De invloed van incongruentie van vraag en tekst op de moeilijkheid van vragen bij teksten

1. Inleiding1

In het leesonderwijs op de basisschool spelen vragen een doorslaggevende rol. Ze dienen om na te gaan of leerlingen een tekst begrepen hebben en ze dienen om leerlingen teksten te leren begrijpen. Vragen zijn natuurlijk niet de enige manier om tekstbegrip te toetsen. Er staan ons ook andere methoden ter beschikking: navertellen, samenvatten, uitvoeren van in tekst gegeven opdrachten en dergelijke. Vragen zijn evenmin de enige manier om leerlingen goed te leren lezen. Maar vragen stellen is in de praktijk van het onderwijs (niet alleen het leesonderwijs) wel de meest gebruikte en de gemakkelijkst hanteerbare methode.

We kunnen een informatieve tekst opvatten als een tekst waarin vragen worden beantwoord over de werkelijkheid. Een dergelijke tekst heeft als doel de lezer in staat te stellen vragen te beantwoorden waarop hij tevoren nog niet kon antwoorden. Naarmate de lezer daar beter in slaagt, heeft hij de tekst beter begrepen. Het stellen van vragen bij een informatieve tekst sluit dus goed aan bij het doel van een dergelijke tekst en bij de taak waarvoor de lezer zich gesteld ziet.

Wanneer het onderwijs zich in ruime mate bedient van vragen, is het van belang te weten wat vragen eigenlijk van de leerling vergen. Een antwoord op die vraag kan een doeltreffende hantering van vragen als toets- en leermiddel bevorderen.

In leesmethoden voor de basisschool zijn grofweg twee soorten vragen te onderscheiden: vragen naar de betekenis van een woord (lexicale vragen) en vragen naar de inhoud van een tekstgedeelte. De eerste soort vragen laten we hier buiten beschouwing.

Voor de beantwoording van een vraag van de tweede soort is het steeds noodzakelijk dat: 1. de tekst wordt gelezen, 2. de vraag wordt gelezen, 3. de vraag in verband wordt gebracht met een relevant gedeelte van de tekst en 4. het antwoord wordt geformuleerd. Nu is het helaas niet duidelijk wat het resultaat is van de leesactiviteiten in 1. en 2., noch hoe dat resultaat wordt verkregen. Met andere woorden: we weten niet hoe de betekenis-representatie waartoe het leerproces leidt er uitziet; we weten evenmin via welke processen die betekenis-representatie tot stand komt. Beide vragen zijn centrale problemen in de psycholinguistiek van de laatste jaren. Een antwoord erop, in de vorm van een uitgewerkte theorie over het begrijpen van taal, is echter nog niet gegeven. Uit een dergelijke theorie zouden we, in het ideale geval, hypotheses over de moeilijkheid van fase 3. kunnen afleiden in termen van betekenis-representaties. Nu die theorie ontbreekt zien we ons genoodzaakt onze hypotheses niet in termen

van betekenis-representaties, maar in termen van tekst-presentaties te formuleren.

Het verband dat in fase 3. tussen vraag en tekst moet worden gelegd is tweeledig. Ten eerste verwijst een vraag meestal naar een bepaald tekst-gedeelte. Wie de vraag ‘Waarom A?’ moet beantwoorden bij de tekst ‘...A omdat B...’, moet allereerst de identiteitsrelatie tussen A in de vraag en A in de tekst onderkennen. Ten tweede vergt een vraag het leggen of herkennen van een relatie tussen een gegeven in de vraag en een tweede gegeven in de tekst. De vraag ‘Waarom A?’ vereist het leggen of herkennen van een relatie tussen het gegeven A en een reden of oorzaak die in de tekst moet zijn te vinden. Een vraag ‘Hoe A?’ vereist het leggen van een relatie tussen A en een middel dat in de tekst moet zijn te vinden.

In navolging van Drop & De Vries (1974, p. 72) maken wij onderscheid tussen dergelijke referentiële relaties en de presentatie ervan in de tekst. Eén en dezelfde referentiële relatie kan namelijk op verschillende manieren zijn gepresenteerd: door variatie in de woordkeuze, door variatie in de volgorde van de verbonden elementen, door een keuze uit expliciete of impliciete aanduiding van de soort relatie. We veronderstellen nu dat dergelijke variaties een bron van moeilijkheden vormen bij het beantwoorden van vragen over teksten. Het leggen van de vereiste verbanden in fase 3. kan worden bemoeilijkt doordat de (gedeeltelijke) presentatie van de gevraagde relatie in de vraag en de tekst-presentatie van die relatie uiteen lopen.

Onze basishypothese is m.a.w.: dat een vraag moeilijker is naarmate de congruentie tussen vraag en tekst geringer is. In de volgende paragraaf leiden we uit deze basishypothese vijf preciesere hypotheses af.

2. Hypotheses

2.1.

Een vraag geeft informatie over het gewenste antwoord. Wie alleen een vraag leest kan al een gedeeltelijk antwoord formuleren:

Een volledig antwoord vereist aanvulling van de puntjes. Was het een vraag bij een tekst, dan moet die aanvulling in de tekst worden gezocht. Het zoeken wordt vergemakkelijkt doordat de vraag, tegelijk met de informatie over het gewenste antwoord, naar een gedeelte van de tekst kan verwijzen:

In dit geval verwijst de vraag woordelijk naar de gecursiveerde zin in de tekst. De verwijzing kan echter ook minder letterlijk zijn doordat de vraag in woordkeuze afwijkt van de tekst:

De leerling die met deze vraag de tekst ingaat op zoek naar een relevante tekstplaats, ondervindt daarbij geen steun van een woordelijke overeenkomst tussen vraag en tekst.

2.2.

Wanneer de leerling een relevante tekstplaats heeft gevonden, kan hij daar verschillende presentaties van de gevraagde relatie aantreffen:

Tekst a sluit het meest bij de vraag-presentatie aan: de leerling kan met de gecursiveerde bijzin als elliptisch antwoord op de vraag volstaan. In een dergelijk geval noemen we de presentatie van de gevraagde relatie in de tekst congruent met de vraag-presentatie. In geval b kan de leerling geen elliptisch antwoord uit de tekst overnemen. De gevraagde redengevende relatie is wel in de tekst gegeven, maar de tekst-presentatie is niet congruent met de vraag-presentatie.

2.3.

Wanneer de tekst-presentatie niet congruent is met de vraag-presentatie doen zich nog verschillende mogelijkheden voor:

De presentatie van de gevraagde relatie in de a-teksten én in de b-teksten is niet congruent met de vraag-presentatie: in geen van de vier gevallen kan een elliptisch antwoord uit de tekst worden overgenomen. Toch verschillen de a- en de b-versies van elkaar. In de a-versies wordt de gevraagde redengevende relatie ook als redengevend gepresenteerd. Woorden als want en daarom duiden altijd op een redengevende relatie: A, want B of B. Daarom A impliceert altijd A, omdat B. We noemen een dergelijke presentatie specifiek voor de gevraagde relatie.

In de B-versies wordt de gevraagde redengevende relatie niet als zodanig gepresenteerd. In tekst (3) b is een causale relatie gepresenteerd: A, zodat B die niet noodzakelijk een redengevende relatie A, omdat B impliceert.

impliceert geen redengevende relatie, getuige de onzinnigheid van:

impliceert geen redengevende relatie, getuige de onzinnigheid van:

Wanneer de tekst-presentatie de gevraagde relatie niet noodzakelijk impliceert, noemen we die presentatie niet specifiek voor de gevraagde relatie. In een dergelijk geval moet de leerling op basis van zijn kennis van de wereld (c.q. van mogelijke relaties) besluiten of de gevraagde relatie in de tekst-presentatie is geïmpliceerd of niet. Bij een specifieke tekst-presentatie is een dergelijk besluit niet vereist.

2.4.

Vergelijkbaar met een niet-specifieke presentatie is een presentatie waarbij elke aanduiding van de aard van de relatie ontbreekt:

In geval a bevat de tekst een presentatie die specifiek is voor de gevraagde relatie. In geval b is dat niet zo: tekst b bevat geen aanduiding van de relatie tussen de twee zinnen. Alleen het feit dat de tweede zin onmiddellijk volgt op de eerste dwingt tot het leggen van 'n relatie. In dit geval moet de leerling weer op basis van zijn kennis van de wereld (c.q. van mogelijke relaties) besluiten tot een redengevend verband tussen de opeenvolgende zinnen. We spreken hier van een volgorde-presentatie.

2.5.

In een volgorde-presentatie bevinden de gegevens waartussen een relatie moet worden gelegd zich in elkaars onmiddellijke omgeving. Het is ook mogelijk dat die gegevens zich in de tekst op enige afstand van elkaar bevinden.

In geval b. vindt de leerling op de plaats waarnaar de vraag primair verwijst geen antwoord op de gestelde vraag. Om de gevraagde relatie te kunnen leggen moet hij een beroep doen op een ander gedeelte van de tekst (25 regels erboven). We spreken in een dergelijk geval van een afstand-presentatie.

3. Methode van onderzoek

3.1. Materiaal en procedure

Omdat we voor de toetsing van onze hypotheses teksten wilden gebruiken die qua onderwerp, woordkeus en zinsbouw aansluiten bij het niveau van de leerlingen van de derde tot en met de zesde klas van de basisschool, lieten we 14 ontwerpteksten beoordelen door een zestigtal onderwijzers. Zij gaven bij elke tekst aan of die naar hun mening geschikt, te moeilijk of te gemakkelijk was voor hun klas. Op grond van deze oordelen kozen we voor elke klas twee geschikte teksten uit. (2)

Deze acht teksten (met een gemiddelde lengte van ongeveer 400 woorden) vooorzagen we van vragen. Van elke tekst met de bijbehorende vragen construeerden we twee versies. Deze versies vertoonden steeds vijf verschillen in de presentatie van vragen of tekst-fragmenten, overeenkomstig de vijf gestelde hypotheses. We stelden dus vragen in verschillende versies bij eenzelfde tekst (bij voorbeeld bij tekstfragment (1) in de ene versie vraag (1)a. en in de andere versie vraag (1)b. of we stelden dezelfde vraag bij verschillende versies van een tekstfragment (bij voorbeeld vraag (8) in de ene versie bij tekst a en in de andere versie bij tekst b. De hypothetisch moeilijke en gemakkelijke vraagversies werden op basis van toeval over de twee testversies verdeeld. Naast deze vragen bevatte elke test nog een aantal extra vragen die geen betrekking op de hypotheses hadden.

De teksten met vragen legden we voor aan de derde-, vierde-, vijfde- en zesde- klassers van twintig openbare basisscholen in Utrecht. Elke leerling maakte de twee tests die voor zijn klas waren ontworpen. De leerlingen van één klas maakten echter niet allemaal dezelfde testversie. Aan de hand van een alfabetische klasselijst werden de testversies in elke klas over twee ongeveer even grote groepen verdeeld. Alle leerlingen kregen dezelfde schriftelijke instructie. Er was geen tijdslimiet waarbinnen de vragen beantwoord moesten worden. De onderwijzers werd verzocht de leerlingen zo veel tijd te geven als redelijkerwijs nodig was. De twee tests per klas werden niet direct na elkaar en meestal ook niet op dezelfde dag gemaakt.

3.2. Beoordeling van de antwoorden

De gestelde hypotheses lenen zich uiteraard niet voor toetsing met meerkeuzevragen. De presentatie van de gevraagde relatie in de verschillende alternatieven zou de invloed van de tekst-presentatie verstoren. Open vragen brengen echter vaak een twijfelachtige beoordeling met zich mee. Om het aantal twijfelgevallen bij de beoordeling tot een minimum te beperken stelden we een richtlijn voor de beoordeling op. Dat gebeurde op basis van de antwoorden van een vooronderzoek op één school. De richtlijn bevatte, behalve een inventaris van mogelijke goede en2

foute antwoorden per vraag, als algemene regel dat het antwoord op een vraag goed is, wanneer eruit blijkt dat de leerling de gevraagde relatie heeft gelegd, ook wanneer:

Een voorbeeld kan duidelijk maken tot welke consequenties deze regel leidde. (De antwoorden a. t/m g. corresponderen met de bovenvermelde voorwaarden a. t/m g.)

Waarschijnlijk leidden deze richtlijnen tot een iets andere beoordeling dan in het onderwijs gebruikelijk is. De doelen op het terrein van de produktief-schriftelijke taalvaardigheid zullen daar waarschijnlijk in de beoordeling meespelen en een kritischer opstelling tegenover bij voorbeeld de antwoorden c. t/m f. met zich mee brengen. Ons gaat het natuurlijk uitsluitend om het tekstbegrip.

Het is mogelijk dat de presentatie van de gevraagde relatie in de tekst de presentatie van het antwoord beïnvloedt. (Heel waarschijnlijk is dat bij antwoord f. het geval geweest.) Een dergelijke invloed willen we echter niet als steun voor onze hypotheses opvatten. Ook om die reden hebben we gekozen voor zo veel mogelijk consideratie met gebrekkige formuleringen.

Anderzijds zijn sommigen waarschijnlijk geneigd tot een gunstiger beoordeling van antwoorden als h. en i. Er blijkt immers niet uit dat de leerling de tekst niet begrepen heeft. Naar onze mening blijkt er evenmin uit dat de leerling de gevraagde relatie (in dit geval tussen gezelligheid en afwezigheid van gordijnen en

tafelkleden) wél heeft gelegd. En daar ging het ons om.

Voor het beoordelen van de antwoorden maakten we gebruik van beoordelaars die we speciaal voor dit doel trainden in het hanteren van de genoemde richtlijnen.

4. Resultaten

De onderstaande vijf tabellen geven de resultaten weer van de toetsing van de vijf gestelde hypotheses. Elke tabel geeft de resultaten die betrekking hebben op één hypothese in absolute getallen en percentages en daarnaast de toetsingsgrootheid waaraan de significantie van de gevonden verschillen kan worden afgelezen. Zie de bijlage voor de definitie van die toetsingsgrootheid.) Naarmate dit getal (in de meest rechtse kolom) groter is, is de kans kleiner dat de gevonden verschillen alleen aan het toeval zijn te danken. Als de T-waarde groter of gelijk is aan 1,65, is het verschil significant op het 5-procentsniveau; als de T-waarde groter of gelijk is aan 2,33 (in de tabel aangeduid met één sterretje) is het verschil significant op het 1-procentsniveau; als de T-waarde groter of gelijk is aan 3,01 (in de tabel aangeduid met twee sterretjes) is het verschil significant op het 1-promilleniveau.

In Tabel 1 blijkt dat Hypothese 1 over het geheel genomen (T=1,36) geen

Tabel 1: Resultaten van de toetsing van hypothese 1

(Een vraag die woordelijk naar een tekstgedeelte verwijst (versie a) is gemakkelijker dan een vraag die in woordkeuze afwijkt van de tekst (versie b))

significante verschillen oplevert tussen de a- en de b-versies. De nulhypothese dat er geen verschil in moeilijkheid is tussen de a- en de b-versies kan niet verworpen worden. Kijken we naar de afzonderlijke T-waarden dan zien we dat ze nogal wisselen van teken. Er is zelfs één significante negatieve T-waarde bij (T= -2,06). Dit duidt op een verschil in moeilijkheid dat tegengesteld is aan onze verwachting.

In Tabel 2 blijkt het verschil over het geheel genomen wél significant te zijn (T=3,28). De nulhypothese dat er geen verschil is tussen de a-versies en de b-versies moet dus worden verworpen. Hypothese 2 is bevestigd. De negatieve waarden in deze tabel zijn niet significant.

In Tabel 3 blijkt het verschil over het geheel genomen significant te zijn op het 5-procentsniveau (T=1,75). Er is echter, evenals bij Hypothese 1 in Tabel 1, een significante negatieve T-waarde (T = -2,03) bij de deelwaarden. Bij tekst 2

Tabel 2: Resultaten van de toetsing van hypothese 2

(Een vraag naar een relatie waarvan de tekst-presentatie congruent is met de vraag-presentatie (a-versie) is gemakkelijker dan een vraag naar een relatie waarvan de tekst-presentatie niet congruent is met de vraag-presentatie (b-versie))

Tabel 3: Resultaten van de toetsing van hypothese 3

(Een vraag naar een relatie waarvoor de tekst-presentatie specifiek is (a-versie) is gemakkelijker dan een vraag naar een relatie waarvoor de tekst-presentatie niet specifiek is (b-versie))

ontbreekt de T-waarde, omdat de beoordeling van de antwoorden op de betreffende vraag niet tot de vereiste overeenstemming tussen de beoordelaars leidde. De interpretatie van de eindwaarde (T = 1,75) dient dus voorzichtig te gebeuren.

In Tabel 4 blijkt het verschil over het geheel genomen zeer significant te zijn (T = 5,19). De negatieve deel-T-waarde is niet significant.

In Tabel 5 blijkt het verschil over het geheel genomen significant te zijn op het 1-promilleniveau (T=10,03). Ook in dit geval was het bij tekst 2 niet mogelijk over de beoordeling van de desbetreffende vraag overeenstemming te bereiken.

5. Discussie

Hypothese 1 heeft geen indrukwekkende resultaten opgeleverd. Dat is wellicht te wijten aan de oppervlakkige interne representatie van de vraag die in deze hypothese wordt verondersteld. Uit de psycholinguistiek is bekend dat zinnen in een tamelijk abstracte vorm worden onthouden. Al vrij snel na de aanbieding van een

Tabel 4: Resultaten van de toetsing van hypothese 4

(Een vraag naar een relatie waarvoor de tekst-presentatie specifiek is (a-versie) is gemakkelijker dan een vraag naar een relatie waarvoor de tekst een volgorde-presentatie bevat (b-versie))

Tabel 5: Resultaten van de toetsing van hypothese

(Een vraag naar een relatie waarvoor de tekst een volgorde-presentatie bevat (a-versie) is gemakkelijker dan een vraag naar een relatie waarvoor de tekst een afstand-presentatie bevat (b-versie))

zin menen proefpersonen in een test-zin met een afwijkende vorm maar met dezelfde betekenis de aangeboden zin te herkennen (Wanner, 1974). Als leerlingen na lezing van een vraag geneigd zijn de vorm van die vraag te vergeten en met de betekenis ervan op zoek gaan naar een antwoord, zullen zij weinig hinder ondervinden van pure vormverschillen tussen de vraag en het relevante tekstgedeelte. In dat licht bezien hoeven de verkregen resultaten ons niet te verbazen. Verbazend is dan het feit dat Bormuth e.a. (1970) wél een effect van die vormverschillen vonden: vragen die letterlijk naar een zin in een korte tekst verwezen (‘rote questions’) werden voor 77% correct beantwoord; vragen die dat niet deden werden gemiddeld slechts in 69% van de gevallen goed beantwoord.

Hypothese 3 leverde de opmerkelijkste resultaten op. In vier gevallen zijn er duidelijke verschillen in overeenstemming met de hypothese. In twee gevallen is de gevonden relatieve moeilijkheid echter in strijd met onze voorspellingen. Op grond hiervan lijkt het niet onwaarschijnlijk dat de gegeven definitie van specifie-

ke en niet-specifieke presentatie een grens trekt waar die psychologisch niet aanwezig is.

De resultaten die de hypotheses 2, 4 en 5 opleverden zijn gelukkig duidelijker. Opvallend is misschien het feit dat de grootte van de verschillen in moeilijkheid per vraag zo sterk varieert. De verklaring hiervoor moet o.i. gezocht worden in de mate waarin de bevraagde referentiële relatie aansluit bij het referentiekader van de leerling. Naarmate een leerling meer vertrouwd is met de in de tekst gegeven verbanden, zal hij minder gehinderd worden door incongruentie van tekst en vraag.

Een zeer grove aanwijzing voor de juistheid van deze verklaring vinden we in het oordeel van de onderwijzers over de teksten voor de vierde klas. Tekst 3 werd door 60% van de geraadpleegde onderwijzers geschikt en door 40% te gemakkelijk gevonden; tekst 4 werd door 80% geschikt en door 20% te moeilijk gevonden voor de vierde klas. We mogen dit oordeel van de onderwijzers misschien als volgt interpreteren: met de in tekst 3 gegeven referentiële relaties zijn veel leerlingen zo zeer vertrouwd, dat de tekst niets nieuws meer heeft te bieden; de in tekst 4 gegeven referentiële relaties sluiten in te geringe mate aan bij het referentiekader van de leerlingen. Zo opgevat komt het oordeel van de onderwijzers frappant overeen met de resultaten van de leerlingen. De gevonden verschillen in moeilijkheid bij tekst 3 zijn nergens significant; de gevonden verschillen bij tekst 4 zijn dat voor het merendeel wél.

Dezelfde verklaring kan gelden voor het feit dat de incongruentie van vraag en tekst ook in de hogere klassen nog moeilijkheden met zich meebrengt. Men verwacht misschien dat een zesdeklasser in de loop van zijn schooltijd zo veel ervaring met bij voorbeeld de volgorde-presentatie heeft opgedaan, dat hij daarmee geen moeite meer heeft. Die zesdeklasser moet echter elke keer als hij twee opeenvolgende zinnen (zonder voegwoord of voegwoordelijke bepaling) aantreft, op grond van zijn kennis van mogelijke relaties in de wereld besluiten tot een oorzakelijk of een redengevend of een tegenstellend etc. verband.

Hoewel het aantal testitems per hypothese geen al te verstrekkende conclusies toelaat, menen we op grond van de resultaten die de Hypotheses 2, 4 en 5 hebben opgeleverd vier typen vragen, in opklimmende graad van moeilijkheid, te mogen onderscheiden:

De opklimmende graad van moeilijkheid vindt zijn verklaring in een afnemende graad van congruentie tussen vraag- en tekst-presentatie.

Tenslotte willen we nog wijzen op een misverstand waartoe de onderzochte vraagtypen aanleiding kunnen geven. De vier typen vragen die we hierboven on-

derscheiden worden tesamen gekenmerkt door het feit dat als antwoord op de vraag een parafrase van een tekstgedeelte volstaat. In het onderwijs worden dergelijke vragen vaak als reproduktieve vragen aangeduid. Daar is natuurlijk geen bezwaar tegen. Wél bezwaar hebben we tegen de veronderstelling dat reproduktieve vragen eigenlijk uitsluitend een goed geheugen of het vermogen tot overschrijven testen. Voor het beantwoorden van een reproduktieve vraag zou tekstbegrip niet noodzakelijk zijn. Die veronderstelling gaat misschien op voor vragen van het type 1 en 2. Wie de vraag ‘Waarom A?’ moet beantwoorden naar aanleiding van een tekst ‘A, omdat B’ (type 1) of ‘B. Daarom A’ (type 2) kán het antwoord ‘omdat B’ zonder verdere informatie over A en B geven. Wie dezelfde vraag wil beantwoorden naar aanleiding van een vraag ‘A. B’ (type 3) of ‘A (...) B’ (type 4) moet echter weten wat A en B betekenen. Hij moet de tekst begrijpen en op basis van zijn kennis van de wereld beslissen of hij een redengevende relatie tussen A en B mag aannemen.

Natuurlijk zijn er vragen bij teksten denkbaar die méér van de leerlingen vergen dan de door ons onderzochte typen. Een vraag kan bij voorbeeld een ingewikkelde redenering of een samenvatting noodzakelijk maken. Het lijkt ons niet onwaarschijnlijk dat ook in dergelijke gevallen de moeilijkheid van de vraag in verband kan worden gebracht met de mate van (in)congruentie van vraag en tekst.

Instituut De Vooys

f. zondervan

Emmalaan 29, Utrecht

p.j. schellens

Literatuur

Bijlage: Definitie van de toetsingsgrootheid T.

De vraag is of presentatie a moeilijker is dan presentatie b. Om hierover uitsluitsel te kunnen krijgen, dient een geschikte toetsingsgrootheid te worden gezocht binnen het volgende toetsingsmodel.

Er zijn k paren stochastische variabelen (X₁, Y₁), (X₂, Y₂), ..., (X_k, Y_k), alle onderling onafhankelijk.

X_i is binomiaal verdeeld met als parameters n_i en p_i;

Y_i is binomiaal verdeeld met als parameters m_i en q_i.

Per vraag/tekst-presentatie bestaat immers slechts de kans op goed of fout. De gestelde hypotheses zeggen dat de kans op succes (goed) in de ene vraag/tekst-presentatie groter is dan in de andere vraag/tekst-presentatie. De hiervan afgeleide nulhypotheses stellen deze kansen gelijk: H_o: p₁=q₁ p₂=q₂, ..., p_k=q_k

Bij verwerping van de nulhypothese ten gunste van de alternatieve hypothese vindt in

feite bevestiging plaats van de in de inleiding geformuleerde hypothese. De alternatieve hypothese luidt:

H₁: p₁⩾q₁, p₂⩾q₂,...,p_k⩾q_k, met minstens één >-teken.

Om de verschillen vergelijkbaar te maken definiëren wij

Onder H_o geldt dat de verwachting van Z_i nul is: EZ_i = 0 de variantie van Z_i: var Z_i = p_i(1 - p_i) en de verwachting van S_i: ES_i = p_i(1 - p_i).

is standaardnormaal verdeeld onder H_o en asymptotisch voor grote waarden van n_i en m_i. Als toetsingsgrootheid voor H_o tegen H₁ is te gebruiken:

Onder H_o is deze grootheid asymptotisch standaardnormaal verdeeld. Kritieke gebied T₁⩾c.

Bij waarden van p_i die dicht bij 0 of 1 liggen zal



zich echter niet netjes gedragen.

De voorkeur verdient daarom:



Ook deze grootheid is onder H_o standaardnormaal verdeeld. Kritieke gebied: T ⩾ c.