De natuurkunde van 't vrije veld. Deel III

Rust en beweging

[p. III]

De Natuurkunde van 't Vrije Veld
III. Rust en beweging

[p. IV]

[p. 1]

Schatten en meten.

Gij hebt alles geordend naar maat, getal en gewicht.

Wijsheid van Salomo, XI, 20.

Bij de beschrijving van een natuurverschijnsel hebben we weinig aan woorden zoals ‘groot’ of ‘klein’, ‘snel’ of ‘langzaam’, ‘licht’ of ‘zwaar’. Duidelijker en welsprekender zijn getallen. Overal waar het mogelijk is, zullen we trachten met onze eenvoudige middelen nauwkeurige metingen te doen; meer dan eens echter zullen we ons tevreden moeten stellen met onzekere schattingen, die toch hun nut kunnen hebben. Een juist gevoel voor de grootte der dingen is van onschatbare waarde bij het maken van ontwerpen, bij het bedenken van natuurkundige theorieën, bij het fantaseren over de materie ....

1. Het schatten der lengten.

Op de bladzijde hier tegenover staat een centimeterschaaltje. Onthoud volgende maten:

de span, afstand tussen de toppen van duim en pink, ongeveer 22 cm;

de el, lengte van uw arm, ongeveer 70 cm;

uw eigen lengte;

de afmetingen van een Nederlandse briefkaart: 9 cm × 14 cm;

dubbeltje	1,5 cm
kwartje	1,9 cm
gulden	2,8 cm
rijksdaalder	3,8 cm.

Bij voetmarsen tellen we eens en vooral hoeveel stappen we moeten doen om van een hektometersteen tot de volgende te lopen, zoveel mogelijk hierbij de normale stap houdend waaraan we gewoon zijn; later kunnen we dan onbekende afstanden schatten door de stappen uit te tellen. Men kan ook oefenen hoe men stappen moet zó dat iedere stap met 1 meter overeenkomt: dit is de meest gebruikte methode voor kleine afstanden.

[p. 2]

Een prachtig middel om grote afstanden nauwkeurig te meten hebben we in de fiets. We beginnen met te bepalen hetgeen wij de ‘trapafstand’ noemen: de afstand waarover de fiets vooruit gaat als de trappers één maal ronddraaien¹⁾. Dit doen we, door langs een rechte weg te rijden, en te tellen hoeveel omwentelingen de rechter (of linker) pedaal maakt tussen twee hektometerstenen; of beter nog: tussen twee kilometerstenen. Bij de eerste steen telt men: ‘nul’; dus 0, 1, 2, 3 ....; zodat als men ophoudt het getal tot hetwelk men gekomen was meteen het afgelegde aantal omwentelingen aangeeft. De bepaling is zo nauwkeurig, dat men gemakkelijk het verschil vindt tussen de faktor bij hard opgepompte banden en bij zachte achterband (bij mijn fiets: 5,20 m ± 0,01 en 5,13 m ± 0,01, als uiterste waarden). Kleine afwijkingen van de rechte lijn spelen bijna geen rol, ze veroorzaken slechts ‘cosinusfoutjes’, en ze herhalen zich bij latere metingen vrijwel op dezelfde wijze. Wanneer men nu onbekende afstanden in pedaalomwentelingen uittelt, hoeft men geen grotere fout te maken dan ½ of ¼ omwenteling; samen met de niet nauwkeurig bekende slapte van de band veroorzaakt dit een fout van slechts weinige meters op een kilometer, allicht minder dan 1%.

Grote afstanden tussen goed kenbare punten worden op de stafkaart bepaald, gebruik makend van de aangegeven schaal.

Schat de afstand van een huis, van een boom; fiets of loop er naar toe en controleer of de schatting goed was.
Bepaal welke van twee wegen de kortste is om ergens te komen.
Als u eens de kettingkast van uw fiets heeft opengemaakt, maak er dan gebruik van om het aantal tanden te tellen van het pedaalwiel en van de achternaaf en vermenigvuldig de omtrek van het achterwiel met die verhouding; het produkt moet overeenstemmen met onze ‘trapafstand’.

Vul de trapafstand van uw fiets hier in!

1) Dit is wat men soms in de dagelijkse taal ‘versnelling’ noemt. Den natuurkundige rijzen hierbij echter de haren te berge! Wat hij versnelling noemt is iets geheel anders. - In de techniek wordt soms ook ‘versnelling’ genoemd: de aequivalente middellijn in Engelse duimen van het wiel dat met één omwenteling de fiets even ver vooruit zou brengen als een volle omwenteling der trappers dit in werkelijkheid doet; gewoonlijk 28 duim × aantal tanden van het kettingwiel / aantal tanden van de naaf.

2. Het schatten van hoeken.

Hoe groot is de volle Maan? - Veel mensen zeggen: ‘zo groot als een soepbord’ of ‘zo groot als een dubbeltje’! Dat heeft natuurlijk geen zin: het is duidelijk dat de Maan zover

[p. 3]

verwijderd is, dat een bord of een dubbeltje op die afstand geheel onzichtbaar zouden zijn; de sterrekundigen weten, dat de Maan vele duizenden kilometers groot is.

Neem echter een dubbeltje en hou het op armafstand: het bedekt ruimschoots de maanschijf. Een soepbord op 25 meter van ons oog zou ze ook bedekken. Wat we dus rechtstreeks kunnen aangeven is de hoek waaronder we de maansmiddellijn zien: ongeveer een halve graad, of een honderdste radiaal¹⁾. Deze laatste maat is vooral nuttig voor kleine hoeken; 0,01 rad betekent:



1 cm gezien op 100 cm afstand; of 2 cm op 200 cm; of 10 cm of 1000 cm; enz.

Hier volgen enkele manieren om een hoek vast te leggen, zoals iedereen ze zich nog wel uit zijn schoolwiskunde herinnert! (fig. 1).

De rechte hoek telt 90 graden.

Elke graad telt 60 boogminuten.

Elke boogminuut telt 60 boogsekunden.

Voor kleine hoeken is bij benadering:
hoek in radialen = sinus = tangens = 0,0175 × hoek in graden.

Nu enkele eenvoudige hulpmiddelen bij het meten en schatten van hoeken in 't vrije veld!

a.	Schat eens de hoogten van sterren zonder enig hulpmiddel. Bepaal daartoe eerst het punt recht boven uw hoofd, het zenith;

1) De juiste waarde is: 31'5" (gemiddeld). De zon zien we toevallig onder vrijwel dezelfde hoek als de maan,nml. 31'59" = 1/108; haar middellijn is wel vele malen groter, maar ze staat net evenveel malen verder van ons af.

[p. 4]

	keer u om en zie of u het dan nog op dezelfde plaats zoudt aanwijzen. Bepaal nu de hoogte 45^o, dan 22^o en 67^o, enz. Er is een neiging om het hoofd niet genoeg achterover te buigen en de verschillende richtingen steeds te laag aan te wijzen (I, § 116); vermijd dit! Een goed waarnemer maakt geen fouten groter dan 3^o.^1)
b,	We strekken de arm recht voor ons uit, en spreiden de vingers van de hand zo ver mogelijk uiteen. Dan ziet ons oog tussen de top van de duim en die van de pink een hoek van ongeveer 20^o (‘een spanne’). - Houd met gestrekte arm een Fig. 1. Hoeken. latje loodrecht op uw blikrichting en meet (in cm) hoe groot de afstand a schijnt te zijn tussen de twee beschouwde punten: de hoek bedraagt dan ongeveer a graden, althans indien onze arm ongeveer 57 cm lang is. Een nauwkeuriger bepaling verkrijgt men, door bij zichzelf de afstand latje - oog precies te meten.
	Een Arabisch scheepskapitein bepaalde nog in 1836 de hoogte der sterren met de vier vingers der hand, tegen elkaar aan gelegd en op armafstand gehouden (8^o). De gebroeders Schlagintweit hebben nog op die wijze sterhoogten geschat op hun ontdekkingsreizen in de 19e eeuw.
	‘Als aan de Jordaan een man op 't vlakke veld op zijn rug gaat liggen, zijn knieën opricht en zijn vuist met rechtopstaande duim daarop zet, dan is de Poolster op die hoogte te zien, zo hoog en niet hoger’^2) - Bij mij bedraagt deze hoek 31^o½, als ik het hoofd zover ophef tot ik met de hand bij mijn knieën

1) A.A. Nijland, A.N. 160, 258, 1902. - Deze schattingen, bewerkt volgens de methode der ‘cirkels van Sumner’, zijn voldoende om de aardrijkskundige lengte en breedte te berekenen met een fout van ten hoogste 2^o.

2) Fr. Schmidt, Geschichte d. geod. Instrum. u. Verfahren blz. 338 (1935).

[p. 5]

Hoek in gra- den Hoek in radi- alen Si- nus Tan- gens Hoek in gra- den Hoek in radi- alen Si- nus Tan- gens 0 0,000 0,000 0,000 46 0,803 0,719 1,036 1 ,017 ,017 ,017 47 ,820 ,731 1,072 2 ,035 ,035 ,035 48 ,838 ,743 1,111 3 ,052 ,052 ,052 49 ,855 ,755 1,150 4 ,070 ,070 ,070 50 ,873 ,766 1,192 5 ,087 ,087 ,087 51 ,890 ,777 1,235 6 ,105 ,105 ,105 52 ,908 ,788 1,280 7 ,122 ,122 ,123 53 ,925 ,799 1,327 8 ,140 ,139 ,140 54 ,942 ,809 1,376 9 ,157 ,156 ,158 55 ,960 ,819 1,428 10 ,175 ,174 ,176 56 ,977 ,829 1,483 11 ,192 ,191 ,194 57 ,995 ,839 1,540 12 ,209 ,208 ,213 58 1,012 ,848 1,600 13 ,227 ,225 ,231 59 1,030 ,857 1,664 14 ,244 ,242 ,249 60 1,047 ,866 1,732 15 ,262 ,259 ,268 61 1,065 ,875 1,804 16 ,279 ,276 ,287 62 1,082 ,883 1,881 17 ,297 ,292 ,306 63 1,100 ,891 1,963 18 ,314 ,309 ,325 64 1,117 ,899 2,050 19 ,332 ,326 ,344 65 1,134 ,906 2,145 20 ,349 ,342 ,364 66 1,152 ,913 2,246 21 ,367 ,358 ,384 67 1,169 ,920 2,356 22 ,384 ,375 ,404 68 1,187 ,927 2,475 23 ,401 ,391 ,424 69 1,204 ,934 2,605 24 ,419 ,407 ,445 70 1,222 ,940 2,747 25 ,436 ,423 ,466 71 1,239 ,946 2,904 26 ,454 ,438 ,488 72 1,257 ,951 3,078 27 ,471 ,454 ,510 73 1,274 ,956 3,271 28 ,489 ,470 ,532 74 1,292 ,961 3,487 29 ,506 ,485 ,554 75 1,309 ,966 3,732 30 ,526 ,500 ,577 76 1,326 ,970 4,011 31 ,541 ,515 ,601 77 1,344 ,974 4,331 32 ,559 ,530 ,625 78 1,361 ,978 4,705 33 ,576 ,545 ,649 79 1,379 ,982 5,145 34 ,593 ,559 ,674 80 1,396 ,985 5,671 35 ,611 ,574 ,700 81 1,414 ,988 6,314 36 ,628 ,588 ,726 82 1,431 ,990 7,115 37 ,646 ,602 ,754 83 1,449 ,992 8,144 38 ,663 ,616 ,781 84 1,466 ,994 9,514 39 ,681 ,629 ,810 85 1,484 ,996 11,43 40 ,698 ,643 ,839 86 1,501 ,998 14,30 41 ,716 ,656 ,869 87 1,518 ,999 19,08 42 ,733 ,669 ,900 88 1,536 ,999 28,64 43 ,750 ,682 ,932 89 1,553 1,000 57,29 44 ,768 ,695 ,966 90 1,571 1,000   45 ,785 ,707 1,000

[p. 6]

	komen kan; breedte van de Jordaan: 32^o tot 33^o (Deze goede overeenstemming is natuurlijk toevallig!).
c.	Ga op armafstand van een ruit staan en zet twee inktstipjes op het glas, die voor u de twee voorwerpen precies bedekken waartussen de hoek te meten is (met één oog waarnemen!). De afstand der stipjes gedeeld door de afstand oog - ruit is de gevraagde hoek in radialen. - Of: prik twee spelden in het raamkozijn en ga zover achteruit tot ze de twee voorwerpen bedekken.
d.	Prik drie spelden A, B, Fig. 2. Het meten van hoeken met drie spelden en een plankje. C in een plankje of in een briefkaart, zó dat de gezichtslijnen BA, BC de te meten hoek afbakenen (fig. 2). Het plankje moet vast opgesteld zijn, op een tafel liggen of tegen een boom gespijkerd zijn. Trek daarna de lijnen BA, BC, en meet hun hoek met een gradenboog.
e.	Twee latten, de ene van 1 meter lengte, de andere loodrecht daarop bevestigd; in deze laatste spijkers of spelden op vaste afstanden van elkaar (fig. 3). Houd deze soort hark met Fig. 3. Het meten van hoeken met twee onderling loodrechte latten. de steel B tegen uw jukbeen gedrukt; als nu de spijkers A en C de twee beschouwde punten schijnen te bedekken, is AC/BA de tangens van de gevraagde hoek, dus voor kleine hoeken tevens de hoek in radialen. Als bv. AC=7 cm is AC/BA = 0,07 rad = 4^o.
f.	Bij al de vorige methoden doet zich altijd het bezwaar voor, dat het oog niet tegelijk scherp kan instellen op het voorwerp in de verte en op het meettoestel vlak bij het oog. Dit

[p. 7]

	bezwaar wordt bij de volgende methode vermeden.^1) Kijk met het éne oog naar het voorwerp waarvan u bijvoorbeeld de breedte in hoekmaat wilt meten. Houd vlak voor het andere een vergrootglas, en bekijk daarmee een millimeterschaaltje. Na een ogenblik oefening bent u staat beide ogen tegelijk open te houden, en u ziet het vergrote beeld der millimeterstrepen gesuperponeerd op het voorwerp zweven; als u 't schaaltje op de juiste afstand achter het vergrootglas houdt, zijn beide tegelijk scherp. Lees af hoeveel millimeters door het voorwerp bedekt worden; voor niet te grote hoeken geldt:
	Bij deze meting moet men zijn gewone bril blijven ophouden; de lens moet een brandpuntsafstand van 5 cm tot 15 cm hebben. Men doet enkele contrôleproeven om uit te maken welke afstand als ‘brandpuntsafstand’ in rekening gebracht moet worden, willen de bepalingen goed uitkomen (invloed van twee sterk verschillende ogen, accomodatie, enz.).
g.	Duimregel. - De ogen van de meeste mensen staan op een afstand van ongeveer 6,5 cm van elkaar; als men de arm vóór zich uitstrekt en de duim omhoog steekt, is die op een afstand van ongeveer 6,5 cm van de ogen, dus toevallig 10 maal de oogafstand. Het ene oog ziet dan de duim een verwijderd voorwerp A bedekken, het andere oog een voorwerp C; met een weinig oefening kan men beide ogen open houden, en ziet dan de duim tegelijk tegenover de twee voorwerpen. We weten dus, dat we de lijn AC onder een hoek van 1/10 rad = 5^o,7 zien; die lijn is 10 maal haar eigen lengte van ons oog verwijderd.
h.	Telefoonpaalmethode^2). Voor het bepalen van hoogten ϑ boven de gezichteinder kiest men een geschikte hoge paal en loopt zo ver achteruit tot zijn top nauwkeurig in de richting van het te meten verschijnsel is gekomen. Men meet hoever men zich van de paal heeft moeten verwijderen (a), deelt door de hoogte h van de paal boven het oog, en heeft aldus tg ϑ=h/a. Is de hoogte h niet bekend, dan leidt men die af door een hemellichaam te meten dat op een bekende hoekafstand boven de

1) Vgl. Soret, Arch. sc. phys. nat. 21. 21, 1889.

2) M. Pinkhof, Hemel en Dampkring, 37, 141, 1939.

[p. 8]

	kim staat. - In plaats van een paal is ook de gevel van een huis bruikbaar.
i.	Voor het meten van hoogten boven de kim is er nog een eenvoudig hulpmiddeltje dat een nauwkeurigheid van 0,5^o geeft.^1) Neem een rechthoekig stuk karton, prik daarin een gaatje C, en laat daardoor een draad CM hangen, op een of andere wijze bezwaard en als schietlood dienend (fig. 4). De Fig. 4. Het meten van hoeken met plankje en schietlood. waarnemer richt de zijde AB nauwkeurig naar de boomtop waarvan de hoogte gemeten wordt, zwenkt het karton even, zodat de slinger eerst vrij hangt en dan zacht tegen het karton aandrukt. Op het karton zijn de lijnen CD ⊥ AB en DF // AB getrokken, de eerste liefst 10 cm lang, de laatste in cm en mm verdeeld (het kan bv. een reepje millimeterpapier zijn). De hoek DCM is gelijk aan de hoek van AB met het horizontale vlak; hij is af te lezen op een papieren graadboog die we op ons karton geplakt hebben of uit zijn tangens TD/CD te berekenen.
	Men kan ook een plankje nemen met een spijker C en een eenvoudig viziertje langs de zijde AB bevestigen.
j.	Een zeer fraai instrument kan vervaardigd worden uit een gradenboog, die men voorziet van een vizier AB, en met een schroef vastklemt aan een stok met punt, welke stevig in de grond gestoken wordt (fig. 5). Men leest de stand van het schietlood op de gradenboog af, en vindt aldus rechtstreeks de hoek; eens en vooral is gecontroleerd, dat het schietlood wel bij 0 hangt als de vizierlijn op de gezichtseinder gemikt is. Merk op dat het viseren nauwkeuriger gaat als men het oog op enige afstand van het vizier A houdt: men ziet het dan scherper.

1) Science, 66, 507, 1927. De beroemde Harvard-sterrewacht heeft een dergelijk toestelletje in de vorm ener eenvoudige briefkaart aan haar vrijwillige meteoor-waarnemers gestuurd.

[p. 9]

k.

Met een ouderwets fotografietoestel dat nog van een matglas voorzien is, kan men zeer nauwkeurig hoeken bepalen tot een 30-tal graden. Om bv. de hoogte van een torenspits boven de gezichteinder te meten, plaatst men de camera waterpas op een statief of op een tafel, zodat Fig. 5. Het meten van hoeken met gradenboog en vizier. de kim in het centrum van het matglas afgebeeld wordt; men stelt in op ∞, en meet op het matglas de afstand a tussen torenspits en gezichteinder. Dan is a/f = tgϑ, met f = de brandpuntsafstand van het toestel, die meestal op de vatting van de lens geschreven staat. De meting op het matglas is alleen mogelijk bij camera's voor platen, niet bij een filmcamera. Maak een opname van het tafereel en meet die uit: dan is de hoek tevens voor later vastgelegd.

l.

Kijk heel even vluchtig naar de zon (gevaarlijk! met de oogleden knippen!). U ziet nu verscheidene kleine ronde nabeeldjes, die zich overal op aftekenen waar u de blik op richt (I, § 93). De middellijn van zulk een schijfje komt overeen met een hoek van 32' (= iets meer dan ½ graad).

Zie ook § 4.

Schat allerlei hoeken, eerst zonder hulpmiddelen, dan met onze primitieve methoden: de hoogte in hoekmaat van een toren, een huis, een boom, de zon; de hoekafstand tussen twee sterren; de straal van de kleine kring om de maan (I, § 141). In de drie laatste gevallen is een nauwkeurige contrôle op uw metingen mogelijk, zodat de fout bepaald kan worden. De hoogte van de poolster moet gelijk gevonden worden aan de aardrijkskundige breedte van onze waarnemingsplaats. - Schat de hoek waaronder u een mens in de verte ziet en bereken zijn afstand uit de ongeveer bekende hoogte.

3. Het schatten van hellingen.

De onervaren waarnemer schat de stijging van het terrein altijd te groot! Een spoorweg helt zelden meer dan 1%; op de lijn Sittard - Herzogenrath komt 1:70 voor. Een weg die 10% stijgt is al moeilijk met de fiets te berijden. De steilste duinhellingen, die de indruk van bijna loodrechte wanden

[p. 10]

maken, vormen slechts een hoek van 40^o met de gezichteinder.

Schat op welke afstand

Fig. 6. Het schatten van hellingen.

l uw blik het stijgende terrein treft, als hij zo goed mogelijk horizontaal gericht wordt, dus op de hoogte van de gezichteinder; de hoogte van uw oog boven de grond, gedeeld door de afstand l, geeft de tangens van de hellingshoek en de stijging in procenten (fig. 6).

4. Het schatten der breedte van een rivier.

Kies een bepaald merkteken A aan de overkant, en stel u daar tegenover in B. Loop

Fig. 7. Het schatten van de breedte van een rivier.

40 stappen langs de oever tot in C, en laat dan een steen vallen; loop nog 20 stappen tot in D. Als u nu loodrecht op de oever loopt, tot u in E bent, waar u de punten A en C in dezelfde richting ziet, is de afstand DE de helft van de breedte der rivier. - Tel alles in passen, en reken daarna om in meters (§ 1).

Bewijs waarom dit zo is! Hoe wordt het als voor BC en CD andere waarden gekozen zijn?

5. Hoogte van een boom (huis, toren, uitzichtstoren, enz.).

Ik moet bekennen dat ik lange tijd zeer onduidelijke voorstellingen heb gehad van de hoogte van bomen, van ‘een 10 meter-hoog huis’. De volgende middeltjes, die de houtvesters voor hoogtebepaling gebruiken, helpen verrassend goed om ons tekort aan ervaring op dit gebied aan te vullen.¹⁾

a.	Om de hoogte te schatten, denkt men de boom naar rechts of naar links omgevallen, en vraagt zich af waar de top dan, een kwart cirkel beschrijvend, op de grond zou terechtkomen; van op enige afstand is dit vrij goed te zeggen. De afstand van

1) Bij U. Müller, Lehrbuch der Holzmesskunde (Berlin 1923), staan er 48 methoden om de hoogte van een boom te bepalen!

[p. 11]

	dit punt tot aan de voet van de boom telt men in stappen uit.^1)
b.	Zet op de hoogte van uw oog een merkteken op de boomstam. Ga ongeveer zóver van de boom als u denkt dat hij hoog is; om dit te controleren, houdt u een stok met uitgestrekte Fig. 8. Het schatten der hoogte van een boom met de 45^o-methode. arm zó, dat zijn uiteinde uw oog raakt; dan laat u dit uiteinde een kwart cirkel beschrijven tot de stok loodrecht omhoog is gericht, daarbij de arm zo weinig mogelijk verroerend. De gezichtslijn van het oog naar het bovenste uiteinde van de stok stijgt dus onder een hoek van 45^o; men gaat achteruit tot die lijn de top van de boom precies treft, terwijl het onderste uiteinde steeds in de richting van het merkteken wordt gezien (fig. 8). De afstand waarop men zich nu van de stam bevindt is de gezochte hoogte, mits men er nog de hoogte van het merkteken bij optelt.^2)
c.	Een stok ac, liefst ongeveer 80 cm lang, aan het onderste Fig. 9. Het schatten van de hoogte van een boom met de 10-delige schaal. eind waarvan het 10e deel zijner lengte gemerkt is (b), wordt los in de hand gehouden zodat hij loodrecht neerhangt, en wel op een zódanige afstand van het oog dat hij de boom AC net bedekt. Let nu op wáár de gezichtslijn langs b de stam treft: de hoogte van dit punt B boven de grond is het 10e deel van de hoogte van de boom^3) (fig. 9).
d.	Houd een centimetermaatstaf evenals bij de vorige methode zó dat hij loodrecht neerhangt en de boom net bedekt. Lees nu af waar de gezichteinder de maatstaf snijdt. De lijn van uw oog

1) U. Müller, t.a.p. blz. 128.

2) De Lapasse, Revue des Eaux et Forets blz. 449, 1908.

3) Borgmann, Forstliche Rundschau, blz. 9, 1916.

[p. 12]

	naar het punt B is nu horizontaal, dus ligt B op ooghoogte boven de grond, stel op 1,65 m. De hoogte van de boom is dan 1,65m × ac/bc.
e.	Ik bevind mij op het dek van een zeeschip, 12 m boven de zeespiegel. Op enige afstand zie ik een rots, de gezichteinder snijdt de rots op een zekere hoogte. Ik kan nu de hoogte van de rots onmiddellijk schatten, bedenkende dat de tussenruimte die ik zie tussen de voet en de gezichteinder met 12 meter overeenkomt (fig. 10). Stel nog dat ik schattenderwijs deze hoogte van 12 m onder een hoek van ongeveer 1^o = 0,0175 rad zie, dan vind ik de afstand van de rots: 12/0,0175 = 610 m. We bedenken te weinig, dat in een vlak land de hoogte van Fig. 10. De hoogten der voorwerpen, bepaald uit de doorsnijding met de gezichteinder. onze ogen boven de grond een natuurlijke maatstaf is; het is alsof er overal om ons heen meetlatten geplant stonden, die deze hoogte aangeven: alle voorwerpen waarvan we de doorsnijding met de gezichteinder zien, en waarvan de voet op hetzelfde waterpasvlak ligt waarop wij ons bevinden. Hoe hoger we boven de grond staan, hoe groter onze maatstaf en hoe nauwkeuriger onze schattingen. Is de gezichteinder niet vrij, dan is het voldoende in plaats daarvan een ver voorwerp te nemen dat zich naar (zeer ruwe) schatting op ooghoogte boven de grond bevindt, en de nabije voorwerpen ten opzichte daarvan uit te meten.
f.	Bepaal de hoogte van een gebouw door de lengte van de schaduw te meten. Aan een goed vertikaal geplaatste stok of aan een schietlood meet u onmiddellijk daarna de verhouding hoogte/schaduwlengte; deze zelfde verhouding geldt voor het gebouw. - Op deze wijze zou Thales aan de Egyptische priesters geleerd hebben, de hoogte der pyramiden te schatten.

[p. 13]

De hoogte van de voornaamste Nederlandse torens.
Amersfoort	98 m
Amsterdam, Oude kerk	68 m
Amsterdam, Westerkerk	100 m
Antwerpen	123 m
Arnhem	95 m
Breda	85 m
Brussel, Stadhuis	90 m
Brussel, St. Goedele.	70 m
Brugge, halletoren	108 m
Brugge, O.L. Vrouw	122 m
Delft, N. kerk	108 m
Gent, St. Baafs	80 m
Gent, belfort	82 m
Groningen	95 m
Den Haag, Gr. Kerk	100 m
Haarlem	90 m
Kootwijk, radiomasten	212 m
Leeuwarden, Oldehove	40 m
Mechelen	77 m
Middelburg, LangeJan	87 m
Rhenen	85 m
Utrecht	112 m

6. Diepgang en inhoud van een schip.

De kleinere schepen van de binnenvaart dragen een ijkingsmerk, meestal op 4 plaatsen in de wand van het schip gebeiteld, dikwijls niet zeer duidelijk onder de laag teer of verf. Het is een vertikale schaal, het nulpunt staat onderaan en komt overeen met de waterspiegel als het schip onbelast is; de bovenste streep komt overeen met de waterspiegel als het schip zijn volle lading heeft. Op de ijkbrief van den schipper vindt men aangegeven hoe groot de waterverplaatsing voor elke streep van de schaal is. Dikwijls is alleen de bovenste streep duidelijk: men meet dan de afstand van de waterspiegel tot aan die streep met een duimstok. Met de ijkbrief kan men ook onmiddellijk aangeven wat de diepgang van het schip is: men vindt daarin hoe groot de afstand van het nulpunt der ijking tot de bovenste ijkstreep is, en daarenboven hoe diep de kiel nog onder dat nulpunt ligt.

De grote schepen, vooral die welke op zee varen, op de Rijn, de Merwede, de Noord, hebben aan vóór- en achtersteven een diepgangsschaal, waarvan het nulpunt bij de kiel begint, en die uit zeer duidelijke witte en zwarte blokken bestaat. Aan de ene zijde is de schaal verdeeld in decimeters, aan de andere in Engelse voeten (33 cm); dikwijls gebruikt men voor de metermaat Arabische cijfers, voor de voetmaat Romeinse.

Als we ons zonder die schalen moeten behelpen, schatten we dat de diepte van de kiel onder het bovendek gemiddeld 0,6 maal de grootste breedte van het schip bedraagt.

In het midden der lengte draagt het schip aan beide zijden een uitwateringsmerk of Plimsollmerk, dat de grootste diepte aangeeft tot dewelke het schip geladen mag worden. Het is een

[p. 14]

cirkel, doorsneden met een horizontale middellijn; daarnaast is aangegeven hoe deze lijn gewijzigd moet worden:

in de tropen, zoet water	TZW
in de zomer, zoet water	ZW
in de tropen, zeewater	T
in de zomer, zeewater	Z
in de winter, zeewater	W
in de winter, Noord-Atl. oceaan	WNA.

Om de inhoud van een schip te schatten, moeten we zijn grootste lengte L en grootste breedte B kennen, alsook de diepte D van de kiel onder het dek. Als het schip de vorm had van een parallelipipedum, zou de inhoud LBD zijn; in werkelijkheid komt er een coëfficient bij, die de ‘volheid’ van het schip aangeeft, en gemiddeld 0,7 bedraagt. Een scherpe vorm bevordert de snelheid, een stompe vorm de stabiliteit. De bruto-inhoud is dus



registertonnen¹⁾ (‘groot registertonnage’).

Het gewicht van het schip, onbelast en zonder machines, kan geschat worden op 0,2 LBH ton (van 1000 kg), waarbij H de hoogte is van de kiel tot aan het hoogste doorlopende dek (‘verplaatsingstonnage’).

Dikwijls hebben we geen gelegenheid de diepte van de kiel te meten, terwijl we daarentegen L en B gemakkelijk door schatten of afstappen bepalen. Dan gebruiken we de ouderwetse formule: 0,5 B²(L - 0,6 B) m³, die al vanzelf rekening houdt met de gemiddeld voorkomende kielvorm (‘Builders Old Measurement’).

Bepaal de tonnenmaat van een aantal schepen, zo dat u die langzamerhand op het oog leert schatten, zwervend langs de stoomboten, slepers, zeilschepen, te midden van het laden en het lossen en de bedrijvigheid der zeehaven. Grote zeeschepen hebben een inhoud van 10000-30000 ton; kleinere vracht- of passagierboten 1000-10000 ton; stoomvissersvaartuigen 500 ton; sleepboten 300 ton; kruisers 5000-30000 ton; torpedoboten 500 ton; viermastbarken 3000 ton.

Het zal den lezer wel duidelijk zijn dat de vakman bij dergelijke metingen een heel wat groter nauwkeurigheid eist dan wij bereiken kunnen. Hij heeft dan ook toegang tot het inwendige van het schip, en kan veel meer tijd dan wij aan zijn bepaling besteden. De formules die wij gebruiken zijn eenvoudige voorschriften die vroeger in zwang waren en die een ruwe schatting geven.

1) Een registerton is 100 Engelse kubieke voeten, dus een eenheid van volume.

[p. 15]

7. Inhoud van bomen.

Over het schatten en meten van de inhoud van bomen bestaat een ontzaglijke litteratuur, omdat de bosbouw daar zoveel belang bij heeft.¹⁾. De moeilijkheid

Fig. 11. Vormgetal van bomen.

bestaat daarin, dat de dikte op ingewikkelde wijze langs de stam verandert.

a.	De meest gebruikelijke manier is, dat men de hoogte h van de boom meet en het oppervlak s van de doorsnede op borsthoogte (1,30 m). Het volume is dan shf. Het ‘vormgetal’ f is proefondervindelijk bepaald en af te lezen uit fig. 11; het geeft de verhouding aan tussen de inhoud van de boom en die van een zuil van zelfde grondvlak (op borsthoogte) en hoogte. De voluit getrokken lijnen hebben betrekking op de den, de gestippelde op de beuk; de beide onderste kurven leren tevens hoeveel hout geleverd wordt door de takken die tenminste 7 cm dik zijn.
b.	Men meet het oppervlak s van de (denkbeeldige) doorsnede op borsthoogte. Nu gaat men op enige afstand staan, en schat op welke hoogte k daarboven de middellijn van de boom tot op de helft afgenomen is: daar ligt het ‘richtpunt’. Om die schatting uit te voeren vraagt men zich af in welk gedeelte van de stam het richtpunt ongeveer ligt, kiest het midden van het gehele gebied waarover men twijfelt, bepaalt de hoogte van dit punt, en telt er nog een meter bij op, omdat de ervaring bewijst dat men meestal te laag geschat heeft. De inhoud van de stam boven de borsthoogte is nu: ⅔sk.
c.	Zeer eenvoudig is de regel van Denzin. Meet op borsthoogte de middellijn d in cm; dan is de inhoud van de stam in m^3:d^2/1000. De regel geldt ongeveer voor bomen van 28 m

1) We noemen alleen, bij wijze van voorbeeld, het standaardwerk van U. Müller: Lehrbuch der Holzmesskunde. Berlin 1923.

[p. 16]

hoog; voor elke meter min of meer is 4% af te trekken of bij te tellen.

De middellijn d op borsthoogte wordt het best bepaald door een touwtje om de stam te slaan en de lengte daarvan te delen door π. De doorsnede is dan π/4d². Voor de bepaling der hoogte: zie § 5.

De houtvester wil ook weten hoeveel hout een geheel bos bevat. Een eenvoudige, zeer ruwe regel is: de hoeveelheid hout (dikker dan 7 cm) per hektare is 16 maal het getal dat de gemiddelde hoogte van het bos aangeeft, - alles gerekend in m³ en m.

Zie overigens het slot van § 6!

8. De richting Noord - Zuid.

a.

Volgens de zon. - Deze oriëntering is praktisch, maar ruw als men niet precies overweegt wat men doet. Op de middag staat de zon in 't Zuiden - mits men ‘zonnetijd’ gebruikt; neemt men de tijd van onze gewone uurwerken, dan kan de richting tot 5^o fout zijn. Veel onnauwkeuriger is de regel, dat de zon om 6 u. 's ochtends in het Oosten en om 6 u. 's avonds in het Westen staat; dat kan op onze breedten 15^o fout extra veroorzaken (afgezien dus van de tijdfout). - Een juister oriëntering verkrijgt men als volgt. Houd uw horloge in de linkerhand, duim bij IX, wijsvinger bij III; kantel het horloge om die twee vingers, tot XII ongeveer 50^o naar omhoog gericht is. Houd een lucifer (speld, dennenaald) halverwege tussen het cijfer XII en de plaats waar de kleine wijzer nu staat, loodrecht op het wijzerblad. In de zon werpt die lucifer een schaduw; en men draait het horloge tot die schaduw precies door het middelpunt gaat, wat zich keurig precies laaat uitvoeren. Het cijfer XII wijst dan de Zuidrichting aan^1). Waarom geldt deze regel? Waarom moeten we 't horloge schuin houden? In het winterhalfjaar is de regel niet uitvoerbaar, omdat de schaduw dan aan de onderkant van het horloge valt; in die periode kan men echter de wijzerplaat veilig horizontaal houden: de fout die daardoor ontstaat is nooit groter dan 8^o.

b.

Volgens de Maan. - Dit gaat het best wanneer de Maan net een der karakteristieke schijngestalten vertoont. Bij eerste kwartier is ze 6 uur achter bij de zon; we denken ons horloge dus

1) Een ander eenvoudig recept in: die Himmelswelt, 27, 50, 1917.

[p. 17]

	6 uur teruggezet, de Maan door de zon vervangen, en we voeren de bepaling uit zoals bij a beschreven. Bij volle Maan moeten we 12 uur aftrekken, bij laatste kwartier 18 uur aftrekken, of 6 uur optellen. Voor daartussen liggende schijngestalten moet geïnterpoleerd worden, maar de tijdsbepaling wordt dan merkbaar onzekerder.
c.	Volgens de sterren (fig. 12). - De Poolster wijst min of meer nauwkeurig het juiste Noorden aan. Om haar te vinden zoekt men eerst de Grote Beer, 7 heldere sterren aan de Noordzijde van de hemel, die volgens het uur van de nacht en het jaargetijde in allerlei standen ten opzichte van de gezichteinder gericht kunnen zijn. Verleng nu de lijn αβ ongeveer 5 maal: daar staat de Poolster. Het is een tamelijk heldere ster, zelf weer behorend tot het sterrebeeld de Kleine Beer, dat uit vrij zwakke sterren bestaat. De eigenlijke pool ligt ruim 2 maansmiddellijnen daar vandaan, in de richting naar de ster Mizar van de Grote Beer (fig. 12). - In § 13 zullen we zien hoe men ook de richtingen Oost en West uit de sterren vinden kan.
d.	Naar de plantengroei. - De groene aanslag, die men op de meeste boomstammen vindt, bestaat uit mikroskopische groenwieren (Pleurococcus vulgaris). Hij komt meestal aan de vochtigste zijde van de stam voor, dat is bij ons de ZW-zijde. In de stam van alleenstaande beukebomen vindt men dikwijls vertikale barsten van 1 tot 2 m lengte, aan de kant waar de stam het sterkst door de zon verwarmd en uitgedroogd wordt (meestal ZZW); in de winter worden deze barsten nog door de vorst verwijd. Niet ver van onze Noordzeekust zijn de bomen meestal door de heersende wind Oostwaarts gekromd.
e.	Naar de stafkaart. - Zoek daarop de plaats waar u bent, en bepaal met de kaart de juiste oriëntering van goed kenbare punten: kerktorens, heuvels enz. Hoe verder verwijderd de voorwerpen, des te nauwkeuriger het resultaat. Zeer precies wordt deze bepaling met het kompas van Bézard (§ 9).

9. Het kompas.

De magneetnaald wijst thans in Nederland ongeveer 8^o westelijk van het ware Noorden. Draai het kompas tot de naald die stand op de windroos ingenomen heeft, zorgend dat het instrumentje goed horizontaal ligt, en zachtjes er tegen tikkend, om zeker te zijn dat de naald geheel vrij bewegelijk is. De windstreken zijn dan tevens juist gericht.

[p. 18]

Bij het kopen van een kompas beproeve men vooral de scherpte van het spilletje dat de naald draagt. Hiervoor zijn er verschillende, zeer bruikbare recepten. - a) Men legt het kompas op de tafel, en geeft het met een ijzeren voorwerp, dat men heel langzaam dichterbij brengt, een uitwijking van 1^o; de kracht die de naald naar de evenwichtsstand terugdrijft is nu nog zeer zwak, maar moet in staat zijn haar te doen teruggaan, zodra het ijzeren voorwerp langzaam verwijderd wordt. Bij slechte kompasjes begint de naald dikwijls pas terug te gaan bij een uitwijking van 5^o. -

b) Geef aan de naald een afwijking van 5^o naar links, door een ijzeren voorwerp voorzichtig naderbij te brengen; verwijder het voorwerp langzaam, en lees de eindstand van de naald af. Geef nu evenzo aan de naald een afwijking van 5^o naar rechts, en lees weer de eindstand af. Het verschil der aflezingen mag niet groter zijn dan 2^o. -

c) Span een draadje boven de naald, precies in de richting van haar as, en draai nu voorzichtig het huisje: de naald moet haar richting behouden. Bij slechte kompasjes werd bevonden dat ze zelfs tot 6^o achterbleef!

Vervolgens dient men na te gaan of het magnetisme van de naald voldoende krachtig is. Geef aan de naald een afwijking van 45^o, en laat haar dan vrij slingeren: de tijd tussen twee even of twee oneven doorgangen door het nulpunt (de gehele slingertijd) moet kleiner zijn dan 15 sec. Hierbij is aangenomen dat het aardveld ter plaatse een sterkte heeft van de orde = 0,20 (Keuringseis van het Bureau of Standards).

Het kompas van Bézard is bijzonder praktisch voor de oriëntering op het terrein¹⁾. - Beginsel: de windroos is hier instelbaar ten opzichte van het huisje, waaraan een viseerinrichting bevestigd is; deze windroos dient om een bepaalde hoek vast te leggen tussen de viseerrichting en de meridiaan. De meridiaan is de ene maal bepaald door de magneetnaald, de andere maal door de NZ-lijn van de kaart. Op deze wijze kunnen hoeken van het landschap naar de kaart en omgekeerd overgebracht worden.

1.

Een richting in het landschap vasthouden. - Mik met de viseerinrichting op een punt in de verte; draai ondertussen de windroos, en zorg dat de naald inspeelt. Nadat u een eind gelopen heeft, kunt u opnieuw viseren; als u zich daarbij zó draait dat de naald weer inspeelt, weet u zeker dat u de oorspronkelijke richting

1) Prijs groot model: f 14. -.

[p. 19]

	vastgehouden heeft. (Een index geeft u daarenboven nog de hoek tussen deze richting en het Noorden).
2.	Een richting van het landschap naar de kaart overbrengen. - Mik met de viseerinrichting op het bedoelde punt in de verte, en draai de roos tot de naald inspeelt. Zet het kompas nu op de kaart, en draai het zo, dat de woorden ‘Patent Bézard’ evenwijdig aan de EW-richting der kaart gericht zijn. U kunt dan direkt aflezen hoe de viseerrichting op de kaart loopt. (Een index geeft u daarenboven de hoek tussen deze richting en het Noorden).
3.	Een richting van de kaart overbrengen naar het landschap. Zet het kompas op de kaart met de viseerinrichting op de gewenste lijn. Draai de roos, tot de letters ‘Patent Bézard’ evenwijdig zijn aan de EW-richting der kaart. Viseer nu in 't landschap: draai u, tot de naald inspeelt op de roos, en kijk in welke richting het vizier nu wijst. (De index geeft u daarenboven de hoek tussen die richting en het Noorden).

10. Korte tijdsruimten . Horloge.

De meeste horloges hebben een sekundewijzer, zij wijzen en tikken vijfde delen van een sekunde. Het meetellen op 't gehoor vergt enige oefening; men telt 0 1234 1 1234 2 1234 .... Weldra went men aan de eigenaardige vijftallige rhythmus.

De goedkope wekkers, die zo algemeen verspreid zijn, tikken 200 maal per minuut. Dit is erg praktisch voor het bepalen van de afstand van een onweer uit het tijdsinterval donderbliksem: want het geluid legt 340 m per sekunde af, dus vrijwel 100 meter per tik van de wekker.

Een touwtje waaraan een keitje of een ander gewichtje hangt, slingert van de ene uiterste stand naar de andere in één sekunde, indien de afstand van zijn ophangpunt tot het midden van het gewichtje 99,5 cm bedraagt. Een slinger van 25 cm gaat in 1 sekunde heen en terug.

Polsslagen kunnen ook dienen voor de tijdmeting: Galilei maakte ervan gebruik toen hij de hanglamp waarnam in de domkerk te Pisa, en de gelijke duur van de grote en de kleine slingeringen opmerkte! Het normale aantal is 75 per minuut, maar snelle beweging, angst, .... kunnen dit enorm doen stijgen.

Ieder natuuronderzoeker moet sekunden kunnen tellen zonder uurwerk. Daartoe oefent men eerst door tot 60 te tellen en dan op 't horloge te kijken of er inderdaad een minuut verlopen is;

[p. 20]

zo nodig telt men een volgende maal iets langzamer of sneller. Bij het tellen gedurende enige minuten hoeft de fout niet groter te zijn dan ongeveer 10%; sommige waarnemers zijn zo geoefend in de kunst, dat ze gedurende het tellen een praatje over het weer maken, zonder in de war te komen!

Bepaal voor enkele grote vogels hoeveel vleugelslagen ze per sekunde uitvoeren (kraai, reiger, enz.)
Bepaal hoe lang een vertikaal omhooggeworpen steen er over doet eer hij op de grond terugvalt (§ 149).

Onderzoek de eigenaardigheden van uw horloge, dat we bij allerlei gelegenheden nodig zullen hebben.

Vooreerst lezen we af, bij welke streep de sekundenwijzer staat als de grote wijzer juist een minuutstreep bereikt heeft (loupe!). In de loop van een uur blijkt deze aflezing meestal aanzienlijk te verlopen; oorzaak: de as van de grote wijzer zit niet precies in 't midden (‘excentriciteit’).

De gang van het horloge kan gecontroleerd worden volgens § 11 en § 12. Deze gang is meestal zeer verschillend naarmate het horloge ligt of hangt. Normaal is, dat het horloge in de vestzak wordt gedragen; polshorloges lopen in 't algemeen minder nauwkeurig. Vergelijk uw goedlopend horloge vóór en na een treinreis met dezelfde stationsklok: de schokken van de trein hebben blijkbaar invloed gehad op de gang, het horloge is achter gaan lopen. De temperatuur heeft insgelijks invloed, want de corrigerende inrichting die daarvoor in het horloge zit werkt niet volmaakt. De gang bij nacht is anders dan bij dag, zowel wegens het verschil in de schokken als wegens de andere temperatuur. Door uw horloge elke dag op hetzelfde uur op te winden bereikt u dat de gang veel regelmatiger wordt.

11. Middelbare tijd.¹⁾

De Nederlandse stationsklokken worden elke dag om 10 uur gelijkgezet, volgens een tijdsein dat van Amsterdam uit telegraphisch aan alle stations wordt medegedeeld. De wijzer van de elektrische klok verspringt éénmaal per minuut, op het ogenblik waarop hij net versprongen is wijst hij Greenwichtijd + 20^m0^s.²⁾ De fout is ten hoogste 0,5 minuut, de dagelijkse

1) De theorie der tijdmeting vindt men op heldere wijze uiteengezet in: J. van der Bilt, De Astronomische Hemelverschijnselen - (Zutphen, Thieme 1934).

2) Dus geen Amsterdamse tijd, aangezien deze gelijk is aan Greenwichtijd + 19^m32^s. We zouden gevoegelijk kunnen spreken van ‘Nederlandse tijd.’

[p. 21]

gang niet meer dan 10 sekunden; tussen de aanwijzing en de juiste tijd is het verschil dus nooit meer dan 1 minuut.

Radioseinen¹⁾. 1. Sedert 11 Mei 1942 geeft de N.R.O. tijdseinen te 5^h45^m, 6^h15^m, 11^h00^m, 17^h00, 18^h00 West-Europese tijd. Op de 50^e, 52^e, 54^e, 56^e sekunde hoort men een dubbele punt; daarop volgen 5 punten, om de halve sekunde, van sekunde 58 tot sekunde 60; het laatste punt is de volle, aangegeven minuut. Een nauwkeurigheid van enkele 0,1 sec wordt beoogd.

2. De volgende seinen worden uitgezonden door de Deutschlandsender (1571 m) te 5^h00, 10^h00, 16^h00, 21^h00, en door de Hamburgzender (332 m) te 5^h00, 9 00, 13^h00, 17^h00, 21^h00 W.E. tijd. Men hoort scherpe tikken op alle sekunden van 30 tot 40, dan op de sekunden, 45, 50, 55, 58, 59, 60. De nauwkeurigheid is 0,15 sec.

3. De ‘Onogo-seinen’ worden o.a. uitgezonden door de Deutschland-zender (1571 m) van 11^h55^m00^s tot 12^h01^m01^s. Schema:

Vergelijk gedurende enige opeenvolgende dagen uw horloge met een radiotijdsein en bepaal de gang. Is die anders 's winters dan 's zomers? Over dag en des nachts? Liggend of hangend? Bij opwinden op een vast uur elke dag of op onregelmatige tijden?
Onderzoek hoe laat precies een torenklok slaat: u vindt aanzienlijke afwijkingen tussen de opeenvolgende dagen.

1) G. van Herk, Hemel en Dampkring, 40, 177, 1942. - Het cliché der Onogo-seinen is met vriendelijke toestemming der redactie uit deze verhandeling overgenomen.

12. Tijdcontrôle volgens de sterren²⁾.

De tijd die draadloos wordt geseind is afgeleid uit de waarneming der sterren. Waarom zouden wij, die de natuur bestu-

2) Dit is de methode van Olbers, arts en beroemd liefhebber-sterrekundige, de ontdekker van de planetoide Pallas en kometenwaarnemer; Monatliche Korrespondenz, 1801. - Vgl. ook K. Schwarzschild in Klein-Riecke, Neue Beiträge z. Frage d. math. phys. Unterrichts, blz. 157, 1904. - Domke, W. Foerster, Ph. Fauth in Mitt. Ver. Fr. Astr. 8, 15, 1898; 9, 83, 1899.

[p. 22]

deren, ons horloge niet rechtstreeks met de sterren vergelijken? We beschikken over geen kijker, maar toch kan de waarneming verrassend nauwkeurig gemaakt worden.

Van de plaats waar we kijken moeten we een hoog gebouw kunnen zien, bijvoorbeeld een toren of fabrieksschoorsteen op 150 m afstand, en wel in zuidelijke richting; de afwijking van de meridiaan mag echter best een 20-tal graden of zelfs meer bedragen. We bevestigen aan het vensterkruis van onze waarnemingskamer een stukje karton of een plankje met een opening van 1 cm middellijn, om zeker te zijn dat we ons oog altijd op hetzelfde punt zullen houden; of we plakken op de ruit twee etiketjes, met daartussen een vertikale spleet van 1 cm breedte. Nu zien we 's nachts hoe de ene ster na de andere door de schijnbare dagelijkse draaiing van het hemelgewelf achter de toren verdwijnt. Het is zeer merkwaardig hoe snel dat gaat: in weinige sekunden tijds ziet men de lichtsterkte afnemen en ineens is de ster weg; dat laatste ogenblik is scherp bepaald.

Op achtereenvolgende dagen verdwijnt de ster altijd nauwkeurig op dezelfde sterretijd, dat wil zeggen dat ze volgens de gewone middelbare tijd onzer uurwerken elke dag 3^m 56^s vroeger verdwijnt: de sterreklok loopt vóór, maar alle dagen evenveel. Men neemt dus éénzelfde ster gedurende achtereenvolgende dagen waar; als men niet telkens een verschil van 3^m56^s, dus bijna 4 minuten vindt in de verdwijningstijdstippen bewijst dit dat ons horloge niet nauwkeurig loopt, en een gang vertoont, waarvan we het bedrag kunnen aangeven.

De beste manier om de waarneming uit te voeren is: telkens verscheiden sterren waarnemen, voor ieder daarvan het verschil met de vorige dag berekenen en het gemiddelde nemen. Men behoeft dan geen fout te maken van meer dan ½ sekunde!

De reden waarom de sterretijd zo buitengewoon regelmatig verloopt, is eenvoudig deze: de schijnbare draaiing van de sterrenhemel is het gevolg van de aswenteling der Aarde, zonder enig ander storend verschijnsel; en die aswenteling zelf is volmaakt gelijkmatig. Daarom is de sterretijd de grondslag van onze tijdmeting.

In plaats van een toren in zuidelijke richting, kunnen we ook gebruik maken van een horizontale dakenlijn aan de westelijke horizon: we zien dan de ster achter die dakenlijn ondergaan. Hierbij kan echter de aardse straalkromming, die van dag tot dag veranderlijk is, merkbare fouten veroorzaken.

[p. 23]

13. Sterretijd.

In §§ 11 en 12 hebben we de gang van ons horloge nauwkeurig

Fig. 12. Oriëntering en tijdbepaling volgens de sterren. De wijzer onzer ‘hemelklok’ is thans vertikaal naar beneden gericht: het is 0^b sterretijd. Daaronder zijn de standen van de wijzer voorandereuren aangegeven.

leren bepalen. Het komt er nu op aan, de stand zelf te vinden. Met onze eenvoudige hulpmiddelen is die uit sterwaarnemingen slechts ruw af te leiden; een nauwkeuriger methode maakt gebruik van de zon (§ 15).

Enkele eenvoudige middelen laten ons toe, op nachtelijke wandelingen de tijd uit de sterren te schatten; alle drie geven ze ons plaatselijke sterretijd, die we daarna moeten omrekenen in plaatselijke middelbare tijd.

a. Op de verbindingslijn der sterren α en β van de Grote Beer vindt u de Poolster (fig. 12). Die wordt het middelpunt van ons hemeluurwerk. De wijzer zal zijn: een lijn van de Poolster naar de ‘achterpoten’ van de Grote Beer, nauwkeurig tussen de sterren γ en δ. Als deze wijzer loodrecht naar beneden staat, is het 0 uur sterretijd. Hij draait nu rond zoals de wijzer van een uurwerk, maar in tegengestelde zin en in 24 uur in plaats van in 12. Met enige oefening kunnen we hieruit de sterretijd best op een uur of een half uur nauwkeurig bepalen¹⁾, vooral indien we de stand van de sterrewijzer vergelijken met een schietlood, uit een touwtje en een steen geimproviseerd.²⁾

b. Bepaal het Zuiden.³⁾ Keer u hiertoe eerst naar de Poolster;

1) Hemel en dampkring 12, 97, 1914.

2) Knutselaars kunnen gemakkelijk de ‘Nachtklok Groote Beer’ in elkaar zetten, ontworpen door W.G. ten Houte de Lange (uitg. Kramers, Rijswijk Z.-H.).

3) H.H. Kritzinger, Deutsche Zs. f. Luftschifffahrt 15, 1911, Heft 4, 3.

[p. 24]

strek de armen rechts en links uit, iets meer naar voren dan precies dwars, zodat de verbindingslijn der vingers door de ogen gaat. Let nu op naar welke sterren de handen wijzen, en draai u 180^o om: de handen moeten nu weer naar dezelfde punten gericht zijn, zoniet dan hadt u de armen iets wijder of iets minder wijd moeten openen. U kijkt nu recht naar het Zuiden en ziet vóór u een stuk van de ‘Dierenriem’, die u op elke steratlas afgebeeld vindt; zoek daarop welke ster precies vóór u in 't Zuiden staat, en lees de ‘rechte klimming’ af die erboven geschreven is: dit is teven de sterretijd op dit ogenblik.

c. Als een ster in het Oosten of in het Westen staat, stijgt of daalt zij het snelst; daarvan uitgaande kan een nauwkeurige tijdsbepaling uitgevoerd worden, die in de praktische sterrekunde veel gebruikt wordt. Het volgende tabelletje, voldoende nauwkeurig geldend voor heel Nederland, geeft eens en vooral voor enkele bekende sterren hoe hoog ze staan als ze precies in het O. of in het W. zijn. Wij meten hun hoogte met een onzer eenvoudige hulpmiddelen (§ 2) en wachten tot het vereiste bedrag bereikt is: voor dit ogenblik geeft ons tabelletje dan tevens de sterretijd. Heeft de ster niet geheel de vereiste hoogte, dan onthouden we, dat nabij O. of W. 1^o hoogteverandering met 6,5 minuut tijdsverandering overeenkomt.

Sterretijd
	hoogte	Oost	West
Betelgeuze	10^o	0^h18^m	11^h22^m
Procyon	7^o	1 55	13 15
Pollux	38^o	3 25	11 55
Regulus	16^o	4 48	15 20
Denebola	21^o	6 41	16 48
Arcturus	26^o	9 20	19 4
Altair	11^o	14 14	1 18
Aldebaran	21^o	23 27	9 35

Sterretijd te middernacht
1 Jan.	6^h41^m	1 Juli	18^h33^m
1 Febr.	8 43	1 Aug.	20 36
1 Maart	10 33	1 Sept.	22 38
1 April	12 35	1 Oct.	0 36
1 Mei	14 33	1 Nov.	2 41
1 Juni	16 35	1 Dec.	4 39

Nu moeten we nog van plaatselijke sterretijd naar plaatselijke middelbare tijd kunnen overgaan. Beide vallen samen op 23 Sep-

[p. 25]

tember; de volgende dag is het 24 uur sterretijd, terwijl het slechts 23^h56^m middelbare tijd is; nog een dag later komt 24 uur sterretijd overeen met 23^h52^m; enz.

In het tabelletje hierboven vindt men de sterretijd te middernacht op de 1e van elke maand; daarbij telle men nog zoveel maal 4 minuten op,¹⁾ als er dagen in die maand verlopen zijn; voor elke halve maand dus één uur.

1) Juister: 3^m56^s.

14. Tijdcontrôle volgens de zon.²⁾

De regelmaat van ons horloge kunnen we evengoed met de zon controleren als met de sterren. De beweging van de zon aan de hemel is in zoverre ingewikkelder, dat ze niet elke dag dezelfde baan aflegt, maar in de loop van het jaar geleidelijk verschuift. De eenvoudigste waarnemingswijze is, haar stand omstreeks middagtijd te bepalen.

Achter het open raam hangen we in onze werkkamer twee schietloden achter elkaar, zo nauwkeurig mogelijk in het Noord - Zuid-vlak. Het schietlood dat het dichtst bij het raam hangt is een touwtje van dikte d; het tweede, dieper in de kamer, is een draad wit naaigaren; de afstand der twee schietloden moet ongeveer 100 d zijn (zodat de lichtbundels van de zon die aan beide kanten van het touw voorbijgaan met een openingshoek 1/100, elkaar bij het draadje ontmoeten; vgl. I, § 1). Op een blad papier kan men nu de schaduw van de twee schietloden opvangen, en ziet dan heel duidelijk op welk ogenblik de ragscherpe schaduw van de draad zover is voortgeschoven dat hij precies te midden van de wazige schaduw van het touwtje valt: dit kan op 1 tijdsekunde nauwkeurig bepaald worden!

We regelen de stand der twee schietloden tot de twee schaduwen vrijwel precies te 12 uur zonnetijd over elkaar gaan. Meestal is die regeling nog niet volkomen; als echter de schaduwen heden samenvallen te 12^h 0^m 14^s bijvoorbeeld, zullen zij ook morgen en de volgende dagen te 12^h 0^m 14^s zonnetijd blijven samenvallen.

Op deze wijze kunnen we dus de loop van de zon vergelijken met ons horloge dat reeds volgens de sterren gecontroleerd was. Tot onze verrassing vinden we nu, dat de zonnedag niet altijd even lang duurt; het treffendste verschil vinden we tussen Januari en April: op 1 Januari is de zonnedag 29 sec te lang, op 1 April 18 sec te kort. We bedoelen hiermee: te lang (of te kort) ten

2) E. Hammer: Zeitbestimmung ohne Instrumente (Stuttgart 1893). - K. Schwarzschild in Klein-Riecke, t.a.p.

[p. 26]

opzichte van de middelbare dag, het gemiddelde van de zonnedagen over het gehele jaar, de dag die al onze klokken aanwijzen moeten als ze goed lopen. - Houd dus rekening met dit kleine verschil, aangegeven in volgend tabelletje (voor 1940), en controleer nu ook op de zon het lopen van uw horloge.

Ware Zonnedag - Middelbare Dag.

1 Jan. 1 Febr. 1 Mrt 1 April 1 Mei 1 Juni 1 Juli 1 Aug. 1 Sept. 1 Okt. 1 Nov. 1 Dec. +29^s +9^s -12^s -18^s -7^s +9^s +12^s -3^s -19^s -19^s -2^s +22^s

15. Middag, bepaald volgens de methode der gelijke zonshoogten.

We volgen nu voor de zon dezelfde gedachtengang die we reeds voor de sterren hebben uiteengezet: nadat we het verloop van ons horloge hebben bepaald, willen we ook het juiste ogenblik van de middag met onze eenvoudige middelen bepalen.

Tot beter begrip beginnen we met het opstellen van een gnomon: een schietlood dat schaduw werpt; of een gevouwen

Fig. 13. Eenvoudige vormen van gnomon.

blad karton met een gaatje; of een flesje dat als statief dient en een doorboord stukje hard papier draagt; of een paal van bekende hoogte; of een simpele grote speld; of een tekendriehoek, loodrecht geplaatst en met zijn vlak door de zon (fig. 13). Met behulp van dit eenvoudige, oeroude instrument wordt de zonshoogte bepaald, uit de verhouding:

[p. 27]

Stel de gnomon buiten op een tafeltje waar hij een groot stuk

Fig. 14. Bepaling van de Noord-Zuidlijn en van de zonnemiddag met behulp van de gnomon.

van de dag zonlicht krijgt en waar u zeker bent dat niemand er aan raken zal. Teken nu zo nauwkeurig mogelijk hoe de schaduw van de gnomon zich in de loop van de dag verplaatst, telkens ook de tijden optekenend (fig. 14). Het uiteinde van de schaduw (of het lichtspoor van de kleine opening) beschrijft een hyperbool op het papier; door twee aan twee de punten te verbinden die even ver verwijderd zijn van de gnomon, en de verbindingslijnen te halveren, vinden we de richting Zuid - Noord; het ogenblik waarop de schaduw door die lijn

Fig. 15. Bepaling van de zonnemiddag uit korresponderende zonshoogten.

ging was de ware zonnemiddag.

Onderzoek hoe de lengte der middagschaduw in de loop van het jaar verandert. Breedtebepaling. Helling der ekliptika.

Veel nauwkeuriger wordt de bepaling, als men een lange kartonnen koker neemt en die vastmaakt aan een plankje, dat zelf met een touw aan de dikke tak van een boom hangt (fig. 15). Het touw wordt naar beneden verlengd, en we bevestigen er een gewicht aan, of een steen, in een pan water dompelend en de slingeringen dempend. Aan het ene uiteinde van de buis plakken we een stuk zwart papier met een centrale opening van enige millimeters; aan het andere uiteinde een stuk doorschij-

[p. 28]

nend papier met een horizontale streep. Als het zonlicht onder de juiste helling door het openingetje invalt, vormt het een ronde lichtvlek op het doorschijnende papier. Richt 's ochtends de koker naar de zon, en teken nauwkeurig op hoe laat de ronde lichtvlek net middendoor gedeeld wordt door de streep. Nu moet 's namiddags die bepaling herhaald worden, zonder dat er iets aan de helling van de buis verandert; het toestel mag alleen heen en weer draaien om het touw als as. Al een kwartier vóór het verwachte tijdstip moet u op wacht staan, om het goede ogenblik niet te laten ontsnappen! 't Gemiddelde der twee aldus bepaalde tijden, waarop de zon even hoog stond en de schaduwen even lang waren, is de ware zonnemiddag = 12 uur ware zonnetijd.¹⁾

Onze proeven zijn het belangwekkendst omstreeks midden Februari en in de eerste dagen van November: dan juist kan men zo duidelijk zien hoezeer de ware zonnetijd verschilt van de middelbare tijd.

Plaatselijke zonnetijd + tijdvereffening = plaatselijke middelbare tijd.

Door deze correctie worden alle dagen even lang gemaakt, ‘vereffend’.

Middelbare tijd - Zonnetijd, voor de 1e en de 15e van elke maand.
I + 2^m58^s	III + 12^m32^s	V - 2^m54^s	VII + 3^m35^s	IX + 0^m06^s	XI - 16^m18s
+ 9^m01^s	+ 9^m10^s	- 3^m45^s	+ 5^m46^s	- 4^m38^s	- 15^m25s
II + 13^m29^s	IV + 4^m04^s	VI - 2^m24^s	VIII + 6^m13^s	X - 10^m10^s	XII - 11^m04s
+ 14^m19^s	+ 0^m11^s	+ 0^m12^s	+ 4^m29^s	- 14^m04^s	- 5^m01s

Plaatselijke middelbare tijd - correctie voor lengte = Nederlandse middelbare tijd.

Deze correctie brengt in rekening: het lengte-verschil tussen het waarnemingspunt en de in Noord-Nederland algemeen gebruikte meridiaan van 5^o Oosterlengte; zij is voor een aantal onzer steden hieronder opgegeven. Ter herleiding op de meridiaan van Greenwich is de correctie 20^m groter: men moet 20^m extra aftrekken van de plaatselijke middelbare tijd.

Amsterdam	- 0^m28^s	Leeuwarden	+ 3^m11^s
Antwerpen	- 2^m20^s	Leiden	- 2^m01^s
Arnhem	+ 3^m41^s	Leuven	- 1^m11^s
den Bosch	+ 1^m14^s	Maastricht	+ 2^m04^s
Brugge	- 7^m05^s	Mechelen	- 2^m04^s
Brussel	- 2^m34^s	Middelburg	- 5^m34^s

1) K. Schwarzschild in Klein-Riecke, Neue Beiträge, blz. 164, 1904.

[p. 29]

Gent	- 5^m06^s	Nijmegen	+ 3^m29^s
Groningen	+ 6^m15^s	Rotterdam	- 2^m04^s
den Haag	- 2^m44^s	Utrecht	+ 0^m31^s
Haarlem	- 0^m45^s	Zwolle	+ 4^m23^s

Voorbeeld. Met de draaiende koker vinden we dat de ware zonnemiddag overeenkomt met 11^h58^m50^s op ons horloge. We hebben waargenomen op 14 Mei en we wonen te Utrecht.

We berekenen:

12^h plaatselijke zonnetijd komt overeen met 12^h0^m0^s - - 0^h3^m55^s = 11^h56^m5^s plaatselijke middelbare tijd; of ook met 11^h56^m5^s - 0^h0^m31^s = 11^h55^m34^s Nederlandse middelbare tijd. Ons horloge loopt dus 11^h58^m50^s - 11^h55^m34^s = 3^m16^s vóór.

16. Bepaling van de aardrijkskundige lengte en breedte.

De hoogte van de N-pool boven de gezichteinder is gelijk aan de breedte van onze waarnemingsplaats. Het is dus voldoende de hoogte der Poolster te meten (§ 8c), eventueel nog rekening houdend met de kleine afstand van de Poolster tot de ware pool.

De lengte vinden we uit de tijd. We hebben geleerd, uit de sterren of uit de zon plaatselijke middelbare tijd af te leiden. Nu beweegt de zon van Oost over Zuid naar West; het is eerst middag voor landen oostelijk van Greenwich, daarna voor plaatsen op de 0-meridiaan van Greenwich, nog later voor landen ten Westen.

Het verschil tussen onze plaatselijke middelbare tijd en de middelbare tijd van Greenwich geeft dus onze lengte t.o.v. Greenwich:
1 uur tijdsverschil komt overeen met 15^o.

Om op reis af en toe de lengte te kunnen schatten, moet u uw horloge Greenwich-tijd laten aanwijzen, en het gedurende de hele reis niet verzetten. Overal waar u dan plaatselijke tijd bepaalt kunt u het tijdsverschil met Greenwich en dus de lengte vinden.

Nu nog een nauwkeurige methode voor plaatsbepaling, de nauwkeurigste die men zonder instrumenten toepassen kan.¹⁾ Een ontdekkingsreiziger die zijn instrumenten verloren heeft, kan met behulp daarvan nog altijd plaatsbepalingen uitvoeren die voor de meeste doeleinden voldoende zullen zijn.

Vier stevige manshoge palen worden aan de hoekpunten van

1) P. Harzer, Peterm. Mitt. 42, 111 en 252, 1896. - Mitt. Ver. Fr. Astr. 6, 49, 1896.

[p. 30]

een vierkant in de grond geslagen en aan de bovenzijde door vier dwarslatten verbonden. Van een dunne, sterke draad worden de twee uiteinden aan het midden A der ene lat en aan het midden C der lat daartegenover bevestigd; de draad moet tot bij de grond doorhangen, onderaan wordt er een steen met een touwtje aan gebonden. Evenzo wordt een tweede draad bevestigd aan B en D in een vlak, ongeveer loodrecht op dat van de eerste draad. De slingeringen der stenen dempt men met een pan water.

De waarnemingen geschieden 's avonds; men verlicht de draden met een zaklantaarn, die op een tafeltje naast den waarnemer staat. Mik met één oog langs het vertikale vlak van de twee segmenten van de draad AC (of van BD), en bepaal hoe laat een bekende ster door dit vlak gaat. Voor elk dradenstel neemt men 2 sterren waar, in totaal dus 4 doorgangstijden. Uit deze 4 waarnemingen kan men berekenen: 1. de aardrijkskundige breedte; 2. de plaatselijke tijd; 3. en 4. de azimuthrichtingen der twee dradenparen. Harzer vond een fout van een paar boogminuten in de breedte en van ongeveer 8 sekunden in de tijd!

De aardrijkskundige lengte wordt bepaald door te zorgen dat één der dradenparen ongeveer in de meridiaan ligt, de tijd te bepalen waarop de maan precies gehalveerd wordt door het vlak van die draden, en dan nog de doorgangstijd van een of meer sterren nauwkeurig vast te leggen.

Voor de berekening verwijs ik den lezer naar de aangehaalde oorspronkelijke verhandelingen.

17. De kromming der aarde.¹⁾

Aanschouwelijke bewijzen voor de rondheid der Aarde zijn iedereen bekend:

de ronde lijn van de gezichteinder, die we overal kunnen waarnemen;

de verre schepen, waarvan eerst de masten en pas daarna de romp in 't gezicht komt (toneel- of veldkijker gebruiken!);

de ronde schaduw der Aarde bij maansverduisteringen.

De volgende waarneming is echter een welkome aanvulling, daar ze ons een schatting geeft van de straal der Aarde. - Twee waarnemers bevinden zich aan de oever van de zee en zien de zon ondergaan. De ene klimt boven op een duintop, de andere blijft beneden aan 't strand; ze spreken af dat ze een schreeuw zullen geven (of de arm opheffen) op het ogenblik dat ze de laatste rand van de zon zien verdwijnen. Het blijkt nu dat de

1) Methode bedacht door Professor J.C. Kapteyn.

[p. 31]

twee schreeuwen volstrekt niet gelijktijdig weerklinken: de waarnemer op de duintop ziet de zon veel langer dan de andere!

Uit het tijdsverschil kunnen we de straal der Aarde R schatten; voorlopig

Fig. 16. Twee waarnemers A, B op verschillende hoogte zien de zon niet tegelijk ondergaan.

nemen we aan dat we aan de evenaar zijn op 21 Maart of 23 September. De waarnemer aan het strand ziet de zon ondergaan als hij zich in het punt A bevindt; de waarnemer boven, die eerst in B was, ziet ze ondergaan als hij in B' is gekomen (fig. 16). Tussen deze twee ogenblikken is de Aarde gedraaid over een hoek α. Nu is volgens een meetkundige stelling



. B'E of (voor kleine α): α²R²=B'A'. 2R, dus R = 2BA/α². De hoek α is onmiddellijk in een tijdsverschil van s sekunden om te zetten, aangezien we over een hoek 2π draaien in 24^h, en dus



tijdsekunden. Hieruit zien we dat



. Theoretisch moet men b.v. bij 10 meter hoogte s = 23 sec vinden, wil R de aardrijkskundige waarde krijgen.

Voor onze gewesten wordt het tijdsverschil 40 tot 50 sekunden, volgens het ogenblik van het jaar. Er komt nog een overweging bij: de lichtstralen worden in onze dampkring een weinig gekromd, op sommige dagen iets meer, op andere iets minder; men brengt dit enigszins in rekening door in plaats van het waargenomen tijdsverschil s slechts het 14/15 daarvan te nemen (I, § 34).

Na al deze overwegingen wordt de formule voor ons ongeveer: R = 1 620 000 BA/s² kilometer, als de hoogte BA boven de zeespiegel in meters, s in sekunden opgegeven zijn. Ligt de waarnemer op de grond, dan is s = 0. Staat hij op het strand, met zijn oog 2 m boven de zeespiegel, dan wordt s = 22 sekunden; staat hij op een duin en is zijn oog 10 m boven de zeespiegel, dan kan hij s = 50 sekunden verwachten. het zijn wel verrassend grote tijdsverschillen! Uit de afleiding der formule ziet men dat grote nauwkeurigheid in geen geval verwacht kan worden; het gaat slechts om de orde van grootte.

Uit de waargenomen tijdstippen s kan men dus de straal der Aarde R schatten. hadden de twee waarnemers hun oog op hoogten h₁, h, zodat alleen het tijdsverschil s₁-s bekend is,

[p. 32]

dan past men toe:



. Aan de dijk te Zandvoort vonden twee waarnemers, de ene onder, de andere boven, een tijdsverschil van 20 sec; zij schatten h = 9m, h = 3 m.

Hieruit volgt R = 6500 km (juiste waarde: 6368 km).

Onderzoek het voortkruipen van licht en schaduw langs een hoge toren bij zonsondergang.
Het is nuttig te onthouden dat men, op een hoogte h boven de zee, zien kan tot een afstand a, gegeven door h = a²/2R. Corrigeer voor de gemiddelde straalkromming, reken voor praktisch gebruik h in meters, a in kilometers; dan wordt a = 3,8√h. - Bereken aldus hoe ver een bepaalde vuurtoren bij helder weer zichtbaar moet zijn en tracht waar te nemen of dit inderdaad uitkomt.