Oeuvres complètes. Tome XIV. Probabilités. Travaux de mathématiques pures 1655-1666

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Avertissement.

Recherches de 1661 et 1662 sur le calcul des logarithmes et sur la quadrature de l'hyperbole par les logarithmes. Application à la détermination de l'altitude qui correspond à une hauteur donnée de la colonne barométrique et réciproquement.

En 1868, Joseph Bertrand découvrit¹⁾ dans le ‘Registre des procès verbaux de l'Académie des Sciences’ une ‘règle pour trouver les logarithmes’, communiquée par Huygens à cette Assemblée, en 1666, dans l'une de ses premières réunions. Bertrand jugea cette règle ‘remarquable et élégante en elle-même et la démonstration que Huyghens ne donne pas’ lui parut ‘difficile à faire sans recourir à la série logarithmique de Mercator²⁾, publiée seulement en 1668³⁾ et présentée à cette date par Huyghens lui-même dans l'une des séances de l'Académie⁴⁾’.

1) Comparez les p. 565-567 du T. 66 des ‘Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences’.

2) La série bien connuel ....

3) Dans la ‘Logarithmo-Technia’ de Mercator, ouvrage cité dans la note 5 de la p. 276 du T. VI.

4) Dans la séance du 17 octobre 1668.

[p. 432]

Or, la Pièce N^o. I (p. 451-457), datée d'août 1661, nous donne la solution de cette énigme. Elle nous fait connaître la méthode suivie par Huygens pour trouver sa règle; méthode qui, en effet, n'a rien à faire avec la série de Mercator, puisqu'elle s'appuie sur une quadrature approchée de l'hyperbole, déduite par Huygens d'un théorème qu'il avait publié en 1651 dans ses ‘Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli ex dato portionum gravitatis centro’.



Suivant ce théorème¹⁾ on peut calculer l'aire d'unsegment hyperbolique HPERH²⁾ pourvu qu'on connaisse la situation du centre de gravité V sur le diamètre PR.

Si donc, on remplace, par première approximation, le segment hyperbolique par un segment parabolique construit sur le même diamètre PR et sur la même base HE, il est facile de trouver une valeur approchée pour l'aire du segment HPE (et, par suite, aussi pour celle de la figure mixtiligne HKDEPH³⁾), puisqu'on sait que dans un segment parabolique le centre de gravité divise le diamètre PR dans la raison de 3 à 2.

Considérons maintenant la figure suivante, qui correspond à celle de la p. 451 du texte qui suit. Par un théorème dû à Grégoire de St. Vincent⁴⁾ Huygens savait que les aires des figures mixtilignes ABDEA et FGDEF sont

1) Voir la note 6 de la p. 453.

2) Nous empruntons cette figure à celle de la p. 453 du texte après en avoir ôté les lignes dont nous n'avons pas besoin ici.

3) Comparez les p. 453-455.

4) Voir la note. 3 de la p. 452.

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proportionnelles aux logarithmes des rapports des ordonnées extrêmes. Posant donc DE = 1, AB = 10, FG = β, on a:

Si Huygens avait appliqué directement sa quadrature approximative aux aires FGDEF et ABDEA, le résultat aurait été très peu satisfaisant⁵⁾, mais l'approximation devient évidemment meilleure à mesure qu'on rapproche les ordonnées extrêmes AB et FG de DE sans changer le rapport des aires. Afin de profiter de cette circonstance, Huygens divise l'aire ABDE en deux parties égales par l'ordonnée NO, moyenne proportionnelle entre AB et DE, et il agit de la même façon avec l'aire FGDE. Répétant cinq fois ces opérations, il obtient des figures, limitées à droite par l'ordonnée DE, dont les aires sont la trentedeuxième partie respectivement des aires ABDE et FGDE. Or, c'est à celles-ci qu'il applique sa méthode.

Pour vérifier ensuite l'efficacité de sa règle, il l'emploie au calcul de log 2, avec le résultat qu'il trouve ‘10 characteres vrais et l'unzième qui surpasse le vray de l'unitè’⁶⁾.

Entièrement satisfait de ce résultat, il annonce sa découverte le 1 août 1661 à Moray dans les termes suivants⁷⁾: ‘Je me suis occupè pendant quelques jours a estudier la musique, et la diuision du monochorde à la quelle j'ay appliquè heureusement l'algebre⁸⁾. J'ay aussi trouuè que les logarithmes y sont de grand usage, et de la je me suis mis a considerer ces merveilleux nombres et admirer

5) Dans le cas de β = 2 on trouve log 2 = 0,3029 au lieu de 0,3010.

6) Comparez la note 1 de la p. 456.

7) Voir les p. 307-308 du T. III.

8) Voir aux p. 169-174 de notre T. X la ‘Lettre de Mr. Huygens à l'Auteur touchant le Cycle Harmonique’ et consuitez encore la p. 100 du T. V.

[p. 434]

l'industrie et la patience de ceux qui nous les ont donnez. Que si la peine n'en estait desia prise, j'ay une regle pour les trouuer avec beaucoup de facilitè, et non pas la vingtieme partie du travail qu'ils ont coustè’.

Comme nous l'avons vu, Huygens communiqua sa règle en 1666 à l'Académie des Sciences. En novembre 1667 il la mentionne dans une lettre au Prince Léopoldo de Medicis¹⁾ parmi les travaux qu'il tient en réserve parce qu'il n'y a pas encore mis la dernière main. Enfin, dans le Journal des scavans du 2 juillet 1668²⁾, il fait allusion à sa Règle en faisant remarquer, à propos de ce qui est dit sur le rapport entre les logarithmes et la dimension de l'hyperbole dans un livre de Gregory ‘que Messieurs de l'Assemblée ne le trouveroient pas nouveau, puisqu'ils pourroient se souvenir qu'il leur a desja proposé la même chose, & que la regle qu'il a donnée pour trouver les Logarithmes est insérée il y a longtemps dans leur Registre’.

Onze mois après la découverte de sa règle, Huygens aperçut que la quadrature approchée de l'hyperbole, qu'il y avait appliquée, était encore susceptible d'une autre application non moins importante. Il s'agit de la quadrature de



l'hyperbole par les logarithmes³⁾. Du théorème de Grégoire de St. Vincent, que nous avons cité plus haut⁴⁾, il fuit que le rapport de l'espace hyperbolique TVDE⁵⁾ au carré caractéristique AC est proportionnel à la différence des logarithmes de TV et de ED. On a donc:

1) Voir la p. 162 du T. VI.

2) Voir la note 1 de la p. 231 du T. VI.

3) Voir la Pièce N^o. III (p. 474-482), datée du 16 juillet 1662.

4) Voir le dernier alinéa de la p. 432.

5) La figure est identique à celle de Huygens qu'on trouve à la p. 474.

[p. 435]

(1)

où q représente le côté AB du carré caractéristique, et où C est une constante.

Afin d'obtenir une formule commode pour calculer l'aire d'un espace hyperbolique comme TVDE, il suffit donc de déterminer, une fois pour toutes, la valeur de la constante C. À cet effet Huygens applique sa quadrature approchée à l'espace HKDE où . Profitant des calculs qu'il avait déjà accomplis en 1661, il trouve pour cet espace 719557838,5⁶⁾, savoir, en supposant DE = 10⁴ et AB = q = 10⁵. Il s'en suit:

ce qui permet de calculer la valeur de C, pour laquelle Huygens, se servant des tables de Vlacq à dix mantisses⁷⁾, trouve 0,3622156868; nombre qu'il a remplacé plus tard par 0,3622156887⁸⁾ à la suite d'un nouveau calcul que nous ne connaissons pas.

Or, on sait par l'analyse moderne qu'on a:

où M est le module du système ordinaire des logarithmes. Il en résulte C = - log M = - log log e = 0,362215688699..., ce qui prouve l'exactitude des calculs de Huygens et surtout du dernier calcul dont les détails nous sont inconnus.

Ayant trouvé ainsi la règle pour la quadrature de l'hyperbole par les logarithmes, il l'applique d'abord à quelques exemples numériques⁹⁾ et il montre ensuite comment elle peut servir au calcul de l'aire d'un segment hyperbolique quelconque¹⁰⁾ et à la rectification de la parabole¹¹⁾, qu'il avait apprise à réduire, cinq ans plus tôt¹²⁾, à la quadrature de l'hyperbole.

6) Voir la p. 475.

7) Voir sur ces tables la note 1 de la p. 478.

8) Consultez le troisième alinéa de la note 1 de la p. 476.

9) Voir les p. 477-480.

10) Voir les p. 480-481.

11) Voir les p. 481-482.

12) Voir les p. 234-235.

[p. 436]

Puis, le lendemain de la rédaction de la Pièce N^o. III que nous venons d'analyser, une application bien autrement intéressante se présenta à lui¹⁾.

Quelques mois auparavant, en mars 1662²⁾, Moray l'avait averti de la relation simple, récemment découverte par Boyle, d'après laquelle le volume d'une quantité donnée d'air est inversement proportionnel à la pression à laquelle on la soumet. À la description succincte de l'une des expériences de Boyle, Moray avait ajouté la phrase un peu énigmatique: ‘Je crois que vous comprendrez assez bien par cette courte description que cecy en veut à l'Atmosphere, mais comme que cen soit J'ay trop de besogne de reste, pour m'y arrester plus long temps’. En réponse³⁾, Huygens demanda des renseignements sur un point important qui lui était resté douteux; du reste il ne voyait pas encore qu'il fût fort aisé de déduire des expériences de Boyle la hauteur de l'atmosphère, il croyait que pour cela on aurait besoin encore d'autres expériences, comme celles qu'on avait fait en France sur les montagnes d'Auvergne⁴⁾. Cependant, avant d'avoir obtenu l'éclaircissement demandé⁵⁾, Huygens reçut le 12 juillet l'ouvrage de Boyle⁶⁾ où celui-ci donne en détail les résultats de deux séries d'expériences touchant la condensation et la raréfaction de l'air. Ayant pris connaissance de ces résultats ‘qui prouvent’ comme il s'exprime⁷⁾ ‘assez clairement cette proprietè remarquable [de l'air] a sçavoir que la force de son ressort suit la proportion contraire des espaces ou il est reduit’, Huygens ne doutait plus de l'exactitude approximative⁸⁾ de la loi de Boyle. Quelques jours après⁹⁾, il se mit à l'oeuvre pour chercher la relation qui devait exister entre l'altitude au-dessus de la mer

1) Voir aux pp. 474 et 483 les dates des Pièces N^o. III et N^o. IV.

2) Voir aux p. 84-85 du T. IV la lettre de Moray à Huygens du 13 mars 1662.

3) Voir la lettre de Huygens du 9 juin 1662, p. 150 du T. IV.

4) Consultez sur ces expériences la ‘Lettre de Monsieur Perier’, mentionnée dans la note 4 de la p. 492.

5) Moray le lui fournit dans une Pièce qui accompagna sa lettre du 17 juillet 1662 et qu'il avait copiée de l'ouvrage de Boyle mentionné dans la note suivante; voir les p. 176-178 du T. IV.

6) Voir la p. 171 du T. IV. Il s'agit de la ‘Defensio Doctrinae de Elatere et Gravitate Aeris’, citée dans la note 2 de la p. 171 du T. IV.

7) Voir sa lettre du 14 juillet 1662, p. 171 du T. IV.

8) Voir à la p. 485 qui suit ses réserves sur l'exactitude absolue de la loi de Boyle dans le cas des très petites pressions.

9) Voir, à la p. 483, la date de la Pièce N^o. IV.

[p. 437]

et la hauteur de la colonne barométrique, dans l'hypothèse que la diminution de la pression dans les couches diverses de l'atmosphère se conforme entièrement à la loi récemment découverte¹⁰⁾.

En effet, par un raisonnement subtil, pour lequel nous renvoyons au texte de la Pièce N^o. IV¹¹⁾, Huygens trouve une relation qui est équivalente à la formule, en notation moderne:

où h_o désigne la hauteur fictive jusqu'à laquelle l'atmosphère s'étendrait si sa densité était partout égale à celle de la couche d'air qui se trouve au niveau de la mer, où h indique l'altitude du lieu, v le volume d'une particule d'air à cette altitude, p la pression à laquelle elle y est soumise, et ensin v_o le volume de cette même particule transportée au niveau de la mer où la pression est p_o.

Or, puisque, d'après la loi de Boyle, on a v = v_op_o/p, il est évident que la détermination de se réduit à la quadrature d'un espace hyperbolique auquel la formule (1), p. 435, est applicable lorsqu'on y remplace q² par p_ov_o. De cette façon on trouve:

(3)

où C représente la constante de Huygens que nous avons trouvée égale à - log log e.

C'est là, à part une petite complication sur laquelle nous n'insistons pas ici¹²⁾, la formule qui correspond au calcul de la p. 486 du texte; mais puisque h_o est une constante (du moins lorsque l'unité de longueur qu'on emploie à mesurer les altitudes est donnée) on peut écrire:

(4)
où

10) Huygens ne semble s'être douté aucunement de l'influence de l'abaissement de la température qui accompagne l'augmentation de l'altitude. Il n'en dit pas un mot, ni dans la Pièce en question, ni ailleurs.

11) Voir les p. 484-485.

12) En vérité ces calculs sont conformes à la formule: où v_op_o est posé égal à 100000.

[p. 438]

Pour supputer la valeur de h_o, Huygens devait connaître la hauteur de la colonne barométrique au niveau de la mer, qu'il suppose égale à 30 pouces anglais¹⁾, et le rapport du poids spécifique du mercure à celui de l'air²⁾.

Il trouve de cette façon 32640 pieds anglais pour la hauteur fictive h_o de l'atmosphère supposée homogène, nombre qu'il remplace par le nombre rond 33000. À l'aide de cette donnée on trouve C₁ = 4,88073; mais, par suite de la complication mentionnée, les calculs abrégés, que Huygens fait suivre³⁾, sont mieux représentés par la formule:

(5)

où 0,11927 est le ‘numerus perpetuus’ qui entre dans tous les calculs.

Ayant appliqué la règle qu'il venait d'obtenir à plusieurs exemples³⁾, il communique, le 17 août 1662, à son frère Lodewijk les résultats de deux d'entre eux⁴⁾, le priant d'en faire part au duc de Roanez⁵⁾, un de ses amis parisiens. Le lendemain il exposa sa règle, appliquée à trois exemples, à Moray⁶⁾, sans toutefois en faire connaître la démonstration.

Si dans la Pièce N^o. IV, dont nous nous sommes occupés jusqu'ici, Huygens discute des exemples fictifs, dans l'Appendice I (p. 491-494), de date inconnue, que nous avons ajouté à cette Pièce, il discute les célèbres expériences faites par Perier au Puy de Dôme en Auvergne sur l'instigation de Pascal.

À cet effet il devait commencer par changer le ‘numerus perpetuus’ pour l'adapter à l'emploi du pied de Paris, qui remplace le pied anglais des calculs précédents⁷⁾; ensuite il applique sa règle aux données fournies par Perier, pour en

1) Voir les premières lignes de la p. 483.

2) Voir la p. 483 et surtout la note 4 de cette page.

3) Voir les p. 486-490.

3) Voir les p. 486-490.

4) Voir la p. 198 du T. IV.

5) Voir sur Artus Gouffier, duc de Roanez et sur ses relations avec Huygens la p. 238 du T. III et les pp. 7, 33, 53, 71 et 180 du T. IV.

6) Voir les pp. 202 et 205-206 du T. IV. On trouve la réponse de Moray à la p. 217 du même Tome. Moray y mande que ‘tous nos Messieurs’ (savoir les membres de la Royal Society) ‘sont tres satisfaits de votre Reigle’.

7) Consultez la p. 494 et surtout la note 3 de cette page.

[p. 439]

déduire entre autres l'altitude du sommet du Puy de Dôme. Il trouve pour cette altitude une valeur qui, même après la correction notable que nous y avons apportée⁸⁾, est trop forte; conséquence nécessaire de l'hypothèse dont il part⁹⁾.

Enfin, beaucoup plus tard, en 1673, Huygens s'est occupé encore une dernière fois du même sujet à propos d'une expérience de Cassini faite sur une montagne près de Toulon¹⁰⁾.

8) Voir les notes 9 de la p. 493 et 1 de la p. 494.

9) Consultez la note 12 de la p. 493.

10) Voir l'Appendice II, p. 495-497.

La courbe logarithmique.

Il y a lieu de s'étonner que les recherches sur la courbe logarithmique qu'on trouve dans la Pièce N^o. II (p. 460-471) (quoiqu'elle n'y soit pas encore indiquée sous ce nom) portent une date si ancienne que celle de septembre 1661. En effet Huygens ne mentionne ces recherches, ni dans sa lettre à Leopoldo de Medicis¹¹⁾, du 19 novembre 1667, où il énumère ses travaux encore inédits, ni dans le reste de sa correspondance antérieure à sa lettre à Leibniz du 23 février 1692¹²⁾, ni dans l'‘Horologium oscillatorium’ de 1673, où il donne tant de résumés de ses travaux mathématiques pas encore publiés¹³⁾.

Cependant la date en question est inscrite en tête de la Pièce N^o. II, d'une manière tout-à-fait distincte, ne permettant aucun doute. Il s'en suit que, lorsque les résultats concernant une ligne courbe qu'il avait ‘examinée longtemps auparavant’ et qu'il proposa d'appeler ‘Logarithmique’ ou ‘Logistique’, furent publiés enfin, sans leurs déductions, dans son ‘Discours de la cause de la pesanteur’¹⁴⁾, ils avaient été connus à Huygens pour la grande majorité, et quant aux plus importants, depuis presque trente ans.

Les déductions qui manquent dans ce ‘Discours’, on les trouve, pour la plupart, dans la Pièce N^o. II. Commençons par observer que chez la ‘Logarith-

11) Voir les p. 160-163 du T. VI.

12) Voir la p. 21 du T. X.

13) Voir les pp. 192, 195, 198, 206 et 207 du Tome présent, comme aussi la note 2 de la p. 347 et la note 2 de la p. 476.

14) Voir la p. 169 de l'édition originale.

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mique’ les abscisses, comme AD¹⁾, sont proportionnelles aux logarithmes des ordonnées HD, pourvu qu'on prenne AK pour unité de longueur des ordonnées. Cette courbe peut donc servir à exécuter graphiquement toutes les opérations auxquelles on emploie les logarithmes²⁾. Or, ce qu'il y a de remarquable, c'est



qu'on peut construire la logarithmique par points sans recourir à une table de logarithmes. Huygens, à cet effet, porte sur l'axe des x successivement les segments égaux AB, BC, CD, etc. et il prend chaque fois l'ordonnée, qui correspond à l'extrémité d'un tel segment, égale au double de celle du point de division qui précède; de sorte qu'on a BF = 2AK, GC = 4AK, HD = 8AK, etc. Ensuite, afin d'interpoler d'autres points entre les points K, F, G, H, etc., il

1) La figure est identique à celle de la p. 460 du texte.

2) Comparez la p. 461. Huygens s'y borne au problème d'interpoler entre deux segments donnés un nombre quelconque de segments continûment proportionnels; problème auquel il avait été conduit par ses recherches sur le ‘Cycle Harmonique’; voir la note 8 de la p. 432.

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suffit de diviser chaque segment en deux parties égales par les points L, N, etc., d'y ériger des ordonnées qui sont les moyennes proportionnelles entre celles des points extrêmes du segment, et de répéter cette opération sur les nouveaux segments, toujours plus petits, autant de fois qu'on le désire³⁾.

C'est de cette construction que Huygens se sert pour formuler la définition de la courbe⁴⁾. Il en conclut d'abord que les abscisses peuvent être considérées comme les logarithmes des ordonnées et que deux ordonnées dont la distance de l'une à l'autre est donnée sont partout dans le même rapport⁵⁾. Partant de cette dernière propriété, il sait en déduire, par voie géométrique, plusieurs autres, parmi lesquelles nous signalons l'invariabilité de la longueur de la soustangente⁶⁾ dont le rapport à la distance entre deux ordonnées dont l'une est le double de l'autre, est trouvé égal à celui de 0,434294481903251804⁷⁾ à log 2. Il trouve par la même voie la quadrature de l'espace compris entre deux ordonnées⁸⁾, la situation du centre de gravité de l'espace qui s'étend à l'infini entre la courbe et l'asymptote depuis une ordonnée donnée⁹⁾, puis les cubatures des solides engendrés par la révolution d'un tel espace respectivement autour de l'asymptote¹⁰⁾ et autour de l'or-

3) Dans le ‘Discours de la cause de la pesanteur’, p. 169-170 de l'édition originale, cette construction est généralisée, puisqu'on y lit (après avoir adapté les notations à celles de la présente figure): ‘Cette ligne infinie étant IGK, elle a une ligne droite pour Asymptote, comme DA; dans la quelle si on prend des parties égales quelquonques qui se suivent, comme ED, DC, & que l'on tire des points E, D, C, des perpendiculaires jusqu'à la courbe, sçavoir EI, DH, CG, ces lignes seront proportionnelles continuës. D'oû l'on voit qu'il est aisé de trouver autant de points qu'on veut dans cette courbe’.
Ajoutons qu'on rencontre la même construction dans un manuscrit de Torricelli, qui mourut en 1647. Ce manuscrit fut publié en 1900 par Gino Loria dans la ‘Bibliotheca Mathematica’, Dritte Folge, Band 1, p. 80-89. Torricelli appelle la courbe ‘Hemihyperbola’, parce qu'elle ne possède qu'une seule asymptote, mais plus loin il propose aussi de l'appeler ‘linea logarithmica sive Neperiana’. Il prouve l'invariabilité de la longueur de la soustangente et il donne de plus la quadrature de la courbe et la cubature du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'asymptote.

4) Voir le premier alinéa de la p. 461.

5) Voir le deuxième alinéa de la p. 461.

6) Voir la p. 463.

7) Le mérite d'avoir calculé en tant de décimales ce nombre qui est égal à log e, n'appartient pas à Huygens, puisqu'il pouvait l'emprunter à l'‘Arithmetica Logarithmica’ de Briggs; consultez la note 3 de la p. 465.

8) Voir les pp. 462-463 et 466.

9) Voir les pp. 467-470 et, pour le cas plus général où l'espace est limité par deux ordonnées, la p. 471.

10) Voir la p. 467.

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donnée¹⁾. Enfin Huygens ajoute, sans démonstration, deux théorèmes qui font connaître la situation du centre de gravité dans l'un et dans l'autre de ces solides²⁾.

Assurément la Pièce que nous venons d'analyser est un des plus beaux exemples de ce que les meilleurs géomètres du dix-septième siècle savaient accomplir avant l'invention de l'algorithme du calcul différentiel et intégral.

1) Voir le premier alinéa de la p. 471.

2) Voir la p. 471. Nous avons trouvé dans le Manuscrit G une démonstration du premier théorème, de date beaucoup plus récente que la Pièce N^o. II; voir l'Appendice, p. 472-473. Quant à l'autre théorème concernant le centre de gravité du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'ordonnée, les manuscrits n'en contiennent pas la démonstration; mais consultez la note 7 de la p. 470.

Détermination de la tangente à une courbe algébrique.

La règle pour déterminer les tangentes d'une courbe algébrique quelconque donnée par son équation cartésienne f_μ (x, y) = 0, telle qu'elle fut exposée par Huygens dans le manuscrit qui accompagna sa lettre à Johan de Witt du 25 février 1663³⁾, semble être une extension si naturelle de la méthode de Fermat, surtout après la simplification que Huygens y avait apportée⁴⁾, qu'on croirait que Huygens a dû la découvrir aussitôt qu'il se fut posé le problème en question. Cependant les manuscrits nous montrent qu'il en a été tout autrement. Dans le fait, Huygens, avant d'arriver à la solution que nous connaissons, en avait trouvé d'autres assez intéressantes, mais beaucoup plus compliquées.

L'impulsion à de nouvelles recherches sur les tangentes lui fut donnée par une lettre de de Sluse datée du 18 août 1662⁵⁾. Dans cette lettre celui-çi annonça qu'il avait perfectionné une méthode, inventée il y avait plusieurs années, de telle façon qu'il pouvait trouver les tangentes d'une courbe, presque sans calcul, par la seule inspection des termes de son équation⁶⁾. Comme un exemple des

3) Voir les p. 311-317 du T. IV.

4) On peut consulter sur la méthode de Fermat et sur la simplification que Huygens y apporta les pp. 20 du T. XI, 65-66 du T. XII et 297 du Tome présent.

5) Voir la p. 207 du T. IV où l'on lit: ‘Nuper tamen methodum tangentium ex notà applicatarum ad partes axis qualicunque ratione, quam ante plures annos inueneram, ad facilitatem maximam deduxj, ita ut inspectâ solum in terminis analyticis aequatione quae curuae proprietatem ostendit, fere absque calculo tangentem ducam. Vnam hìc meà methodo inuentam addo, in curuà quam olim Clarissimus Gutiscouius mihi proposuit’.

6) La méthode fut publiée, sans démonstration, dans le N^o. 90 des ‘Philosophical Transactions’ du 20 janvier 1673, p. 5143-5147; elle ne diffère pas essentiellement de celle de Huygens exposée dans l'appendice à sa lettre à de Witt. Dans le N^o. 95 du 23 juin 1673, p. 6059 de Sluse donna quelques indications sur la manière dont il savait démontrer sa règle.

[p. 443]

résultats auxquels cette méthode pouvait conduire, il décrivit la construction de la tangente à une certaine courbe qui lui fut proposée jadis par van Gutschoven⁷⁾.

L'équation de cette courbe peut s'écrire . Elle est facilement résoluble par rapport à x², de sorte qu'on a . Or, quoique Huygens ne pût pas croire que la méthode de de Sluse fût basée sur cette particularité⁸⁾, il commença toutefois par chercher les moyens de déterminer les tangentes d'une courbe x² = f(y), au cas où f(y) représente une fonction rationnelle, entière ou fractionnaire⁹⁾.

Pour des raisons qu'il est difficile de deviner, Huygens n'appliqua pas à ce problème la méthode de Fermat telle qu'il l'avait simplifiée, mais il chercha d'autres méthodes par lesquelles le problème est réduit à celui de trouver le maximum ou minimum d'une fraction algébrique φ(y)/ψ(y); problème qui avait été résolu par Hudde¹⁰⁾.

La première de ces méthodes rappelle fortement celle inventée par Descartes pour déterminer les tangentes, ou plutôt les normales, d'une courbe donnée¹¹⁾.

Soit, afin d'exposer cette méthode, s la ligne qui joint le point A de l'axe des y à un point P de la courbe, de sorte qu'on a:

Si, ensuite, nous déplaçons le point P le long de la courbe, cette expression pour s² sera stationnaire (c'est-à-dire elle sera en général maxi-

7) Consultez sur cette courbe la p. 501.

8) On peut consulter la lettre de Huygens à de Sluse du 25 septembre 1662, p. 238 du T. IV; mais nous citerons le passage en question plus loin à la p. 445.

9) Voir les p. 504-508.

10) Voir la note 4 de la p. 505.

11) Il y a toutefois cette différence, qu'au lien de chercher la grandeur minimum du segment AP, on doit, suivant la méthode de Descartes, commencer par déduire l'équation en x, ou en y, qui détermine les points d'intersection de la courbe avec le cercle qui a pour centre le point A et pour rayon la ligne AP. Ensuite on doit introduire la condition que cette équation possède deux racines égales qui correspondent au point P. Voir les p. 413-423 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery des OEuvres de Descartes sous l'article: ‘Façon generale de trouuer les lignes droites qui couppent les courbes données, ou leurs contingentes, a angles droits’.

[p. 444]

mum on minimum) à l'instant où la ligne s devient normale à la courbe. L'application de la méthode de Hudde amène donc dans ce cas une équation, qui, en notation moderne, s'écrit:

et dont on déduit ; ce qui permet de construire la normale AP et, par suite, aussi la tangente du point P¹⁾. La deuxième méthode est plus originale. Cette fois Huygens choisit le point fixe A sur la tangente elle-même, savoir à son point d'intersection avec l'axe des



y. C'est alors l'expression , ou si l'on veut , qui doit devenir un maximum ou minimum au cas où la ligne AP, qui joint le point fixe A au point mobile P de la courbe, est tangente en P à cette courbe. Par cette condition on trouve ²⁾. Évidemment on peut varier cette dernière méthode en fixant un autre point de la tangente, p.e. le point d'intersection A′ avec l'axe des x. Dans ce dernier cas il s'agit de rendre un maximum ou un minimum la fraction . Huygens applique cette méthode à des cas où y² = f (x)³⁾. On trouve alors, par la condition du maximum ou minimum de , l'équation .

1) Voir, pour les applications de cette première méthode, les pp. 504, 506 et 515.

2) Voir sur cette méthode la p. 505.

3) Voir les pp. 507-508 et 514.

[p. 445]

Ces méthodes n'exigent que des calculs très simples dans les cas où Huygens les emploie; mais elles ne sont pas applicables lorsque la courbe est donnée par une équation algébrique quelconque f_μ(x, y) = 0, irrésoluble par rapport à x et à y. Pour ce cas Huygens imagina deux autres méthodes⁴⁾ dont toutefois il n'était nullement satisfait. En effet, le 25 septembre 1662, il manda à de Sluse⁵⁾: ‘J'aurais déjà répondu plus tôt à votre avant-dernière⁶⁾, n'était-ce que je me proposais d'examiner quelques choses concernant votre nouvelle invention, à quoi j'ai eu à peine le loisir, il y a seulement quelques jours. Car j'ai été surpris de ce que vous écrivez de la concision de la méthode trouvée par vous pour les tangentes des courbes; j'ai travaillé beaucoup pour découvrir en quoi elle pouvait consister, mais en vain. Il est vrai que j'ai trouvé sans difficulté la tangente, que vous proposez, de la courbe de Gutschoven, et cela de plusieurs manières⁷⁾ et par un calcul très bref qui occupe à peine deux de ces lignes-ci. Et je suis tombé aussi sur votre construction⁸⁾; mais pourtant il me semble, d'après vos paroles, que vous avez inventé une règle de plus grande portée, s'étendant à toutes les courbes dont la nature est exprimée par une

4) Voir les p. 509-513 et consultez pour un ample exposé de ces méthodes les notes 5 de la p. 508, 11 de la p. 509 et 2 de la p. 511.

5) Voir les p. 237-238 du T. IV, où l'on lit: ‘Jam enim ante ad penultimas tuas respondissem, nisi quaedam circa novem inventum tuum prius expendenda mihi proposuissem, ad quae vix demum paucis hisce diebus liberum otium concessum est. Miratus enim quod scribis de brevitate methodi ad tangentes curvarum abs te repertae, qualis nam ea esset invenire allaboravi sed frustra. Nam illius quidem curvae Gutschovianae quam proponis tangentem nullo negotio investigavi varijs modis calculoque brevissimo, qui vix duos hujusmodi versiculos occupet. Atque in tuam constructionem quoque incidi; veruntamen quantum ex verbis tuis conjicio, majus etiamnum compendium reperisti, quodque ad omnes curvas spectet quarum proprietas aequatione expressa sit, nempe ad has quoque quarum implicita quodammodo est aequatio, ut x³ + y³ - xyn ∞ 0 quae est curvae illius quam tu in Schotenij commentarijs ad Cartesium forsan vidisti... Hujus tangentem in dato puncto ego quidem non nisi mediocriter prolixo calculo inveni (ex hac nempe aequatione, nam potest alioqui ad aliam multo compendiorem res deduci) plurimumque mirabor methodum tuam, si absque ullo pene, ac tantum inspectis characteribus istis reperire eam doceat’.

6) La lettre du 18 août 1662 dont il est question à la p. 442.

7) Voir les pp. 504, 505 et 513.

8) Celle décrite par de Sluse dans sa lettre du 18 août 1662 (p. 207 du T. IV); mais on ne la rencontre pas dans les manuscrits de Huygens, quoiqu'elle se laisse déduire aisément des résultats obtenus par lui.

[p. 446]

équation; savoir aussi à celles dont l'équation est en quelque façon implicite, comme , ce qui est l'équation de la courbe que vous avez peut-être rencontrée dans les commentaires de van Schooten sur Descartes¹⁾... Je n'ai trouvé la tangente à cette courbe que par un calcul médiocrement prolixe²⁾ (savoir en me servant de cette équation-là, car la chose peut être accomplie beaucoup plus commodément par une autre voie³⁾) et j'admirerai beaucoup votre methode si elle enseigne à trouver cette tangente presque sans aucun calcul et par la seule inspection des termes de l'équation’.

En réponse, de Sluse écrivit, le 6 octobre⁴⁾, que sa méthode avait, en effet,

1) Voir à ce propos la note 1 de la p. 238 du T. IV.

2) Voir les p. 509-512.

3) Voir les p. 506-508.

4) Voir les p. 246-247 du T. IV.

[p. 447]

la portée que Huygens lui supposait et il ajouta, comme preuve, la construction de la tangente à la courbe en question.

Or, quelques semaines après, probablement au commencement de décembre⁵⁾, Huygens apprit que Hudde était en possession d'une méthode semblable. Alors, ayant pris connaissance de l'algorithme employé par Hudde⁶⁾, Huygens ne tarda pas à en découvrir l'origine, qu'il exposa dans la lettre à de Witt de février 1663 dont nous avons déjà parlé⁷⁾. En effet, on trouvera au § 6 de la Pièce N^o. VII (p. 516-517), ce que nous supposons être la première recherche instituée par Huygens sur le problème en question en partant de la méthode de Fermat. Elle lui fit connaître enfin la règle qu'il avait cherchée si ardemment. De plus, on rencontre sur les même pages du manuscrit de petits calculs⁸⁾ qui se rapportent à l'algorithme plus général de Hudde, dont celui de Huygens constitue un cas particulier.

Ajoutons que Huygens communiqua sa méthode le 13 avril 1667 à l'Académie des Sciences dans un discours dont nous publierons le résumé dans un autre Tome, où nous réunirons tout ce qui concerne la participation de Huygens aux travaux de cette Académie.

Enfin, en 1693, cette méthode fut publiée dans les ‘Divers ouvrages de Mathématiques et de Physique’⁹⁾. À cette occasion Huygens ne manqua pas de constater la priorité de de Sluse et de Hudde dans l'invention de la règle¹⁰⁾.

5) Dans une lettre du 10 décembre 1662, que nous ne connaissons que par la réponse de de Sluse (voir les p. 291-292 du T. IV), Huygens fit savoir à celui-ci que Hudde et lui-même avaient découvert une methode semblable à la sienne.

6) On retrouve cet algorithme, tel qu'il fut formulé par Hudde, dans l'‘Extrait d'une Lettre de feu M. Hudde à M. van Schooten, professeur en Mathématiques à Leyde. Du 21. de Novembre 1659. Traduit du Hollandois’. Cet ‘Extrait’ fut publié p. 465-469 du ‘Journal literaire de juillet & aout, M.DCC.XIII. T. I. Seconde partie. A la Haye, Chez T. Johnson’.
Puisque ce journal n'est pas aisément accessible, nous en empruntons la ‘Règle générale’ qui suit: ‘Rangez tous les termes de l'équation qui exprime la nature de la Courbe, de maniére qu'ils soient ∞ 0, &*ôtez de cette équation toutes les fractions qui ont x ou y dans leurs diviseurs. Multipliez le terme dans lequel y a le plus de dimensions, par un nombre pris à discrétion, ou même par 0, & multipliez le terme dans lequel y a une dimension de moins, par le même nombre diminué d'une unité, & continuez de même à l'égard des autres termes



de l'équation. De même multipliez par un nombre pris à volonté ou par 0. le terme où x a le plus de dimensions: le terme où x a une dimension de moins, doit être multiplié par le même nombre moins l'unité, & ainsi des autres. Quand on divise le premier de ces produits par le second, le quotient multiplié par - x est ∞ AC. Au contraire si on divise le second de ses produits par le premier, le quotient multiplié par - y sera ∞ ac.
À cette règle le correspondant inconnu du Journal ajoute la remarque: ‘*Cette préparation n'est pas nécessaire. Il faut que M. Hudde dans le temps qu'il a écrit cette Lettre, n'ait pas connu l'avantage de sa méthode à cet égard. On voit par ses Papiers qu'il l'a connu depuis’.
Voici d'ailleurs comment Huygens dix ans après s'exprime dans une lettre à Oldenburg, du 24 juin 1673 (p. 315 du T. VII), sur la part de Hudde et de lui-même dans l'invention de la méthode: ‘Quand est ce que nous verrons la démonstration de la methode des Tangentes de Monsieur Sluse?’ (comparez la note 6 de la p. 442) ‘C'est cette mesme que je vous ay mandè que Monsieur Hudde et moy avions aussi. C'est pourtant Monsieur Hudde qui m'en a monstrè la pratique, et j'en ay cherchè depuis l'origine et demonstration a ma façon, laquelle en cas qu'elle soit differente de celle de Monsieur Sluze, je pourray donner aussi’.

7) Voir la p. 442.

8) Voir la note 4 de la p. 516.

9) Voir l'article ‘Regula ad inveniendas Tangentes linearum curvarum’, p. 330-335 de l'ouvrage cité dans la note 1 de la p. 91 du T. IX.

10) ‘Praecipuum verò operae pretium tunc suit compendiosa hujusce regulae contractio, quam, quoad potui, prosecutus, tandem in ipsas illas insignes Huddenii, Slusiique regulas desinere inveni, quas mihi Viri hi Clarissimi uterque sere eodem tempore exhibuerant: an vero hac eadem vià an aliâ in illas inciderint nondum mihi compertum’.

[p. 448]

Notons encore que lors de la publication, en 1667, du troisième volume des ‘Lettres de Descartes’ éditées par Clerselier¹⁾, et de celle, en 1679, des ‘Varia Opera’ de Fermat²⁾, Huygens aperçut³⁾ que la théorie de la détermination des tangentes des courbes algébriques avait été poussée plus loin par Fermat et Descartes⁴⁾ qu'il ne l'avait su.

S'il avait pu prendre connaissance également de la ‘Méthode de maximis et minimis expliquée et envoyée’ (en juin 1638) ‘par M. Fermat à M. Descartes’⁵⁾, Huygens aurait vu que Fermat était en possession d'une méthode équivalente à la sienne pour trouver les tangentes d'une courbe algébrique quelconque f(x, y) = 0⁶⁾ et qu'il l'avait appliquée, comme Huygens l'avait fait lui-même, et avec un succès égal, au folium de Descartes.

1) ‘Lettres de Mr. Descartes. Où il répond à plusieurs difficultez qui luy ont ésté proposées sur la Dioptrique, la Geometrie, & sur plusieurs autres sujets. Tome troisiesme, et dernier. A Paris chez Charles Angot, ruë S. Jacques, au Lion d'Or. M.DC.LXVII. Auec privilege du Roy’.

2) Voir l'ouvrage ciré dans la note 1 de la p. 326 du T. I.

3) Voici comme il s'exprime à ce sujet dans le premier alinéa de l'article cité dans la note 9, p. 447: ‘Idem Fermatius linearum curvarum Tàngentes regulâ sibi peculiari inquirebat, quam Cartesius suspicabatur non satis ipsum intelligere quo fundamento niteretur, ut ex epistolis ejus hac de re scriptis apparet. Sanè in Fermatii operibus post mortem editis, nec bene expositus est regulae usus, nec demonstrationem ullam adjectam habet. Cartesium verò in his quas dixi literis, rationem ejus aliquatenus assecutum invenio, nec tamen tam perspicuè eam explicuisse quàm per haec quae nunc trademus fiet, quae jam olim, multò ante istas literas vulgatas conscripsimus’.

4) En ce qui concerne Descartes, Huygens doit avoir eu en vue surtout la lettre à Hardy de 1638, p. 332-335 du T. III de Clerselier (p. 170-173 du T. II de l'édition d'Adam et Tannery des OEuvres de Descartes), où Descartes explique à sa manière la méthode des tangentes de Fermat, qu'il avait fini par comprendre après y avoir fait des objections dans des lettres précédentes; voir encore les p. 328-331 de Clerselier (Adam et Tannery, T. II, p. 128-131) et sur les objections de Descartes les pp. 300-303, 305-311 et 336-337 de Clerselier (Adam et Tannery, T. I, p. 486-491, T. II, pp. 2-11 et 174-176).
Quant à la methode des tangentes de Fermat, Huygens la trouvait exposée dans l'article ‘Methodus ad disquirendam maximam et minimam’ suivi de ‘De tangentibus linearum curvarum’ (p. 133-136 du T. I de l'édition des ‘OEuvres de Fermat’ de 1891-1896, citée p. 3 du Tome présent), article dont une copie avait été envoyée à Descartes, et dans d'autres articles des ‘Varia opera’ (pp. 144-147 et 159-165 du T. I de l'édition de 1691-1896) qui étaient inconnus à Descartes; mais la méthode n'y est appliquée à des courbes algébriques que dans des cas où l'on a y² = f(x), f(x) représentant une fonction rationnelle entière ou fractionnaire.

5) La Pièce fut publiée en 1879 par Charles Henry, d'après un manuscrit inédit, dans le ‘Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche et fisiche’ (T. XII, p. 658-663). Elle a été réimprimée dans le T. II, p. 154-162, de l'édition de 1891-1896 des ‘OEuvres de Fermat’.

6) Exprimée en notation moderne la méthode consiste dans la résolution, par rapport à la soustangente a, de l'équation: où l'on néglige les puissances de e au-dessus de la première.
Elle est basée chez Fermat sur la remarque que le point de la tangente peut être quasi-considéré comme un point de la courbe.
Évidemment la methode donne: .

Les autres travaux mathématiques de 1661-1666.

Nous avons encore à signaler quelques autres travaux de Huygens de moindre étendue que ceux nous venons d'analyser.

Il y a en premier lieu la Pièce N^o. V de 1662 (p. 498-500) où Huygens déduit par voie géométrique d'une manière aussi simple qu'élégante, une

[p. 449]

équation cubique dont dépend la construction de l'heptagone régulier. Ensuite on a de cette même année la Pièce N^o. VI (p. 501-503) qui contient une quadrature et une cubature se rapportant à la courbe de Gutschoven et à un de ses solides de révolution.

Puis, la Pièce N^o. VIII de 1664 (p. 518) nous fait connaître une méthode ingénieuse pour trouver le diamètre d'une surface sphérique appartenant à quelque objet, tandis que la Pièce N^o. IX de l'année suivante (p. 519-520) nous montre que Huygens a eu un instant l'idée de discuter l'équation générale du troisième degré en coordonnées cartésiennes, comme Descartes l'avait fait pour celle du deuxième degré.

Enfin, il y a encore deux Pièces qui doivent dater de 1666. La première,

[p. 450]

N^o. VIII (p. 521-523) s'occupe d'un problème de l'analyse indéterminée du premier degré, problème qui trouve son application dans la science de la chronologie, lorsqu'il s'agit de déterminer l'année du Cycle Julien introduit par Joseph Justus Scaliger. Dans la deuxième (p. 524) Huygens vérifie une quadrature approchée du cercle, proposée par un certain Oudart.