Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

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VI. Le (nouveau) cycle harmonique.

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Avertissement.

L'étude sur le Cycle Harmonique a déjà été imprimée dans le T. X¹⁾ dans la forme que Huygens lui donna en 1691, bien longtemps après avoir fait les calculs²⁾, savoir celle d'une lettre à l'éditeur³⁾ de l' ‘Histoire des Ouvrages des Sçavans’⁴⁾. La traduction latine de cette publication de 1691 dans les ‘Opera Varia’⁵⁾ de 1724 porte le nom ‘Novus Cyclus Harmonicus’.

Dans la l. 19 de la p. 168 de la Pièce qui constitue notre Appendice I Huygens parle lui-même des ‘nombres du nouveau [nous soulignons] temperament. l'octave en 31 parties egales’. En effet, plus loin dans la même Pièce il écrit:

‘Que sans doute les divisions de 3 a 2, 4 a 3, 5 a 4, 6 a 5 donnent les consonances les meilleures qu'elles puissent estre. contre Stevin [nous considérons cette première sentence plus loin]. L'octave en 31 parties que donne Mersenne prop. 10 des Genres

1) P. 169-174.

2) La Pièce A qui suit doit dater de 1661; en effet, Huygens écrivait le 1 août 1661 (p. 12 qui précède) avoir trouvé que dans la musique ‘les logarithmes sont de grand usage’, ce qui ne s'applique pas aux Pièces de 1661 sur la Division du Monochorde dans lesquelles il n'est pas fait usage de logarithmes.

3) Basnage de Beauval.

4) Voyez sur ce périodique la note 11 de la p. 83 du T. X qui mentionne aussi une nouvelle édition de 1721.

5) P. 747-754.

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de musique n'est pas la nostre. et ne sont ses parties aucunement egales [nous soulignons]’. Il pouvait donc fort bien, en écrivant cette page, programme de la Pièce E, considérer comme nouvelle la division en 31 parties égales.

Il parle autrement sur Mersenne dans la suite. Dans le § 2 de la Pièce E il écrit: ‘je veux icy aller au devant de ce que me pourroient objecter ceux qui ont lu les livres de Salinas ou du Pere Mersenne, a scavoir qu'il y est parlè bien expressement de cette mesme division de l'octave en 31 parties egales. Ce qui est vray et je l'avoue volontiers [nous soulignons]’.

Or, les nombres donnés par Mersenne au lieu cité de l' ‘Harmonie Universelle’ de 1636, après les paroles énigmatiques ‘Ie donne neanmoins [c.à.d. sans l'approuver] le systeme qui supplee les defauts de celuy de Salinas, afin que l'on ayt tout ce qui se peut desirer sur ce sujet: or il y a 32 notes, ou 31 intervalles, dont on voit les raisons exprimées par les nombres qui sont à costé vis a vis de chaque note, mais il est si aisè de remarquer ce qu'il a de plus que les autres qu'il n'est pas besoin de l'expliquer, joint que nous en parlons plus amplement dans le liure des Orgues’, ces nombres, disons-nous, sont les suivants:

14000[0]	} 32 nombres, voyez sur eux l'Appendice II à la p. 171 qui suit.
138240	} 32 nombres, voyez sur eux l'Appendice II à la p. 171 qui suit.
135000	} 32 nombres, voyez sur eux l'Appendice II à la p. 171 qui suit.
129600	} 32 nombres, voyez sur eux l'Appendice II à la p. 171 qui suit.
........................	} 32 nombres, voyez sur eux l'Appendice II à la p. 171 qui suit.
........................	} 32 nombres, voyez sur eux l'Appendice II à la p. 171 qui suit.
72000	} 32 nombres, voyez sur eux l'Appendice II à la p. 171 qui suit.

Le rapport des deux premiers nombres est 1,0127; celui du deuxième et du troisième 1,0240; celui du troisième et du quatrième 1,0417 etc. Huygens avait donc pleinement raison en écrivant que les intervalles de Mersenne ne sont nullement égaux et il a eu tort d'avouer un peu plus tard le contraire. Nous ajoutons que les différences des rapports paraissent beaucoup trop grandes pour que nous puissions croire que Mersenne ait eu au moins l'intention de les rendre égaux. Quant à Salinas (dont Mersenne dit corriger les défauts) il écrit e.a.⁶⁾: ‘non inficiamur, Tonum atque omne

6) ‘Musica’, Live III, chap 27.

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interuallum in quinque partes, & plures aequè proportionales diuidi posse Geometricè, sed eas esse Dieses, prorsus negamus’. Voyez la p. 112 qui précède, avec la note 5. Chez Salinas il est donc manifestement question de séries d'intervalles égaux, mais, comme l'observe Huygens, seulement pour les désapprouver.

Or, dans la Pièce F, c.à.d. dans le ‘Cycle Harmonique’ de 1691, Huygens écrit, comme auparavant dans la Pièce E: ‘Salinas fait mention de cette invention de diviser l'Octave en 31 parties égales, mais ce n'est que pour la condammer; & le P. Mersenne après luy la rejette de même, d'où l'on pourra bien me croire, si je dis que ce n'est pas de ces Autheurs que je l'ay prise’. Dans l'une et l'autre Pièce Huygens parle de son ‘nouveau système’.

La raison donnée par Huygens pour nous faire croire ‘que ce n'est pas de ces Autheurs’ qu'il a pris la division en 31 intervalles nous paraît faible. Ce qui est parfaitement croyable à notre avis - et tel peut être le véritable sens de sa phrase - c'est que ce ne soient pas ces auteurs seuls qui lui aient donné l'idée de sa περιϰύϰλωσις. En effet, dans la Pièce qui constitue notre Appendice I il mentionne aussi Stevin; nous avons cité plus haut l'alinéa qui contient ce nom, lequel est immédiatement suivi par celui où Huygens dit que les 31 intervalles de Mersenne ne sont nullement égaux. D'autre part, nous l'avons exposé dans la note 9 de la p. 32, Mersenne savait tout aussi bien que Huygens que chez Stevin il est question de douze intervalles égaux, et les rapports des treize nombres de Beaugrand donnés par Mersenne pour les exprimer sont en effet (à fort peu près) égaux; cette circonstance met encore plus en relief l'inégalité des 31 rapports dont il est question plus haut. Nous avons vu (p. 27) que Huygens désapprouve, tout aussi bien que Descartes, la division en 12 de Stevin, qui d'ailleurs chez cet auteur n'est pas un tempérament, mais est censée correspondre à la nature des choses. N'y a-t-il donc pas lieu, tout bien considéré, de soupçonner que le tempérament de Huygens, son nouveau [mot de Huygens] cycle harmonique, provient de l'ancien cycle de Stevin, qu'il connaissait sans doute depuis sa jeunesse, corrigé par l'augmentation du nombre des intervalles? De cette façon l'avantage de la περιϰύϰλωσις était conservé, sans que les écarts des tons avec ceux du tempérament ordinaire (le tempérament du ton moyen, que Huygens appelle le tempérament véritable⁷⁾ fussent trop grands.

7) Voyez la l. 1 de la p. 116 qui précède.

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Tout-le-monde sait, et nous l'avons déjà dit plus haut, que c'est le système de Stevin (ou d'Aristoxène) qui a triomphé, du moins jusqu'aujourd'hui⁸⁾. Mais celui de Huygens est sans doute plus exact.

Nous ajoutons encore la remarque historique qu'on trouve déjà chez Vicentino⁹⁾, que Huygens ne mentionne pas, la proposition de diviser l'octave en 31 intervalles égaux, dont cinq formeraient un ton entier et trois un demiton majeur. D'autre part la division d'un ton en cinq ‘dièses’ se trouve déjà chez Marchetto de Padoue¹⁰⁾.

Consultez sur un manuscrit qui nous est resté inconnu et qui a pu avoir une certaine influence sur Huygens la note 11 de la p. 46 qui précède.

Voyez aussi la fin de la note 21 de la p. 160 qui suit.

Chez Huygens le système prend un nouvel aspect à deux égards. D'abord il est en état d'indiquer fort exactement les longueurs des cordes correspondant aux différents

8) Ici nous exagérons légèrement. ‘Tout-le-monde’ sait que le système de la gamme tempérée, à 12 intervalles égaux, a triomphé; mais il n'est pas généralement connu que Stevin a préconisé le système des 12 intervalles égaux au début du dix-septième siècle et que c'est à lui que Mersenne, dans l' ‘Harmonie Universelle’, l'attribue en premier lieu (p. 33 qui précède). James Jeans (‘Science and Music’, Cambridge, Univ. Press, 1938, p. 175) écrit: ‘All semitones are now equal and ... each represents precisely the same frequency ratio 1,0587 ... these frequency ratios had been correctly calculated by the French mathematician Mersenne [voyez cependant ce que nous disons à la p. 34 qui précède sur Beaugrand, Boulliau et Gallé], and published in his Harmonie Universelle as far back as 1636’. J.P.N. Land écrit (‘Het toonstelsel van Chr. Huygens’, 1891, p. 198): ‘Met name wilde de praktijk, dat men de toonladder, zonder op een instrument met vaste tonen (klavier of orgel) al te veel toetsen in te voegen, op elk harer eigene trappen zou kunnen transponeren. Sedert J. Seb. Bach is dit, naar men weet, bereikt door de verdeeling der octaaf in twaalf gelijke halve tonen, waarvoor men de berekening heeft gemaakt’.

9) Nicola Vicentino, né en 1511 à Vicenza, décédé à Rome en 1572, compositeur et théoricien, tâcha de faire revivre les systèmes chromatique et enharmonique des Anciens. Il traite ce sujet dans son ouvrage ‘L'antica musica ridotta alla moderna prattica’, Rome 1555. Comparez K.W.J.H. Riemann, ‘Geschichte der Musiktheorie im IX-XIX Jahrhundert’, Leipzig, 1898, p. 358.

10) Marchetto de Padoue, théoricien, florissait vers 1300. Comparez Riemann, l.c. p. 136.

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tons, puisqu'il se sert, lui le premier, paraît-il, du calcul des logarithmes¹¹⁾; désormais, la vraie mesure d'un intervalle devient le logarithme du rapport correspondant: comparez le premier Avertissement du présent Tome et la lettre de Huygens à Moray de 1661¹²⁾. En second lieu il démontre que le système des 31 tons ainsi définis diffère si peu de celui du ton moyen que les deux peuvent être considerés comme passablement identiques: partant le système du ton moyen acquiert pour ainsi dire un nouveau fondement mathématique.

Nous publions ici (Pièce D) un fragment inédit d'un projet de lettre à Basnage de Beauval¹³⁾; (Pièce E) une rédaction française du Cycle Harmonique - d'ailleurs fragmentaire elle aussi: elle se termine par une phrase inachevée - antérieure à celle (Pièce F) qui parut en octobre 1691; (Pièce A) la ‘Divisio octavae in 31 intervalla aequalia’ datant sans doute déjà de 1661 puisque le revers de la feuille contient la nouvelle méthode¹⁴⁾ de cette année du calcul des logarithmes (dont Huygens fit part à l'Académie des Sciences de Paris en 1666 ou 1667, voir plus loin dans le présent Tome); enfin une table (Pïèce B) mentionnée et partiellement reproduite dans l'article de 1891 ‘Het toonstelsel van Christiaan Huygens’ de Land¹⁵⁾; un commentaire sur une autre table (Pièce C), quelques notes (Pièce G) et l'important Appendice I mentionné plus haut. Voyez sur l'Appendice II la p. 142.

Notons encore que les claviers mobiles que Huygens fit construire à Paris paraissent être de 1669: voyez la note 22 de la p. 161. Consultez sur un clavier mobile dont Huygens entendit parler en 1663 le deuxième alinéa de la note 2 de la p. 154.

Pour terminer nous donnons ici une table des intervalles que forment avec la tonique C les différents tons de la gamme chromatique respectivement suivant le système de Huygens, suivant celui du ton moyen et suivant celui du tempérament uniforme ou division de la gamme en 12 intervalles égaux. Nous exprimons les inter-

11) Voyez les notes 4, 5 et 6 des p. 171 et 172 qui suivent.

12) P. 7 et 12 qui précèdent. F.J. Fétis, ‘Biographie universelle des musiciens’ (2^ième édition, Paris 1864, T, VI s.v. Neidhardt), émettait l'hypothèse que J.G. Neidhardt dans son ouvrage ‘Sectio canonis harmonici, zur voelligen Richtigkeit der Generum modulandi’, Königsberg, 1724, aurait été le premier à appliquer les logarithmes dans la théorie de la musique. Riemann, ‘Musik-Lexikon’, 9^ième éd. Leipzig, 1919 (de même Riemann-Einstein ‘Musik-Lexikon’, 11^ième éd. Berlin, 1929 s.v. Logarithmen). ne connaît pas d'application de logarithmes à la musique avant L. Euler. Comparez la p. 7 qui précède (note 10).

13) Comparez la note 3 de la p. 141.

14) Comparez la fin de la Pièce II à la p. 12 qui précède.

15) Mentionné dans la note 4 de la p. 44 qui précède.

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valles en Cents¹⁶⁾ et en outre en dièses dans le cas du système de Huygens. Les différences de grandeur des intervalles du système de Huygens et de ceux du système du ton moyen sont indiquées en Cents et aussi en fractions du comma syntonique.

Intervalles avec C. d'après le système
de Huygens		du ton moyen^17) différence				du tempérament égal
en dièses		en Cents	en Cents	en Cents	en fractions de comma
Cis	2	77,42	76,06	1,36	1/16 }	100
Des	3	116,13			}	100
D	5	193,55	193,15	0,40	1/54	200
Dis	7	270,97			}	300
Es	8	309,68	310,28	-0,60	-1/36 }	300
E	10	387,10	386,31	0,79	1/27	400
F	13	503,23	503,44	-0,21	-1/102	500
Fis	15	580,65	579,48	1,17	1/18	600
G	18	696,78	696,58	0,20	1/108	700
Gis	20	774,20	772,63	1,57	1/14 }	800
As	21	802,91			}	800
A	23	890,33	889,73	0,60	1/36	900
Ais	25	967,74			}	1000
Bes	26	1006,45	1006,80	-0,35	-1/61 }	1000
B	28	1083,87	1082,90	0,97	1/22	1100
C	31	1200.	1200.			1200

16) Le nombre de Cents correpondant â l'intervalle de deux tons donnés par des cordes de longueurs respectives m et n (où nous supposons m < n), en d'autres termes, celui de deux tons dont les fréquences des vibrations sont dans le rapport n : m, est le logarithme de la fraction n/m pour la base . On calcule donc le nombre de Cents d'après la formule . L'octave vaut évidemment 1200 Cents; la dièse de Huygens en comprend 1200/31 = 38,71; et le comma syntonique 21,5.

17) Le calcul a été exécuté par l'application de la formule de la note 16 aux valeurs de la table du ‘(Nouveau) Cycle Harmonique’ dressée par Huygens.