Oeuvres complètes. Tome XVI. Percussion

[p. 235]

De vi centrifuga.

[p. 237]

Avertissement.

Dans l'Avertissement précédent (p. 189-200) nous avons parlé à plusieurs reprises des idées émises par Huygens dans le cours de sa vie sur le mouvement circulaire et la force centrifuge, en connexion avec sa conception du monde et de l'espace. On a vu, tant dans cet Avertissement que dans les pages écrites par Huygens lui-même vers la fin de sa vie (p. 213-233 de ce Tome) que les différents philosophes qui s'intéressaient aux questions cosmiques, avaient des opinions diverses sur la nature, absolue ou relative, du mouvement. Nous aurions pu ajouter que les discussions sur la nature de l'espace et des questions qui s'y rattachent continuèrent après la mort de Huygens¹⁾, qu'aujourd'hui encore, dans la première moitié du vingtième siècle, la question de l'existence ou de la non-existence du mouvement absolu a été vivement débattue et que dans ce débat le problème de la nature de la force centrifuge qui cause p.e. l'aplatissement de la terre et la variation de la gravité à sa surface joue un certain rôle. Cette dernière

1) Voir p.e. quelques écrits de Leibniz d'une part et de Clarke, ami de Newton, d'autre part dans le ‘Recueil [par Des Maizeaux] de diverses Pièces, sur la Philosophie, la Religion naturelle, l'Histoire, les Mathématiques &c.’, seconde édition, à Amsterdam, chez François Changuion, MDCCXL. Mais ici la discussion, quoique vouée en partie à la question du ‘mouvement absolu’, n'a pas un caractère exclusivement scientifique.

[p. 238]

question a intéressé Huygens depuis 1659 jusqu'à la fin de sa vie. Dans le Manuscrit ‘De Vi Centrifuga’, la variation de la gravité due à la rotation de la terre est mentionnée une seule fois, au § 4 (Appendice I, p. 304); parmi les Appendices ultérieurs aussi on en trouvera un (Appendice VI, p. 323-326), où ce sujet est entamé, les recherches plus minutieuses sur ce sujet étant réservées pour un des Tomes suivants.

Le présent Traité, écrit déjà en 1659, n'a jamais été publié par Huygens; il n'a paru qu'en 1703, huit ans après sa mort, dans les ‘Opuscula postuma’, par les soins des professeurs de Volder et Fullenius, à qui Huygens dans son testament avait légué cette tâche. Il est vrai qu'il n'avait nommé expressément comme devant être publiés que la ‘Dioptrica’, le Traité ‘De Motu Corporum ex Percussione’ et le Traité ‘De Formandis Poliendisque Vitris’, mais les éditeurs nommés des ‘Opuscula postuma’ disent avec raison, à la deuxième page de leur préface, qu'ils ont cru agir dans l'esprit de l'auteur en y ajoutant quelques autres traités parmi lesquels celui ‘De Vi Centrifuga’.

Les éditeurs ont interverti l'ordre des propositions et incorporé dans le Traité quelques-unes de celles publiées par Huygens en 1673 à la fin de son ‘Horologium oscillatorium’¹⁾ avec des démonstrations rédigées par eux-mêmes. Une seule Proposition, la dix-septième et dernière (p. 299), a été rédigée par eux, mais la démonstration est de Huygens. Nous avons jugé à-propos de laisser au Traité la forme que les éditeurs lui ont donnée, mais nous avons mis entre crochets leurs additions au Traité primitif. Les notes indiquent en outre le texte primitif là où les éditeurs y ont apporté des modifications, peu importantes d'ailleurs.

Voici la liste complète des additions:

1)	Les mots ‘Propositio I’, ‘Propositio II’, etc. jusqu'à la dernière ‘Propositio XVII’;
2)	Les mots ‘Lemma I’ et ‘Lemma II’ avant la Prop. VII;
3)	L'énoncé de chacune des six Prop. VII, XII, XIII, XIV, XV et XVI, emprunté à l'‘Horologium oscillatorium’, et la démonstration, rédigée par les éditeurs, de chacune de ces Propositions, excepté la dernière.
4)	L'énoncé de la Prop. XVII.

1) Nous avons reproduit les treize Propositions de l'‘Horologium oscillatorium’ dans l'Appendice III qui suit (p. 315-318).

[p. 239]

Le Manuscrit de Huygens (voir p. 254, note 1) débute par les paragraphes que nous avons réunis dans l'Appendice I (p. 302-311). Tous ces paragraphes font défaut dans le Traité tel qu'il a été publié par les éditeurs, excepté le § 9 qu'ils ont intercalé dans le Traité sous le nom de ‘Lemma I’ avant la Prop. VII (p. 281).

L'interversion de l'ordre des propositions par les éditeurs avait pour but, comme ils le disent dans leur préface, de rendre le Traité plus conforme à l'ensemble des Propositions publiées dans l'‘Horologium oscillatorium’. En effet, comme les notes aux p. 315-318 l'indiquent, toutes les Propositions de l'‘Horologium oscillatorium’ (la rédaction, il est vrai, est quelquefois un peu différente) se retrouvent dans le même ordre dans le Traité ‘De Vi Centrifuga’; excepté dans le cas des Prop. II et III qui ont échangé leurs places. Le Traité contient de plus les Prop. VI, IX, XI et XVII.

Il semble que, dans leurs démonstrations des Prop. VII, XII, XIII, XIV et XV, les éditeurs se soient inspirés des raisonnements de Huygens que contenait le Manuscrit A; voir à ce propos les pp. 320, note 1, 321, quatrième et cinquième alinéas de la note 4 de la p. 320, et 325, note 6. C'est peut-être aux pages enlevées au Manuscrit A, mentionnées dans ces notes, qu'ils font allusion dans leur préface lorsqu'ils disent qu'ils ont démontré les Propositions nommées ‘ex fundamentis ab Ill. Hugenio positis’. Mais, comme on peut le voir dans l'Appendice V (p. 320) pour le cas de la démonstration de la Proposition XII - la seule des démonstrations que contenait le Manuscrit A, dont une partie ait été conservée - ils ont donné à ces démonstrations la forme qui leur paraissait convenable: ils ont rendu la démonstration de la Prop. XII moins exclusivement géométrique en y introduisant l'expression ∜2. Leurs démonstrations des Prop. XIII et XIV ont également un caractère moitié géométrique moitié algébrique, tandis que toutes les démonstrations de Huygens que le Traité contient sont exclusivement géométriques²⁾.

D'où est venue à Huygens l'idée d'examiner à fond la nature du mouvement circulaire? La tradition, l'observation, et la mécanique pratique l'y ont amené. La

2) Dans le § 15 du Manuscrit (voir la p. 309) le raisonnement de Huygens a une forme algébrique. Ce § n'était donc probablement pas destiné à être publié sous cette forme.

[p. 240]

rotation apparente de la voûte céleste¹⁾ a, depuis Platon et Aristote, et bien avant eux, conduit les penscurs à voir dans le mouvement circulaire uniforme quelque chose de fort remarquable. Quoique Huygens, grâce à Archimède, à Descartes, à Galilée et à son éducation entière aussi bien qu'à la tournure positive de son esprit, soit bien éloigné de toute vénération pour les idées scolastiques, il n'y a pourtant pour lui comme pour Aristote guère que deux sortes de mouvements naturels: le mouvement droit et le mouvement circulaire²⁾. Dès lors, examiner la nature du mouvement droit et du mouvement circulaire, c'est pour ainsi dire examiner généralement la nature du mouvement. Galilée lui aussi, quoiqu'il ait découvert la nature parabolique de la courbe décrite par un objet lancé en l'air, ne parle pas du mouvement curviligne en général et se borne presque toujours à considérer le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire uniforme: on a remarqué qu'il évite de faire mention de la nature elliptique des orbites des planètes, découverte par Kepler, quoiqu'il connaisse fort bien ses ouvrages et que ses disciples ne s'imposent pas la même restriction³⁾. Ce sont surtout Galilée et Descartes qui, avant Huygens, ont émis des idées justes et fécondes sur la rotation. Avant eux Kepler dans son ‘Epitome Astronomiae Copernicanae’ réfute brièvement l'opinion de ceux qui pensent que, si la terre tournait, les objets mobiles seraient lancés en l'air: il dit qu'il y a entre la terre et une roue tournante cette différence que dans le premier cas les objets sont pour ainsi dire attachés à la terre par une vertu attractive⁴⁾, mais il ne cherche nullement à déterminer la grandeur

1) Quand on ne songe qu'à la mesure du temps, sujet qui préoccupait Huygens depuis quelques années avant 1659, il n'y a aucune différence sensible entre un mouvement circulaire de la voûte céleste d'une part et la rotation de la terre de l'autre. En écrivant les paroles citées à la p. 194, note 5, Huygens pensait peut-être avant tout à la mesure du temps.

2) Dans le ‘Discours de la Cause de la Pesanteur’, publié en 1690, Huygens écrit: ‘À regarder simplement les corps, sans cette qualité qu'on appelle pesanteur, leur mouvement est naturellement ou droit ou circulaire. Le premier leur apartenant lors qu'ils se meuvent sa ns empeschement: l'autre quand ils sont retenus autour de quelque centre, ou qu'ils tournent sur leur centre mesme’. Ajoutons, pour éviter tout malentendu, que Huygens ne songe nullement à faire, comme Aristote, une distinction entre les mouvements naturels (κατὰ φύσιν) et les mouvements violents ou contre-nature (παρὰ φύσιν); d'ailleurs chez Huygens le terme ‘mouvement droit’ désigne le mouvement rectiligne uniforme, tandis que chez Aristote le mouvement rectiligne accéléré des corps qui tombent est un mouvement naturel.

3) L. Olschki, ‘Galilei und seine Zeit’, Halle (Saale), Max Niemeyer Verlag, 1927, p. 354-357.

4) J. Kepler, ‘Epitome Astronomiae Copernicanae’, Lib. I, § 7, p. 137 de l'édition nommée à la p. 192, note 1: ‘Lapides virtute attractoria ad terram sunt alligati’.

[p. 241]

de la ‘vertu’ centrifuge résultant de la rotation. Galilée va plus loin. Il part comme Kepler de la considération de la terre tournante, et il enseigne que la grande vitesse linéaire qu'un objet à la surface du globe terrestre acquiert en vertu du mouvement diurne peut parfaitement ne pas suffire pour lancer cet objet en l'air parce que la cause de la projection (‘causa della proiezione’ ou ‘dello scagliamento’) devient moindre, pour une même vitesse linéaire, à mesure que le rayon de la circonférence décrite s'accroît⁵⁾. La figure de Galilée qu'on trouve dans la ‘Giornata seconda’ du ‘Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo’⁶⁾ ressemble beaucoup à la Fig. 4 de la p. 306 de ce Tome. Galilée considère, comme Huygens au § 8 à la page nommée, deux objets décrivant des circonférences concentriques avec des vitesses linéaires égales; et il indique dans la figure pour chacun des deux objets (ce qui aurait également dû être indiqué dans la figure de Huygens) l'écart de la tangente correspondant à la courbe décrite dans un temps déterminé assez court⁷⁾. Il prétend ensuite que les forces (centripètes) qui font dévier les mobiles de la tangente sont d'autant plus grandes que les écarts de la tangente sont plus considérables⁸⁾. Ceci s'accorde parfaitement avec la théorie de Huygens. Galilée est allé aussi loin qu'on pouvait aller sans donner une définition précise de la ‘forza’ centripète ou centrifuge⁹⁾.

Après Galilée, Descartes, que Huygens nomme à ce propos dans son Discours de la Cause de la Pesanteur (voir la note 4 qui commence à la p. 327), parle à plusieurs reprises du mouvement d'une pierre dans une fronde. Après avoir

5) Edizione Nazionale, VII, p. 238.

6) Edizione Nazionale, VII, p. 242.

7) Dans la Fig. 11 de la p. 275 de ce Tome FE est l'‘écart de la tangente’. Le mobile qui tourne dans la circonférence parcourt l'arc BF dans le même temps dans lequel il aurait parcouru (abstraction faite de la pesanteur) la droite BE s'il a vait quitté la circonférence au point B. Le point E ne peut être considéré, en parlant strictement, comme situé sur le prolongement du rayon AF que lorsque l'arc BF et la longueur BE qui lui est égale sont infiniment petits.

8) Edizione Nazionale, VII, p. 243 ‘...a deviare un mobile dal moto dove egli ha impeto, non ci vuol egli maggior forza o minore, secondo che la deviazione ha da esser maggiore o minore? cioè, secondochè nella deviazione egli dovrà nell' istesso tempo passar maggiore o minore spazio?’
Un peu plus loin (p. 244) on trouve cependant la proposition inexacte que pour deux roues de rayons inégaux qui tournent avec la même vitesse angulaire les forces centrifuges sont égales. C'est sans doute à cette erreur que Huygens fait allusion dans les paroles citées dans la note 3 de la p. 251 qui suit.

9) Huygens considère surtout la force centrifuge, Galilée au contraire la force centripète (sans se servir de ce terme; comparez la note précédente). Voir sur ce sujet la suite du présent Avertissement (p. 246 et suiv.).

[p. 242]

établi ‘la premiere loy de la nature: Que chaque chose demeure en l'estat, qu'elle est, pendant que rien ne le change’, Descartes dit: ‘La seconde loy que je remarque en la nature, est que chaque partie de la matiere, en son particulier, ne tend jamais à continuer de se mouuoir suiuant des lignes courbes, mais suiuant des lignes droites... tout corps qui est meu en rond, tend sans cesse à s'esloigner du cercle qu'il décrit. Et nous le pouuons mesme sentir de la main, etc.’¹⁾. Plus loin il considère aussi une figure analogue à la figure nommée de Galilée et dit à propos de la pierre tournante que ‘si, au lieu de considerer toute la force de son agitation, nous prenons garde seulement à l'vne de ses parties, dont l'effet est empesché par la fonde²⁾, & que nous la distinguions de l'autre partie, dont l'effet n'est point ainsi empesché’, nous dirons que la pierre ‘fait seulement effort pour s'éloigner du centre’ suivant le prolongement du rayon³⁾. Ici, c'est bien la force centrifuge dont il est question. Ailleurs il s'exprime comme suit: ‘sçachant que l'vne des parties de son inclination, à sçavoir celle qui la porte suivant le cercle... n'est nullement empeschée par cette fronde, vous verrez bien qu'elle ne trouve de resistance que pour l'autre partie... et par consequent, qu'elle ne tend, c'est à dire qu'elle ne fait effort, que pour s'éloigner directement du centre⁴⁾’. Ici la force centripète, elle aussi, est mentionnée sous le nom de ‘resistance’. Et dire que la pierre ‘fait tendre la corde’⁵⁾, n'est ce pas aussi indiquer qu'il y a une force dans chacun des deux sens?

Mais ce n'est pas seulement grâce à l'observation du mouvement diurne et aux écrits de ses prédécesseurs sur la mécanique céleste ou terrestre que Huygens s'intéresse au mouvement circulaire; avant la composition du Traité ‘De Vi Centrifuga’ il songe déjà à la construction d'horloges à pendule conique. Son invention de l'horloge à pendule ordinaire a été octroyée en 1657⁶⁾. On trouve dans le Manuscrit A un projet d'horloge à pendule conique datant du 5 octobre 1659⁷⁾;

1) ‘Les Principes de la Philosophie’, II, §§ 37 et 39 (T. IX de l'édition d'Adam et Tannery, p. 84 et p. 86).

2) Fonde (lat. funda), forme ancienne du mot ‘fronde’.

3) Même ouvrage, III, § 57 (T. IX de l'édition d'Adam et Tannery, p. 131).

4) ‘Le Monde’, chapitre XIII (T. XI de la même édition, p. 85).

5) Même ouvrage, chapitre VII (Même Tome, p. 44).

6) Voir la p. 237 du Tome II.

7) Manuscrit A, p. 175: ‘Inventum die 5 Oct. 1659’. Dans une lettre à son père (T. VII, p. 391) Huygens dit avoir inventé l'horloge à pendule conique en 1658.

[p. 243]

il est vrai que rien n'indique (ce qui pourtant n'est pas impossible⁸⁾) que l'auteur de ce projet ait observé en octobre 1659⁹⁾ la marche d'un pendule tel que le pendule dessiné; il n'en est pas moins certain que Huygens s'intéresse aussi au mouvement circulaire en sa qualité d'homme pratique, d'inventeur d'instruments capables de mesurer le temps le plus exactement possible.

Résumons maintenant brièvement le contenu du Traité tel qu'il a été publié par les éditeurs de Volder et Fullenius en 1703 et réédité d'abord par 's Gravesande dans les ‘Opera reliqua’, Vol. II, de 1728, ensuite par nous; sans cependant exclure de cet aperçu la partie du Manuscrit publiée par nous dans l'Appendice I.

L'expérience fait voir d'une part que les corps libres tombent d'un mouvement uniformément accéléré, d'autre part qu'un corps suspendu à un fil exerce une traction sur ce fil et sur la main qui le tient. On peut donc dire qu'un corps exerce une traction ou force sur un fil qui le retient lorsque ce corps a une tendance à se mouvoir dans la direction du prolongement du fil d'un mouvement uniformément accéléré; et l'on peut admettre que la force exercée est la même pour des corps égaux¹⁰⁾ ayant une tendance à se mouvoir avec la même accélération¹¹⁾, ne fût-ce que durant un temps infiniment petit¹²⁾.

Or, ce qui détermine la tension du fil et la force éprouvée par celui qui le tient, ce n'est pas nécessairement la tendance au mouvement intégral que prendrait le mobile s'il était délivré de toute entrave; ce qui importe c'est la tendance au mouvement accéléré par rapport au fil tendu. Ainsi dans le cas d'un objet placé sur un plan incliné (parfaitement lisse) et retenu par un fil parallèle à ce plan¹³⁾,

8) Comparez les notes 2 et 5 de l'Appendice IV qui suit (p. 319): le 15 nov. 1659 Huygens dit avoir déterminé la valeur de la constante g ‘ex motu conico penduli’.

9) Dans la ‘Correspondance’ de Huygens (nos. T. I-X) la construction d'une horloge à pendule conique n'est mentionnée que vers la fin de 1667. Le 4 déc. 1667 (voir la p. 167 du du T. VI) Huygens écrit à son frère Lodewijk: ‘Ie suis maintenant apres a faire construire une autre maniere d'horloges, ou mesme deux autres, dont l'un est avec un pendule qui tourne en rond’, et le 12 oct. 1668 (voir la p. 267 du même Tome) au frère Constantijn: ‘I'en ay ici une du mouvement circulaire de ma nouvelle invention qui va assez bien, et sans bruit’.

10) ‘Mobilia aequalia’; voir p.e. la Prop. I à la p. 267.

11) P. 259, premier alinéa.

12) Huygens parle généralement d'un temps très petit ou d'un temps arbitrairement petit, et de même, s'il y a lieu, d'un espace très petit ou arbitrairement petit. Une seule fois cependant (p. 277, l. 20) on rencontre l'expression plus moderne ‘infinitè parva’.

13) P. 305, § 5.

[p. 244]

le mouvement accéléré qui importe est celui que prendrait l'objet si le fil était rompu mais que le plan demeurait en place; si l'accélération de ce mouvement le long du plan est p.e. le quart de celle d'un corps tombant verticalement, la main qui tient le fil éprouvera une force égale à un quart du poids du corps. De même la grandeur de la force éprouvée par un homme attaché à une roue tournante près du bord¹⁾ et tenant en main un fil très court auquel un corps est attaché, dépendra du mouvement uniformément accéléré²⁾ que le corps acquerrait au tout premier moment dans la direction du fil, si le fil était rompu (dans ce dernier cas on fait abstraction de la pesanteur). Il est vrai que la direction du fil n'est pas invariable pour un spectateur qui ne participe pas à la rotation, mais pour l'homme attaché à la roue le fil est constamment dirigé suivant le prolongement du rayon correfpondant à l'endroit qu'il occupe sur la roue, et lorsque le fil est rompu il voit au tout premier moment l'objet s'éloigner d'un mouvement accéléré en restant sur le prolongement du rayon²⁾; c'est donc bien dans la direction de ce prolongement qu'il doit sentir une traction lorsque le fil n'est pas encore rompu³⁾. Le même raisonnement est applicable au cas où l'objet tournant est attaché par un fil non pas à un point près du bord d'une roue, mais au centre de la rotation lui-même. Or, on fait que les espaces parcourus dans des temps égaux sont entre eux comme les accélérations; le rapport de la force centrifuge à la force de la gravité sera donc égal à celui de l'écart très petit ou plutôt infiniment petit de la tangente au chemin parcouru dans le même temps par le corps lorsqu'il tombe librement⁴⁾. Voilà pour la grandeur absolue de la force centrifuge. En comparant entre eux les différents écarts de la tangente pour différents mobiles dans des temps égaux, on trouve les rapports des forces centrifuges correspondantes, ce que l'on peut faire même avant d'avoir déterminé la grandeur absolue d'une d'elles⁵⁾.

1) P. 261, l. 4.

2) Ce mouvement peut en effet être considéré comme uniformément accéléré au tout premier moment; voir le troisième alinéa de la p. 265.

2) Ce mouvement peut en effet être considéré comme uniformément accéléré au tout premier moment; voir le troisième alinéa de la p. 265.

3) Deuxième alinéa de la p. 265.

4) Voir à la p. 275 la Prop. V, d'après laquelle la force centrifuge (comparez la note 1 de la p. 274) est égale à la force de la gravité, lorsque l'écart de la tangente (FE) est égal à l'espace que le corps parcourrait en tombant librement (évidemment avec une vitesse initiale nulle) durant le même temps dans lequel il parcourt l'arc BF correspondant à l'écart FE.

5) Prop. I-IV (p. 267-275), et §§ 5-8 (p. 305-306). Dans la partie du Manuscrit publiée dans l'Appendice l qui suit, la grandeur absolue de la force centrifuge est indiquée dans le § 1 (p. 303) qui précède la détermination du rapport des forces centrifuges dans les cas spéciaux. Ce § 1, autrement que la Prop. V, est un énoncé sans démonstration.

[p. 245]

En lisant les énoncés de la Prop. V. (p. 275) et du § 1 (p. 303) on verra que Huygens n'a pas eu l'intention de déterminer la grandeur de la force centrifuge par une formule algébrique, mais que notre formule
F = mv²/r
(voir la note 8 de la p. 303) correspond à ses énoncés, si l'on consent à adopter l'expression mg pour la force de la gravité, c. à. d. à appeler m le rapport de cette force à l'accélération de la pesanteur.

On peut regarder la Prop. VI (p. 277) comme une application de la Proposition précédente.

La Prop. VII (p. 281) considère l'isochronisme des révolutions d'un mobile parcourant diverses circonférences de cercle horizontales à l'intérieur d'un conoide parabolique ou paraboloide de révolution à axe vertical⁶⁾.

Dans les Prop. IX-XV (p. 287-295) Huygens et les éditeurs considèrent le mouvement des pendules coniques.

Enfin, les Prop. XVI et XVII (p. 295-301) traitent la tension que le fil d'un pendule simple éprouve pendant le mouvement grâce à l'existence de la forcecentrifuge.

Inutile de dire que toutes ces Propositions peuvent être démontrées plus facilement en partant de la formule F = mv²/r.

La terminologie de Huygens, quoiqu'il s'exprime fort clairement, n'est pas absolument constante. Le mot ‘gravitas’ indique parfois la force de la gravité (le poids), p.e. dans le Lemma I de la p. 281, parfois aussi la ‘quantitas solida’ (la masse), p.e. à la p. 267, l. 13. Une force ne s'appelle pas seulement ‘vis’ mais aussi ‘potentia’ (p.e. dans le Lemma II de la p. 281); il parle de l'‘impetus circulationis’ (p. 307, l. 19), du ‘conatus centrifugus’ (p.e. p. 297, avantdernière ligne). Généralement un corps exerce une force lorsqu'il a une tendance

6) Huygens a sans doute cherché les conditions de l'isochronisme du mouvement circulaire dans le but d'en faire une application dans la construction d'horloges à pendule conique; comparez aussi le § 14 de la p. 308.

[p. 246]

(‘conatus’) au mouvement, mais qu'un fil ou autre entrave l'empêche de se mouvoir dans le sens de cette tendance. Huygens dit plusieurs fois que la force ou tendance centrifuge est du même genre que la force ou tendance de la gravité (p.e. p. 297, l. 7 d'en bas ‘proinde similem’; p. 277, l. 25 ‘aequalem plane’; dans ce dernier cas, autrement que dans le premier, les grandeurs des deux forces sont les mêmes). Comme la ‘gravitas’ (poids), le ‘conatus’ en général est donc considéré comme une grandeur proportionnelle à la ‘quantitas solida’. Ainsi que nous l'avons dit, le ‘conatus centrifugus’ ou ‘vis centrifuga’ doit être pris pour un objet (ou point matériel) tournant autour d'un centre ‘respectu radii in quo situs est’ (p. 265, l. 5).

Les raisonnements de Huygens (et des éditeurs) dans le Traité ‘De Vi Centrifuga’ paraissent si impeccables qu'après la lecture du Traité on est tenté de se demander comment il est possible que dans des temps plus modernes plusieurs savants ont vu une difficulté logique dans le sujet qui nous occupe. C'est pourquoi nous donnerons la parole à H. Hertz pour exposer cette difficulté qui est cependant bien réelle.

‘Wir schwingen einen Stein an einer Schnur im Kreise herum; wir üben dabei bewusstermassen eine Kraft auf den Stein aus; diese Kraft lenkt den Stein beständig von der geraden Bahn ab... Nun aber verlangt das dritte Gesetz [la troisième loi de Newton d'après laquelle l'action est égale à la réaction¹⁾] eine Gegenkraft zu der Kraft, welche von unserer Hand auf den Stein ausgeübt wird. Auf die Frage nach dieser Gegenkraft lautet die jedem geläufige Antwort: es wirke der Stein auf die Hand zurück infolge der Schwungkraft, und diese Schwungkraft sei der von uns ausgeübten Kraft in der That genau entgegengesetzt gleich. Ist nun diese Ausdrücksweise zulässig?... In unseren Bewegungsgesetzen [que Huygens ne connaissait pas encore] war die Kraft die vor der Bewegung vorhandene Ursache der Bewegung [c'est en effet la conception de Newton, exprimée dans les deux premières lois]. Dürfen wir, ohne unsere Begriffe zu verwirren, jetzt auf

1) Les trois ‘Axiomata sive Leges Motus’ de Newton sont (texte de l'édition originale):
1) Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare,
2) Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur,
3) Actioni contrariam semper & aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales & in partes contrarias dirigi.

[p. 247]

einmal von Kräften reden, welche erst durch die Bewegung entstehen, welche eine Folge der Bewegung sind? [c'est la conception de Galilée, de Descartes et de Huygens, antérieure aux “Principia” de Newton]... es bleibt uns nichts übrig als zu erläutern: die Bezeichnung der Schwungkraft als einer Kraft sei eine uneigentliche... Aber wo bleiben alsdann die Ansprüche des dritten Gesetzes, welches eine Kraft fordert, die der tote Stein auf die Hand ausübt und welches durch eine wirkliche Kraft, nicht durch einen blossen Namen befriedigt sein will’²⁾.

On voit que cette difficulté logique n'existait pas encore lorsque Huygens écrivit son Traité. Elle apparaît lorsqu'on part des lois de Newton. Il est vrai que cette difficulté ne doit pas nous empêcher de nous servir du système de Newton. Hertz lui même ajoute³⁾: Wir haben in diesen Ausführungen die Zulässigkeit des betrachteten Bildes so stark verdächtigt, dass es scheinen muss, als sei es unsere Absicht die Zulässigkeit zu bestreiten und schliesslich zu verneinen. Soweit geht indes unsere Absicht und unsere Ueberzeugung nicht’. Cependant il y voit des ‘logischen Unbestimmtheiten’ qui ‘wirklich bestehen’³⁾.

On peut présenter la théorie classique de la force centrifuge sous diverses formes, au fond peu différentes. On peut soutenir que, suivant le principe de d'Alembert, tout problème de dynamique peut être réduit à un problème de statique en introduisant des forces fictives. Un cycliste qui parcourt dans une position oblique une courbe de l'arène est sollicité, peut-on dire, par deux forces, la pesanteur et la réaction du sol. La résultante de ces deux forces est une force centripète. Aucune autre force n'agit sur le cycliste: il n'est pas en équilibre. Mais ce cas réel peut être réduit à un problème d'équilibre en ajoutant une troisième force fictive aux deux forces réelles; cette force fictive est la ‘force centrifuge’.

Quelle que soit la valeur de cette conception, ce n'est pas la conception de Huygens pour qui, nous l'avons dit, la force centrifuge est une force du même genre que la force de la gravité.

Peut-on concilier Huygens et ‘d'Alembert’?⁴⁾ Cela paraît difficile à première

2) ‘Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt’, von Heinrich Hertz, Leipzig 1894. J.A. Barth, p. 6-7.

3) Page 9.

3) Page 9.

4) Ni Newton ni d'Alembert ne se sert de l'expression ‘force fictive’, qui est plus moderne. On trouve ce terme pour la première fois, croyons-nous, à la p. 46 et suiv. du ‘Traité de la Mécanique des Corps solides et du Calcul de l'Effet des machines’ par G. Coriolis, Paris, Carilian-Goewry et V. Dalmont, 1844. Coriolis admet le mouvement absolu.

[p. 248]

vue, et cependant en principe la chose est bien simple. Une force peut être réelle et fictive en même temps, réelle pour un observateur, fictive pour un autre observateur placé dans d'autres conditions. En disant que la force centrifuge est une force fictive, nous nous sommes placés au point de vue du spectateur qui ne participe pas au mouvement. Mais pour le spectateur de Huygens, attaché à la roue tournante, la force centrifuge est une force réclle. C'est environ ce qu'Einstein dit dans les paroles suivantes: ‘Ein exzentrisch auf der Kreisscheibe... sitzender Beobachter empfindet eine Kraft, die in radialer Richtung nach aussen wirkt, und welche von einem relativ zum ursprünglichen Bezugskörper [par rapport auquel le cercle tourne] ruhenden Beobachter als Trägheitswirkung (Zentrifugalkraft) gedeutet wird’¹⁾.

Dans les jours de Galilée, de Descartes, de Huygens et de Newton, et même dans ceux de d'Alembert et de Lagrange, personne n'avait encore dit clairement que pour parler sans ambiguité des mouvements des corps et des forces qui les accompagnent, il faut commencer par dire quel est le mouvement du spectateur qui observe le mouvement des corps, par rapport à ces corps. On a cependant remarqué (un ou deux ans avant l'apparition du relativisme moderne²⁾, détail qui n'est pas sans importance, puisqu'après l'apparition de cette théorie, toute tentative pour attribuer des idées relativistes de quelque valeur à Huygens pourrait s'expliquer par une certaine partialité pour le relativisme moderne - et nulle faute n'est plus grave pour un historien, ni plus difficile à éviter, que celle d'attribuer à des auteurs anciens des idées modernes dont ils n'ont eu aucune connaissance) on a remarqué, disons-nous, que Huygens dans son Traité ‘De Vi Centrifuga’ est guidé, pour ainsi dire, par le principe de la relativité du mouvement; c'est ce que F. Hausdorff, éditeur de la traduction allemande du Traité ‘De Vi Centrifuga’ (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 138, Leipzig, W. Engelmann, 1903) exprime dans les termes suivants: ‘Huygens lässt sich auch³⁾ hier [il s'agit de la dernière phrase du premier alinéa de la p. 261

1) Sammlung Vieweg, Heft 38, ‘Ueber die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie’, gemeinverständlich, von A. Einstein, F. Vieweg & Sohn, Braunschweig (Zwölste Auslage, 1921), p. 54.

2) Qui eut cependant de nombreux précurseurs. Voir p.e. l'ouvrage de J.M.C. Duhamel, cité à la p. 215, note 4, à la p. 225, note 3, à la p. 230, note 3 et à la p. 233, note 4.

3) C'est-à-dire: comme dans le Traité ‘De Motu Corporum ex Percussione’.

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de ce Tome: “unde hunc conatum inesse plumbo rectè dicemus”] von dem Princip der relativen Bewegung leiten, und es scheint, dass bei dieser Auffassung die Centrifugalkraft frei von den Dunkelheiten bleibt, die ihr verschiedentlich (z.B. von Hertz⁴⁾ “Die Prinzipien der Mechanik” S. 7) nachgesagt werden. Es handelt sich um die relative Bewegung der auf der Tangente weiterfliegenden Kugel gegen den auf dem Kreise mit gleicher Geschwindigkeit weiter rotirenden Beobachter’⁵⁾.

En effet, considéré en lui-même, le Traité ‘De Vi Centrifuga’ - personne que nous sachions n'a jamais dit le contraire - est ‘frei von Dunkelheiten’.

Quoi d'étonnant si plus tard (voir les Pièces qui précèdent, p. 213-233) Huygens - après avoir longtemps considéré la rotation comme un mouvement ‘vrai’ ou ‘absolu’ - revient avec insistance (quoique sans pouvoir développer le moins du monde un système relativiste conséquent) sur la relativité du mouvement⁶⁾?

Dans son ‘Horologium oscillatorium’ (p. 157 de l'édition originale) Huygens se contente de dire, au sujet de la publication de la démonstration des treize Théorèmes sur la force centrifuge imprimées à la fin de cet ouvrage, que cette démonstration est ‘in aliud tempus dilata’. Newton, à qui Huygens avait fait présent d'un exemplaire de l'‘Horologium oscillatorium’ écrit à Oldenburg: ‘I am glad, we are to exspect another discours of y^e Vis centrifuga, w^ch speculation may prove of good use in natural Philosophy and Astronomy, as well as Mechanicks’⁷⁾. Cependant, comme nous l'avons dit, durant la vie de Huygens le Traité est resté inédit⁸⁾.

4) Remarquons que Hertz n'a probablement pas lu le Traité ‘De Vi Centrifuga’ de Huygens. Dans l'ouvrage nommé il ne fait mention (à la p. 5) que d'Archimède, de Galilée, de Newton, de d'Alembert et de Lagrange.

5) P. 73 de l'édition nommée.

6) En donnant au mouvement relatif, lui aussi, le nom de ‘motus verus’.

7) Lettre de Newton à Oldenburg du 3 juillet 1673; voir la p. 326 du Tome VII.

8) En 1667 déjà Huygens avait annoncé dans une lettre au prince Léopold de Médicis son intention de faire paraitre ‘quandoque’ ses lois de la percussion des corps ‘ut et his cognata de vi qua tendunt a centro quae in orbem vertuntur, de qua vir idem Clarissimus [Borelli] egit in Theoricis Mediceorum’ (T. VI, p. 162). Voir sur l'ouvrage de Borelli la note 2 de la page suivante.
En 1669 Huygens envoye à Oldenburg ‘ut adserventur in Actis Societatis Regiae’ les anagrammes de quelques Propositions sur la force centrifuge (T. VI, p. 487).

[p. 250]

À défaut du Traité, les treize Théorèmes, quoique dépourvus de démonstrations, ont eu une influence notable: c'est par ces Théorèmes, paraît-il, que Newton a appris à connaître la mesure exacte de la force centrifuge¹⁾. Voici ce que Huygens observe lui-même à ce sujet à la p. 28 du Manuscrit G (nous citons ce passage en entier): ‘Je m'estonne que M^r. Newton sur une hypothese si peu probable et si hardie, se soit donnè la peine de bastir tant de Theoremes et comme une theorie entiere des actions des corps celestes. Je dis son hypothese qui est que toutes les petites particules des divers corps s'attirent mutuellement, et cela en raison double reciproque des distances. Il a pu estre conduit a sa theorie des orbites elliptiques par le livre de Borelli du mouvement des satellites de Jupiter, qui considere aussi la diminution de pesanteur par l'eloignement (quoyqu'il n'en remarque pas la proportion) et tasche de trouver les orbes elliptiques par la force centrifuge qui contrebalance la pesanteur²⁾, mais il n'a pas sceu penetrer les vrais fondements comme Newton qui a eu l'avantage de connoitre la mesure de la force centrifuge par les Theoremes que j'en ay donnèz’³⁾. Newton lui-même fait mention des Théorèmes en question dans le Scholium qui suit la Prop. IV.

1) Voir à ce propos les p. 69-73, Anmerkung 16, de l'ouvrage de J. Bosscha: ‘Christian Huygens. Rede am 200^sten Gedächtuistage seines Lebensendes, aus dem Holländischen übersetzt von Th.H.W. Engelmann’ (Leipzig, W. Engelmann, 1895), et les p. 118-129 du livre de F. Rosenberger: ‘Isaac Newton und seine physikalischen Principien, ein Hauptstück aus der Entwickelungsgeschichte der modernen Physik’ (Leipzig, J.A. Barth, 1895). Fl. Cajori dans son article: ‘Newton's Twenty Years Delay in Announcing the Law of Gravitation’ dans le Recueil ‘Sir Isaac Newton 1727-1927, a Bicentenary Evaluation of His Work’ (Baltimore, The Williams & Wilkins Company, 1928) arrive à la conclusion (p. 186) que ‘Newton's delay of about twenty years in announcing the law of gravitation was due to theoretical difficulties involved in the earth-moon test’, mais il ne fait pas mention du problème historique de la découverte de la mesure exacte de la force centrifuge et ne pose donc pas la question de savoir si Newton dans son calcul de 1666 a dû avoir des difficultés sous ce rapport, comme le pensent Bosscha et Rosenberger. Il est évident que pour pouvoir calculer exactement l'attraction exercée par la terre sur la lune, connaissant le mouvement de cette dernière dans son orbite à peu près circulaire, Newton aurait dû avoir des connaissances théoriques sur le mouvement équivalant à la connaissance de la valeur absolue de la force centrifuge. Dans le même Recueil G.D. Birkhoff dans son article ‘Newton's Philosophy of Gravitation, etc.’ attribue (à la p. 59) une influence prépondérante aux théorèmes de Huygens de 1673 sur la découverte de la loi de la gravitation universelle.

2) Borelli, ‘Theoricae Mediceorum Planetarum’ (voir ce T. p. 227, dernier alinéa de la note 2 de la p. 226), p. 47: ‘...supponentes id, quòd videtur non posse negari, quòd scilicet planetae quemdam habeant naturalem appetitum se uniendi cum mundano globo, quem circumeunt, quodque reuera contendant omni conatu ipsi appropinquare, planetae videlicet soli, Medicea verò sydera lovi. Certum est insuper quòd motus circularis mobili impetum tribuit se remouendi à centro eiusmodi reuolutionis, quemadmodum experimur in rotae, seu fundae gyro, quo lapis acquirit impetum recedendi à centro suae reuolutionis; supponamus igitur planetam niti Soli ipsi appropinquare, quoniam interim ob circularem motum impetum acquirit se se amouendi ab eodem centro solari, hinc est, quod dum aequales euadunt vires contrariae (altera enim ab altera compensatur) neque vicinior, neque remotior fieri potest ab ipso Sole vltra certum, ac determinatum spatium, ideoque planeta libratus apparebit, etc.’
Avant Borelli, Plutarque avait dit (voir à la p. 260, la note 8 de la p. 259 de notre T. X): ‘...la lune ne se meut point selon le mouvement de sa pesanteur, estant son inclination deboutée et empeschée par la violence de la revolution circulaire’ (traduction d'Amyot).

3) A la p. 2 du recueil ‘Anecdota’ (voir sur ce Manuscrit la note 4 de la p. 8 de notre T. XV) Huygens écrit encore à propos de ces Théorèmes: ‘De vi centrifuga extant, sed non demonstrata... Galileus deceptus (comparez le deuxième alinéa de la note 8 de la p. 241). Newtonus applicuit feliciter ad motus ellipticos Planetarum. Hinc quanti sit haec vis centrifugae cognitio apparet’.

[p. 251]

Theor. IV. à la p. 43 de l'édition originale des ‘Philosophiae naturalis Principia mathematica’.

On trouve dans les Manuscrits plusieurs calculs effectués par Huygens, après l'apparition des ‘Principia’ de Newton, sur la grandeur de la force centrifuge à la surface du soleil ou de la planète Jupiter, comparée à la grandeur de la gravité en ces lieux. Elles trouveront une place dans un des Tomes suivants.