De cijfferinghe (1604)

Het rekenboek van de beroemde schoolmeester

[p. 47]

Hoofdstuk 4
Wiskunde

Gedurende de Middeleeuwen speelde wiskunde nauwelijks een rol aan de universiteiten. Mathematische perfectie werd wel geacht aan de basis van de Schepping te liggen. Zo meenden geleerden dat de hemelse lichamen een neiging naar een perfecte cirkelbeweging vertoonden en werd de musica (muziekleer) behandeld als onderdeel van de wiskunde van verhoudingen: een goede verhouding tussen de lengtes van twee snaren gaf immers een prettige samenklank. Theologische en rechtskundige kwesties waren echter belangrijker en eisten de aandacht op. Wiskunde, en dan met name rekenen, was wel van belang bij de uitoefening van allerlei praktische beroepen en dus waren kooplui en ambachtslieden wel geïnteresseerd in rekenen en wiskunde. Met het groeiende belang van de handel lag het voor de hand dat ook de wiskunde in belang (en aanzien) zou toenemen.

Dit hoofdstuk beschrijft in grote lijnen de ontwikkeling van wiskunde in de zestiende en vroege zeventiende eeuw. In de eerste paragraaf wordt de rekenkunde behandeld. Terwijl de rekenkunde tamelijk statisch bleef, blijkt uit de tweede paragraaf dat er op wiskundig gebied nieuwe ontwikkelingen plaats vonden.

4.1 Hindoe-Arabische cijfers en decimale breuken

Hoewel in de zestiende eeuw het schriftelijk rekenen met Hindoe-Arabische cijfers geleidelijk aan gebruikelijker werd, kwam in de dagelijkse praktijk het traditionele rekenen met rekenpenningen ook nog vaak voor. Het principe van het penningrekenen gaat terug op de abacus die in de Griekse en Romeinse tijd in zwang was. Penningen werden op een rekenbord met horizontale lijnen gelegd. Zo kon men getallen voorstellen en door toevoegen of weghalen van penningen de rekenkundige bewerkingen uitvoeren. Indien nodig werden de uitkomsten in Romeinse cijfers genoteerd. Met de Romeinse cijfers zelf werden geen berekeningen uitgevoerd - dat was onpraktisch.

Het rekenen met penningen had verschillende voordelen. Men had voor deze methode geen pen en (duur) papier nodig en men hoefde niet te kunnen schrijven. Vandaar dat het lang duurde voordat deze methode geheel door het schriftelijk rekenen vervangen was. In 1698, tweeënhalve eeuw nadat de nieuwe schriftelijke methode zijn intrede in de Nederlanden had gedaan, werden er nog rekenpenningen geslagen. In verschillende rekenboeken van voor 1600 werd naast het schriftelijk rekenen ook het penningrekenen uitgelegd.

[p. 48]

De titelpagina van het rekenboek van Gielis van den Hoecke uit 1545, maakt al duidelijk dat kooplieden in dit boek kunnen leren hoe ze de rekenkundige vraagstukken uit hun dagelijkse praktijk kunnen oplossen. De zestiende- en zeventiende-eeuwse rekenboeken hadden een uiterst praktische inslag. Exemplaar Museum Plantin-Moretus / Prentenkabinet, Antwerpen: collectie Museum (R50.28)

De vijftiende- en zestiende-eeuwse rekenboeken hebben bijgedragen aan de verspreiding van de Hindoe-Arabische cijfers en de bijbehorende schriftelijke rekenmethode in de Nederlanden. Ze legden daarmee een basis waarop wiskundige kennis tot ontwikkeling kon komen. Deze boeken beginnen allemaal met het hoofdstuk ‘Numeratie’ waarin het lezen en schrijven van de Hindoe-Arabische cijfers aan de orde komt. Daarbij krijgt de nul veel aandacht. In het traditionele getalsysteem met de Romeinse cijfers komt geen nul voor, bij de Hindoe-Arabische cijfers is de nul een nieuw, maar onontbeerlijk verschijnsel en dus geven de auteurs het relatief veel aandacht. Zo vermeldt bijvoorbeeld Peter Heyns in zijn rekenboek uit 1561 het volgende over de nul:

De tienste is een o die welcke van haer seluen niet en bediet, maer by een ander ghevoeght zijnde vermeerdert zij die tienfout.

De auteurs van rekenboeken waren rekenmeesters of schoolmeesters, dus mensen die het rekenen ook zelf onderwezen: Gielis van den Hoecke (*1505), Peter Heyns (1537-1598), Nicolaes Petri (†1602), Peter van Halle (*1550), Adriaen van der Gucht en anderen. Uit de vele praktische handelsvraagstukken die in hun rekenboeken voorkomen blijkt dat toekomstige kooplieden, bankiers en geldwisselaars hun belangrijkste doelgroep vormden.

[p. 49]

De onderlinge overeenkomsten tussen de zestiende-eeuwse rekenboeken zijn groot. Auteurs maakten bij het schrijven gebruik van het werk van voorgangers en tijdgenoten. Zo komen vrijwel altijd dezelfde onderwerpen in dezelfde volgorde aan bod. Na het hoofdstuk ‘Numeratie’ leggen alle auteurs uit hoe men de rekenkundige bewerkingen met deze cijfers moet uitvoeren. Na het rekenen met hele getallen, volgen de breuken. Verder is er veel aandacht voor het rekenen met munten, maten en gewichten. In de zestiende eeuw had vrijwel iedere stad of streek zijn eigen munt-, maat-, en gewichtsysteem. Een schelling uit Middelburg had een andere waarde dan een schelling uit 's-Hertogenbosch; een Amsterdamse voet kwam niet overeen met een voet uit Zwolle. Het omrekenen vormde dus een belangrijk onderwerp in de rekenboeken. Daartoe gebruikte men de zogeheten ‘regel van drieën’. Vrijwel alle overige regels die in zestiende-eeuwse rekenboeken aan bod komen zijn varianten van deze regel. Auteurs waren zich daarvan bewust en kenden groot belang toe aan de regel van drieën.

Een zestiende-eeuwse vernieuwing op rekenkundig gebied was de decimale breuk en de bijbehorende notatie. In 1585 verscheen voor het eerst een lesboek over de decimale breuken: De Thiende. Het werd te Leiden gepubliceerd en was ge-

Rekenmeester Peter van Halle presenteert de regel van drieën in een rijk versierd kader. ‘Regel de tri hoe ghe onghemeeten doet uut dry getaelen tvierde weten’. De regel van drieën was in de zestiende- en zeventiende-eeuwse koopmanspraktijk de belangrijkste rekenkundige regel. Daarmee werden onder andere de verschillende maten en gewichten die in de diverse steden werden gebruikt in elkaar omgerekend. Copyright Koninklijke Bibliotheek van België (Brussel). Afbeelding van fol. 60v van het manuscript van Peter van Halle (hs. 3552) uit 1568.

[p. 50]

schreven door Simon Stevin (1548-1620), een wegens zijn geloof naar Holland uitgeweken Bruggeling. In De Thiende legde Stevin uit hoe je met decimale breuken kon rekenen. Daarnaast bood het boek een praktische handleiding voor de aanpassing van meetinstrumenten, waardoor de meetresultaten voor tientallige bewerking geschikt werden. Aangezien de meeste maten en gewichten niet tientallig onderverdeeld waren adviseerde Stevin bijvoorbeeld om de maatstaf van de landmeter van twee series merktekens te voorzien: één met de maten van de streek en één tientallig onderverdeelde, zodat de landmeter bij zijn rekenwerk kon profiteren van het tientallige Hindoe-Arabische talstelsel. In kringen van landmeters waren de decimale breuken en de bijbehorende dubbel-gemerkte maatstokken al snel een succes. Landmeters konden tientallig meten. Wilde de opdrachtgever het eindresultaat toch graag in de oppervlaktematen van de streek uitgedrukt zien, dan was dat eenvoudig met behulp van de regel van drieën te berekenen.

Aan het rekenboek van Bartjens en de andere rekenboeken uit zijn tijd valt te zien dat de decimale breuken bij kooplieden niet gebruikt werden. De koopman werkte in de praktijk met zeer veel verschillende munten, maten en gewichten. Hij kreeg bijvoorbeeld te maken met keysersdaelders die te Amsterdam 51 stuivers waard waren of met voeders die in Lyon 8 amen bevatten. Het was voor hem niet mogelijk om deze niet-tientallig onderverdeelde maten te omzeilen.

4.2 Wiskunde en vernuftelingen

Op basis van antieke Griekse geschriften over wiskunde ontwikkelde de wiskunde zich in de humanistische cultuur tot een wetenschap. Griekse wiskundigen als Euclides, Archimedes en Apollonius werden (her)ontdekt, hun geschriften vertaald of op basis van beschikbare fragmenten gereconstrueerd.

Op die wijze werd veel wiskundige kennis uit de Griekse oudheid opnieuw bekend. Er werden in Europa ook verschillende nieuwe wiskundige ontdekkingen gedaan. Zo werd in de zestiende eeuw bijvoorbeeld een nieuw algebraïsch tekenschrift (de tekens + en - onder andere) ontwikkeld en er werd een methode ontdekt voor de oplossing van derde- en vierdegraads-vergelijkingen. Aan verschillende universiteiten werden zelfs hoogleraren in de wiskunde aangesteld, maar het vak kreeg niet de status die de oude studies Rechten en Theologie hadden.

Dat had te maken met de status van wiskundigen. Wiskunde was een veel breder vakgebied dan tegenwoordig en ook de mensen die zich wiskundigen noemden waren van zeer diverse pluimage. Slechts een kleine groep hield zich (onder andere) bezig met de antieke geschriften over wiskunde - met wetenschap in de humanistische betekenis van het woord. De meeste wiskundigen voorzagen in hun levensonderhoud door meetkundige, rekenkundige en algebraïsche principes te gebruiken om navigatie-, landmeetkundige of vestingbouwkundige pro-

[p. 51]

blemen mee aan te pakken. Dat waren precies het soort problemen waarvoor oorlogvoerende vorsten en bestuurders zich gesteld zagen. Deze vorm van wiskunde was niet zo zeer een wetenschap, bestudeerd uit oude teksten door humanistische geleerden, maar was eerder een ambacht dat werd bedreven door zogeheten ‘vernuftelingen’. Deze wiskundige vernuftelingen werden betaald en gewaardeerd om hun praktische kennis en vaardigheden. Zij identificeerden zich graag met Archimedes, want men had bewondering voor het oorlogstuig dat deze oude Griekse wiskundige had ontwikkeld.

Daarnaast waren deze wiskundige vernuftelingen ontwikkelaars van ‘speeltjes’, ingenieuze apparaten die niet zozeer nuttig, maar wel interessant waren. Ze bedachten apparaten die een plaats in de rariteiten-kabinetten waardig waren. Zo ontwierp Stevin een zeilwagen voor prins Maurits, waarmee hij over het strand kon rijden, en ontwierp de uit Alkmaar afkomstige wiskundige Cornelis Drebbel (1572-1633) een duikboot voor zijn broodheer.

Mede uit deze situatie ontstond een nieuwe waardering voor het vak. Dat bleek bijvoorbeeld uit de vestiging van een nieuwe wiskunde-opleiding, verbonden aan de Leidse universiteit. Op initiatief van prins Maurits werd in 1600 deze opleiding in de ‘Duytsche mathematicque’ begonnen. Aan deze opleiding werd in de volkstaal onderwijs verzorgd in landmeten en vestingbouwkunde op basis van rekenen meetkunde. Dit was bijzonder in Europa. Andere Europese universiteiten waren zuiver humanistische bolwerken waar geen plaats was voor onderwijs in de volkstaal. De colleges aan de Leidse universiteit getuigen van de waardering die Maurits had voor wiskundigen.

Die waardering kwam voort uit de goede diensten die wiskundigen hem bewezen hadden in de oorlog tegen Spanje. Wiskundigen speelden een belangrijke rol bij de aanleg van vestingwerken en hadden soms ook bij belegeringen waardevolle adviezen gegeven. Tijdens het beleg van Alkmaar (1573) bijvoorbeeld, hadden de Spaanse belegeraars, die veruit in de meerderheid waren, een smadelijke nederlaag geleden, doordat op een aantal tactische plaatsen de dijken werden doorgestoken en zodoende het gros van de legereenheden in het nauw was gekomen. Maar ook meer vredelievende waterhuishoudkundige werken die door de wiskundigen werden uitgevoerd waren van groot nut voor de Republiek. Jan Adriaenszoon Leeghwater (1575-1650), een tijdgenoot van Bartjens, maakte de inpoldering van de Beemster bij Amsterdam (1608-1612) mogelijk. Het Overijsselse Vechtkanaal dat in de jaren 1620 werd gegraven en van sluizen voorzien, betekende een belangrijke stimulans voor de handel.

Het aanzien dat de wiskundige vernufteling zich op deze wijze had verworven straalde ook af op de rekenmeesters en schoolmeesters die rekenen op hun lesprogramma hadden staan. Niet alleen was het rekenonderwijs onontbeerlijk voor de handel - en daarmee voor de economie van de Republiek - rekenen vormde tevens de basis van wiskundige kennis. De vernuftelingen, maar ook ambachtslie-

[p. 52]

Titelblad van J. Sems en J. Dou, Practijck des lantmetens (1600). Aan de Leidse universiteit werd in 1600 een opleiding in de ‘Duytsche mathematicque’ verbonden. Deze opleiding verzorgde in de volkstaal lessen in het landmeten, de vestingbouwkunde en andere praktische vakken. Het boek van Sems en Dou was een van de eerste lesboeken ten behoeve van deze opleiding. De vestiging betekende erkenning van het belang van de wiskundige vernuftelingen voor de Republiek. Tevens steeg hierdoor het aanzien van de schoolmeester die rekenen onderwees. (Collectie Koninklijke Bibliotheek Den Haag)

den, bankiers, kooplieden en zeevaarders moesten eerst leren rekenen. In Holland en Zeeland kon een goede rekenmeester aangesteld worden als examinator van de stuurlieden bij de VOC. Een succesvol rekenmeester verdiende ook veel. Om het succes een handje te helpen kon een rekenmeester zich extra publiciteit verschaffen door een lastige wiskunde-opgave aan de plaatselijke kerkdeur te nagelen met de aankondiging dat de oplossing bij hem geleerd kon worden - uiteraard tegen betaling. Sommige van Bartjens' tijdgenoten kwamen ermee in de problemen omdat de opgave die ze hadden opgehangen helemaal niet zo moeilijk was in de ogen van hun concurrenten.

In sommige zestiende-eeuwse rekenboeken werden rekenregels behandeld die het koopmansrekenen overstegen. Een bekend voorbeeld was de ‘regel van valse positie’ - ook wel ‘regula falsi’ genoemd. De regel werd gebruikt in vraagstukken die men tegenwoordig met een eerstegraads-vergelijking of een stelsel eerste-graads-vergelijkingen zou oplossen. Tevens kwamen in sommige boeken de regels ter sprake waarmee de som van een rekenkundige of meetkundige getallen-

[p. 53]

reeks bepaald kon worden, of werden de beginselen van algebra behandeld.

De vraagstukken die bij deze onderwerpen opgelost werden, waren niet altijd praktisch van aard en dienden - naast het wekken van bewondering voor het feit dat ze door deze vernuftige meesters oplosbaar waren - ook als introductie tot het hogere rekenwerk van de wiskundige. Bij Bartjens staan dergelijke opgaven vooral in het tweede deel van zijn Cijfferinghe (1636), maar ook in het facsimile treft men opgaven die voor de meeste leerlingen niet relevant waren. Zo bevat de afsluitende tekst van De Cijfferinghe (pagina 275) de constructie van een magisch vierkant. Het is een opvallend onderwerp in een overwegend concreet en nuttig rekenboek. Bartjens rept niet van de magische kwaliteiten die het getallenvierkant in de ogen van Middeleeuwse rekenaars bezat, maar presenteert het als een ‘vermakelycke additie’. In die zin past het in de zeventiende-eeuwse rariteitenkabinetten. Het is een op zichzelf staand onderwerp dat verbazing en bewondering wekt en als zodanig een stukje van Gods schepping illustreert. Men kan het plaatsen in de vernuftelingen-traditie, tussen de zeilwagens en duikboten.