Appels en peren / wiskunde en psychologie

Gebundelde opstellen

[p. 108]

9 Studentenhaver

Met ‘studenten’ bedoel ik hier PA- of KLOS-studenten, maar ieder ander die meent dat de schoen hem past, mag hem aantrekken. De haver die ik ze wil laten proeven, bestaat uit mathematisch-didactische probleempjes, die ik de studenten, als ik hun opleider was, bij tijd en wijle zou opgeven om met ze te bediscussiëren, om ze onderling te laten bediscussiëren, waar ik ze een werkstukje over zou laten maken of op het examen over zou ondervragen. Losse verhaaltjes, maar voor wie er een lijn in wil ontdekken, losjes verbonden, op zijn minst door de mathematisch-didactische lijn.

1.	Daphne wordt op 17 maart zeven jaar. Op 6 maart vraag ik haar hoe lang dat nog is. Ze telt op haar vingers ‘7, 8, 9, ..., 17’ en zegt: ‘11 dagen.’ Op 7 maart vraag ik het haar weer. Ze zegt direct: ‘10 dagen.’
2.	Daphne vroeg plotseling: ‘Wat is de laatste letter,’ maar kennelijk bedoelde ze dat niet. Dat ‘z’ de ‘laatste’ is, weet ze immers. Ze zoekt naar woorden, zoiets als ‘het laatste cijfer’. En toen kwam het eruit - waarom kostte het haar zoveel moeite? - ze wilde het grootste getal weten. Het ging toen als op een veiling. ‘Als ik nu 1000 zeg?’ Verontwaardigd: ‘Een miljoen!’ ‘En als ik een miljoen zegt?’ ‘Haha, een miljard!’ (Weet zij wat een miljard is?) ‘En als ik een miljard zeg?’ ‘Een miljard miljarden!’ ‘En als ik een miljard miljarden zeg?’ ‘Een miljard miljarden miljarden!’ Zo ging het een poosje door tot we moesten ademhalen. Monica, drie jaar ouder, zat er met grote ogen naar te kijken. Ik zei tegen haar: ‘Het gaat ook met stapjes van 1. Bijvoorbeeld na 1 384 260...?’De ogen gingen liefst nog verder open. Achteraf dacht ik: ‘Heb je dat wel goed gedaan?’Wat denkt u?
3.	Ik loop met Daphne aan de overkant van het Amsterdam-Rijnkanaal. De hectometers kanaallengte zijn met stenen gemarkeerd, bijvoorbeeld , , ... Na, vraag ik Daphne wat nu zou komen. Ze zegt. Het blijkt te zijn. We gaan verder. Bij vraag ik opnieuw naar de volgende. Ze zegt.
4.	Monica (7½) telt spontaan razend snel achteruit van 100. Na 70 haalt ze adem en zegt: ‘Als ik bij 1 was begonnen, was ik nu bij 30.’
5.	Ik vraag Monica (9): ‘Een moeder en haar dochtertje zijn samen 21 jaar oud. Hoe oud is elk afzonderlijk?’ De broer (twee jaar ouder), moeder en vader zitten erbij. Schrijf een treurspel in één acte over wat er toen gebeurd zou kunnen zijn.
6.	Ik vraag Monica (9): ‘Jan en Piet hebben samen 10 knikkers; Jan heeft er 4 meer dan Piet; hoeveel heeft elk?’ Vrij vlug geeft zij het goede antwoord. ‘Hoe deed je het?’ ‘Ik deed eerst 4 + 4, dat is 2 teveel; toen deed ik één minder.’ De twee jaar oudere broer mocht ondertussen de oplossing zijn vader in het oor fluisteren. Hij zei: ‘9 en 1.’

[p. 109]

7.	Bastiaan (9). Een boerderij met kippen en konijnen, 10 koppen, 24 poten. Hij onmiddellijk: ‘8 kippen.’ ‘Hoe deed je dat?’ ‘⅓ van 24.’
8.	‘Bij... in de winkel is het 's middags gemiddeld drukker dan 's ochtends!’ Bastiaan vraagt: ‘Wat betekent “gemiddeld”?’ Antwoord van een volwassene: ‘Als je bijvoorbeeld hebt 26 en 17 en 41; kunt je dat optellen? ... Ja, goed zo, en dat moet je door drie delen.’
9.	Ik vraag Monica (8½) of ze wist wat elven waren. Natuurlijk wist ze het. ‘Hoeveel zijn nu twee elfjes?’ Ze insisteert op: ‘Twee.’ Bastiaan (10½): 22 gulden-waardeloos!’
10.	Daphne (6) beweert ineens dat 9 even is. ‘Nou, hoezo?’ ‘3 keer 3.’
11.	Op het dak zitten 10 mussen; de jagers schieten er 4 af; hoeveel blijven er zitten? In een vierkante kamer zit er in elke hoek een kat en elke kat heeft er drie vóór zich. Hoeveel katten? Een grootvader, twee vaders, twee zoons, één kleinzoon. Hoeveel mensen? Op welke leeftijd worden kinderen deze puzzelvragen gesteld en op welke stellen zij van hun kant dit soort vragen?
12.	Aan een Franse universiteit stelden ‘heuristiek’-onderzoekers (wat zijn dit?) aan vierdejaars wiskundestudenten in groepen van vier het volgende probleem: Men kan een vierkant uiteraard in vier vierkanten verdelen, ook in 9, ook bijvoorbeeld in 6. Gaat het ook in 7, 8, 10 enz.? Tot 10 speelden ze het klaar; met 11 lukte het hen niet meer. Ik gaf het vraagstuk aan een derde klas lagere school in deParijse ‘banlieue’. De achtjarigen speelden klaar wat de wiskundestudenten niet was gelukt; ze losten het probleem helemaal op. Iets voorn en voor de kinderen onder uw hoede! figuur 9.1
13.	Zes mensen A, B, C, E, F gaan op goed geluk in de rij staan. Hoe groot is de kans dat A links van B staat? Een wiskundig didacticus schreef alle 720 volgordes van de letters A, B, C, D, E, F onder elkaar, streepte die aan waar A links van B stond en rekende die fractie uit, waarbij hij zich nog vergiste. Zou het ook uit je hoofd kunnen?
14.	In een hoed zijn 20 balletjes, 19 zwarte en een witte, bestemd voor 20 mensen om uit te trekken. Wie de witte trekt heeft gewonnen. Doet het er toe in welke volgorde ze trekken? Wie het eerst mag trekken heeft een kans van 1/20 om te winnen. Hoe is het met wie als tweede

[p. 110]

mag trekken? Wel, misschien komt hij niet eens aan de beurt, maar áls hij wel aan de beurt komt, heeft hij nu een kans van 1/19 om te winnen. En met wie als derde mag trekken, is het navenant. Zou de volgorde er niet toe doen? Zouden ze misschien toch allemaal dezelfde kans hebben? Je kunt wat preciezer redeneren: De eerste heeft de kans 1/20 dat hij wint. De tweede heeft de resterende kans 19/20 om aan de beurt te komen en dan de kans 1/19 om te winnen. Dus 19/20 keer 1/19 is 1/20. Met de derde is het navenant. De kans dat de eerste wint is 1/20, de kans dat de tweede wint is 1/20, de kans dat de derde een beurt krijgt, is de resterende 18/20, de kans dat hij dan - met de resterende 18 balletjes in de hoed - de witte trekt, is 1/18. Dus 18/20 keer 1/18, is weer 1/20. Enzovoort. Maar moet het echt zo? Laten we in plaats van 20 balletjes 200 000 loten nemen met - maar dat doet er niet toe - maar één winst. Dat noem je een loterij. Doet het er bij een loterij toe of ik het eerste lot te pakken krijg dat verkocht wordt? Hé, als je de mensen bij de loterijcollecteur in de rij ziet staan, zou je soms geloven van wel. Staan ze daarom zo vroeg op? Neen, ik denk dat ze een mooi nummer willen uitzoeken. Dus puur bijgeloof. Maar cijferen en breuken is ook een soort bijgeloof. De hoed en de loterij - wat is het verschil? Of is er geen verschil? En als er wel verschil is, waar bestaat het uit en is het van betekenis? En als het niet van betekenis is, waarom niet? En hoe leg je het een ander uit? En is er verband met het vorige verhaal? En bent u verzadigd?

Terug- en vooruitblik

Is het gelukt? U kunt het bewijs leveren door zelf naar kinderen te kijken. Doe het dan.