible, au cas où la poutre considérée se brise. Il affirme (p. 383) qu'en cas de fracture la poutre homogène doit se rompre à l'endroit où, l'angle de rupture étant supposé constant, la grandeur que nous appelons travail de la pesanteur et qu'il désigne par ‘descensus gravitatis’ atteint un maximum. Il faut se représenter les deux parties de la poutre comme cohérant encore après la rupture et formant entre elles un angle dont la différence infiniment petite avec l'angle primitif de 180^o constitue l' ‘angle de rupture’.

Le lecteur du vingtième siècle, qu'il soit partisan ou adversaire de l'idée de mettre en avant dans la Statique des principes relatifs au centre de gravité, admettra sans le moindre doute la vérité matérielle du principe d'équilibre de Torricelli et de Huygens (voir la note 1), mais il n'admettra pas sans examen, croyons-nous, l'exactitude du principe énoncé par Huygens dans le cas de la rupture de la poutre linéaire homogène. Même si le lecteur accorde que la pesanteur tend à accomplir un travail maximum et que, pour amener la rupture de la poutre considérée, il faut, où que cette rupture se produise, une même déformation préalable (caractérisée par l'angle de rupture) qu'on peut considérer comme infiniment petite, il n'osera pas, nous semble-t-il, en tirer la conclusion que la rup-

2) Voir la note 12 de la p. 7 du T.I.

3) ‘Ce mouvement n'auroit aucune fin, ce qui est absurde’ (traduction de Girard, à la p. 448 des ‘Oeuvres mathématiques de Simon Stevin, augmentées par Albert Girard’, Leyde, Elsevier, 1634).

4) Voir aussi, à la p. 570 du T. II, la lettre de Huygens à Mersenne du 12 juillet 1648.

5) C'est peut-être à la suite de ses réflexions sur une question traitée par Blondel (voir sur lui la p. 287 du T. I) que Huygens écrivit cette Pièce (voir ses lettres à son frère Lodewijk du 10 août 1662 à la p. 194 et du 17 août 1662 à la p. 198 du T. IV).

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ture doit se produire au point indiqué par Huygens. Nous démontrerons donc que l'intuition de Huygens ne le trompe pas.

Considérons d'abord le cas plus général d'une poutre linéaire quelconque AB [Fig. 1], soutenue en deux points S₁ et S₂ arbitrairement choisis de part et d'autre du centre de gravité de la poutre.

[Fig. 1.]

Soit S₁S₂ = a. Appelons R le point de rupture et désignons par Z₁ et Z₂ respectivement les centres de gravité des parties AR et RB de la poutre, pesant p₁ et p₂ respectivement. Les supports exercent sur la poutre les forces verticales P₁ et P₂, dont la somme est évidemment égale à p₁+p₂.

On aura, en désignant S₁Z₁ par z₁ et S₂Z₂ par z₂ et en prenant, avant la rupture, les moments par rapport aux points S₂ et S₁,



Le ‘momentum rupturae’ au point R, situé à une distance x du point S₁, est donc

[Fig. 2.]

L'angle de rupture étant γ [Fig. 2] et les angles d'inclinaison des deux parties de la poutre étant α et β respectivement, on a , par conséquent .

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Le travail correspondant de la pesanteur est donc




ce qui se réduit, vu la valeur obtenue pour le moment M, à
dA = Mγ¹⁾.

Puisque l'angle γ est constant par hypothèse, le travail dA est maximum lorsque le moment de rupture M atteint un maximum. Or, si la poutre est homogène, tout-le-monde accordera qu'elle doit se briser à l'endroit où le moment de rupture est le plus grand. Elle se brisera donc là où le travail de la pesanteur considéré par Huygens est le plus grand. C.Q.F.D.²⁾.

Il résulte de la formule dA = Mγ ou M = dA/γ que dans le cas de la Fig. 6 (p. 382) le moment de rupture au point K est la moitié du moment de rupture au

1) Dans la note 7 de la p. 383 nous obtenons le même résultat pour un cas particulier.
La formule dA = Mγ reste valable, comme on peut s'en convaincre, lorsque les points Z₁ et Z₂, ou l'un d'eux, ne sont pas situés entre les points S₁ et S₂. On peut p.e. considérer le cas où, Z₁ étant situé entre S₁ et S₂ et Z₂ en dehors de cet espace, le travail de la pesanteur est positif pour la partie gauche de la poutre, négatif et plus petit en valeur absolue pour la partie droite qui, nous l'avons dit, continue après la rupture à cohérer avec la partie gauche.

2) On peut démontrer que, si les supports sont placés de telle manière que le moment M atteint un maximum entre S₁ et S₂, ce moment maximum existe au point R pour lequel p₁ = P₁ (et par conséquent aussi p₂ = P₂).
En effet, une condition nécessaire pour que le moment M soit maximum est




Or, on trouve en considérant les moments des parties de la poutre AR et (AR+dx) autour du point S₁:




On a donc, au point R considéré, P₁ = p₁. C.Q.F.D.
Dans le cas de la poutre homogène considérée à la p. 383 qui suit (voir la note 7 de cette page) le support gauche porte un tiers du poids de la poutre. D'après la théorie de la présente note, le point où le moment de rupture atteint un maximum est donc situé à un tiers de la longueur de la poutre à partir de l'extrémité gauche, conformément au résultat du calcul de la note 7 nommée.

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point S. En effet, l'angle de disjonction γ étant par hypothèse le même pour l'une et l'autre rupture, l'angle de rotation de la partie AK dans le premier cas sera la moitié de l'angle de rotation de la partie DW dans le deuxième cas (comparez le dernier alinéa de la note 4 de la p. 383); par conséquent le travail dA sera dans le premier cas deux fois plus petit que dans le deuxième, et le même rapport existera d'après notre formule entre les moments correspondants M.C.Q.F.D.

Cette Troisième Pièce est encore remarquable à un autre point de vue. Nous y lisons (p. 381): ‘momentum rupturae in C fit multiplicando CD in distantiam CE’, c.à.d. ‘le moment de rupture au point C s'obtient en multipliant CD par la distance CE’. CD est une ligne droite qui représente le poids de la partie CD de la poutre, et CE le bras de levier de cette partie par rapport au point C. Huygens obtient donc en 1662 le moment, dans le sens que nous attachons à ce mot, en multipliant un poids par une distance. Nous n'avons pas réussi à trouver un vestige de cette conception moderne du moment (voir le premier alinéa de la p. 338) avant 1659.

Il est vrai que Commandin¹⁾ écrit déjà en 1565: ‘Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, circa quod undique partes aequalium momentorum consistunt. Si enim per tale centrum ducatur planum figuram quomodocumque secans semper in partes aequiponderantes ipsam dividet’,

1) ‘Federici Commandini Urbinatis liber de Centro Gravitatis Solidorum’, Bononiae, ex officina Alexandri Benacii MDLXV, p. 1.

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mais ici l'expression ‘aequalia momenta’ n'a nullement le sens précis qu'on serait tenté de lui attribuer: l'auteur parle en somme de parties qui se tiennent en équilibre puisqu'elles possèdent l'une par rapport à l'autre une vertu équilibrante égale²⁾. C'est ce qui résulte aussi du traité de Guldin de 1635³⁾ qui répète la définition de Commandin presque dans les mêmes termes et ajoute: ‘Notandum vero partes illas binas... aequiponder antes esse respectu centri gravitatis totius: hoc enim est esse aequalium momentorum’ (nous soulignons)⁴⁾.

Galilée dans sa Mécanique (dont Mersenne publia en 1644 la traduction française⁵⁾, tandis que le texte italien ne parut qu'en 1649⁶⁾), écrit: ‘Centro della gravità si diffinisce essere in ogni corpo grave quel punto, intorno al quale consistono parti di eguali momenti: si che, imaginandoci tale grave essere dal detto punto sospeso e sostenuto, le parti destre equilibreranno le sinistre, le anteriori le posteriori, e quelle di sopra quelle di sotto’⁷⁾. Chez Galilée l'expression ‘momento’ désigne le plus souvent la puissance d'une force dans la ligne de sa direction (d'une façon analogue on parle de ‘momenta celeritatis’, comme Huygens le fait aussi à la p. 255 de ce Tome), mais cet emploi n'est pas constant. Avant la définition citée du centre de gravité, Galilée donne de ‘momento’ la définition suivante: ‘Momento è la propensione di andare al basso, cagionata non tanto dalla gravità del mobile, quanto dalla disposizione che abbino tra di loro diversi corpi gravi... È dunque il momento quell'impeto di andare al basso, composto di gravità, posizione e di altro, dal che possa essere tal propensione cagionata’⁷⁾. D'une part il dira donc en parlant d'une pierre qu'on soulève à l'aide d'un levier: ‘io non ho nominato la gravità totale del sasso, ma ho parlato del momento che egli tiene ed esercita sopra 'l punto A, estremo termine della leva BA, il quale è sempre minore dell' intero peso del sasso’⁸⁾; ce ‘momento’ est donc une force, une partie du poids de la pierre; d'autre part il dira: ‘un peso pendente dalla estremità [d'une poutre encastrée dans un mur] ha momento doppio di quello che arebbe pendendo dal mezzo’⁹⁾; ici l'expression ‘momento’

2) En 1679 encore le P. Lamy écrit: ‘Centre de pesanteur est un point, autour duquel toutes les parties d'un corps sont en équilibre, ou ce qui est la même chose, ont une égale puissance’. Les paroles citées se trouvent à la p. 1, Définition IV, de l'édition de 1734, chez P. Mortier, à Amsterdam, du ‘Traitez de Mechanique de l'Equilibre des Solides et des Liqueurs’ par le P. Lamy, traité dont la première édition parut à Paris en 1679.

3) ‘Centrobaryca Guldini’, Viennae Austriae, Formis G. Gelbhaar Typographi Caesarii, Anno MDCXXXV. Les paroles citées se trouvent à la p. 23 (Lib. I, Cap. I, § 7).

4) Pour Valerio et son éditeur C. Manolessius l'existence d'un centre de gravité dans chaque corps est un postulat. On trouve ce ‘postulatum’ (‘Omnis figurae grauis unum esse centrum grauitatis’) à la p. 5 du traité intitulé ‘De Centro gravitatis solidorum libri tres Lucae Valerii’, Bononiae, 1661.

5) Les Mechaniques de Galilee Mathematicien & Ingenieur du Duc de Florence. Avec plvsievrs Additions rares, & nouuelles, utiles aux Architectes, Ingenieurs, Fonteniers, Philosophes, & Artisans. Traduites de l'Italien par L.P.M.M.’ A Paris, chez Henry Gvenon, MDCXXXIV. La traduction des passages cités dans le texte de cet Avertissement se trouve chez Mersenne aux p. 7 et 8.

6) ‘Le Opere di Galileo’, Ed. Naz. II, p. 152.

7) ‘Le Opere di Galileo’, Ed. Naz. II, p. 159.

7) ‘Le Opere di Galileo’, Ed. Naz. II, p. 159.

8) ‘Le Opere di Galileo’, Ed. Naz. VIII, p. 155 (‘Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze, Giornata seconda’). Huygens connaissait les ‘Discorsi etc.’ depuis 1646 (voir la note 1 de la p. 68 du T. XI, ainsi que la dernière ligne de la p. 72 et la première ligne de la p. 73 du T. XI).

9) Même tome, p. 157.

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se rapproche du moment statique moderne. Toutefois, même dans des passages de ce dernier genre, Galilée ne définit jamais la grandeur d'un moment par le produit d'une force et d'une distance.

Le premier livre écrit dans une langue moderne dans lequel on rencontre cette définition du moment est, croyons-nous, l'ouvrage de P. Varignon de 1687. Il écrit¹⁾: ‘l'on voit que l'action d'une puissance ne se prend pas seulement de la grandeur de la force, mais aussi de la distance de sa ligne de direction au point d'appui du levier sur lequel elle agit: de sorte que le produit de cette distance par la force de cette puissance, est la juste mesure de son action, ou de l'impression qu'elle fait sur ce levier’ (nous soulignons). Plus tard Varignon donne à ce produit le nom de moment: ‘Le produit de chaque poids ou puissance absolue par sa distance à l'appui du Levier auquel elle est appliquée, s'appelle en Latin Momentum, ce que le Corollaire... me fait croire ne pouvoir mieux s'exprimer en François que (Définition 1) par le mot de Force relative ou d'impression ou d'action sur le Levier auquel ce point ou cette puissance est appliquée: nous ne laisserons pourtant pas de l'appeler aussi Moment, pour nous moins éloigner du langage ordinaire’²⁾.

Quoique, comme nous l'avons dit, Huygens en 1662 considère effectivement le ‘momentum’ comme le produit d'un poids par une distance, on ne peut guère accorder à Varignon (comparez le premier alinéa de la p. 337) que ce soit là le ‘langage ordinaire’ des auteurs latins qui se servent de l'expression ‘momentum’. Bien qu'on sût parfaitement que deux ‘momenta’ dans le cas du levier droit ou

1) ‘Projet d'une nouvelle Méchanique’, Paris, chez la V^ve d'E. Martin, 1687; pag. 2.

2) ‘Nouvelle Mécanique ou Statique, dont le projet fut donné en 1687, ouvrage posthume de M. Varignon’, Paris, 1725; pag. 304.

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coudé p.e. sont proportionnels aux poids et aux distances du point d'application³⁾, on a rarement eu la hardiesse de multiplier purement et simplement un poids, ou une force, par une distance, et de dire que ce produit constitue le ‘momentum’. On ne trouve ce produit ni chez le P. Hon. Fabri⁴⁾ ni chez Maurolycus⁵⁾ qui cependant se servent l'un et l'autre, le dernier surtout, de l'expression ‘momentum’ dans un sens qui se rapproche de celui du moment considéré comme un produit.

C'est Wallis, croyons-nous, qui parle pour la première fois à propos du moment

3) Voir p.e. ‘J.B. Benedicti patritii Veneti diversarum speculationum mathematicarum et physicarum liber’, Taurini, apud haeredem Nicolai Bevilaquae, MDLXXXV, où on lit à la p. 143: ‘Quod quantitas cuiuslibet ponderis, aut virtus movens respectu alterius quantitatis cognoscatur beneficio perpendicularium ductarum a centro librae ad lineam inclinationis’.
Dans la Première Addition (p. 11) du P. Mersenne à sa traduction des ‘Mechaniques de Galilée’ (voir la note 5 de la p. 336) il dit: ‘La figure qui suit explique mieux le discours precedent, car il est euident que le poids E qui pend au levier AB éleué [par une rotation du levier autour de son centre] en E ne pese que comme s'il estoit au point K [projection de E sur le levier horizontal], etc.’
On peut donc, si l'on veut, dire avec P. Duhem (ouvrage cité à la note 1 de la p. 332, T. I, p. 294): ‘La première addition est consacrée à exposer la notion de moment; la forme sous laquelle cette notion nous est présentée rappelle fort celle que lui a donnée Giovanni Battista Benedetti’; mais il convient de remarquer que ni le mot ‘moment’ ni la définition du moment comme un produit ne se trouve chez Benedetti ou Mersenne.
Cette ‘notion du moment’ se trouve d'ailleurs déjà dans le traité intitulé ‘Jordani Opusculum de ponderositate, Nicolai Tartaleae studio correctum novisque figuris auctum. Venetijs, apud Curtium Trojanum, MDLXV’. Mais la partie du traité qui y est consacrée peut être considérée comme ‘une relique de la Science grecque parvenue sans doute aux Occidentaux par l'intermédiaire des Arabes’. En effet ‘la notion de moment y est présentée sous une forme voisine de celle qu'elle affecte en l'Élévateur de Héron d'Alexandrie’ (Duhem, ouvrage cité, T. II, p. 319-320). Voir ‘les Mécaniques ou l'Élévateur de Héron d'Alexandrie, publiées et traduites par le Baron Carra de Vaux. Extrait du Journal Asiatique. Paris, 1894, L. II, Sect. IV’ ou l'édition plus récente ‘Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia, Vol. II, Fasc. I, Mechanica et Catoptrica, recensvervnt L. Nix et W. Schmidt. Lipsiae, in aedibvs B.G. Tevbneri, MCM’. Héron s'appuie sur le traité perdu d'Archimède Περὶ ζυγῶν (qu'il cite aussi ailleurs en grec).

4) Le P. Hon. Fabri dans sa ‘Physica, id est, Scientia Rervm Corporearvm’, Premier Tome, Lugdvni, Sumptibus Lavrentii Anisson, MDCLXIX (ouvrage déjà nommé dans la note 4 de la p. 142 du T. III) écrit (p. 240): ‘Definitio V. Centrum gravitatis, est punctum illud in corpore, quod omnia grauitatis momenta aequaliter dirimit... Clara est definitio: superest tantùm ut explicetur quid sit momentum grauitatis’. ‘Definitio VII. Momentum grauitatis, vel grauitationis, est vis illa, quae singulis punctis corporis grauis inest, quatenus hoc circa aliquod punctum immobile verti censetur, vt in vecte, libra, &c. hinc momentum semper accipitur, cum respectu, seu comparatione ad punctum aliquod immobile; vel quatenus cum alia contraponderante, seu contranitente comparatur... nunc tantùm dixisse satis est, momentum esse vim ipsam ponderis, non quidem absolutè, sed respectivè, & comparatiuè consideratam’.

5) Dans une liste d'ouvrages non publiés à la fin des ‘Opuscula mathematica’ de Maurolycus, imprimés à Venise en 1575, on rencontre les ‘4 libri de Momentis aequalibus’ du même auteur. Ces livres ne parurent qu'en 1685 dans le recueil ‘Admiranda Archimedis Syracusani monumenta omnia Mathematica quae extant, ex traditione doctissimi viri D. Francisci Maurolyci’, Panormi, apud D. Cyllenium Hesperium, MDCLXXXV. On y lit p.e. à la p. 86 (‘Diffinitiones’ VIII et IX): ‘Momentum est vis ponderis à spatio quopiam contra pendentis. Unde ponderum aequalium momenta possunt esse inaequalia: Et è contrario contingit momentorum aequalium pondera esseinaequalia’. Et à la p. 104: ‘Momentorum ratio componitur ex ratione ponderum, & ex ratione spatiorum, à quibus grauia pendent’.

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le langage concis du savant moderne. Il est vrai que dans une grande partie de sa Mécanique¹⁾ il a l'habitude de parler, comme Maurolycus, de différents ‘momenta’ (il les désigne d'ailleurs le plus souvent par le mot ‘ponderationes’) qui sont l'un à l'autre dans des rapports composés, même là où il démontre l'existence d'un centre de gravité unique dans chaque corps²⁾, mais dans ses lettres et dans d'autres parties de sa Mécanique son style est plus succinct. On trouve dans notre Tome II une lettre de sa main du 1 janvier 1659 dans laquelle il écrit à Huygens, en parlant du centre de gravité d'une surface limitée par une cissoïde, que les ‘momenta’ des éléments de surface par rapport à un certain axe forment une série dont chaque terme est le produit d'un élément de surface par une distance³⁾. Puisqu'il s'agit d'un centre de gravité, on doit évidemment considérer ces éléments de surface comme des éléments pondérables. Il faut cependant remarquer qu'il n'y a en cette matière qu'une très légère différence entre Wallis et Maurolycus. En effet, dans son traité de la Cycloïde, publié également en 1659, Wallis dit, en calculant la place de quelques centres de gravité: ‘Per momentum autem, tum hic, tum passim alibi, intelligo factum ex magnitudine in distantiam ab aequilibrii plano ducta; ut quae momentis sunt proportionalia’ (Opera, I p. 508). En d'autres termes: les ‘momenta’ doivent être considérés comme des entités proportionnelles aux produits nommés, mais, pour parler plus brièvement, on

1) ‘Johannis Wallis Opera Mathematica, Oxoniae, E Theatro Sheldoniano, MDCXCV, Vol. 1. On y trouve la ‘Mechanicorum sive Tractatus de Motu Pars Prima, Anno 1669 typis edita’, et la ‘Pars secunda, quae est de Centro Gravitatis, ejusque Calculo, Anno 1670 edita’. Wallis s'inspire des méthodes de Cavalieri: à la p. 645 on trouve la ‘Definitio. Continuum quodvis (secundum Cavallerii Geometriam Indivisibilium) intelligitur ex Indivisibilibus numero infinito constare’. Notons en passant (comparez la note suivante) que Wallis ne partage évidemment pas l'opinion de Huygens au sujet des démonstrations où il est fait usage des indivisibles de Cavalieri (voir la note 1 de la p. 191 du T. XIV).

2) P. 645-658 du Vol. 1 nommé dans la note précédente. À la p. 658 on trouve la Prop. XV: ‘Cujusque Gravis, Centrum Gravitatis unicum est’ avec le Scholium: ‘Demonstravimus itaque (& credo, omnium primi) quod Postulare solent alii [comparez la note 4 de la p. 336], tum Dari, in quovis Gravi, centrum aliquod Gravitatis, tum illud, unicum esse’.

3) ‘Positâ linea aequilibrij AO, erunt momenta rectarum BL, series composita ex serie magnitudinum BL... et distantiam [lisez: ‘distantiarum’. Comparez la pag. 547 du T. I des OEuvres de Wallis, où l'on trouve, p. 542-569, cette même lettre amplifiée sous le titre: ‘Nobilissimo doctissimoque viro D. Christiano Hugenio, Const. F. Johannes Wallis S.] AL’. Les ‘rectae BL’ sont des éléments de surface, d'après Cavalieri. Wallis dans cette lettre se propose de démontrer les avantages de la méthode de cet auteur; il réussit en effet à calculer le centre de gravité considéré. Le problème avait été posé par Huygens qui l'avait résolu d'une autre façon (voir la p. 212 du T. II).

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peut improprement donner le nom de ‘momenta’ à ces produits eux-mêmes.

Peu de temps après, comme nous l'avons vu, Huygens parle aussi, et plus expressément que Wallis, du ‘momentum’ d'un poids comme d'un produit.

D'ailleurs Huygens avait déjà eu en 1652 la hardiesse de multiplier l'une par l'autre deux grandeurs de nature difsérente: il parle (voir le dernier alinéa de la p. 95, ainsi que la Prop. XI de la p. 73) des ‘quadrata velocitatum ducta in magnitudinem corporum’; voir aussi les formules de la p. 98, où il forme le produit de la ‘magnitudo’ d'un corps par sa vitesse. Descartes n'avait pas encore introduit ce produit: pour lui le mouvement est un ‘modus’ du mobile⁴⁾ dont la quantité pour chaque corps donné est proportionnelle à la quantité de ce corps et à sa vitesse, exactement comme pour Maurolycus et Wallis le ‘momentum’ est quelque chose d'insubstantiel proportionnel à un poids et à une distance.

On peut faire une remarque analogue sur la grandeur ‘gravitatis descensus’. Huygens n'en donne pas de définition, mais il faut bien entendre par cette expression le produit d'un poids par une distance verticale⁵⁾. Descartes⁶⁾

4) ‘... motum esse translationem... et dico... translationem... esse... ejus [sc. mobilis] modum, non rem aliquam subsistentem’. (‘Principiorum Philosophiae Pars Secunda, XXV’, OEuvres de D. éd. Adam et Tannery, VIII, p. 54). Suivant la doctrine d'Aristote il y a une différence fondamentale entre les substances et les qualités (en latin = ‘modi’). Il est vrai que Descartes, suivant l'expression de Huygens (voir la p. 403 du T. X), avait ‘rejettè plus universellement que personne auparavant’, l'‘impertinent fatras’ des auteurs scolastiques. Cependant ses écrits montrent qu'il connaissait fort bien (grâce à son éducation) la terminologie aristotélique (et scolastique), ce qui ne pouvait être entièrement sans influence sur sa manière de penser et de s'exprimer. Huygens évite cette terminologie beaucoup plus que Descartes. Il ne songe pas à discuter la question de savoir si ‘id quod efficitur ducendo singulorum magnitudines in velocitatum suarum quadrata’ (p. 73 de ce Tome) est une substance ou bien un ‘modus’ du corps en mouvement. À l'époque considérée dans le présent Avertissement, nous sommes encore éloignés de quelques dizaines d'années du commencement des discussions plus ou moins métaphysiques sur la vraie définition de la force. Huygens, quelque prix qu'il attache à son ‘Théorème de la conservation de la sorce vive’ (voir la p. 25 de ce Tome) - remarquons en passant que l'expression ‘vis viva’ a été introduite par Leibniz en 1695 dans son ‘Specimen dynamicum etc.’ - n'a pas un instant l'idée de voir dans la force (ou l'‘énergie’ pour employer une expression plus moderne) la substance, pour ainsi dire, par excellence. Comparez la note 6 de la p. 359 qui suit.

5) Comparez la note 5 de la p. 358. Wallis, dans sa Mécanique de 1669 (Vol. I des ‘Opera Mathematica’, p. 597) donne à la grandeur considérée à peu près le même nom que Huygens, mais en considérant ici aussi plutôt le rapport des grandeurs de ce genre que les grandeurs elles-mêmes: ‘Gravium Descensus, invicem comparati, in ea ratione pollent, quae ex Ponderum ratione et ratione Altitudinum Descensuum componitur. Atque Ascensus similiter’. Inutile de dire que Huygens ne parle pas d'une ‘énergie potentielle’ (comparez la note précédente, la note 4 de la p. 349 et la note 6 de la p. 359).

6) Précédé en 1615 par Salomon de Caus dans son ouvrage ‘Les raisons des forces mouvantes avec diverses machines tant utiles que plaisantes aus quelles sont adioints plusieurs desseings de grotes et fontaines’, A Francfort, en la boutique de Jean Norton. P. Duhem (ouvrage cité à la note 1 de la p. 332; t. I p. 292) cite e. a. ce passage: ‘quand l'on voudrait tirer 400 livres avec ladite axe E, ils ne donneroyent non plus de travail à tirer que 50 livres seroyent à l'axe C, aussi le pois monte 8 fois autant en l'axe C comme il ferait estant en l'axe E’.

[p. 342]

avait dit à propos des engins mécaniques: ‘L'inuention de tous ces engins n'est fondée que sur vn seul principe, qui est que la mesme force qui peut leuer vn poids, par exemple, de cent liures a la hauteur de deux pieds, en peut aussy leuer vn de 200 liures, a la hauteur d'vn pied, ou vn de 400 a la hauteur d'vn demi-pied, & ainsy des autres, si tant est qu'elle luy soit appliquée’¹⁾. Il attirait donc l'attention sur cette ‘force’ ou ce travail²⁾ de la pesanteur; mais il ne formulait pas son principe, comme le fait P. Duhem à sa place, en y introduisant l'expression plus moderne ‘produit du poids par son ascension’³⁾.

Dans l'‘Horologium oscillatorium’ (Def. XIII à la p. 93 de l'édition originale de 1673) Huygens juge avec raison devoir expliquer ce qu'il faut entendre par le produit d'un poids par une distance: ‘Quando pondera in rectas lineas duci dicentur, id ita est intelligendum, ac si numeri lieaeve, quantitates ponderum rationemque inter se mutuam exprimentes, ita ducantur’⁴⁾.

Ici aussi, comme dans les écrits de Wallis, la ‘ratio mutua’ est mentionnée, mais d'une façon un peu moins expresse, nous semble-t-il, que chez ce dernier auteur. Chez Wallis et Huygens on voit ainsi se former peu à peu le style moderne de la mécanique, nous voulons dire le style de la mécanique classique du dix-huitième siècle.

1) OEuvres de Descartes, publiées par Ch. Adam et P. Tannery, T. I, 1897, p. 435.

2) Voir la note 6 de la p. 341.

3) P. Duhem (ouvrage cité, t. I, p. 327) rappelle que le traité cité de Descartes avait été écrit à la demande de Constantijn Huygens, père de Christiaan (lettre de C. Huygens à Descartes du 18 septembre 1637, voir les OEuvres de Descartes, édition nommée, T. I, p. 393). Descartes en lui répondant le 5 octobre 1637 ‘joignait [nous citons Duhem] à sa lettre un petit traité intitulé: Explication des engins par l'ayde desquels on peut avec une petite force, lever un fardeau fort pesant. En ce traité, la théorie de la poulie, du plan incliné, du coin, de la roue ou tour, de la vis, du levier est tirée tout entière d'un principe unique. Ce principe est le suivant: Le travail (Descartes dit la force) nécessaire pour élever des poids différents à des hauteurs différentes garde même valeur lorsque le produit du poids par son ascension ne change pas’.

4) La Def. XIII de Huygens s'applique évidemment en premier lieu aux formules relatives aux corps oscillants. Mais déjà dans l'énoncé de la Prop. XI du Traité ‘De Motu Corporum ex Percussione’ (p. 73), il avait observé qu'il faut que ‘maguitudinum & velocitatum rationes in numeris lineisve ponantur’.

[p. 343]

Au lieu de dire qu'il faut exprimer par des nombres (ou des lignes droites) les ‘quantitates ponderum rationemque inter se mutuam’, nous dirions plutôt que dans une formule l'unité de ‘pondus’ (aussi bien que l'unité de longueur ou l'unité de temps) doit être la même partout.

On trouvera dans les Pièces consacrées à la Dynamique quelques Parties où Huygens détermine des centres de gravité; ce sont la Troisième et la Cinquième Partie de la Pièce XI (p. 475 et p. 478).

Dynamique.

Trois sujets différents sont traités dans les Pièces qui constituent les ‘Travaux divers de Dynamique’: 1) la chute de sphères de différents poids spécifiques à travers l'air atmosphérique (Pièce I, p. 384-385), 2) le tautochronisme de la chute cycloïdale (Pièce III, p. 392-413), 3) le calcul de la longueur du pendule isochrone pour différents corps oscillants, linéaires, plans et solides (Pièces II, p. 385 et IV-XIX, p. 393-555).

1) Chute de corps sphériques dans un milieu résistant.

Comme la note 5 de la p. 384 l'indique, Huygens s'était occupé de ce sujet déjà en 1646. C'est à la suite de la lecture d'un passage de Galilée sur cette question (voir les p. 73-75 du T. XI) et contrairement à l'opinion de cet auteur, qu'il observe que ‘pondera cadunt aequali velocitate si nullum medium resistat, medium autem resistit secundum superficiem; similium vero corporum solidum ad solidum in triplâ, superficies ad superficiem in duplâ proportione est laterum horum’, et: ‘sequitur... duo similia corpora fieri posse sed inaequalia magnitudine, ex diversa materia, quae tamen per medium resistens aequali velocitate descendant’. La Pièce I de 1659 est le développement de cette idée.

Comme nous l'avons dit dans la note 1 de la p. 256, Huygens annonça le résultat de son calcul à R. Moray dans sa lettre du 16 sept. 1661, et le sujet fut discuté dans plusieurs autres lettres de 1662⁵⁾, mais cette discussion ne conduisit à rien de neuf.

5) Voir les p. 26, 35, 36, 46, 47, 60, 87 et 93 du T. IV.

[p. 344]

Dans la lettre au même du 16 sept. 1661 (T. III, p. 321) Huygens avait déjà dit que son résultat s'accordait ‘a l'experience aussi bien qu'au raisonnement’, mais qu'il ne croyait pas qu'on pourrait trouver ‘quelque regle certaine’ pour déterminer généralement l'accélération, d'une boule de liége p.e., en tenant compte de la résistance de l'air¹⁾. On a peut-être répété à la ‘Royal Society’ l'expérience mentionnée de Huygens dont d'ailleurs nous ne connaissons pas les détails²⁾.

1) En 1661 on s'intéressait à Londres à des expériences de ce genre. ‘Six balls of a like size were produced, one of lignum vitae [bois de gaïac], one of stone, two of tin, and two of lead, to try their different velocity of sinking in water, or falling down in the air’ (Birch ‘The History of the Royal Society of London, etc.’ London, 1756, I, p. 49, 16 Oct. 1661).

2) ‘The lord viscount Brouncker was reminded of making the experiment of proportioning bodies of different matter and bulk, to fall in the same time; Mons. Huygens affirming, that a ball of cork may be so big, as to fall with equal swiftness through the air as a ball of iron’ (Birch, I, p. 172, 7 Jan. 1663).

2) Tautochronisme de la cycloïde.

La Pièce III (p. 392) est composée d'un certain nombre de morceaux se rapportant à la découverte de la célèbre proposition d'après laquelle la cycloïde, placée de telle manière dans un plan vertical que son sommet est le point le plus bas, possède pour la chute d'un point matériel le long d'elle la propriété du tautochronisme³⁾. Cette proposition affirme que le temps d'une chute du point matériel suivant un arc quelconque de la cycloïde est constant, lorsque le point part du repos et que tous les arcs, quelle que soit leur longueur, se terminent au sommet.

Huygens a attaché beaucoup de prix à cette découverte qui lui permit - puisqu'il réussit en même temps à établir que la développée de la cycloïde est également une cycloïde; voir les p. 205-207 du T. XIV⁴⁾ - de donner aux lames courbées, entre lesquelles il faisait osciller le pendule de son horloge, la forme nécessaire pour rendre la période des oscillations théoriquement (et pratiquement, espéraitil) indépendante de leur amplitude⁵⁾. Dans sa lettre du 5 décembre 1659 à Fr. v. Schooten (T. II, p. 522), écrite cinq jours après la date de l'invention des arcs

3) Huygens parle toujours de l'‘isochronisme’ de la cycloïde.

4) Les ‘recherches sur la théorie des développées’ occupent les p. 387-406 du T. XIV. La partie la plus ancienne de ces recherches est celle qu'on trouve à la p. 404 et qui se rapporte à la cycloïde. La feuille détachée dont il est question dans la note 1 de cette page est la p. 75 verso (d'après la numération de 1928) des ‘Chartae mechanicae’. On y trouve aussi deux esquisses d'un pendule suspendu entre des arcs cycloïdaux.

5) Huygens avait commencé par faire usage de lames de forme empirique. Voir sa lettre à P. Petit du 1 nov. 1658, à la p. 271 du T. II.

[p. 345]

cycloïdaux, il appelle cette ‘inventio... omnium felicissima... in quas unquam inciderim’, en ajoutant qu'il avait réussi à déterminer la vraie forme des arcs ‘ratione geometrica’, et dans une lettre à Ism. Boulliau du 22 janvier 1660 (T. III, p. 13) il va jusqu'à dire que cette ‘belle invention... est le fruit principal que l'on pouuait esperer de la science de motu accelerato, que Galilée a l'honneur d'avoir traictée le premier’. Dans la Préface de l'‘Horologium oscillatorium’⁶⁾ il appelle la découverte de la remarquable propriété de la cycloïde de posséder la ‘mensurandi temporis facultatem’ le ‘fructus desideratissimus, atque apex veluti summus’ de la théorie de la chute des corps due à Galilée. Il voue à la démonstration du tautochronisme de la chute cycloïdale toute la Pars Secunda de ce livre⁷⁾.

C'est peut-être grâce à l'importance pratique aussi bien que théorique que la propriété du tautochronisme possédait aux yeux de l'inventeur, que les notes où il a consigné sa découverte sont si complètes que nous pouvons nous faire une idée de la genèse de cette découverte dans son esprit, depuis l'instant où il commence à entrevoir la justesse du célèbre théorème jusqu'au moment où après avoir parcouru différentes phases sa démonstration va prendre la forme très exacte qu'elle possède dans l'‘Horologium oscillatorium’. Nous pouvons donc voir dans ces notes la naissance et le développement de son idée avec une netteté rare dans les recherches historiques de ce genre.

La Première Partie (p. 392) montre que Huygens a fait sa découverte en tachant de trouver une expression pour le temps d'une très petite oscillation du pendule simple. On conçoit aisément qu'il se soit occupé de ce problème que la considération du pendule de son horloge suffisait à lui suggérer. Il savait, tout aussi bien que Mersenne⁸⁾, que les oscillations d'un pendule simple ne sont pas sans doute abso-

6) À la p. 2 de l'édition originale.

7) Cette Pars est intitulée: ‘De Descensu Gravium & Motu eorum in Cycloïde’. La Pars Tertia intitulée ‘De linearum curvarum evolutione & dimensione’, est consacrée à la théorie des développées.

8) Voir p.e. dans les ‘Reflectiones physico-mathematicae’ faisant partie du ‘Novarum observationum physico-mathematicarum Tomus tertius’ de 1647 (ouvrage nommé dans la note 9 de la p. 184) le Caput XIX ‘... Funependuli vibrationes non esse isochronas’.
Dans son ‘Horologium’ de 1658 (p. 12 de l'édition originale) Huygens écrit: ‘... vere asserunt non prorsus aequali tempore latiores ejusdem penduli ac angustiores vibrationes transire, sed his illas paulo plus insumere, quod facili experimento demonstrari potest. Nam si pendula duo, pondere ac longitudine aequalia, alterum procul à perpendiculo alterum parumper dimoveantur, simul dimissa. non diu in partes easdem una ferri cernentur, sed praevertet illud cujus exiliores erunt recursus’. Dans une lettre du 28 nov. 1660 à Leopoldo de Medicis (T. III, p. 197) Huygens dit qu'il avait constaté l'inégale durée des oscillations de différentes amplitudes ‘experientia ac ratione’.

[p. 346]

lument tautochrones comme Galilée l'avait cru¹⁾, mais qu'on peut les considérer comme approximativement tautochrones lorsqu'elles sont petites²⁾. La question pratique se posait donc de calculer la période d'une petite oscillation. D'autre part ce calcul devait intéresser Huygens en sa qualité de géomètre. Lecteur assidu des ‘Discorsi’ de Galilée, il n'avait pu manquer de remarquer que les théories de Galilée permettent le traitement complet de la chute verticale et de la chute suivant des plans inclinés mais qu'elles sont insuffisantes pour déterminer le mouvement d'un point pesant qui se meut suivant une circonférence de cercle située dans un plan vertical³⁾. Il n'avait eu aucune peine pour combler une partie de cette lacune: avant le mois de décembre 1659 il était persuadé que le postulat de Galilée d'après lequel les vitesses finales acquises par des chutes d'une même hauteur le long de plans diversement inclinés sont égales, doit être étendu à des surfaces courbes⁴⁾. La vitesse en chaque point de la circonférence parcourue par un point oscillant étant donc facile à déterminer, il était naturel de chercher une formule pour la période: Huygens ne pouvait prévoir que ses méthodes de calcul n'y suffiraient pas⁵⁾.

Il réussit dans le premier morceau (Première Partie de cette Pièce, p. 392) qui porte la date du 1 décembre 1659, en traitant le problème pour de très petites oscillations, à démontrer leur tautochronisme approximatif. Sa démonstration

1) ‘Discorsi, Giornata I’ (Ed. Naz. VIII, p. 130 et suiv.).

2) À la p. 13 de l'‘Horologium’ déjà cité dans la note 8 de la p. 345, Huygens dit avoir construit son horloge à pendule, afin de remédier autant que possible à l'inexactitude résultant de l'inégalité des périodes d'oscillation, de telle manière ‘ut quamlibet angustae sint penduli vibrationes... Sic igitur oscillationibus universis exilioribus redditis, etiamsi harum aliae alias latitudine quandoque excedant, singularum tamen tempora, experientia teste, nullo memorabili discrimine differunt’.

3) Galilée (‘Discorsi’, Giornata III, Ed. Naz. VIII, p. 205) applique en effet son postulat (voir la phrase suivante du texte) uniquement à des mouvements le long de plans inclinés quoiqu'il vérifie ce postulat par une expérience sur le mouvement circulaire, savoir l'expérience du pendule dont le fil vient se heurter contre un obstacle et dont le poids s'élève alors à la même hauteur qu'auparavant (l.c. p. 206). Les Propositions de la Troisième Journée traitent presque toutes le mouvement le long de plans inclinés; à un endroit seulement, dans le Scholium de la Prop. XXXVI (l.c. p. 263) il dérive, en passant à la limite, une certaine inégalité ayant rapport au mouvement circulaire d'un mobile se mouvant dans un plan vertical.

4) Ceci est regardé dans les différents morceaux comme une chose évidente. Comparez la Prop. VIII de la Pars Secunda de l'‘Horologium oscillatorium’ servant à rendre cette thèse plausible. Toute cette proposition se trouve presque textuellement dans le Manuscrit A, à la p. 169 écrite en oct. ou nov. 1659.

5) Comme nous le remarquons aussi dans la note 4 de la p. 393, Huygens trouva plus tard une solution approchée de ce problème.

[p. 347]

repose sur l'identification de la circonférence de cercle décrite par le point matériel avec la parabole osculatrice correspondant au point le plus bas de cette circonférence. La découverte essentielle de cette Première Partie consiste dans son observation que le résultat obtenu serait exact si la circonférence de cercle pouvait être remplacée par une autre courbe telle que les relations approchées qui existent dans la figure entre la circonférence et la parabole du fait de leur identité supposée devinssent des relations exactes, et que cette autre courbe est apparemment une cycloïde. Que Huygens ait remarqué que la cycloïde est la courbe qui satisfait aux exigences mentionnées, cela résulte sans doute de la connaissance intime qu'il avait de ses propriétés: en 1658 et 1659 il s'en était beaucoup occupé à l'occasion du concours institué par Pascal⁶⁾.

Le raisonnement de Huygens dans sa note du 1 déc. 1659, quoique convaincant pour lui-même, ne possédait nullement les qualités d'une démonstration en règle. Pour arriver à une démonstration formelle, Huygens énumère sur une autre feuille détachée (Deuxième Partie de cette Pièce, p. 398-400) toutesles propositions employées, ensuite (Troisième Partie, p. 401-403) il rédige de nouveau la démonstration, en partant cette fois directement de la cycloïde. Le début du troisième morceau fait défaut mais nous avons pu le reconstruire.

Cependant cette démonstration lui semblait encore insuffisante. La cause en est évidente: le raisonnement se base sur la division de la ligne parcourue en un très grand nombre d'éléments à chacun desquels correspond un certain temps de chute qu'on peut déterminer en supposant le mouvement uniforme pour chaque élément. Tous ces temps étant représentés par des ordonnées, le temps total de la chute est censé être représenté géométriquement par la surface du diagramme des temps, considérée comme la somme de toutes ses ordonnées.

Dans un quatrième morceau (Quatrième Partie de cette Pièce, p. 404) nous voyons Huygens faire un effort pour abandonner cette méthode fertile, mais théoriquement insuffisante. Il ne parle plus d'une surface considérée comme une somme d'ordonnées. Mais son effort n'aboutit pas, et le morceau est resté à l'état fragmentaire.

Enfin la Cinquième Partie (p. 405) contient un nouveau raisonnement, où non

6) Consultez, à la p. 200 du T. XIV, l'Avertissement des ‘Travaux divers de Mathématiques de 1655 à 1659.’

[p. 348]

seulement la surface du diagramme des temps ne joue plus de rôle, mais d'où la parabole elle-même, dont la considération avait conduit à la découverte (voir la Première Partie) a disparu. Cependant cette démonstration s'appuie encore sur une conception infinitésimale du même genre que celle qui consiste à égaler une surface à la somme de ses ordonnées (voir la Troisième Partie): l'arc de cycloïde y est considéré comme la somme d'un nombre infini de segments de tangentes. Néanmoins Huygens semble d'abord avoir voulu laisser la démonstration dans cet état: le morceau fait l'impression d'être destiné à la publication¹⁾, et il y entreprend de justifier ces procédés infinitésimaux²⁾. Son raisonnement se termine par les remarquables paroles: ‘Quod... requirerentur’ (p. 412). Ily semble demander au lecteur compétent d'avoir confiance dans sa technique de mathématicien et d'admettre qu'il pourrait donner une démonstration plus rigoureuse satisfaisant aux exigences de la science hellénique en matière de passage à la limite, mais de bien vouloir le dispenser du travail nécessaire pour fournir la preuve de son art.

Ces considérations finales peuvent amener le lecteur de ce Tome à s'intéresser aux divers morceaux voués à la chute tautochrone pour une autre raison encore que le plaisir d'assister à la genèse de cette célèbre découverte: elles nous rappellent les réflexions antérieures³⁾ de Huygens sur la méthode des indivisibles de Cavalieri comparée avec les méthodes rigoureuses des anciens, notamment avec celles d'Archimède, ainsi que ses considérations de 1684 [?] sur le même sujet, déjà publiées dans le T. XIII (p. 752-753). Ces passages font voir que, bien que la prolixité des méthodes rigoureuses lui semble pratiquement une gêne difficilement supportable à une époque où ce que nous appelons les sciences exactes, ne possédant plus la nouveauté qu'elles avaient au temps hellénique, se développent rapidement, il ne s'est pourtant jamais départi de sa conviction que tant en géométrie qu'en mécanique les démonstrations doivent posséder, même pour les ‘periti geometriae’ mentionnés dans les considérations finales qui nous occupent, un haut degré d'évidence, c.à.d. d'exactitude potentielle, sinon

1) Dans sa lettre du 28 nov. 1660 à Leopoldo de Medicis (T. III, p. 198) Huygens écrit: ‘Demonstrationem quod attinet in ea a principijs Galileanis non recessi et quam primum in patriam rediero typis committere ipsam est animus’.

2) C'est sans doute à cette démonstration qu'il fait allusion dans la Préface de l'‘Horologium oscillatorium’ (p. 2 de l'édition originale) en disant: ‘Hanc [c.à.d. la “mensurandi temporis facultatem” de la cycloïde] cum jam pridem amicis horum intelligentibus notam fecerimus (nam non multo post primam horologij editionem animadversa fuit), nunc eandem, demonstratione quàm potuimus accuratissima firmatam, omnibus legendam proponimus’.

3) Voir la p. 158 du T. XI (datant de 1650) et la p. 337 du T. XIV (datant de 1659).

[p. 349]

actuelle⁴⁾, conformément à ce qu'il écrivait en 1650 à Fr. v. Schooten⁵⁾, et à ce qu'il remarque en 1684 [?]: ‘Inventa vero claris et evidentibus demonstrationibus comprobanda sunt, quatenus id fieri potest... Omnino... curandum ut planum fiat ea quae breviter dicuntur reduci posse ad cognitas absolutasque seu veterum seu recentiorum demonstrationes’⁶⁾.

Lorsque Huygens publia ‘omnibus legendam’⁷⁾ sa théorie du tautochronisme de la chute cycloïdale⁸⁾, il est à remarquer qu'il donna de son célèbre théorème une ‘demonstratio... accuratissima’, aussi rigoureuse qu'Archimède eût pu la désirer.

En somme, la considération du développement de la théorie du tautochronisme depuis le moment du premier soupçon de l'existence de cette propriété de la cycloïde jusqu'à la composition de la démonstration magistrale qu'on trouve dans l'‘Horologium oscillatorium’ nous amène à admirer également l'intuition géniale de Huygens et son grand talent de géomètre.

En 1662, lord Brouncker⁹⁾ tacha lui aussi de trouver ‘a demonstration of the equality of vibrations in a cicloid-pendulum’, mais cette prétendue démonstration ne fut pas approuvée par Huygens¹⁰⁾. Vers le même temps on fit à la ‘Royal Society’ des expériences sur ce sujet qui d'après la lettre du 3 février 1662 de Moray à Huygens ‘ont reussi a merveilles’¹¹⁾. Comparez la note 3 de la p. 354.

4) On trouve chez Huygens le mot ‘evidentia’ dans le sens d'exactitude tant dans la lettre à v. Schooten (note 5) que dans le morceau de 1684 [?], T. XIII, p. 752. Mais on n'y trouve pas les adjectifs aristotéliques dont nous nous servonsici; comparez à ce sujet la note 4 de la p. 341.

5) Lettre de sept. 1650; voir la p. 561 du T. I.

6) Pendant l'impression de ce Tome nous ajoutons aux précédentes encore une Sixième Partie (p. 412-413), ou Huygens indique brièvement la marche de la démonstration publiée dans la Cinquième Partie.

7) Voir la note 2.

8) Prop. XII-XXVI de la Pars Secunda de l'‘Horologium oscillatorium’, p. 37-58 de l'édition originale.

9) Voir sur lui la note 2 de la p. 476 du T. I.

10) Voir les p. 28, 50 et 88 du T. IV, et les p. 70-74 du premier tome de l'ouvrage de Birch mentionné dans la note 1 de la p. 344.

11) T. IV, p. 27. Voir les remarques de Huygens à ce sujet dans sa lettre à Moray du 30 déc. 1661 (T. IV, p. 438).

3) Calcul de la longueur du pendule isochrone pour différents corps oscillants.

Le Père Mersenne fut le premier qui attira l'attention de Huygens sur le mouvement oscillant. En septembre 1646 il écrivit à Constantijn Huygens père:

[p. 350]

‘...si vostre fils le desire, ie luy enuoyerai le moyen de trouuer le centre de vertu, ou de percussion de toutes sortes d'epées, et d'autres armes’ (T. I, p. 21) et le 12 oct. suivant: ‘...ie veux enuoyer la regle generale pour trouuer le centre de percussion de tous les secteurs de cercle.¹⁾ à Mr. vostre fils’. Il dit donc que pour un secteur de cercle le centre nommé se trouve à une distance du centre égale à ¾ rayon. arc / corde, mais il ajoute que pour un triangle la chose ‘est bien plus difficile, il y pourra penser et consulter son Maistre la dessus’ (T. I, p. 23). Le 28 oct. Chr. Huygens répond qu'il attend ‘avecq grand desir quelques particularitez des centres de percussion’ (T. I, p. 28). Le P. Mersenne lui écrit alors, le 8 déc., une lettre consacrée presque exclusivement à ce sujet (T. I, p. 45); il parle maintenant du ‘centre de percussion, ou d'agitation des corps suspendus qui ont leurs vibrations libres comme le plomb pendu à vn filet suspendu lequel i' appelle funependule’.

C'était le traité de Baldi, intitulé ‘in Mechanica Aristotelis Problemata Exercitationes’²⁾, qui avait amené Mersenne à s'occuper des ‘centres de percussion’. En discutant (Quaestio XIX, p. 128) la question posée par le philosophe grec pourquoi un coup de hache fend si aisément un morceau de bois, tandis que la hache immobile, même chargée d'un grand poids, n'arrive pas à produire cet effet, Baldi ajoute (p. 131): ‘Ad haec succurrit nobis pulcherrima quaestio. Dubitari enim potest, vtrum ictus ex ense efficacior sit a parte quae est circa aciem, aut circa

1) C'est là la leçon véritable. Dans la l. 15 de la p. 23 du T. I il faut également lire ‘secteur’ au lieu de ‘sisteme’.
Comparez sur le ‘centre de percussion’ du secteur les lignes 9-13 de la p. 352.

2) ‘Bernardini Baldi Vrbinatis Gvastallae Abbatis in Mechanica Aristotelis Problemata Exercitationes, Mogvntiae, Typis & Sumptibus Viduae Ioannis Albini, MDCXXI’. Ce livre se trouvait dansla bibliothèque de Constantijn Huygens. En effet, l'exemplaire de la bibliothèque de l'Université de Leyde porte sur la première page l'inscription: ‘Constanter. donum I. Golij viri amiciss[imi]’. Nous possédons encore une lettre du 7 avril 1632 dans laquelle Const. Huygens qui s'intéressait à toutes les sciences, demande à Golius de lui ren voyer ce livre (‘De briefwisseling van Const. Huygens, uitg. door Dr. J.A. Worp, 's Gravenhage, Nijhoff’, I, 1911, p. 348); il résulte de cette lettre et de la réponse de Golius (p. 349) que celui-ci lui en avait fait cadeau depuis longtemps.

[p. 351]

medium ensem, vel prope manubrium capulumve’. Il émet l'opinion que l'épée, qui est censée tourner autour du poignet, frappe un objet de petites dimensions le plus fortement lorsque son centre de gravité, qu'il place au milieu de la lame, vient s'appliquer sur cet objet. Mersenne dans son ‘Tractatvs mechanicvs theoricvs et practicvs’ qui fait partie du volume nommé dans la note 1 de la p. 332, reproduit, à la p. 84, la figure de Baldi et discute la question, en citant aussi Gueuara, autre commentateur d'Aristote³⁾. Il dit que l'endroit où se produit la ‘percussio maxima’ doit dépendre de la forme de l'épée (ou de la forme du corps employé en guise de marteau, lorsqu'il s'agit p.e. d'enfoncer un clou): ‘Cùm autem variae sint ensium figurae, non potest esse vna solutio’; c'est sa seule conclusion.

Mais bientôt l'idée lui vint que le point cherché pourrait bien être le ‘centre d'agitation’ c.à.d. le point qui - lorsqu'au lieu de se servir du corps comme d'un marteau, on le suspend au point du corps qui reste par hypothèse immobile (point qui correspond au poignet dans le cas de l'épée), de sorte qu'il peut osciller parallèlement à un plan vertical donné - est situé sur la droite qui joint ce point de suspension au centre de gravité du corps, à une distance telle du point de suspension que l'oscillation parallèle au même plan du pendule simple ou ‘funependule’ de cette longueur est isochrone avec l'oscillation considérée du corps lui-même. C'est ce qu'il écrit p.e. au Cap. X (p. 114) des ‘Reflectiones physicomathematicae’ dans le recueil ‘Novarum observationum physico-mathematicarum Tomus III’, publié à Paris en 1647⁴⁾; ce chapitre est intitulé ‘De nouo usu funependuli ad centra percussionum in quibusuis corporibus invenienda’. Il est vrai qu'on n'y trouve guère d'arguments en faveur de l'identité des deux centres. En revanche Mersenne a fait de nombreuses expériences tant sur la longueur du pendule isochrone que sur le point ‘in quo digitus validiùs percutiatur’. Il paraît donc que sa conviction repose uniquement sur l'expérience. Le fait que cette conviction n'a pas de fondement théorique est prouvé en outre par ce bout de phrase (p. 116): ‘quanquam fortè puncta isochrona tantisper à centris percussionis, paulo altioribus vel inferioribus, differant’. Dans le Cap. XI ‘in quo variae referuntur obseruationes ad centra percussionum attinentes’, Mersenne distingue l'oscillation, d'un triangle p.e., dans son plan (‘motum laevum & dextrum’) de l'oscillation perpendiculaire à ce plan (‘motum posticum & anticum’)⁵⁾. Les premières expériences de Mersenne doivent dater

3) ‘Ioannis de Gvevara cler. reg. min. in Aristotelis Mechanicas Commentarij, Romae, Apud Iacobum Mascardum, MDCXXVII’. Gueuara cite Baldi, mais ne se range pas à son avis. Selon lui c'est principalement dans l'extrémité, qui a la plus grande vitesse, que réside la force de l'épée: ‘...colligitur, quod & experientia comprobatur, praedicta omnia instrumenta maximam, ac praecipuam virtutem sortiri in extremo, quod magis distat à centro sui motus’ (p. 182).

4) Ouvrage déjà nommé dans la note 9 de la p. 184 et dans la note 8 de la p. 345.

5) Voir sur les termes employés par Huygens pour distinguer ces deux mouvements, la p. 375 qui suit.

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du commencement de 1646 au plus tard puisqu'il paraît déjà convaincu en ce temps de l'identité des deux centres. En effet, il résulte de la réponse de Descartes du 2 mars 1646 à une lettre de Mersenne que nous ne possédons plus, que celui-ci avait demandé quelle est à son avis la règle pour trouver le centre d'agitation; d'autre part nous avons vu que dans sa lettre à Const. Huygens de sept. 1646 Mersenne ne parle que du centre de percussion; c'est ce centre qui l'intéresse et c'est apparemment pour apprendre à connaître la place de ce centre-là dans un corps de forme quelconque qu'il demande à Descartes de déterminer celle du centre d'agitation. Quant à la règle mentionnée pour trouver le centre ‘de percussion ou d'agitation’ dans le cas d'un secteur de cercle (Mersenne veut dire: d'un secteur de cercle oscillant dans son plan) - voir la lettre à Const. Huygens du 12 oct. 1646 citée à la p. 350 - elle est bonne, comme on peut s'en convaincre en consultant, à la p. 490 qui suit, la Pièce XII. Mersenne tenait cette formule, non pas de Descartes qui lui avait fait part en mars 1646 d'une ‘regle [générale]... pour trouuer [lé] centre d'agitation’¹⁾, mais de Roberval²⁾ qui prenait aussi part à la discussion. La règle générale de Descartes ne s'accorde pas avec la formule de Roberval pour le cas spécial du secteur de cercle; toutesois Mersenne, ce ‘vir... omnigenae, sed indigestae eruditionis’³⁾, écrit à Chr. Huygens dans sa lettre du 8 déc. 1646, qu'il ne voit pas, puisque les corps ont diverses

1) ‘OEuvres de Descartes’, éd. Adam et Tannery, T. IV, p. 366. Voir pour la discussion de la théorie proposée par Descartes les observations de Tannery dans ce T. IV à la p. 370.

2) ‘Obseruation de M^r. de Roberual sur le suiet de la precedente lettre de M. Descartes à M. Cavendische où il marque ses fautes’ (‘OEuvres de Descartes’, éd. nommée, T. IV, p. 420). On y lit, p. 422-423: ‘... si... on entend que, comme la corde... est à son arc... ainsy soit IP (trois quarts de IN [c.à.d. du rayon]) à IQ, portion de IN, nous auons... demonstré que le poinct Q sera le centre de percussion ou d'agitation... du secteur de cercle’. ‘...nostre demonstration est trop longue pour ce lieu’.
La lettre mentionnée de Descartes à Cavendish est celle du 30 mars 1646 (‘OEuvres’, éd. nommée, T. IV, p. 379).
Il faut remarquer cependant que Roberval ne comprenait guère le sens de ce qu'il avait trouvé, puisqu'il ajoute: ‘...quoy que le centre de percussion ou d'agitation fust assigné comme dessus, il ne paroist pas qu'il fust la regle ou distance requise pour les Vibrations ou balancement des corps, auquel balancement le centre de grauité contribuë quelque chose, aussy bien que le centre d'agitation... Toutesfois, iusques icy les experiences se sont accordées d'assez pres auec mes conclusions du centre d'agitation; d'ou i'ay conclu que le centre d'agitation y contribuë plus que le centre de grauité’.

3) C'est Const. Huygens père qui s'exprime ainsi au sujet de Mersenne dans une lettre du 26 août 1639 à J.A. Bannier (Ed. Worp, T. II, p. 487; voir la note 2 de la p. 350).

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figures, ‘qu'une seule regle y puisse satisfaire, si ce n'est celle que Mr. des Cartes, le plus excellent esprit du monde à mon aduis, a donné’. Il exhorte cependant Chr. Huygens à trouver lui-même une règle satisfaisante: ‘... si quelque regle se peut trouuer aussi vniverselle pour... desterminer [ce centre] geometriquement comme est mon filet pour le trouuer par experiment vous m'en ferez part’. Voir aussi les lettres de Mersenne du 8 et du 12 janvier 1647 (T. I, p. 50 et p. 59). Le 23 déc. 1646 (T. I, p. 557) Chr. Huygens écrit à Mersenne n'avoir trouvé ‘rien encor de ce qui concerne les centres de percussion’⁴⁾.

Il résulte d'une lettre de Huygens à M. Thevenot du 29 janvier 1665 (T. V, p. 209) qu'il n'a pas pris la peine de s'enquérir des considérations de Descartes et de Roberval à ce sujet, avant d'avoir trouvé lui-même la règle générale demandée par Mersenne. Comparez la fin de la lettre du 10 oct. 1664 à Moray (T. V, p. 121). Ces considérations n'ont donc eu aucune influence directe sur sa découverte⁵⁾.

Dans l'‘Horologium oscillatorium’ de 1673 Huygens donne au début de la ‘Pars Quarta’ un aperçu de l'influence exercée sur lui et sur d'autres savants par les lettres du Père Mersenne et raconte que son désir de régler ses horloges à l'aide d'un poids auxiliaire mobile (voir, aux p 425-431 qui suivent, la Pièce IV) et celui de trouver le moyen de définir une longueur invariable à l'aide du pendule (‘certae... mensurae definitionem absolutissimam’) furent pour lui, à côté du plaisir d'inventer une théorie nouvelle, les motifs qui l'amenèrent à reprendre la question. Observons en passant que, tant dans les Pièces qui suivent que dans l'‘Horologium oscillatorium’, Huygens ne parle que d'un centre d'oscillation ou d'agitation, nulle part, comme dans sa lettre du 23 déc. 1646 que nous venons de citer, d'un centre de percussion⁶⁾.

Il est vrai que le poids mobile servant à régler les horloges (voir, aux p. 425-431,

4) C'est probablement en ce temps qu'il ajouta dans son ‘boeckje’ les mots ‘de motu pendulorum’ à la liste des sujets qu'il se proposait de traiter (voir la note 19 de la p. 75 du T. XI). Plusieurs années après Huygens put annoter sur la lettre de Mersenne du 8 déc. 1646: ‘J'ay trouué cette regle en 1664’ (voir la p. 47 du T. I).

5) Voir le sommaire de sa lettre à Thevenot du 14 mai 1665 (T. V, p. 355).

6) Nous avons déjà vu que Roberval, comme Mersenne, admet l'identité des deux centres (voir la note 2); à bon droit, comme on l'a démontré plus tard.
En 1690 Huygens parle lui aussi de l'identité des deux centres. Voir à ce sujet les premières lignes de la p. 462 du T. IX, ainsi que la note 2 de la p. 461 et la note 3 de la p. 462 du même Tome.

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la Pièce IV) ne fut inventé par Huygens qu'en 1661¹⁾, tandis qu'il s'occupa déjà en 1659 du centre d'oscillation des pendules linéaires (voir, à la p. 385 qui suit, la Pièce II). Mais puisque dans cette Pièce II il considère un pendule linéaire qui porte deux poids, il est fort possible qu'avant d'exécuter ce calcul il avait déjà envisagé un instant la possibilité de régler ses horloges de cette manière.

Quant à la mesure universelle (voir le troisième alinéa de la page précédente), il en est question dans la Correspondance en décembre 1661 pour la première fois²⁾. Moray écrit à Huygens le 23 décembre que ‘sur la proposition qui a esté faite dans nostre Assemblee il y a 15. iours, touchant une Mesure Vniverselle, c'est à dire, telle que l'on la puisse faire exactement egalle en tous lieux sans se la communiquer au preallable... l'on est apres pour voir si cela se peut faire par le pendule, adiusté selon vostre inuention, par des segments de Cycloeides... pour scauoir donc si cela se fait, nous auons fait faire des pendules a vostre mode...’ (T. III, p. 427-428)³⁾. Comme Moray explique longuement ce qu'il faut entendre par une mesure universelle, il paraît bien que l'idée ne lui venait pas de Huygens⁴⁾. Cela ressort aussi plus ou moins de la

1) Voir, à la p. 438 du T. III sa lettre à Moray du 30 déc. 1661. Il écrit: ‘J'ay trouuè depuis quelque temps le moien d'ajuster fort precisement à son heure mon horologe par un petit plomb mobile, etc.’ Dans les Manuscrits ce poids mobile (‘schuyflootie’) est mentionné pour la première fois en 1661 (p. 23 du Mauuscrit B).

2) Beaucoup d'astronomes s'étaient déjà occupé de la question de savoir quelle doit être la longueur d'un pendule à secondes. Voir le Cap. XX du Lib. II de la Pars Prior du Tome I de l'‘Almagestum Novum’ de 1651 de J.B. Riccioli (ouvrage nommé dans la note 7 de la p. 402 du T. I): ‘De Perpendiculi Oscillationibus ad motus alios et tempora mensuranda idoneis, etc.’, en particulier à la p. 87 la Prop. XII, Probl. IV: ‘Inuenire Perpendiculum, cuius una simplex vibratio aequiualeat uni Secundo Temporis Primi Mobilis’.

3) On n'en trouve rien chez Birch (ouvrage cité dans la note 1 de la p. 344), du moins dans le résumé des séances de la ‘Royal Society’ de décembre. Mais dans celui de la séance du 30 octobre 1661 Birch (I, p. 53) écrit: ‘Mr. Rooke was desired to procure two pendulums, one with cheeks, and the other without’, et à la p. 54 (séance du 20 novembre) on trouve les mots: ‘Dr. Wilkins read his paper concerning a natural standard’ qui peuvent se rapporter à ce sujet, d'autant plus qu'on rencontre le même nom a la p. 70 (séance du 22 janvier 1662, style nouveau), où Birch écrit: ‘The pendulum experiment was discoursed of by the lord viscount Brouncker, who brought in the account and schemes of it; and a committee was appointed for making trials of it, consisting of his lordship himself, Mr. Boyle, Sir William Petty, Dr. Wilkins, and Dr. Wren’.

4) Comparez la note 5 de la p. 260 du T. VI. Il est vrai que la ‘History of the Royal Society by Th. Sprat’ mentionnée dans cette note ne parut qu'en 1667 (London, Printed by T.R. for J. Martyn at the Bell without Temple-bar, etc.). On y trouve à la p. 314 l'assertion que l'idée ‘that there may be produc'd a Natural Standard for Measure srom the Pendulum for vulgar use’ est due au dr. Christopher Wren (comparez la note 18 de la p. 427 du T. III). Mais il est impossible d'avoir une confiance absolue dans l'exactitude de cette affirmation, puisque nous lisons à la p. 315: ‘He [c.à.d. Wren] has made constant Observations on Saturn; and a Theory of that Planet, truly answering all Observations, before the printed Discourse of Hugonius [sic] on that subject appear'd’; ce qui prouve que Sprat n'était pas toujours bien renseigné (voir les p. 368, 384, 416 et 417 du T. III).
C'est à la p. 247 que Sprat mentionne le ‘universal Standard, or measure of Magnitudes, by the help of a Pendulum, never before attempted’ (comparez la note nommée du T. VI).

[p. 355]

réponse de ce dernier (T. III, p. 438) qui écrit: ‘J'ay entre les mains celuy [le traité] de l'horologe, du quel une grande partie est dediée aux mouvements et particulierement j'y ay parlè de cet usage du pendule pour la mesure universelle, dont vous dites qu'on a traitè dans votre assemblee...’ Nous possédons de la main de Huygens⁵⁾ le sommaire du contenu du Traité de l'horloge, tel qu'il l'avait conçu en 1660⁶⁾; on y trouve les paroles: ‘mensura universalis ope penduli’, ce qui prouve qu'il songeait à employer le pendule pour ce but, et qu'il se servait de l'expression ‘mesure universelle’, déjà avant d'avoir reçu la lettre citée de Moray; ce qui d'ailleurs ressort aussi de sa réponse citée. On peut en effet prendre un pendule de forme déterminée (p.e. une sphère de grandeur et de poids déterminés suspendue à une tige homogène de longueur et de poids déterminés, ou a un fil de longueur déterminée et de poids négligeable) qui marque les demisecondes ou les secondes, et dire que la longueur de la tige ou du fil (ou cette longueur augmentée du rayon, ou du diamètre, de la sphère) constitue l'unité de longueur; en admettant bien entendu, comme Huygens le faisait alors, qu'un pendule déterminé a pour une amplitude donnée une même période partout⁷⁾. En 1661 (T. III, p. 438 et 440) Huygens mesure la ‘longueur... pour marquer une demie-seconde’ ... ‘depuis le point de suspension jusqu'au centre de la boule’, le poids du fil étant apparemment négligeable. Mais le fait qu'il prend des boules de différents rayons et que suivant lui, la distance nommée restant invariable, la période reste également la même, fait bien voir qu'il ne savait pas encore que le centre d'oscillation de la sphère se trouve en dessous du centre de figure, et que la distance des deux centres dépend du rayon⁸⁾. Il n'est pas étonnant que dans le sommaire

5) Manuscrit A, p. 226.

6) La p. 202 du Manuscrit porte la date du 25 décembre 1659 et la p. 233 celle du 7 avril 1660. Nous publierons ce sommaire dans le Tome suivant.

7) Voir le quatrième alinéa de la p. 376, en partculier la note 2.

8) En 1662 Huygens fit de nouveau des expériences de ce genre; le 10 février il écrit à Moray (T. IV, p. 52): ‘... Je scay par experience que pour avoir un pendule dont chaque vibration soit de demie seconde, il suffit de faire en sorte que le diametre de la boule soit moindre seulement que la 6^e partie de la hauteur du pendule, et qu'il est tout un si la boule est de plomb, d'yvoire ou de cristal, quand on ne prend que les petites vibrations, etc.’ Dans sa réponse du 14 mars 1662 (T. IV, p. 86) Moray écrit à-propos de ces expériences: ‘...si vous voulez prendre la peine d'examiner s'il y en a [c.à.d. s'il y a une différence de longueur] dans les pendules d'une seconde entière comme nous l'auons fait, vous trouuerez que non seulement les diferentes matieres [effet de la résistance de l'air], mais aussi les diferentes grandeurs des Balles de mesme matiere requierent des longueurs dont les diferences sont considerables’.

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mentionné les mots ‘mensura universalis ope penduli’ soient précédés par les mots ‘regula ad inveniendam penduli longitudinem’: il se rendait très bien compte du fait que pour donner une définition exacte et vraiment pratique de la mesure universelle il faut connaître le centre d'oscillation; de cette façon le penduie qui bat les secondes ou les demi-secondes peut avoir une forme quelconque pourvu que la distance du point de suspension au centre d'oscillation ait une longueur donnée. Quoique dans le traité tel qu'il l'avait ‘entre les mains’ en 1661 il pût parler déjà ‘de cet usage du pendule pour la mesure universelle’ avant de connaître la règle pour déterminer le centre d'oscillation, il peut donc parfaitement dire dans l'‘Horologium oscillatorium’ que le désir de trouver le moyen de définir une longueur invariable à l'aide du pendule avait été pour lui un motif de chercher le centre d'oscillation. Dans la Prop. XXV de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’ (‘De mensurae universalis, & perpetuae, constituendae ratione’) il mentionne le fait que la place du centre d'oscillation de la sphère (comparez la Pièce XI, à la p. 470) se trouve à une distance du centre de figure qui dépend du rayon et ajoute: ‘Facile autem apparet cur necessaria sit hujus centri consideratio, ad accuratam pedis Horarii constitutionem, etc.’¹⁾.

En 1663 on prenait, paraît-il, à la ‘Royal Society’ des expériences sur l'oscillation de corps, non seulement de diverses matières, mais aussi de diverses formes²⁾, ce qui peut avoir eu une certaine influence sur Huygens et l'avoir déterminé à étendre ses recherches théoriques de 1659 et de 1661, qui ne portaient encoreque sur des pendules linéaires, à des surfaces planes et à des corps de différentes formes oscillant autour d'un axe déterminé. Il est vrai que les expériences exécutées ou projetées par la ‘Royal Society’ n'avaient pas pour but de trouver le centre

1) Comparez sa lettre à Estienne du 21 septembre 1668 (T. VI, p. 258; voir sur Estienne la note 1 de la p. 490 du T. VI).

2) Birch, I, p. 205 (séance du 4 mars 1663) parle de corps ‘round, elliptical, square, etc.’ Nous y lisons que Hooke proposait de faire ces expériences dans l'air atmosphérique, ainsi que dans de l'air comprimé ou raréfié et que ‘Mr. Hooke was appointed curator of these experiments’. Mais Birch ne nous apprend pas si les expériences ont réellement été exécutées.

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d'oscillation³⁾: elles devaient servir seulement à la détermination de la résistance de l'air (comparez à ce propos les notes ` et 2 de la p. 344), mais ce sujet est intimement lié à celui de la mesure universelle ‘ope penduli’ comme on peut le voir par les passages cités dans la note 8 de la p. 355.

Considérons maintenant les Pièces II (p. 385-391) et IV-XIX (p. 414-555) qui suivent. Il y est partout question d'oscillations idéales, sans aucune friction ou résistance d'air. De plus les barres ou fils auxquels les lignes, surfaces ou corps oscillants sont suspendus sont considérés comme impondérables (excepté au début de la Pièce II), et ces objets eux-mêmes ont toujours une forme symétrique⁴⁾.

Le principe fondamental de la Dynamique de Huygens est une extension du principe adopté par lui dans sa Statique⁵⁾; nous avons déjà rencontré ce principe à la p. 56 de ce Tome: ‘en mécanique c'est un axiome très certain que par un mouvement des corps qui résulte de leur gravité le centre commun de leur gravité ne peut pas s'élever’; il s'agit du centre de gravité potentiel, c. à d. du centre de gravité des corps ou points matériels supposé qu'ils se soient élevés tous à la plus grande hauteur possible, ayant épuisé les vitesses qu'ils possédaient à un instant donné. Mais ‘pour trouver une base’ (voir les p. 414-415) du calcul des centres d'oscillation, Huygens doit admettre en outre que dans le cas des oscillations idéales considérées, ce centre de gravité commun s'élève précisément à la hauteur d'où il est descendu, les vitesses finales, aussi bien que les vitesses initiales de tous les éléments qui constituent le pendule, étant évidemment nulles⁶⁾; ce qu'on peut exprimer aussi (comparez les p. 21-23) en disant qu'il admet la réversibilité du phénomène, quoiqu'il ne se serve pas lui-même de cette expression. Dans certains cas⁷⁾ il se figure que les globules - ou autres éléments⁸⁾ infiniment petits et par-

3) Ce n'est que le 9 novembre 1664, après que Huygens eut trouvé la règle générale qui détermine la place du centre d'oscillation qu'on prit à la ‘Royal Society’ (d'après Birch, I, p. 487) la résolution ‘of making simple pendulums isochrone to triangles and other figures and bodies differently suspended’. Comparez les p. 374-375 qui suivent.

4) Excepté dans le cas du théorème général de la p. 461.

5) Voir les p. 21-24 de ce Tome et les deux premières pages (p. 331 et 332) du présent Avertissement, ainsi que la note 1 de la p. 56, laquelle est d'ailleurs mentionnée dans la note 1 de la page 332 nommée. Huygens a probablement adopté ce principe fondamental de la Dynamique en 1652 (voir la p. 7 et la note 8 de la p. 9 de ce Tome).

6) Comparez les ‘Hypotheses’ I et II de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’.

7) Il est évident que ce sont des cas où le pendule est soit linéaire soit formé par une surface plane oscillant perpendiculairement à son plan.

8) Aux p. 385-387, 434-439, 441-442, 444-445, 447, 449-452 les éléments sont des globules; aux p. 505-507 et 517-521 ce sont de petits carrés, à la p. 447 le caractère des éléments n'est pas nettement déterminé, aux p. 457-458 ce sont des tranches horizontales découpées dans une surface verticale qui viennent frapper des éléments de même forme (voir la note 2 de la p. 458), enfin aux p. 489-490 ce sont des arcs de cercle, ou anneaux, concentriques. Au lieu de ‘globules’ on peut aussi dire ‘particulae’ (p. 484) ou points pesants.

[p. 358]

faitement durs - qui constituent le corps oscillant viennent frapper, au moment où ils atteignent le point le plus bas de leur trajectoire, d'autres éléments égaux et également durs pouvant osciller¹⁾ librement et séparément (p. 388-391, 415-425, 457-458). Dans d'autres cas²⁾ ce sont les éléments³⁾ du corps oscillant lui-même (et alors l'hypothèse d'une dureté parfaite est superflue) qui se détachent les uns des autres à l'instant nommé (ou à un instant quelconque, comme Huygens le suppose aux p. 436-437) pour exécuter chacun l'oscillation¹⁾ libre mentionnée (p. 385-387, 434-439, 441-442, 444-445, 447-452, 487-488, 505-507). Dans tous les cas, comme nous l'avons dit, les vitesses finales sont nulles. Il faut évidemment admettre que les éléments qui exécutent des oscillations¹⁾ libres et qui atteignent à des moments différents leurs plus grandes hauteurs, soient arrêtés et maintenus chacun dans sa position finale. C'est à cette condition seulement que le centre commun de gravité remonte à la hauteur initiale. Dans le premier cas, celui où les éléments du corps viennent frapper d'autres éléments égaux, il faut qu'au moment du choc le ‘motus’ soit conservé (voir les huit dernières lignes de la p. 415). Il est évident que le ‘motus’ est également conservé dans le deuxième cas, où les éléments se détachent les uns des autres avec la vitesse que chacun d'eux possède en ce moment. Huygens se sert de l'expression ‘motum sursum convertere’ ou ‘motum sursum convertere quousque possunt’⁴⁾ pour indiquer que chaque élément s'élève jusqu'au point où sa vitesse est entièrement épuisée⁵⁾. Nous parlerions d'une conversion de l'énergie⁶⁾ cinétique ou force vive⁶⁾ du mouvement en une quantité d'énergie potentielle⁶⁾ égale à l'énergie potentielle primitive par rapport au même plan horizontal, mais il ne

1) Nous parlons ici d'oscillations libres, pour fixer les idées. Il est évident qu'un élément qui possède une vitesse déterminée v peut s'élever à la hauteur v²/2g soit en oscillant soit en s'élevant d'une autre manière.

2) Ce procédé est évidemment applicable dans tous les cas.

3) Voir la note 8 de la p. 357.

1) Nous parlons ici d'oscillations libres, pour fixer les idées. Il est évident qu'un élément qui possède une vitesse déterminée v peut s'élever à la hauteur v²/2g soit en oscillant soit en s'élevant d'une autre manière.

1) Nous parlons ici d'oscillations libres, pour fixer les idées. Il est évident qu'un élément qui possède une vitesse déterminée v peut s'élever à la hauteur v²/2g soit en oscillant soit en s'élevant d'une autre manière.

4) On trouve aussi (p. 507, lignes 4 et 5) l'expression: ‘celeritatem sursum convertere’.

5) Par analogie avec l'expression ‘gravitatis descensus’ dont Huygens se servira en 1662 (voir la note 5 de la p. 341) on pourrait dire que le ‘motus’ est converti en ‘gravitatis ascensus’, mais Huygens n'employe pas cette dernière expression: il dit (p. 417, quatrième ligne d'en bas): ‘altitudo ducta in gravitatem’. D'ailleurs en disant que le ‘motus’ est converti en ‘gravitatis ascensus’ nous précisons trop la pensée de Huygens, pour qui apparemment (voir le texte) l'expression ‘motus’ ne désigne pas ici une quantité nettement déterminée et certainement pas la quantité mv² ou ½ mv²: comparez la note précédente. C'est plutôt l'expression ‘vis motus’ de Huygens (voir le troisième alinéa de la note suivante) dont le sens se rapproche de celui de notre expression ‘énergie cinétique’.

6) Voir les notes 4 et 5 de la p. 341. Remarquons que le mot ‘énergie’ aussi bien que le mot ‘potentiel’ est un terme aristotélique. Pour Aristote une chose peut exister ἐνεργείᾳ, actuellement (en latin scolastique: actu) ou δυνάμει, potentiellement (en latin scolastique: potentia). Chez Aristote le mot ἐνέργεια ne désigne donc pas une substance (οὐσία), mais un état d'activité ou d'actualité. Dn temps de Huygens le mot ‘énergie’ figurait déjà dans l'optique ainsi que dans la mécanique; voir la note 8 de la p. 99 (ce fut Jean Bernoulli qui donna, en 1717, un sens précis non aristotélique à ce mot, savoir celui du travail d'une force; voir la p. 174 du Tome second de l'ouvrage de Varignon mentionné dans la note 2 de la p. 338); le terme ‘potentia’ était souvent employé pour désigner la force en général (voir p.e. la troisième ligne d'en-bas de la p. 99 qui précède et l'ouvrage posthume de Leibniz: ‘Dynamica de Potentia et Legibus Naturae corporeae’, publié par C.I. Gerhardt, dans le T. 6 de ‘Leibnizens mathematische Schriften’, Halle, Schmidt, 1860, où l'on trouve à la p. 440 la Propositio 8: ‘Eadem semper potentia est in Universo’).
Leibniz, en introduisant l'expression ‘vis viva’, ne la définit pas par le produit mv²: il parle de la ‘vis ordinaria [par opposition à la “vis” mentionnée dans le deuxième alinéa de la note 8 de la p. 199] cum motu actuali conjuncta, quam voco vivam’ (‘Specimen dynamicum’, p. 238 du T. 6 de l'édition de Gerhardt). Pour désigner mv² il employe parfois le mot ‘potentia’ qui a d'ailleurs un sens plus général (‘potentiam oriri ex quadratis velocitatum in molis elementa ductis’; ‘Dynamica de Potentia’, p. 430 de l'édition nommée); mais à la suite des discussions entre Leibniz et les Cartésiens l'expression ‘vis viva’ ou ‘force vive’ fut bientôt identifiée avec l'expression mv². Le coëfficient ½ ne fut introduit qu'en 1829 par Coriolis; voir la p. IX de l'ouvrage mentionné dans la note 4 de la p. 247, dont la première édition parut en 1829 sous le titre ‘Le calcul de l'effet des machines’.
Huygens en 1661 parle déjà de la ‘vis’ d'un corps en mouvement (voir les lignes 2 et 13 de la p. 417). En 1690 il dit que les corps gardent leur ‘force’. Voir les deux dernières lignes du texte de la p. 456 du T. IX et la p. 463 du même Tome, où l'on trouve l'expression ‘force ascensionelle’ (comparez la note 2 de la p. 164 qui précède). Huygens dit ‘que les corps doivent garder leur force ascensionelle & que pour cela la somme des quarrez de leurs vitesses [c.à.d. Σmv²] doit demeurer la même.’ Il n'a apparemment pas eu l'impression que les considérations très générales et plus ou moins métaphysiques de Leibniz sur le mouvement (le premier article de Leibniz sur ce sujet, intitulé ‘Brevis Demonstratio Erroris memorabilis Cartesii, etc.’ parut dans les ‘Acta Eruditorum’ de 1686) contenaient quelque chose de plus que ce qu'il avait trouvé lui-même et pourraient être de quelqu'utilité pour ‘l'etablissement des regles du mouvement’ (voir les premières lignes de la p. 177 du T. X, où il faut lire, d'après le texte de la lettre de Huygens, ‘depend l'etablissement’ au lieu de ‘depend de l'etablissement’). Comparez la note 7 de la p. 21.

6) Voir les notes 4 et 5 de la p. 341. Remarquons que le mot ‘énergie’ aussi bien que le mot ‘potentiel’ est un terme aristotélique. Pour Aristote une chose peut exister ἐνεργείᾳ, actuellement (en latin scolastique: actu) ou δυνάμει, potentiellement (en latin scolastique: potentia). Chez Aristote le mot ἐνέργεια ne désigne donc pas une substance (οὐσία), mais un état d'activité ou d'actualité. Dn temps de Huygens le mot ‘énergie’ figurait déjà dans l'optique ainsi que dans la mécanique; voir la note 8 de la p. 99 (ce fut Jean Bernoulli qui donna, en 1717, un sens précis non aristotélique à ce mot, savoir celui du travail d'une force; voir la p. 174 du Tome second de l'ouvrage de Varignon mentionné dans la note 2 de la p. 338); le terme ‘potentia’ était souvent employé pour désigner la force en général (voir p.e. la troisième ligne d'en-bas de la p. 99 qui précède et l'ouvrage posthume de Leibniz: ‘Dynamica de Potentia et Legibus Naturae corporeae’, publié par C.I. Gerhardt, dans le T. 6 de ‘Leibnizens mathematische Schriften’, Halle, Schmidt, 1860, où l'on trouve à la p. 440 la Propositio 8: ‘Eadem semper potentia est in Universo’).
Leibniz, en introduisant l'expression ‘vis viva’, ne la définit pas par le produit mv²: il parle de la ‘vis ordinaria [par opposition à la “vis” mentionnée dans le deuxième alinéa de la note 8 de la p. 199] cum motu actuali conjuncta, quam voco vivam’ (‘Specimen dynamicum’, p. 238 du T. 6 de l'édition de Gerhardt). Pour désigner mv² il employe parfois le mot ‘potentia’ qui a d'ailleurs un sens plus général (‘potentiam oriri ex quadratis velocitatum in molis elementa ductis’; ‘Dynamica de Potentia’, p. 430 de l'édition nommée); mais à la suite des discussions entre Leibniz et les Cartésiens l'expression ‘vis viva’ ou ‘force vive’ fut bientôt identifiée avec l'expression mv². Le coëfficient ½ ne fut introduit qu'en 1829 par Coriolis; voir la p. IX de l'ouvrage mentionné dans la note 4 de la p. 247, dont la première édition parut en 1829 sous le titre ‘Le calcul de l'effet des machines’.
Huygens en 1661 parle déjà de la ‘vis’ d'un corps en mouvement (voir les lignes 2 et 13 de la p. 417). En 1690 il dit que les corps gardent leur ‘force’. Voir les deux dernières lignes du texte de la p. 456 du T. IX et la p. 463 du même Tome, où l'on trouve l'expression ‘force ascensionelle’ (comparez la note 2 de la p. 164 qui précède). Huygens dit ‘que les corps doivent garder leur force ascensionelle & que pour cela la somme des quarrez de leurs vitesses [c.à.d. Σmv²] doit demeurer la même.’ Il n'a apparemment pas eu l'impression que les considérations très générales et plus ou moins métaphysiques de Leibniz sur le mouvement (le premier article de Leibniz sur ce sujet, intitulé ‘Brevis Demonstratio Erroris memorabilis Cartesii, etc.’ parut dans les ‘Acta Eruditorum’ de 1686) contenaient quelque chose de plus que ce qu'il avait trouvé lui-même et pourraient être de quelqu'utilité pour ‘l'etablissement des regles du mouvement’ (voir les premières lignes de la p. 177 du T. X, où il faut lire, d'après le texte de la lettre de Huygens, ‘depend l'etablissement’ au lieu de ‘depend de l'etablissement’). Comparez la note 7 de la p. 21.

6) Voir les notes 4 et 5 de la p. 341. Remarquons que le mot ‘énergie’ aussi bien que le mot ‘potentiel’ est un terme aristotélique. Pour Aristote une chose peut exister ἐνεργείᾳ, actuellement (en latin scolastique: actu) ou δυνάμει, potentiellement (en latin scolastique: potentia). Chez Aristote le mot ἐνέργεια ne désigne donc pas une substance (οὐσία), mais un état d'activité ou d'actualité. Dn temps de Huygens le mot ‘énergie’ figurait déjà dans l'optique ainsi que dans la mécanique; voir la note 8 de la p. 99 (ce fut Jean Bernoulli qui donna, en 1717, un sens précis non aristotélique à ce mot, savoir celui du travail d'une force; voir la p. 174 du Tome second de l'ouvrage de Varignon mentionné dans la note 2 de la p. 338); le terme ‘potentia’ était souvent employé pour désigner la force en général (voir p.e. la troisième ligne d'en-bas de la p. 99 qui précède et l'ouvrage posthume de Leibniz: ‘Dynamica de Potentia et Legibus Naturae corporeae’, publié par C.I. Gerhardt, dans le T. 6 de ‘Leibnizens mathematische Schriften’, Halle, Schmidt, 1860, où l'on trouve à la p. 440 la Propositio 8: ‘Eadem semper potentia est in Universo’).
Leibniz, en introduisant l'expression ‘vis viva’, ne la définit pas par le produit mv²: il parle de la ‘vis ordinaria [par opposition à la “vis” mentionnée dans le deuxième alinéa de la note 8 de la p. 199] cum motu actuali conjuncta, quam voco vivam’ (‘Specimen dynamicum’, p. 238 du T. 6 de l'édition de Gerhardt). Pour désigner mv² il employe parfois le mot ‘potentia’ qui a d'ailleurs un sens plus général (‘potentiam oriri ex quadratis velocitatum in molis elementa ductis’; ‘Dynamica de Potentia’, p. 430 de l'édition nommée); mais à la suite des discussions entre Leibniz et les Cartésiens l'expression ‘vis viva’ ou ‘force vive’ fut bientôt identifiée avec l'expression mv². Le coëfficient ½ ne fut introduit qu'en 1829 par Coriolis; voir la p. IX de l'ouvrage mentionné dans la note 4 de la p. 247, dont la première édition parut en 1829 sous le titre ‘Le calcul de l'effet des machines’.
Huygens en 1661 parle déjà de la ‘vis’ d'un corps en mouvement (voir les lignes 2 et 13 de la p. 417). En 1690 il dit que les corps gardent leur ‘force’. Voir les deux dernières lignes du texte de la p. 456 du T. IX et la p. 463 du même Tome, où l'on trouve l'expression ‘force ascensionelle’ (comparez la note 2 de la p. 164 qui précède). Huygens dit ‘que les corps doivent garder leur force ascensionelle & que pour cela la somme des quarrez de leurs vitesses [c.à.d. Σmv²] doit demeurer la même.’ Il n'a apparemment pas eu l'impression que les considérations très générales et plus ou moins métaphysiques de Leibniz sur le mouvement (le premier article de Leibniz sur ce sujet, intitulé ‘Brevis Demonstratio Erroris memorabilis Cartesii, etc.’ parut dans les ‘Acta Eruditorum’ de 1686) contenaient quelque chose de plus que ce qu'il avait trouvé lui-même et pourraient être de quelqu'utilité pour ‘l'etablissement des regles du mouvement’ (voir les premières lignes de la p. 177 du T. X, où il faut lire, d'après le texte de la lettre de Huygens, ‘depend l'etablissement’ au lieu de ‘depend de l'etablissement’). Comparez la note 7 de la p. 21.

[p. 359]

faut pas se figurer que l'expression ‘motus’ de Huygens est ici équivalente à notre expression ‘énergie cinétique’. Chez lui le sens de ‘motus’ se rapproche souvent de celui de ‘celeritas’; voir à la p. 33 la ‘Hypothesis III’ et à la p. 41 la ‘Hypothesis V’; ‘motus quantitas’ désigne généralement la quantité de mouvement mv ou Σmv; voir p.e. la Prop. VI de la p. 49 et les p. 91 et 98. Bien souvent aussi le mot ‘motus’ a un sens plus général, non quantitatif. Dans le dernier alinéa de la p. 415 et dans l'expression ‘motum sursum convertere’ le mot ‘motus’ a

[p. 360]

apparemment ce sens général, tout aussi bien que dans la troisième ligne d'en bas de la p. 434 et dans le titre du traité ‘De Motu Corporum ex Percussione’.

L'application du principe fondamental nommé, joint à l'hypothèse de la réversibilité du phénomène (ou, si l'on veut, l'application du principe que le centre commun de gravité doit monter autant dans le cas où tous les points sont libres que dans celui où ils composent un corps unique¹⁾) conduit Huygens à l'invention de plusieurs procédés différents pour trouver la place du centre d'oscillation, autrement dit, pour calculer la longueur du pendule isochrone.

Partant du cas le plus simple, celui du pendule linéaire (p. 385-391 et 414-439), il considère ensuite quelques lignes et surfaces (et même, p. 448, une paire de pyramides infiniment effilées) oscillant dans leur plan. Bientôt après avoir exécuté ces calculs il découvre (p. 458) une méthode générale pour trouver le pendule isochrone avec une surface oscillant perpendiculairement à son plan. Depuis ce moment il s'efforce (p. 462-469) à réduire l'oscillation d'une surface dans son plan à celle d'une autre surface oscillant perpendiculairement à son plan. Vers le même temps il trouve la formule générale (p. 470, note 6) suivant laquelle la longueur du pendule isochrone avec un corps oscillant quelconque est égale, comme on dira plus tard, au moment d'inertie²⁾ du corps par rapport à l'axe de suspension, divisé par le produit de la ‘masse’ du corps par la distance de son centre de gravité à l'axe nommé³⁾; cette formule rend possible la réduction cherchée de l'oscillation plane à l'oscillation perpendiculaire au plan de la figure (p. 462, note 3). Aussitôt qu'il a découvert la formule générale Huygens cherche en outre le centre d'oscillation de la sphère; il réussit (p. 470) à réduire ce corps lui aussi à une surface oscillant perpendiculairement à son plan. Pour trouver les longueurs des pendules isochrones avec l'ellipsoïde de révolution (p. 473) et quelques autres corps il se sert d'autres procédés d'intégration. Il trouve enfin (voir les deux derniers alinéas de la note qui occupe la p. 477) une méthode générale pour les surfaces de forme symétrique oscillant dans leur plan, ainsi qu'une méthode générale pour les corps oscillants de révolution (p. 482), toujours en appliquant la

1) Nous avons formulé le principe en ces termes dans la note 4 de la p. 385.

2) Voir la p. 378 qui suit, en particulier la note 5.

3) Voir p.e. la note 7 de la p. 485.

[p. 361]

formule générale. La plupart de ces calculs ont été exécutés aux mois de septembre et d'octobre de l'année 1664.

On trouvera dans les Pièces qui suivent des notes détaillées expliquant les méthodes de Huygens (voir p.e. les p. 470-477). Nous pouvons donc nous borner ici à énumérer brièvement ces différents procédés de calcul⁴⁾.

Pour trouver le centre d'oscillation d'un nombre fini ou infini de points pesants composant un pendule linéaire, Huygens se sert de ce qu'on peut appeler la ‘méthode directe’, celle qui découle immédiatement du principe fondamental (Pièce II, p. 385-391; Pièce IV, p. 415-433 et Pièce V, p. 434-439); on y trouve déjà (p. 419) la formule générale pour ce cas particulier. Dans certains cas (p. 385-387; p. 391; p. 421-425) il y fait usage d'une parabole (voir la note 4 de la p. 385 et les p. 421 et suiv.) pour effectuer la sommation des produits des différents poids par les hauteurs qu'ils atteignent dans le mouvement libre; on peut parler alors de la ‘méthode de la parabole’ (voir la Pièce IX, en particulier le troisième alinéa de la note 2 de la p. 458).

La ‘méthode directe’ peut encore être employée pour un pendule composé de deux points pesants situés sur une ligne horizontale (p. 447)⁵⁾, pour quelques lignes oscillant dans leur plan⁶⁾ (demi-circonférence de cercle, oscillant autour du centre de ce cercle, p. 441; ligne droite horizontale, p. 444; ligne brisée, le point de suspension étant situé au milieu de la droite qui joint les extrémités, p. 449-452), ainsi que pour une paire de surfaces triangulaires infiniment aigues (p. 448), pour une paire de pyramides possédant la même propriété (p. 448) et pour un secteur de cercle suspendu au centre de ce cercle (p. 489-490), l'oscillation ayant toujours lieu dans le plan de la figure. Toutes ces figures⁷⁾ sont décomposées, comme nous l'avons dit, en une infinité d'éléments pouvant exécuter chacun le mouvement ascensionnel libre dont nous avons parlé⁸⁾.

4) Sauf à nous étendre un peu plus longuement sur ce que nous appelons ici la ‘méthode des trois quarts’ et la ‘méthode des quatre cinquièmes’; voir le dernier alinéa de la note 2 de la p. 448, ainsi que le dernier alinéa de la note 3 de la p. 449 et la note 6 de la p. 453.

5) Ce pendule oscille dans le plan formé par le point de suspension et les deux points pesants. Inutile d'ajouter (puisque nous avons dit généralement que les pendules considérés par Huygens ont une forme symétrique) que les deux poids sont égaux et également distants du point de suspension.

6) Ou, s'il s'agit d'une ligne droite, dans le plan formé par cette ligne et le point de suspension

7) Excepté évidemment la figure composée de deux points pesants.

8) P. 357-358.

[p. 362]

C'est apparemment en partant de ces résultats que Huygens trouve les longueurs des pendules isochrones avec certaines parties du cercle, et avec le cercle lui-même suspendu en un point de son contour, ainsi qu'avec certains arcs de cercle, et avec la circonférence de cercle entière suspendue en un de ses points (p. 455), l'oscillation ayant lieu ici aussi dans le plan de la figure.

Il trouve en outre (p. 442) en se servant de la ‘méthode des trois-quarts’, que nous expliquerons, la longueur du pendule isochrone avec un demi-cercle suspendu au centre de ce cercle, ainsi que celle du pendule correspondant à un triangle isoscèle suspendu au milieu de sa base (p. 452-454) ou suspendu à son sommet (p. 456), l'oscillation étant toujours plane.

[Fig. 3.]

La ‘méthode des trois-quarts’ consiste à calculer d'abord la longueur du pendule isochrone correspondant à ce qu'on peut appeler la ligne basale de la surface considérée (demi-circonférence de cercle, ligne brisée, ou ligne droite horizontale dans les trois cas considérés par Huygens), suspendue au même point et oscillant latéralement, et à multiplier ensuite cette dernière longueur par ¾. Dans le cas de la Fig. 3 la ligne basale de la figure plane OAB est AB, OA et OB étant des lignes droites. Huygens motive plus ou moins son procédé aux p. 442 et 453, mais, comme nous le disons aussi dans la note 2 de la p. 442 et dans la note 6 de la p. 453, son explication ne suffit guère pour convaincre le lecteur de la justesse de cette méthode. Il ressort de ses paroles que cette méthode n'est pas généralement applicable, mais il ne dit pas clairement dans quels cas on peut l'appliquer; et il ne s'en sert ni dans le cas de la Fig. 28 (voir la p. 448, en particulier le troisième alinéa de la note 2 de cette page) ni dans celui du secteur de cercle suspendu au centre de ce cercle (p.489-490), où elle est applicable.

Huygens trouve la ‘méthode des trois quarts’ en réduisant l'oscillation d'une surface dans son plan à l'oscillation d'un pendule linéaire. En effet, tant à la p. 442 qu'à la p. 453 il substitue à la surface oscillante un pendule linéaire dont la longueur est égale à celle du pendule isochrone avec la ligne basale de la figure considérée et dont la densité est proportionnelle à la distance du point de suspension (voir la Fig. 24 à la p. 442 et la Fig. 31 à la p. 452), de sorte que le pendule isochrone avec ce pendule linéaire a une longueur égale aux ¾ de la longueur du pendule linéaire.

[p. 363]

c.à.d. aux ¾ de celle du pendule isochrone avec la ligne basale homogène oscillant dans son plan. Mais c'est précisément cette substitution qu'on voudrait voir expliquée¹⁾. Le pendule linéaire en question est composé des masses, en nombre infini, des anneaux ou bandes (voir la Fig. 3), ayant toutes la même largeur constante, dans lesquelles on peut découper la surface OAB, chaque masse étant concentrée dans le centre d'oscillation de la bande supposée suspendue seule au point O et oscillant latéralement. Pour que la densité de ce pendule linéaire puisse varier comme nous l'avons dit, il faut, dit-il, que les longueurs des pendules isochrones avec les bandes forment une série arithmétique (p. 453). Ceci indique que dans la pensée de Huygens la méthode n'est applicable que lorsque les lignes A'B' [Fig. 3] qui découpent la surface en bandes ayant toutes la même largeur constante sont semblables et ont le point O comme centre de similitude. En effet, lorsqu'il en est ainsi, le pendule linéaire qu'il considère peut être formé comme il le dit par les masses des bandes concentrées chacune dans son centre d'oscillation; et les trois cas où il applique la méthode sont tels. Or, nous démontrerons que dans les cas de ce genre la méthode est bonne.

On peut se demander plus généralement s'il est possible de découper une surface oscillant latéralement, p.e. l'ellipfe de la Fig. 5 ou le triangle de la Fig. 4, en un certain nombre de bandes de telle manière que si l'on concentre la masse de chaque bande en son centre d'oscillation et qu'on cherche ensuite la longueur du pendule isochrone avec l'ensemble des masses ainsi concentrées, cette dernière longueur devient égale à la longueur du pendule isochrone avec l'ellipse ou le

[Fig. 4.]

triangle donné. Ce qui n'est certainement pas permis, c'est de découper le triangle par des parallèles à la base arbitrairement choisies en un nombre fini de bandes, p.e. en deux parties OA'B' et A'ABB', où OA' = A'A, et d'y appliquer le procédé décrit: on vérifie aisément qu'on ne trouve pas de cette façon le centre d'oscillation du triangle. Mais on peut chercher un mode spécial de découper le triangle (ou une des autres figures considérées par Huygens) en un certain nombre de bandes de telle manière qu'on trouve le vrai centre d'oscil-

1) Il est fort possible que Huygens n'avait de la justesse de cette substitution qu'une certitude intuitive. Les pages qui suivent (p. 363-368) servent à justifier, et en même temps à étendre, sa méthode, nullement à reconstruire la marche de ses idées.

[p. 364]

lation du triangle en cherchant le centre d'oscillation des masses des bandes concentrées chacune en son centre d'oscillation; et rien ne démontre qu'il est impossible

[Fig. 5.]

de trouver d'une manière analogue la vraie longueur du pendule isochrone avec une surface elliptique (Fig. 5) - ou une autre surface plane à laquelle la méthode des trois quarts telle que Huygens l'applique n'est pas applicable - en la découpant en un nombre fini ou infini d'anneaux ne possédant pas la propriété d'avoir une largeur constante.

Nous ferons voir d'abord que la justesse de la ‘méthode des trois quarts’¹⁾ peut être démontrée pour un cas difsérant de celui considéré par Huygens et en partant de ce résultat nous démontrerons (deuxième et troisième alinéa de la p. 366) la justesse de la méthode dans le cas envisagé par lui.

À cet effet, nous nous servirons de la formule générale pour la longueur du pendule isochrone
l = I/Mb,
où I désigne le moment d'inertie²⁾ de la surface (ou plus généralement du corps) par rapport à l'axe d'oscillation, M la masse de la surface (ou du corps) et b la distance de son centre de gravité à l'axe de suspension. Il est vrai que Huygens n'avait apparemment pas encore trouvé cette formule générale³⁾ au moment d'exécuter les calculs en question, mais il doit l'avoir trouvée peu de jours après⁴⁾.

[Fig. 6.]

Considérons une surface plane [Fig. 6 ou Fig. 7]⁵⁾ composée d'un nombre fini de bandes ou d'anneaux semblables entre eux⁶⁾ et ne possédant donc pastous la même largeur constante, le point O étant par hypothèse le point de similitude des bandes. Soit OA = r, OB = kr,

1) On verra en effet que la méthode mérite toujours ce nom dans le cas où la bande extérieure devient infiniment mince et se change donc en une ‘ligne basale’, non homogène en général. C'est le produit de trois quarts par la longueur du pendule isochrone avec cette ligne basale qui donnera la longueur du pendule isochrone avec la figure plane.

2) Voir la note 5 de la p. 378 qui suit.

3) Comme il suppose le corps divisé en un nombre immense n de parties de même masse, cette formule a chez lui la forme Σr²/nb, ou Σr² désigne la somme des carrés des distances de toutes ces particules à l'axe d'oscillation. Comparez la note 1 de la p. 369 et la note 5 de la p. 378.

4) Voir sur la d'ecouverte de la formule générale, qui eut lieu avant le 10 octobre 1664, la note 6 de la p. 470. A la p. 452 on trouve la date du 29 septembre 1664.

5) Il n'est pas nécessaire que la surface considérée ait une forme symétrique.

6) Pour que les bandes puissent être semblables entre elles, il est évidemment nécessaire que les lignes qui limitent la surface considérée et celles qui la découpent en bandes soient également semblables entre elles.

[p. 365]

OC = k²r, OD = k³r, où la constante k < 1. On aura pour les bandes successives,

[Fig. 7.]

où la plus grande est nommée d'abord, b = ρ_o, kρ_o, k²ρ_o, k³ρ_o... respectivement; M = μ_o, k²μ_o, k⁴μ_o, k⁶μ_o...; I = i_o, k⁴i_o, k⁸i_o... Les longueurs des pendules isochrones correspondant aux différentes bandes seront l = λ_o, kλ_o, k²λ_o, k³λ_o..., où λ_o = i_o/μ_oρ_o. La longueur du pendule isochrone avec l'ensemble des masses des bandes concentrées chacune dans son centre d'oscillation sera alors d'après la formule générale ou . Mais la longueur du pendule isochrone avec la figure donnée sera d'après la même formule ou . Les longueurs (1) et (2) étant les mêmes, il est permis de substituer à la surface oscillante l'ensemble des masses des bandes semblables concentrées chacune dans son centre d'oscillation. Or, si l'on suppose que le nombre des bandes s'accroît jusqu'à l'infini, de sorte que le point O qui était extérieur à la surface formée par les bandes devient un point du contour de cette surface dans le cas de la Fig. 6 et de la surface elle-même dans le cas de la Fig. 7, les longueurs des pendules (1) et (2) deviendront égales à . Pour k → 1, on trouve la longueur

[p. 366]

¾λ_o, où λ_o est la longueur du pendule isochrone avec la ligne basale (ouverte dans le cas de la Fig. 6, fermée dans le cas de la Fig. 7) qui n'est homogène que dans le cas considéré par Huygens où les lignes semblables qui divisent la surface en une infinité de bandes sont telles que chaque bande a une largeur constante; ce qui évidemment n'est pas vrai dans le cas de la Fig. 5 p.e. sans que pour cela la méthode des trois quarts cesse d'être applicable¹⁾. On peut p.e. conclure de la présente théorie, après avoir démontré que la longueur du pendule isochrone avec une circonférence de cercle de densité linéaire quelconque (symétrique cependant par rapport à l'axe vertical), suspendue en un de ses points et oscillant dans son plan, est égale au diamètre de cette circonférence (voir la note 3 de la p. 455), que le pendule isochrone avec le cercle lui-même, suspendu en un point de son contour et oscillant dans son plan (cas de la Fig. 32 à la même page) a une longueur égale aux trois quarts du diamètre²⁾.

Mais si la surface peut être divisée par des lignes semblables, ayant le point O comme centre de similitude, en bandes ayant toutes la même largeur constante - ce qui est le cas envisagé par Huygens - nous pouvons maintenant démontrer comme suit que la concentration des masses des bandes en leurs points d'oscillation est permise dans le cas d'une pareille surface ainsi divisée en bandes, du moins lorsque le nombre des bandes devient infini, de sorte que toutes les bandes deviennent infiniment minces.

Soit N le nombre des bandes, l la longueur du pendule isochrone avec la surface entière, oscillant toujours dans son plan. Le pendule isochrone avec l'ensemble des bandes depuis le point O jusqu'à la n^ième bande inclusivement sera alors n/N l. Suivant la théorie qui précède (voir la première ligne de cette page) la longueur du pendule isochrone avec la n^ième bande à elle seule aura une valeur supérieure à et inférieure à , c.à.d. une valeur , où q_n < 1. Or, la masse de la n^ième bande est . La longueur (l) du

1) Comparez la note 1 de la p. 364.

2) Le cercle est découpé en anneaux de la manière indiquée dans la Fig. 5, p. 364. L'anneau extérieur, infiniment mince, peut être considéré comme la ligne basale. Cette ligne pesante n'est pas homogène comme dans les cas considérés par Huygens.

[p. 367]

pendule isochrone avec l'ensemble des masses des bandes concentrées chacune dans son centre d'oscillation sera donc, d'après l'équation générale de la p. 364, déterminée, lorsque le nombre des bandes augmente indéfiniment, par l'équation



On aura donc . Ce qu'il fallait démontrer. On peut appliquer une méthode analogue dans le cas où le pendule oscillant est formé par un corps pouvant être découpé en tranches par des surfaces semblables entre elles et ayant pour point de similitude le point de suspension O, c.à.d. la projection du centre de gravité du corps sur l'axe d'oscillation. Le corps (comparez la Fig. 3, p. 362) peut être limité par une ‘surface basale’ et un cône, dont les génératrices relient le point O à tous les points du contour de la surface basale; ou bien ce point O (comparez les Fig. 5 et 7) peut se trouver sur la surface basale fermée ou encore à l'intérieur du corps. Si l'on a dans le cas du corps (Fig. 6 ou 7) OA = r, OB = kr, OC = k²r, etc., donc b = ρ_o, kρ_o, k²ρ_o, etc. pour les tranches successives, on aura M = μ_o, k³μ_o, k₆μ_o, etc., I = ι_o, k⁵ι_o, k¹⁰ι_o, etc. Les longueurs des pendules isochrones correspondant aux diverses tranches seront l = λ_o, kλ_o, k²λ_o, etc., où λ = ι_o/μ_oρ_o. La longueur du pendule isochrone avec l'ensemble des masses des tranches concentrées chacune dans son centre d'oscillation sera alors d'après la formule générale . Et la longueur du pendule isochrone correspondant au corps donné sera d'après la même formule , c.à.d. elle sera égale à la longueur précédente. Lorsque le nombre des tranches devient infini du côté du point O, la longueur du pendule isochrone deviendra . Pour k → 1, on trouve la longueur ⅘λ_o, où λ_o est la longueur du pendule isochrone avec la surface basale qui peut ne pas être

[p. 368]

homogène. On peut donc appliquer aux corps de ce genre une méthode des quatre cinquièmes analogue à la méthode des trois quarts.

Dans le cas de la Fig. 27 (p. 447) les deux poids ou points pesants O et R peuvent évidemment avoir une forme quelconque pourvu qu'ils soient infiniment petits. Si l'on prend pour O et R deux petits arcs de la circonférence de cercle POR, le résultat du calcul de la p. 448 dans le cas de la Fig. 28 peut être obtenu immédiatement par l'application de la méthode des trois quarts. Mais si l'on donne aux poids O et R la forme de deux petites surfaces planes perpendiculaires respectivement aux droites AO et AR de la Fig. 27, le résultat du calcul de la p. 448 dans le cas de la Fig. 29 peut être obtenu immédiatement par la méthode des quatre cinquièmes, comme nous le disons aussi dans la note 3 de la p. 449.

Après avoir trouvé la longueur du pendule isochrone avec un cercle horizontal suspendu en un point de la verticale passant par son centre (voir la note 7 de la p. 481), Huygens aurait pu en déduire celle du pendule isochrone avec un cône droit suspendu en son sommet, s'il avait connu la méthode des quatre cinquièmes. La valeur qu'il trouve pour le cône dans la Prop. XXII de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’, et qu'il calcule d'une tout autre manière, s'accorde avec la valeur , où y est le rayon de la surface basale (cercle) et x la hauteur du cône, valeur obtenue en multipliant par ⅘ la longueur du pendule isochrone avec le cercle basal.

Observons encore que dans le cas du corps oscillant considéré le pendule linéaire qu'on peut substituer à ce corps a une longueur égale à celle du pendule isochrone avec la surface basale (homogène ou non), et une densité linéaire proportionnelle au carré de la distance au point de suspension: tandis que ce pendule linéaire était un triangle infiniment aigu pour la surface oscillante (Fig. 24 de la p. 442 et Fig. 31 de la p. 452), dans le cas du corps oscillant c'est un cône infiniment effilé.

La Pièce IX (p. 457-460) nous apprend (voir la note 2 de la p. 458) comment Huygens a trouvé la longueur du pendule isochrone avec une surface plane, oscillant perpendiculairement à son plan, en se servant d'abord de la méthode directe, et en transformant ensuite cette méthode dans la ‘méthode de l'onglet’, lorsque la surface est suspendue en un point de son contour, et dans la ‘méthode du tronc’, lorsqu'elle est suspendue à un point (ou plutôt à un axe) extérieur. Dès lors, l'application de la méthode directe pour les surfaces planes, oscillant

[p. 369]

comme il a été dit, devient superflue; il peut maintenant trouver la longueur du pendule isochrone en prenant la distance de l'axe de suspension à la projection sur le plan de la figure du centre de gravité de l'onglet ou du tronc élevé sur cette figure et limité par un plan oblique passant par l'axe de suspension. Comparez la proposition qui forme le dernier alinéa de la p. 503.

On conçoit qu'après la découverte de cette méthode, Huygens se soit efforcé, comme nous l'avons dit, de réduire l'oscillation d'une surface dans son plan à celle d'une autre surface oscillant perpendiculairement à son plan; c'est ce qu'il effectue d'une manière ingénieuse en découpant la surface donnée en tranches horizontales et en donnant à ces tranches la position verticale par une rotation de 90^o, comme on peut le voir dans la Deuxième et la Troisième Partie (p. 462 et 463) de la Pièce X. Comme nous le disons dans la note 6 de la p. 470, il doit avoir découvert, avant de trouver cette méthode de réduction de l'oscillation latérale à l'oscillation perpendiculaire au plan de la figure, la formule générale pour la longueur du pendule isochrone, laquelle n'est d'ailleurs, pour le cas de l'oscillation perpendiculaire au plan de la figure, autre chose que la mise en équation de la méthode de l'onglet ou du tronc; tandis qu'elle peut être trouvée dans le cas d'un corps oscillant quelconque par la méthode directe. Mais il ne songe pas encore en 1664 à donner à cette formule générale la place éminente qu'elle occupe à bon droit dans l'‘Horologium oscillatorium’ de 1673¹⁾.

En possession de ces méthodes, Huygens réussit maintenant à résoudre le problème capital (voir les p. 355-356): quelle est la longueur du pendule isochrone avec une sphère homogène suspendue à un fil de poids négligeable? Il réduit la sphère d'une manière ingénieuse (Pièce XI, à la p. 470) à une surface oscillant perpendiculairement à son plan. Comme cette surface est suspendue ä un axe qui lui est extérieur, il faut appliquer la méthode du tronc. Or, pour trouver la place de la projection sur le plan de la figure du centre de gravité de ce tronc, Huygens se sert d'une formule (voir la p. 472) qui permet de déterminer

1) En 1669 (voir à la p. 488 du T. VI le 9^ième anagramme) Huygens formule comme suit le théorème exprimé par la formule générale x = Σr²/nb (voir le premier alinéa de la note qui occupe la p. 471): ‘Figurae cuilibet oscillatorio motu agitatae isochronum est pendulum simplex cujus longitudo aequalis ei quae fit cum quadrata omnium perpendicularium, ductarum a particulis minimis, in quas figura secari intelligitur, in axem oscillationis dividuntur per distantiam centri gravitatis ab axe oscillationis multiplicem per numerum earundem particularum’. Remarquons que les ‘particulae minimae’ sont supposées égales entre elles.

[p. 370]

cette place lorsqu'on connaît la projection sur le plan de la figure du centre de gravité de l'onglet correspondant, c.à.d. de l'onglet obtenu en coupant le cylindre élevé sur la figure plane par un plan oblique passant par une tangente à cette figure parallèle à l'axe d'oscillation par lequel passe le plan oblique qui limite le tronc. Comme nous le disons aussi dans la note 1 de la p. 509, cette formule correspond pour le cas spécial d'une figure plane en ‘mouvement solide’ (p. 499) au Théorème XIX de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’, suivant lequel, lorsqu'un même corps est suspendu successivement à différents axes parallèles entre eux et situés tous dans un même plan avec le centre de gravité du corps, le produit de la distance de l'axe d'oscillation au centre de gravité du corps par la distance de ce centre de gravité au centre d'oscillation¹⁾ est constant²⁾.

Huygens cherche ensuite (p. 473) la longueur du pendule isochrone avec un ellipsoïde de révolution suspendu en un point de son axe. Dans ce cas le corps entier ne peut plus être réduit à une surface plane, mais en décomposant la formule générale x = Σr²/nb³⁾ en - où y et z désignent les distances d'un point à deux plans perpendiculaires entre eux -, il est cependant possible de se servir de la méthode du tronc, comme on peut le voir dans la note 2 de la p. 473. Pour trouver le Σz² d'une surface plane (c.à.d. la somme des carrés des distances des particules égales qui constituent cette surface à un axe donné situé dans le plan de la figure) Huygens fait usage des formules qu'on trouve à la p. 503 et dans la Pièce XVIII (p. 545) et aussi dans l'‘Horologium oscillatorium’ (Prop. VIII, IX, X et XI de la Pars Quarta). Ensuite Huygens applique à une ellipse oscillant dans son plan (p. 476) une méthode de calcul analogue à celle dont il s'est servi dans le cas de l'ellipsoïde, ce qui le conduit, paraît-il (voir les deux derniers alinéas de la note qui occupe la p. 477) à formuler une méthode générale pour les surfaces planes symétriques oscillant dans leur plan (voir, à la p. 515, la Pièce XVI): la longueur l du pendule isochrone est dans ce cas , où l₁ est la lon-

1) C'est cette dernière distance que nous désignons à la p. 472 par ‘λ trunci’.

2) Dans les anagrammes envoyés en 1669 à la ‘Royal Society’ (p. 489 du T. VI, comparez la note 1 de la p. 369), Huygens appelle ce produit ‘rectangulum distantiarum’.

3) Voir là note 3 de la p. 364 et la note 1 de la p. 369.

[p. 371]

gueur du pendule isochrone correspondant à la même surface suspendue de la même manière, mais oscillant perpendiculairement à son plan, l' celle du pendule isochrone avec la demi-figure oscillant autour de l'axe de symétrie de la figure totale, z' la distance du centre de gravité de la demi-figure à cet axe de symétrie et b' la distance du centre de gravité de la figure entière au point de suspension. Cette formule est appliquée au secteur de cercle suspendu au centre de ce cercle (p. 487-489 et p. 527-529), ainsi qu'à la paire de triangles infiniment aigus (voir le dernier alinéa de la p. 361) suspendus en un point de l'axe de symétrie (p. 491, 494, 533 et suiv.), à l'hexagone régulier (p. 495), au rectangle (p. 521-523), au triangle isoscèle (p. 523-525) et dans quelques autres cas (voir p.e. la note 2 de la p. 493).

À la p. 482 on trouve une énumération des sommes de la forme Σy⁴, Σy³, Σy²z², Σy²z, et Σyz - où y et z désignent les distances d'un point d'une surface plane symétrique à l'axe de symétrie et à un autre axe perpendiculaire au premier - qu'il faut connaître pour pouvoir déterminer la longueur du pendule isochrone avec la surface plane nommée oscillant dans son plan, ainsi que celle du pendule isochrone avec le corps obtenu par la rotation de cette figure plane autour de son axe de symétrie. Cette méthode générale pour les corps de révolution est appliquée au paraboloïde suspendu à son sommet (p. 483), ainsi qu'à l'hyperboloïde de révolution suspendu de la même manière (Pièce XIX, à la p. 550).

Dans cette dernière Pièce, on trouve en outre une application de la méthode de calcul développée par Huygens dans la Prop. XV de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’, ce qui fait voir que cette méthode, du moins pour le cas particulier des corps de révolution, lui était déjà connue en 1665 (ou peut-être en 1664). Il s'agit de trouver le Σz² du corps, c.à.d. la somme des carrés des distances de tous les points pesants égaux qui constituent le corps, au plan de symétrie passant par l'axe d'oscillation. Huygens démontre à l'endroit nommé que cette somme Σz² est égale au produit de N (nombre des particules du corps) par une ‘surface’ Z, déterminée par une formule qui dans le cas où le corps est de révolution se réduit à la proportion ½ R:z' = ¼ ρ²:Z⁴⁾, où ρ est le rayon du cercle basal,

4) Voir la note 4 de la p. 554.

[p. 372]

tandis que R est la ligne de base (ED dans la Fig. 90 de la p. 550) et z' la distance à l'axe de symétrie du centre de gravité de la figure ‘quae à latere est’ (suivant l'expression de Huygens à l'endroit cité), c.à.d. de la surface BKDEMB de la Fig. 90 nommée; cette surface plane est construite de telle manière qu'entre chaque paire de sections horizontales faites par les mêmes plans dans le corps de révolution et dans cette surface se trouve, peut-on dire, un même nombre de points pesants, la densité de ces points étant uniforme tant pour le corps que pour la surface; en d'autres termes, la longueur p de la section faite dans la surface par un plan horizontal quelconque est proportionnelle à la surface P de la section faite dans le corps par ce même plan¹⁾; on peut dire, si l'on veut, que la figure ‘à latere’ est le corps lui-même rabattu dans un plan²⁾. Posons p = kP, où k est une constante.

La formule ½ R:z' = ¼ ρ²:Z ou Σz² = N ρ²z'/2R provient sans doute³⁾ de la détermination de Σz² qu'on trouve dans la note 4 de la p. 483. On peut supposer le corps de révolution divisé en une infinité de cylindres de hauteur égale a. Pour chaque cylindre on a Σz² = ¼nr², où z à la même signification que plus haut, tandis que r est le rayon du cylindre et n le nombre de points qu'il contient. Il contient donc n/πr²a points dans l'unité de volume, de sorte que n = N πr²a/V, où V représente le volume du corps entier. Le Σz² du corps entier est donc N πa/4V Σr⁴. Or, on a z' = Σ½p²/Σp = ½ k ΣP²/ΣP, où P = πr² et ΣP = V/a; donc z' = k π²a/2V Σr⁴.

1) On trouve aussi des figures ‘à latere’ de ce genre dans la Première et la Deuxième Partie de la Pièce XI (p. 470-474).

2) Dans la Troisième Partie de la Pièce X (p. 463-469) on trouvera un tronc ‘rabattu dans un plan’.

3) Dans le calcul qui suit nous n'avons nullement la prétention de reproduire exactement le raisonnement qui a conduit Huygens à la proportion ½ R:z' = ¼ ϱ²:Z. Nous saisissons cette occasion pour remarquer que Huygens ne se sert nulle part du symbole Σ, qui fut introduit par L. Euler en 1755 (‘Institutiones calculi differentialis, etc.’ cap. 1, § 26, p. 27). Quant au symbole π, celui-ci n'a probablement fait son apparition qu'au commencement du dixhuitième siècle (voir M. Cantor ‘Vorlesungen über Geschichte der Mathematik’ III, 2^te Aufl. Leipzig, Teubner [1901], p. 306). Dans l'‘Horologium oscillatorium’ la démonstration est beaucoup plus géométrique.

[p. 373]

On a en outre R = kπρ²; donc z'/R = πa/2Vρ² Σr⁴. L'expression N πa/4V Σr⁴ peut donc s'écrire N ρ²z'/2R, ce qu'il fallait démontrer.

Nous avons fait mention de la constance du ‘rectangulum distantiarum’ (voir la note 2 de la p. 370) dans le cas d'une surface oscillant perpendiculairement à son plan; à la p. 529 Huygens démontre la constance de ce ‘rectangulum’ pour le cas d'une surface plane symétrique oscillant dans son plan, en partant de la proposition déjà établie, ainsi que de la formule générale (p. 370, dernière ligne) pour la longueur du pendule isochrone avec une surface symétrique oscillant dans son plan. Mais il n'établit pas encore la constance du ‘rectangulum’ pour un corps oscillant quelconque, comme il le fera en 1669 (voir le premier alinéa de la p. 370).

On trouve à la p. 461 une autre loi, également susceptible de généralisation; suivant cette loi la période d'une figure plane oscillant dans son plan est la même où que le point de suspension se trouve sur une circonférence de cercle située dans le même plan et ayant son centre au centre de gravité de la sigure. Huygens en donne aucune démonstration de cette loi, à laquelle il semble encore faire allusion à la p. 525 (7^iéme ligne d'en bas). En 1669 il connaissait la loi généralisée⁴⁾ qu'on trouve aussi dans l'‘Horologium oscillatorium’ (Prop. XVI de la Pars Quarta); suivant cette loi la période d'un corps oscillant donné a une valeur déterminée par la distance du centre de gravité de ce corps à l'axe d'oscillation, et la direction de ce dernier.

On ne trouve pas encore dans les Pièces qui suivent la loi suivant laquelle le point de suspension et le centre d'oscillation peuvent échanger leurs places

4) T. VI, p. 488, anagramme 10: ‘Figura quaevis sive linea fuerit sive superficies sive solidum, si aliter atque aliter suspendatur agiteturque super axibus a figurae centro gravitatis aequaliter distantibus, ut tamen idem semper sit oscillationis planum, sibi ipsi isochrona est’. Tous ces axes forment donc un cylindre à section droite circulaire.

[p. 374]

(‘Horologium oscillatorium’, Pars Quarta, Prop. XX: ‘Centrum Oscillationis & punctum suspensionis inter se convertuntur’).

Les Pièces IV, XV et XVI étaient sans doute destinées à être publiées; c'est pourquoi nous y avons ajouté une traduction française. Il en est de même de la Pièce XVIII¹⁾, à laquelle cependant nous n'avons pas ajouté de traduction, puisqu'on peut tout aussi bien lire les Propositions IX, X et XI de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’ qui sera publié avec une traduction²⁾.

Le 10 octobre 1664 (voir la p. 120 du T. V) Huygens put écrire à Moray, c.à.d. à la ‘Royal Society’, qu'il avait trouvé les centres d'oscillation du triangle isoscèle suspendu par le sommet ou au milieu de la base et oscillant dans son plan, ainsi que celui du cercle, etc. Il dit avoir ‘la determination generale pour tous triangles et rectangles, suspendus par un des angles, ou par le milieu des costez’. Dans les Pièces qui suivent on ne trouvera pas de calcul relatif à un rectangle suspendu par un des angles, ce qui fait bien voir que tous les calculs de Huygens n'ont pas été conservés³⁾. Huygens écrit en outre avoir trouvé la longueur du pendule isochrone avec une sphère ‘ce qui sert principalement à la mesure universelle’⁴⁾.

Le 28 octobre 1664 (voir la p. 127 du T. V) il écrivit à de Sluse avoir trouvé une règle universelle ‘ad plana et solida’ (voir le dernier alinéa de la note qui occupe la p. 477 et à la p. 482 la Septième Partie de la Pièce XI), et dans sa lettre du 31 octobre à Moray il fait également mention de ces ‘regles generales’. Dans le sommaire de sa lettre à P. Petit du 30 octobre 1664 (voir la p. 129 du T. V) il fait mention non seulement de la sphère mais encore du conoïde hyperbolique (ou hyperboloïde de révolution). Le calcul du pendule isochrone a vec ce conoïde

1) Et peut-être de la Pièce XVII moins importante.

2) Il en existe d'ailleurs une traduction allemande: c'est le N^o. 192 d'‘Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften’ (éd. Heckscher et v. Oettingen, Leipzig, Engelmann, 1913).

3) Comparez la note 2 de la p. 456 et la note 1 de la p. 512. Huygens a fait beaucoup de calculs sur des feuilles séparées, une partie desquelles ont été collées dans le Manuscrit B (voir la note 2 de la p. 435). Ce sont les ‘brouillons’ mentionnés à la p. 375.

4) Comparez les p. 355-356.

[p. 375]

suspendu à son sommet que nous possédons et dont nous venons de parler (p. 371) date de plus tard (voir, à la p. 550, la Pièce XIX).

En novembre 1664 lord Brouncker (comparez le quatrième alinéa de la p. 349) tâcha d'établir un ‘principle’ ou loi générale du centre d'oscillation (voir la p. 144 du T. V), mais il ne réussit à trouver (ou plutôt à deviner) la place de ce centre que dans le cas de ‘l'agitation des figures planes sur un axe qui est dans leur mesme plan’ (d'après la remarque de Huygens au même endroit).

Le 21 novembre (p. 149 du T. V) Huygens fit connaître à Moray la place du centre d'oscillation de la sphère, mais sans y ajouter de démonstration; dans cette lettre il parle de nouveau de la mesure universelle⁴⁾. Peu de temps après (voir la lettre du 13 décembre de R. Hooke à R. Boyle, à la p. 169 du T. V) on fit à la ‘Royal Society’ des expériences pour vérifier l'assertion de Huygens ‘thereby to settle a common standard for length’. On avait d'ailleurs déjà fait le 16 novembre (Birch, I, p. 489) des expériences sur les triangles mentionnés par Huygens dans sa lettre du 10 octobre, et le 23 novembre le président (Birch, I, p. 495) avait fait connaître à la ‘Society’ le ‘new way for making an universal measure, proposed in a letter [la lettre nommée du 21 nov.] to Sir Robert Moray by Mons. Huygens’, à la suite de quoi on décida de faire les expériences mentionnées par Hooke; elles furent faites (Birch, I, p. 500) dans la séance du 7 décembre, avec le résultat que ‘Monsieur Huygens's rule was found to approach very near to it’. Dans la séance du 21 décembre (Birch, I, p. 508) on fit encore des expériences sur les cercles suspendus en un point de leur contour qui confirmèrent la théorie de Huygens (voir la p. 455). Déjà dans sa lettre du 7 novembre (T. V, p. 138) Moray avait écrit à Huygens: ‘On vous prie auec toute sorte d'instance de nous vouloir communiquer toutes vos speculations auec les propositions que vous auez dressees sur ce suiet’, mais Huygens s'excusa dans sa réponse du 2 janvier 1665 (T. V, p. 187) en disant: ‘en veritè je n'ay pas le temps de mettre au net ce que j'ay dans mes brouillons³⁾ sur ce sujet et beaucoup d'autres’. Ce n'est que le 4 septembre 1669 qu'il envoya ‘ut adserventur in Actis Societatis Regiae’ quatorze anagrammes, dont la plupart se rapportent à la force centrifuge et au centre d'oscillation⁵⁾. Mais la publication n'eut lieu qu'en 1673 dans l'‘Horologium oscillatorium’.

4) Comparez les p. 355-356.

3) Comparez la note 2 de la p. 456 et la note 1 de la p. 512. Huygens a fait beaucoup de calculs sur des feuilles séparées, une partie desquelles ont été collées dans le Manuscrit B (voir la note 2 de la p. 435). Ce sont les ‘brouillons’ mentionnés à la p. 375.

5) La dernière se rapporte à la chute cycloïdale (comparez la note 2 de la p. 410). Huygens avait proposé lui-même (T. VI, p. 486) la méthode des anagrammes ‘pour eviter les disputes, et rendre a un chacun ce qui luy est deu dans l'invention des choses nouvelles’.
Comparez la note 1 de la p. 369, la note 2 de la p. 370, la note 4 de la p. 373 et le dernier alinéa de la note de la p. 496.

[p. 376]

On ne retrouve pas d'ailleurs dans ce dernier tous les sujets traités dans les brouillons¹⁾.

Remarquons encore que la terminologie de Huygens n'est pas constante (comparez la p. 245). Ainsi l'oscillation d'une surface dans son plan est appelée en 1664 ‘[agitatio] in plano suo’ (p. 455); et l'oscillation perpendiculaire à son plan ‘[agitatio] in latus’ (p. 457; comparez la note 7 à cet endroit); ensuite (p. 461) l'oscillation dans le plan est au contraire désignée par ‘[agitatio] in latus’; dans la Pièce XV (p. 499), apparemment destinée à la publication, l'oscillation dans le plan s'appelle ‘motus oscillatorius planus’ ou ‘motus planus’ et l'oscillation perpendiculaire au plan ‘motus oscillatorius solidus’ ou ‘motus solidus’. Dans l'‘Horologium oscillatorium’ ces deux mouvements s'appellent respectivement ‘[agitatio] in latus’ et ‘[agitatio] in planum’. (Defin. XI et XII de la Pars Quarta).

Nous avons déjà parlé de la ‘potentia’, ainsi que de la ‘vis motus’ de Huygens (2^ième et 13^ième ligne de la p. 417) qui n'est pas encore une quantité nettement déterminée (p. 359, premier et troisième alinéa de la note 6) et nous pourrions répéter ici ce que nous avons dit à la p. 245 au sujet du mot ‘gravitas’ (comparez la note 2 de la p. 384).

On pourrait se demander comment il faut concilier le fait que Huygens attribue à un pendule donné la même période partout²⁾ avec le résultat trouvé auparavant (voir la p. 304 de ce Tome) sur la diminution (apparente) de la gravité par suite de la rotation de la terre. Mais il convient de se rappeler que Huygens ne fait pas encore de distinction en ce moment entre le poids d'un corps

1) Voir le dernier alinéa de la note qui occupe la p. 472.

2) Comparez la 8^ième ligne d'en bas de la p. 355. Dans la Prop. XXV de la Pars Quarta de l'‘Horologium oscillatorium’ de 1673, déjà citée à la p. 356, Huygens dit qu'à l'aide du pendule à secondes on peut trouver le pied horaire ‘ubique gentium’.

[p. 377]

et sa masse. Il avait trouvé par expérience (voir la note 7 de la p. 355) que le poids spécifique du corps oscillant est sans influence sur sa période. La formule générale pour la longueur du pendule isochrone (voir la note 1 de la p. 369) confirme ce résultat. Il a donc pu penser que la diminution de la gravité par suite de la rotation de la terre est probablement sans influence sur la période des oscillations³⁾. À plus forte raison pouvait-on admettre à la ‘Royal Society’ cette invariabilité de la période d'un pendule donné, puisqu'on n'y connaissait pas le résultat du calcul mentionné de Huygens de la p. 304. Cependant l'idée que cette diminution (apparente) de la gravité pourrait avoir une certaine influence sur la période d'oscillation a traversé l'esprit de Huygens déjà en 1666. À la suite du morceau que nous avons publié aux p. 323-324 de ce Tome, il écrit après quelques calculs: ‘2′7″ quibus horologium [sic] pendulum sub 45 gr. latitudinis lentius incederet una die quam idem sub polo... 2′18″ quibus horolog. lentius esset sub aequin.⁴⁾ in una die quam idem sub latit. 45 gr.’⁵⁾. Nous reviendrons sur cette question lorsque nous publierons le ‘Discours de la Cause de la Pesanteur’. Mais il est certain que Huygens n'a pas eu confiance dans l'exactitude de son raisonnement à cet endroit, puisqu'il écrit encore en 1687⁶⁾: ‘...je vous prie... de me mander au plus tost, si vous en avez d'autres informations qui nous persuadent qu'il y a effectivement cette variation dans la nature [c.à.d. la variation de la longueur du pendule à secondes, observée par Richer] ce qui me semble fort vraisemblable, quoyque je puisse aussi rendre raison, en cas qu'elle ne s'y trouve pas’⁷⁾.

Nous avons déjà fait voir plus haut (voir les p. 341-342) combien la netteté et la concision de quelques formules de Huygens paraissent remarquables lorsqu'on les compare avec les énoncés vagues ou scolastiques de beaucoup de ses

3) C'est par hypothèse et sous toutes réserves que nous lui prêtons ce raisonnement (comparez la fin de cet alinéa).

4) Voir la note 2 de la p. 224.

5) Il résulte de la proposition énoncée dans le dernier alinéa de la p. 410 que la période d'une oscillation cycloïdale - et par conséquent aussi la période d'une petite oscillation circulaire - est inversement proportionnelle à la racine carrée de l'accélération de la chute verticale libre. Si l'on admet que cette accélération est proportionnelle au poids apparent d'un même corps en divers points de la surface du globe terrestre - ce qui est évidemment exact - on retrouvera à fort peu près les résultats de Huygens, bien entendu en admettant la justesse des fractions 1/165 et 1/343 de la p. 324.

6) Dans sa lettre du 1 mai 1687 à Ph. de la Hire (T. IX, p. 130).

7) Comparez la lettre de Huygens du 24 avril 1688 aux Directeurs de la Compagnie des Indes (T. IX, p. 275), et la note 5 de la p. 230 (influence de Newton).

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prédécesseurs. Quant à la concision, elle règne surtout dans les morceaux non destinés à être publiés¹⁾. Mais la formule générale²⁾ du Manuscrit B se trouve aussi dans l'‘Horologium oscillatorium’, ce qui fait bien voir que dans la pensée de Huygens l'exactitude et une certaine concision ne s'excluent pas³⁾. Cette concision ‘in statu nascendi’ a eu une grande influence sur le style de plusieurs ouvrages de mécanique publiés après 1673. Bornons-nous ici à nommer la Mécanique d'Euler⁴⁾ et à rappeler que c'est lui qui a donné le nom de ‘moment d'inertie’⁵⁾ à la somme ou intégrale considérée par Huygens de diverses masses multipliées chacune par le carré de sa distance à un axe.

1) Il est impossible d'y méconnaître l'influence de Cavalieri. Comparez les notes de la p. 340. Il convient cependant de remarquer que Huygens et ses contemporains avaient compris (longtemps avant la découverte du ‘Traité de la Méthode’ d'Archimède, nommé à la p. 192 du T. XIV) que les anciens se servaient aussi de méthodes analogues à celles de Cavalieri (voir la note 15 de la p. 5 du T. XII et la première ligne de la p. 753 du T. XIII).

2) Voir la note 1 de la p. 369, et le troisième alinéa de la note qui occupe la p. 471.

3) Comparez les p. 348-349.

4) L. Euler ‘Mechanica sive motus scientia analytice exposita’, Petropoli, 1736. Voir la p. VII (‘Vorwort des Herausgebers’) du ‘Tomus Primus’ et la p. 3 (‘Praefatio’ d'Euler) du ‘Tomus Secundus’ de la nouvelle édition de cet ouvrage (‘Leonhardi Euleri Mechanica sive motus scientia analytice exposita edidit Paul Stäckel, Lipsiae et Berolini’, Teubner, MCMXII).

5) ‘Theoria Motvs Corporvm solidorvm sev rigidorvm’, Avctore L. Evlero, Rostochii et Gryphiswaldiae, A.F. Röse, MDCCLXV, p. 166, § 422: ‘Momentum inertiae corporis respectu cujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab axe multiplicentur’.