Oeuvres complètes. Tome XX. Musique et mathématique

[p. 197]

Huygens à l'Académie Royale des sciences.
Communications sur des sujets de mathématique.

[p. 199]

Avertissement

Dans son ‘Harmonie Universelle’ de 1636 Mersenne ne s'était pas servi de logarithmes; il est permis de croire que, malgré l'étendue de ses connaissances¹⁾, cette branche des mathématiques - n'en fut-il pas de même pour Descartes?²⁾ - lui était restée étrangère³⁾. Toutefois il ne mourut pas avant d'avoir fait leur connaissance, d'ailleurs apparemment fort superficielle. Dans un ‘Monitum’ de l'‘Universae Geometriae mixtaeque Mathematicae Synopsis’ faisant partie des ‘Cogitata physicomathematica’ de 1644⁴⁾ il mentionne ‘Gellibrandus, post Neperum & Briggium’ disant: ‘Qui serio Trigonometriae suam operam dare voluerit, adeat Gellibrandi Britannicam Trigonometriam⁵⁾, etc’; et dans une lettre du 2 mai 1648 à Chr.

1) Voyez la l. 2 d'en bas de la p. 352 du T. XVI (remarque de Constantyn Huygens père sur Mersenne).

2) Voyez cependant ce que Paul Tannery écrivit en 1900 dans le T. VII de l'‘Intermédiaire des Mathématiciens’ (‘Mémoires Scientifiques’, éd, Heiberg et Zeuthen, Toulouse - Paris, 1930, T. X, p. 370-372).

3) Si Mersenne avait connu les logarithmes lorsqu'il écrivit l'‘Harmonie Universelle’, il n'aurait pas eu besoin du secours de Beaugrand (voyez sur lui la note 4 de la p. 171 qui précède) pour calculer onze moyennes proportionnelles.

4) Le ‘Monitum’ se trouve à la p. 255 à la fin de la Partie ‘Euclidis ex traditione Maurolyci Phaenomena’.

5) La ‘Trigonometria Britannica’ (où est adopté pour le degré la division centigrade) contient des logarithmes de Briggs et une prèface de Henry Gellibrand (Gouda, Rammaseyn, 1633). Cet ouvrage est mentionné aussi, après ceux de Neper et de Briggs, à la p. 243 du sixième tome de la même année 1644 du ‘Cours mathematique’ d'Hérigone que Mersenne a peut-être pu consulter.

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Huygens⁶⁾ il parle, à propos de Grégoire de St. Vincent⁷⁾, d'‘un probleme [que celui-ci “supose”] plus difficile que celuy de la quadrature lequel il ne resoût point, ascauoir Estant données trois grandeurs rationelles, ou irrationelles et deux de leurs logarithmes estant aussi donnez, trouuer Geometriquement le logarithme de la troisiesme’.

Il n'est évidemment pas question ici - Mersenne ne donne aucune définition du logarithme - de ce que nous entendons aujourd'hui par ce mot. Si l'on appelle logarithme du nombre n le nombre l défini par l'équation b^l = n, il est manifeste que lorsqu'on donne un seul nombre et son logarithme, la base b⁸⁾ est déterminée; de sorte qu'on peut alors calculer le logarithme correspondant d'un nombre quelconque. Mais si l'on donne arbitrairement encore un deuxième nombre et son logarithme, ces données correspondront en général à une deuxième base, et l'on ne peut alors raisonnablement demander quel sera, d'après les données du problème, le logarithme d'un troisième nombre. Cette objection subsiste lorsqu'on définit le logarithme d'un rapport A - voyez la définition de Briggs et de Mercator⁹⁾ - comme le nombre N, c.à.d., par opposition à l'exposant de la première définition, le nombre entier N des ‘ratiunculae’ (la ‘ratiuncula’ étant un rapport fort peu supérieur à 1/1) comprises dans ce rapport A: un premier nombre donné (ou plutôt le rapport A de ce nombre à l'unité) et son logarithme définissent (à une petite incertitude près) la grandeur de la ‘ratiuncula’, et si l'on donne arbitrairement encore un deuxième nombre et son logarithme, il en résultera en général une ‘ratiuncula’ fort différente, de sorte qu'on ne pourra conclure logiquement au nombre des ‘ratiunculae’ correspondant à un troisième nombre. Dans le cas du problème de Mersenne il faut apparemment se figurer (comparez l'écrit de de Sarasa, cité plus loin) deux séries de grandeurs représentées par des lignes droites (Euclide, Grégoire de St. Vincent), dont l'une constitue une série géométrique, l'autre une série arithmétique. Qu'on établisse ensuite une correspondance entre le n-ième terme de la première et le m-ième terme de la deuxième série,

6) T. I, p. 89. La lettre date de quatre mois avant la mort de Mersenne. Elle est la réponse à celle du 20 avril 1648 de Huygens (T. II, p. 566) où il dit avoir vu le livre de Grégoire. Voyez sur cette lettre de Huygens la note 18 de la p. 276 du T. XI.

7) Dans le présent Tome nous avons mentionné l'‘Opus Geometricum, Quadratura Circuli etc.’ de 1647 de Gregorius à St. Vincentio à la p. 9.

8) Le terme ‘base’ est de L. Euler (dix-huitième siècle).

9) A la p. 11 qui précède.

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de même entre le p-ième de la première et le q-ième de la deuxième (on peut pendre p - n = q - m), appelant ‘nombres’ ou ‘grandeurs’ les termes de la série géométrique et ‘logarithmes’ les termes correspondants de la série arithmétique; alors on peut raisonnablement demander à quoi correspond soit le r-ière terme de la série géométrique, soit aussi (Sarasa) une longueur intermédiaire entre ce terme et le suivant. La solution exige en général une interpolation: l'on n'obtiendra en général qu'une solution approchée. Or, pareille solution approchée peut, tout aussi bien qu'une quadrature approchée, être considérée (c'est sur cela, nous semble-t-il, que Mersenne veut fixer l'attention) comme n'en étant pas une¹⁰⁾.

Pareil problème n'avait d'ailleurs pas été ‘supposé’ par Grégoire. Le mot ‘logarithme’ ne se trouve pas dans l'‘Opus Geometricum’¹¹⁾. Mersenne a cru pouvoir formuler à sa manière un problème équivalent à un (?) de ceux de l'oeuvre de Grégoire, mais il ne dit pas lequel et sa trop brève remarque demeure énigmatique¹²⁾. Il avait d'ailleurs déjà formulé dans les mêmes termes cette remarque, ou plutôt cette critique, un an plus tôt, en 1647, dans une page de son ‘Novarum Observationum Physicomathematicorum Tomus III’¹³⁾. En septembre 1650 F. van Schooten attira l'attention de Huygens sur cette page de Mersenne quoique sans mentionner les logarithmes¹⁴⁾. Une lettre de Huygens à Grégoire de novembre 1651¹⁵⁾ nous apprend qu'il avait fait connaissance avec le livre de A.A. de Sarasa de 1649 intitulé:

10) Il est quelque peu étonnant, nous semble-t-il, qu'à la fin de sa ‘Logarithmo-technia’ Mercator dit simplement: ‘Patet quoque ex praecedentibus quo pacto problema Mersennianum, si non geometricè saltem in numeris, ad quotvis usque locos solvi possit’, sans indiquer que lorsqu'on adopte sa propre définition du logarithme ce problème n'a pas de sens.

11) Il n'est donc pas tout-à fait exact de dire, comme cela a été fait à la p. 242 du T. XII, que ‘Grégoire n'avait pas donné la quadrature proprement dite du cercle mais seulement la réduction de cette quadrature à celle de l'hyperbole ou aux logarithmes [nous soulignons]’, quoique de Sarasa (ouvrage cité dans le texte) puisse dire (au début de son traité) de certaines parties du livre de Grégoire: ‘fundamenta doctrinae quae Logarithmos complectitur inibi continentur’. Voyez ce que Huygens dit sur Grégoire â la p. 264 qui suit.

12) Il dit que la recherche de Grégoire ‘in illud abit necdum solutum Problema’.

13) Deuxième alinéa de la p. 72, dans le Cap. I ‘De nouiter Repertis post edita Phaenomena’. Mersenne y parle du ‘conatus ingens in inuenienda circuli quadratura’, sans mentionner le nom de l'auteur et sans indiquer le titre de l'ouvrage considéré. Mais c'est indubitablement du livre de Grégoire qu'il parle.

14) T. I, p. 132. Des 19 lignes de Mersenne van Schooten en cite sept, dont celles sur les logarithmes (voyez la note 16) ne font pas partie. Ce qu'il cite se rapporte aux indivisibles de Cavalieri.

15) T. I, p. 156.

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‘Solutio Problematis a R.P. Marino Mersenno Minimo propositi datis tribus quibuscunque magnitudinibus, rationalibus vel irrationalibus, datisque duarum ex illis Logarithmis tertiae Logarithmum Geometricè inuenire¹⁶⁾, etc.’ Huygens n'approuvait point les quadratures de Grégoire: son Ἐξέτασις de décembre de la même année 1651¹⁷⁾ était déjà prête en septembre¹⁸⁾; néanmoins il parle dans sa lettre de novembre du ‘[liber] · Patris A. de Sarasa, qui te feliciter à Mersenni censura vindicavit’. Comme il n'est aucunement question de logarithmes dans l' Ἐξέτασις ni par conséquent d'une interprétation de la critique si vague de Mersenne il ne semble pas permis de conclure qu'en ce temps Huygens avait déjà considéré avec quelqu'attention la théorie des logarithmes. D'ailleurs - soit dit en passant - nous n'avons pas trouvé qu'il en ait jamais donné une définition nette¹⁹⁾.

La lettre de Wallis d'août 1656²⁰⁾ ne paraît pas non plus l'avoir amené à s'occuper de la théorie ou de la pratique des logarithmes; dans sa réponse de septembre²¹⁾ il dit que pour des raisons de santé ‘a tempore aliquo prorsus perfunctorie in studijs hisce [les études des sciences mathématiques] versor’.

Rien, nous semble-t-il, ne nous empêche de croire que 1661 est bien l'année où il commença à se servir du calcul des logarithmes²²⁾ et que ce fut, comme il le dit,

16) De Sarasa cite ici littéralement les quatre dernières lignes de l'alinéa de la p. 72 de Mersenne dont il est question dans les deux notes 13 et 14. Il donne d'ailleurs aussi au début de sa brochure la remarque de Mersenne en entier (disant qu'à son avis cette ‘censura’ est ‘parum Geometricè concepta & expressa’).

17) T. XI, p. 315.

18) T. I, p. 145.

19) Voyez à la p. 8 qui précède ce que disait Huygens, et aussi ce que disait van Schooten en la même année 1656, sur les définitions en général.
Citons encore la définition d'Hérigone (Cours III, p. 14; voyez la suite du texte sur son chapitre sur les logarithmes): ‘Les logarithmes sont les exposans des grandeurs continuellement proportionnelles’.

20) T. I, p. 476. Wallis y mentionne les ‘tabulae logarithmicae’ de Briggs. Voyez sur l'‘Arithmetica Logarithmica’ de Briggs, utilisée par Huygens en 1661, la note 7 de la p. 441 et quelques autres endroits du T. XIV.

21) T. I, p. 495. Il est vrai que la réponse conservée est fragmentaire.

22) Nous croyons cependant devoir remarquer que si la note a de la p. 517 du T. I date de 1656, Huygens connaissait déjà en cette année le ‘Directorium Generale Uranometricum’ de Cavalieri, traitant e.a. des ‘Trigonometriae Logarithmicae Fundamenta et Regulae’; et qu'il est certain qu'il avait reçu en 1657 (voyez la p. 210 du T. II) la ‘Mathesis universalis’ de Wallis laquelle contient un court chapitre sur les logarithmes. Il serait d'ailleurs assez évident même dans l'absence de tout document rendant la chose plausible, que, quoique ne se servant pas encore lui-même de logarithmes, Huygens ne pouvait ignorer leur existence.

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une question de musique, la considération de la περιϰύϰλωσις²³⁾ exigeant l'interpolation d'un nombre quelconque de termes en progression géométrique entre deux grandeurs données, qui l'y amena. C'est donc aussi de 1661, pensons-nous, que date la Pièce qui constitue le § 7 de notre Appendice I à la p. 294, où il s'agit de la même interpolation, non pas, il est vrai, entre deux cordes correspondant à deux tons musicaux, mais entre deux capitaux dont le premier doit s'accroître par des intérêts composés jusqu'à atteindre le montant du deuxième.

Il est vrai que cette dernière application n'a nullement, comme la précédente, le mérite de l'originalité: Huygens connaissait au moins depuis 1652²⁴⁾ le ‘Cours mathematique’ de P. Hérigone qui, en traitant des logarithmes dans son troisième volume, consacre huit pages à la considération de problèmes concernant l'accroissement de capitaux ‘auec les interests des interests’²⁵⁾.

On pourrait objecter que nous avons dit ailleurs²⁶⁾ qu'‘on trouve dans le Manuscrit A et dans les Chartae astronomicae plusieurs calculs logarithmiques [sur les couronnes et parhélies, traité achevé vers la fin de 1662²⁷⁾]’; que les feuilles des Chartae astronomicae, il est vrai, ne sont pas datées; mais que, dans le cas du Manuscrit A, il s'agit de feuillets découpés qui y faisaient, selon nous, suite à la p. 242²⁸⁾ et que cette page et les suivantes, et par conséquent aussi les feuillets enlevés, datent probablement d'avant 1661, plus précisément de 1660²⁹⁾. Toutefois, en consultant le T. XVII on peut constater que ce que nous disions n'est pas absolument correct: les feuillets provenant du Manuscrit A sont, par opposition aux autres feuilles des Chartae astronomicae dont il est ici question, des feuillets qui ne contiennent pas de calculs logarithmiques³⁰⁾. Par conséquent, ces calculs sur les couronnes et parhélies corroborent notre thèse, bien loin de l'infirmer.

Ce qui rend aussi plus ou moins probable que les calculs de Huygens sur les intérêts

23) Voyez sur ce mot les p. 143 et 168-169 qui précèdent.

24) T. I, p. 202.

25) P. 91-98: ‘de l'usage des logarithmes aux interests, etc.’ Voyez le titre complet de l'ouvrage d'Hérigone à la p. 202 du T. I.

26) T. XVII, p. 360.

27) T. XVII, p. 359.

28) T. XVII, p. 360, note 3.

29) Comparez la note 1 de la p. 100 du T. XVII.

30) D'après la note mentionnée dans la note 28 qui précède, les feuillets découpés (c.à.d. les feuillets découpés conservés) sont devenus les f. 67 et 66 des Chartae astronomicae. On les trouve cités dans le T. XVII aux p. 490 (notes 2 et 3), 492 (notes 5 et 6) et 494 (notes 17 et 21).

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composés ne soient pas antérieurs à 1661³¹⁾ c'est que, d'après les données de la note 1 de la p. 291 qui suit, ces calculs ne sont en tout cas pas antérieurs à octobre 1658, qu'ils ne datent donc pas d'une des premières années après l'acquisition (?), en 1652 ou plus tôt (?), du Cours d'Hérigone³²⁾.

Autre argument: les calculs de Huygens sur les intérêts composés sont rédigés en flamand (ou, si l'on veut, en néerlandais); or, il en est de même pour les petites Tables de Vlacq, contenant des problèmes sur ce sujet (note 5 de la p. 456 qui suit), qui parurent à la Haye en 1661.

On pourrait dire aussi que déjà en 1652 - neuf ans avant la rédaction de la Pièce qui occupe les p. 460-471 du T. XIV - Huygens trace une courbe qui n'est autre que la logarithmique³³⁾. Mais ici - quoique connaissant le Cours d'Hérigone - il ne parle pas encore de logarithmes. Comme dans le cas de la Fig. 24 de la p. 291 qui suit, il s'agit apparemment³⁴⁾ d'une représentation graphique des termes d'une série géométrique par des droites ordonnées éloignées l'une de l'autre à des distances a toujours égales entr'elles³⁵⁾; or, suivant Huygens, les ‘linearum proportiones’³⁶⁾ d'une courbe convenable - d'une courbe, peut-on dire, qui exprime une loi; comparez la Pièce de Huygens de 1646 ‘de motu naturaliter accelerato’, où il critique Lobkowitz³⁷⁾ - doivent jouir des mêmes propriétés quelle que soit l'unité des distances a (dans sa lettre suivante du 7 janvier 1653 à van Schooten Huygens parle de leur ‘magnitudo arbitraria’); par conséquent parmi les courbes passant par les extrémités des ordonnées considérées une seule, selon lui, est bonne: c'est celle qu'il trace.

À la p. 27 du T. XIV nous³⁸⁾ disions déjà - mais sans discuter la date probable des calculs sur les capitaux placés à intérêts composés - qu'avant 1661 on ne trouve pas de calculs logarithmiques dans les manuscrits de Huygens.

31) Observons aussi qu'en mars 1661, d'après les p. 256-258 du T. III - nous citons cette Pièce de nouveau dans la note 69 de la p. 209 qui suit - Huygens copie un manuscrit de Fermat dans lequel il est question d'insérer par des procédés géométriques un grand nombre, p.e. 10 ou 30, moyennes proportionnelles entre deux quantités données, sans qu'il observe que cette interpolation pourrait être faite au moyen de logarïthmes.

32) Huygens possédait certainement ce Cours plus tard, puisqu'il est mentionné en 1659 (Libri math. in octavo, 18) dans le Catalogue de vente de ses livres.

33) T. I, p. 209. Voyez la note 1 de la p. 210.

34) Dans le texte (lettre de Huygens à van Schooten) il n'est question que d'une autre courbe, savoir une courbe de Wallis. Voyez sur cette courbe la p. 373 qui suit.

35) Comparez la p. 440 du T. XIV.

36) T. I, p. 209, l. 10; les ‘lineae’ sont les ordonnées.

37) T. XI, p. 68. Voyez la note 1 de cette page.

38) Ou plutôt, pour parler clairement, le rédacteur du T. XIV, par opposition à celui du T. XVII et du présent Avertissement.

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Nous³⁸⁾ ajoutions: ‘tandis qu'alors ce calcul est approché par lui du côté géométrique en connection avec la quadrature de l'hyperbole’. Voyez toutefois l'Addition à la p. 555 du T. XIV, Malgré la remarque de 1647 de Mersenne dont nous parlions plus haut, et qui aurait pu amener Huygens déjà en cette année à s'occuper des logarithmes en connexion avec le problème des quadratures, il n'y a pas de raison pour attribuer la priorité à ce calcul-là contrairement à ce que Huygens dit luimême³⁹⁾. On pourrait certes être en doute en regardant la feuille séparée 11 du portef. ‘Musica’: un côté de cette feuille - non numérotée par Huygens - se rapporte au problème musical de l'interpolation⁴⁰⁾, l'autre (Appendice II à la p. 295) à sa règle (Pièce I qui suit) sur le calcul des logarithmes basé sur la quadrature approchée de l'hyperbole. Impossible de dire, en regardant cette feuille, quel est le texte le plus ancien. Mais dans le Manuscrit B⁴¹⁾ la chose est plus claire: ses premières pages contiennent des calculs brouillonnés sur le problème musical; les brouillons sur l'hyperbole etc. n'y commencent qu'à la p. 5. C'est par ces calculs de la p. 5 et suiv. que Huygens trouva sa règle qu'il rédigea ensuite aux p. 18 et suiv. sous le titre ‘Fundamentum regulae nostrae ad inveniendos logarithmos⁴²⁾’.

Sans doute, quoiqu'il n'en dise rien en cet endroit⁴³⁾, il s'est souvenu en entreprenant les calculs des p. 5 et suiv. que dès 1647 il avait été question de logarithmes en connexion avec l'‘Opus Geometricum’ de Grégoire de cette année. Mais nous ne pouvons souscrire entièrement à ce que l'exposé suivant de Ch. Hutton dans la partie ‘Construction of logarithms’ de son ‘Introduction’ à la Collection des ‘Scriptores logarithmici’ par Fr. Maseres⁴⁴⁾ dit à propos de Mersenne: ‘As to the first remarks on the analogy between logarithms and the hyperbolic spaces, it having been shewn by Gregory St. Vincent, in his Quadratura Circuli & Sectionum Coni⁴⁵⁾, published at Antwerp in 1647, that if one asymptote be divided into parts in geometrical progression, and from the points of division ordinates be drawn parallel to

38) Ou plutôt, pour parler clairement, le rédacteur du T. XIV, par opposition à celui du T. XVII et du présent Avertissement.

39) P. 12 qui précède.

40) Note 1 de la p. 147 qui précède.

41) La première date y est août 1661, à la p. 18.

42) Pièce publiée aux p. 451-457 du T. XIV.

43) Mais voyez son hommage à Grégoire de St. V. à la p. 281 du T. VI (année 1668) et la réponse de J. Wallis (p. 298 du même Tome).

44) p. LXXXVI du T. I de cet ouvrage publ. en 1791 chez Davis, London. L'introduction historique de Hutton parut d'abord en 1785 dans sa nouvelle édition de ‘Sherwin's Mathematical Tables’.

45) C.à.d. l'‘Opus Geometricum’.

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the other asymptote, they will divide the space between the asymptote and curve into equal portions⁴⁶⁾; from hence it was shewn by Mersennus, that by taking the continual sums of those parts, there would be obtained areas in arithmetical progression, adapted to abscisses in geometrical progression, and which therefore were analogous to a system of logarithms. And the same analogy was remarked and illustrated soon after by Huygens, and many others, who shew how to square the hyperbolic spaces by means of logarithms’. Nous ne voyons pas que les paroles de 1647 de Mersenne, qui rapporte des propos d'autrui⁴⁷⁾, impliquent la connaissance de la proposition que Hutton lui attribue et qui est en réalité la Prop. III (ou plutôt le corollaire de cette proposition) de 1649 de de Sarasa⁴⁸⁾.

Pour éviter tout malentendu nous ajoutons que le passage cité de Hutton ne se rapporte pas à la règle de Huygens pour calculer les logarithmes, basée e.a. sur la considération d'un segment d'hyperbole (comme on peut le voir au T. XIV) et que ni Hutton ni Maseres n'ont connue; voyez sur les considérations de Huygens qui s'y rattachent sur la quadrature de l'hyperbole par les logarithmes, ce qui est le sujet dont parle Hutton, les p. 474 et suiv. du T. XIV (pages manuscrites également inconnues à Hutton et Maseres), ou plutôt la p. 221 du T. XVIII appartenant à l'‘Horologium oscillatorium’ universellement connu au dix-huitième comme au dix-septième siècle.

Nous disons encore quelques mots plus loin⁴⁹⁾ sur la logarithmique, qui fut considérée de nouveau (nous voulons dire, après 1661) par Huygens en 1668, donc à Paris, comme on l'a vu au T. XIX⁵⁰⁾.

Le texte des treize Communications de Huygens à l'Académie qui suivent, dont celle sur la règle pour trouver les logarithmes est la première, est emprunté en majeure partie aux Registres de l'Académie conservés à Paris⁵¹⁾, mais en tenant compte, lorsqu'il y a lieu, des pièces de la collection-Huygens à Leiden⁵²⁾. Ceci s'applique aux Pièces I, II, III, IV, VII, X et XIII. Les Pièces V et VI ne çonsistent qu'en quelques lignes indiquant les sujets traités par Huygens d'après les Registres; pour la Pièce VI ce sont surtout les

46) ‘Opus Geometricum’, De Hyperbola, Prop. CXXX.

47) P. Tannery (lettre à H. Bosmans du 24 déc. 1902, p. 198 du T. XIII de 1934 des Mémoires Scientifiques, éd. Heiberg et Zeuthen) suppose que ‘la question plus ou moins bien formulée par Mersenne contre Saint - Vincent’ a été inspirée par Roberval.

48) Nous rappelons que Mersenne décéda en 1648.

49) P. 413 et 414.

50) Dans la ‘Dynamique’.

51) Comparez la p. 680 du T. XIX.

52) Voyez les p. 195-196 qui précèdent.

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Appendices, empruntés aux manuscrits de Leiden, qu'il faut consulter. Il en est de même pour la Pièce XII; sauf que nous empruntons ici quelques lignes au Manuscrit E, non pas dans un Appendice, mais dans la Pièce elle-même. Exceptionnellement nous avons ajouté à cette Pièce 1680 un Appendice datant, quoique peu, d'après le départ définitif en 1681 de Huygens de Paris; ceci à cause de la liaison étroite existant apparemment entre les considérations géométriques développées dans ces pages et ce que Huygens a dû proposer à ses collègues de l'Académie. La Pièce XI est mentionnée dans les Registres mais ils n'en contiennent pas le texte; celui-ci est emprunté aux Chartae mathematicae; nous l'avons publiée dans le T. XVIII auquel nous renvoyons le lecteur. La Pièce VIII (problème d'Alhazen) est empruntée en partie aux Chartae mathematicae et en partie aux ‘Divers ouvrages’⁵³⁾ de 1693. D'après une lettre de Huygens à Oldenburg de juin 1669⁵⁴⁾ ‘nos Messieurs ont jugè assez heureuse’ sa construction du problème d'Alhazen que l'on trouve, imprimée par lui-même, vis-à-vis de la p. 462 du T. VI. Il a donc dû la présenter à l'Académie en cette année quoique les Registres de 1669 n'en fassent pas mention. Ailleurs⁵⁵⁾ Huygens affirme cependant qu'une construction provenant de lui est dans les Registres. C'est, pensons-nous, celle, différente de la construction de 1669, qu'on trouve à la p. 336 des ‘Divers ouvrages’⁵⁶⁾. La Pièce IX enfin (construction d'une hyperbole) est également empruntée aux ‘Divers ouvrages’: il est possible qu'elle se trouvait dans un des tomes perdus des Registres (1670-1674), quoique le manuscrit conservé de Huygens dont le texte est le même porte la date du 30 janvier 1669 et qu'on ne voit donc pas pourquoi il ne l'a pas pas communiquée à l'Académie en cette année⁵⁷⁾.

53) ‘Divers ouvrages de mathématique et de physique’ par Messieurs de l'Académie Royale des Sciences.

54) T. VI, p. 460.

55) T. IX, p. 96.

56) Huygens n'a pas envoyé cette construction à d'Alencé en 1687 (T. IX, p. 167); comparez ce qu'il en dit en 1693 à la p. 497 du T. X. Nous ne la trouvons pas dans un des tomes conservés des Registres; de la Hire a donc dù, pensons-nous, la tirer, pour les ‘Divers ouvrages’, d'un des tomes perdus.
Voyez sur ces tomes perdus la p. 179 de notre T. XIX. Nous y parlons de ‘l'ancienne Académie, fondée en 1666, abolie en 1693’. Le lecteur est prié de corriger 1693 en 1793, faute d'impression que nous n'avons pas remarquée en temps utile.

57) Huygens envoya la Pièce à d'Alencé en 1687. Quoique de la Hire (lettre de septembre 1686) lui eùt fait savoir pu'il pouvait aussi envoyer pour les ‘Divers ouvrages’ des pièces autres que celles qui avaient été présentées à l'Académie, il ne paraît pas l'avoir fait. C'est seulement pour cette Pièce-ci qu'on pourrait être en doute. Voyez sur le manuscrit de Huygens la note 1 de la p. 273.

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Pièce I. Après tout ce qui a été dit plus haut et au T. XIV sur la règle pour trouver les logarithmes⁵⁸⁾ il n'est plus nécessaire d'y revenir.

Pièce II et suivantes. La ‘Demonstratio regulae de maximis et minimis’, rédigée en latin, n'a certainement pas été lue par Huygens sous cette sorme. D'ailleurs il dit à la p. 264 du T. XIX qu'il vaut mieux que les sujets de ‘la geometrie pure et arithmetique’ - ceci s'applique aussi à la Pièce I - soient traités par écrit, ou, pour le citer littéralement, ‘que de telles speculations ne sont pas une affaire d'assemblee’. Il y eut néanmoins des communications orales, puisque les Registres disent que Huygens ‘continuera sa Methode de Maximis etc.’ et qu'il note sur son manuscrit: ‘parler de Hudde’⁵⁹⁾. Nous nous abstenons de remarques analogues sur les autres Pièces⁶⁰⁾.

Toutes les communications - à l'exception, peut-on dire, de la première, puisque Huygens donne sa règle sans aucune démonstration; et aussi en partie de la cinquième - se rapportent à des sujets de géométrie. Il est question p.e. d'‘investiganda maxima et minima in geometricis quaestionibus’⁶¹⁾. C'est de géométrie plane qu'il s'agit en premier lieu. Ceci est évident pour la Pièce III: ‘Regula ad inveniendas tangentes linearum curvarum’. Mais on le remarque aussi dans la Pièce II. Néanmoins Huygens voit fort bien que la méthode fournit des maxima et des minima d'expressions algébriques d'où qu'elles proviennent: dans l'Appendice II de la p. 300, datant de 1669, il l'applique à deux problèmes sur le cône, ce qui n'est plus de la géométrie plane. C'est d'ailleurs ce que tout-le-monde voyait depuis longtemps: dès 1644 Hérigone applique la méthode de Fermat à la question ‘Trouuer le plus grand des cones droicts contenus sous egales superficies coniques’⁶²⁾.

Nous avons déjà dit dans le T. XI⁶³⁾ qu'on trouve dans le Manuscrit 12, apparemment destiné en premier lieu à l'usage personnel du jeune Huygens, quelques pages de la main de F. van Schooten le fils intitulées: ‘De Maximis et Minimis sive Ratio inveniendi casum determinationis in Problemate determinato juxta Methodum Domⁿⁱ

58) T. XIV, p. 431 et suiv.

59) Voyez sur Hudde la note 3 de la p. 73 du T. XIX.

60) On peut consulter là-dessus nos notes à ces Pièces.

61) Note 1 de la p. 229 qui suit.

62) P. Hérigone, Cours Mathematique, Tome Sixiesme et dernier, p. 63. C'est précisément un des deux problèmes considérés par Huygens en 1669.

63) P. 3, 7 et 13.

[p. 209]

de Fermat’, et que deux des quatre problèmes traités se trouvent (à l'endroit cité) dans le Cours d'Hérigone. Faut-il en conclure que dès son séjour à Leiden Huygens connaissait fort bien ce Cours? Dans ce cas n'est-il pas quelque peu étonnant que ses calculs logarithmiques sur les intérêts composés datent d'après octobre 1658? Il faut répondre à cette question que ce n'était pas uniquement par le volume de 1644 d'Hérigone que van Schooten connaissait la théorie de Fermat⁶⁴⁾. Il suffit de remarquer que le nom de Fermat ne se trouve pas chez Hérigone qui intitule son chapitre simplement ‘Propos. XXVI. De maximis & minimis’ et ne mentionne pas non plus Fermat dans son ‘Introduction en la Chronologie’ ni dans sa ‘Table .. des Autheurs Mathematiques’. Van Schooten avait connu Mersenne à Paris en 1642 et 1643; c'est peut-être celui-ci qui lui a fourni en ce temps les Pièces manuscrites retrouvées par de Waard à Groningue (qui contiennent le premier mais non pas le deuxième des problèmes cités)⁶⁵⁾. D'ailleurs Huygens écrit en 1656 que Mersenne⁶⁶⁾ lui envoyait souvent à lui-même des écrits français ‘et principalement de Monsieur de Fermat’⁶⁷⁾. Il faut pourtant ajouter, nous semble-t-il, qu'il est possible que Huygens considère ici, brevitatis causa, les écrits envoyés à van Schooten comme adressés à lui-même. Consultez aussi le T. XI⁶⁸⁾ sur une copie d'un manuscrit de Fermat envoyée par Mersenne à Constantyn Huygens père⁶⁹⁾.

64) Publiée seulement en 1679 dans les Oeuvres de Fermat. Descartes avait reçu un petit écrit ‘De maximis et minimis’ de Fermat vers le commencement de 1638, par l'intermédiaire de Mersenne, comme il résulte de la lettre de Descartes à Mersenne de janvier 1638 (‘Oeuvres’, éd. Adam et Tannery, 1, p. 486). Dans l'édition moderne des Oeuvres de Fermat par Tannery et Henry - titre complet dans la note 78 de la p. 211 - avec Supplément par C. de Waard, on peut voir que Mersenne avait communiqué des copies d'écrits de Fermat à plusieurs personnes en Italie.

65) Consultez la p. XIX de la préface de de Waard au Supplément, datant de 1922, que nous avons mentionné dans la note 64, ou bien la biographie de F. van Schooten par de Waard dans le ‘Nieuw Nederlandsch Biographisch Woordenboek’ de 1927. Notre T. XI est de 1908.
Voyez aussi la p. 410 de notre T. I où il est question de Carcavy offrant de mettre van Schooten en relation avec Fermat.

66) La correspondance commença en 1646.

67) Lettre à de Carcavy, T. I, p. 428.

68) P. 214.

69) Notons encore qu'en 1659 (T. II, p. 458-462) Huygens copie ‘un escrit de M. Fermat envoyè par M. de Carcavy’, qu'en juin 1660 il reçut un livre de Fermat par l'intermédiaire de Carcavy (T. III, p. 85), et que dans son Journal de Voyage 1660-1661 il écrit à Paris le 9 mars 1661: ‘Copiè du traitè de Fermat de constr. probl.’, traité qu'il tenait également de Carcavy: voyez ce qu'il annote à la p. 258 du T. III où nous avons publié cette copie. Dans le T. IV on trouve encore d'autres écrits de Fermat envoyés par de Carcavy.

[p. 210]

En juin 1659 Huygens peut écrire à Wallis avoir réduit depuis longtemps⁷⁰⁾ la méthode de Fermat sur les maxima et les minima ‘ad idem hoc compendium quo Huddenius utitur⁷¹⁾’ et avoir mis cela par écrit pour J. de Witt. Nous ne connaissons pas cet écrit dont Huygens parle aussi dans le Manuscrit C⁷²⁾. Mais on peut voir dans le T. IV⁷³⁾ un écrit de Huygens de 1663 également adressé à de Witt et contenant, celui-ci, la réduction à un ‘compendium’ de la méthode de Fermat⁷⁴⁾ pour tracer des tangentes aux courbes planes données par des équations algébriques entre les deux coördonnées x et y (c.à.d. des équations contenant des puissances entières de x et de y), ce qui est aussi le sujet de la présente Pièce III. Notons que Huygens ne désigne pas ces courbes par l'expression ‘courbes algébriques’, comme d'autres l'ont fait, mais qu'il parle, avec Descartes, de courbes ou lignes géométriques: voyez p.e. le premier alinéa de la p. 403 du T. XVIII.

En comparant la Pièce III avec l'écrit adressé à de Witt on voit qu'en 1667 de très grandes parties ont été simplement copiées par Huygens. En 1667 toutefois il commence par énoncer la règle et en donne ensuite la démonstration, tandis qu'en 1663 la règle n'avait été énoncée qu'après la déduction.

Dans la Pièce II⁷⁵⁾ Huygens a interverti l'ordre primitif exactement comme dans la Pièce III. Ou plutôt: il l'a fait pour la Pièce III exactement comme il l'avait fait pour la Pièce II. Seulement dans le cas de la Pièce II l'ordre primitif est celui d'un projet de 1667 du Manuscrit C⁷⁶⁾. L'existence de ce projet nous permet de conclure que dans ce cas Huygens n'a pas copié de grandes parties de l'écrit adressé déjà avant 1659 à de Witt. Cet écrit se rattachait sans doute aux considérations de Huygens de 1652 et d'un peu plus tard qu'on trouve aux p. 60 et suiv. du T. XII⁷⁷⁾.

70) Voyez la note 11 de la p. 48 du T. XI.

71) T. II, p. 417.

72) Voyez la note 4 de la p. 233 qui suit.

73) P. 312-317.

74) Voyez aussi la p. 20 du T. XI.

75) Note 4 de la p. 233 qui suit.

76) Note 1 de la p. 229 qui suit.

77) Voyez aussi la p. 418 du T. XIV.

[p. 211]

Vers 1864 J.M.C. Duhamel⁷⁸⁾ s'est livré à une discussion assez étendue sur les méthodes de Fermat pour les maxima et minima et pour les tangentes. La lecture de ses conclusions, comprenant douze propositions historiques, suffit pour montrer qu'il s'est surtout intéressé à la question des mérites respectifs de Fermat et de Descartes. Huygens a jugé bon de faire quelques brèves remarques historiques sur la question des tangentes au début de la Pièce III, remarques que Duhamel⁷⁹⁾ cite sans les approuver. Duhamel ne fait aucune observation sur l'affirmation de Huygens - on a vu plus haut qu'elle est exacte - d'avoir composé son compendium sur le problème des tangentes ‘multo ante istas litteras vulgatas’, c.à.d. avant la publication par Clerselier en 1667 du Vol. III des Lettres de Descartes⁸⁰⁾; mais il déclare: 1. ‘que cette méthode, attribuée à Fermat par Hughens, appartient à Descartes seul’, 2. ne pas être de l'avis de Huygens lorsque celui-ci ‘reconnaît [la méthode de Descartes] comme satisfaisante jusqu'à un certain point, mais cependant moins claire que celle qu'il donne [lui-même]’. Après avoir parlé de l'édition de 1679 des ‘Varia Opera’ de Fermat où l'‘usus’ de la règle pour les tangentes ‘nec bene expositus est, nec demonstrationem ullam adjectam habet’ Huygens avait ajouté: ‘Cartesium verò in his quae dixi litteris rationem ejus aliquatenùs assecutum invenio, nec tamen tam perspicue eam explicuisse quam per haec quae nunc trademus fiet’. Nous nous contentons de signaler la différence d'opinion entre Huygens et Duhamel au sujet du rôle de Descartes, non sans ajouter que Duhamel peut avoir raison. Quant à la clarté de l'exposé de Huygens on voit que Duhamel ne la nie pas. Ailleurs⁸¹⁾ il avait

78) ‘Mémoire sur la méthode des Maxima et Minima de Fermat, et sur la méthode des tangentes de Fermat et de Descartes’, p. 269-330 du T. 32 de 1864 des ‘Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France’. - Dans le T. IV de l'édition moderne des ‘Oeuvres de Fermat’, publ. par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry sous les auspices du Ministère de l'Instruction publique, avec supplément aux T. I-IV, documents inédits publ. avec notices sur les nouveaux manuscrits par C. de Waard, Paris, Gauthier -Villars, 1912, H. Brocard fait quelques observations critiques sur ce mémoire, dont les conclusions, formulées plus brièvement, s'y trouvent aux p. 143-144.

79) P. 314. Nous parlons des remarques dont le texte latin se trouve dans la note 1 de la p. 243 qui suit.

80) Comparez la p. 448 du T. XIV, où - soit dit en passant - il n'est pas tenu compte, nous semble-t-il, du passage de la lettre de Huygens à de Carcavy que nous avons cité à la p. 209 qui précède (note 67).

81) P. 283.

[p. 212]

dit au sujet de la Pièce II (sur les maxima et minima): ‘Tous les calculs de Huygens sont rigoureux: tous ceux de Fermat ne sont qu'approchés jusqu'au moment où il remplace e [petit accroissement de la variable] par zéro’. En 1672⁸²⁾ Huygens dit qu' Hérigone ne montre pas ‘le vray fondement’ de la règle ‘de Monsieur de Fermat ... pour les Tangentes ...’ ‘que j'ay trouuè tout autre’.

82) T. VII, p. 229.

Pièce IV.

Huygens indique cette Pièce par les mots ‘Dimensio Paraboloidum’⁸³⁾, nous l'avons intitulée ‘De curvis paraboloidibus et hyperboloidibus’.

83) T. IX, p. 95, lettre à de la Hire du 26 septembre 1686. Huygens ajoute ‘ou je pourray joindre celle des Hyperboloides’ Comparez la note 1 de la p. 256 qui suit.

Pièce V.

Le nom Wallis figure déjà maintes fois dans les pages précédentes de ce Tome. En 1667 Huygens ne pouvait encore en aucune façon parler à l'Académie de Wallis musicologue: l'édition des ‘Harmonica’ de Ptolémée est de 1682⁸⁴⁾. Mais Wallis mathématicien lui était fort connu dès 1652; dans le présent Avertissement nous avons déjà fait allusion à sa correspondance avec van Schooten sur Wallis de cette année⁸⁵⁾. Plusieurs lettres furent échangées entre Huygens et Wallis de 1655 à 1659⁸⁶⁾, et Wallis lui envoya en ce temps quelques-uns des ouvrages que nous citons à la p. 258 qui suit; une partie d'un de ces ouvrages lui était même dédiée⁸⁷⁾. En 1661 Huygens fit à Londres la connaissance personnelle de Wallis⁸⁸⁾, mais la correspondance ne fut reprise qu'en 1668, après la communication de Huygens sur Gregory qui constitue notre Pièce VI⁸⁹⁾.

On peut voir dans les lettres échangées avant 1660 combien l'impression que

84) Nous ne parlons pas de quelques petits articles de Wallis sur des sujets de musique (d'ailleurs également postérieurs à 1667): Huygens ne les mentionne pas.

85) Note 34 de la p. 204.

86) Nos T. I et II.

87) Voyez sur l'envoi de plusieurs publications de Wallis les p. 192 et 210 du T. II; une partie des ‘Tractatus duo etc.’ est dédiée à Huygens.

88) T. III, p. 295, lettre de Huygens du 14 juillet 1661. D'après son Journal de Voyage Huygens vit Wallis quatre fois au mois d'avril.

89) Il est vrai que cette communication à l'Académie eut lieu en octobre 1668 et que Wallis lui avait écrit déjà en septembre (T. VI, p. 251), mais Huygens ne reçut cette lettre que le 31 octobre(T. VI, p. 278).

[p. 213]

Huygens reçut des publications de Wallis était favorable⁹⁰⁾. Il critique cependant les démonstrations où il est fait usage de l'induction⁹¹⁾ et dont Wallis défend amplement l'admissibilité⁹²⁾. Comparez sur ce sujet la remarque de 1686 de Huygens à la p. 390 qui suit⁹³⁾. Le fait que Huygens - autrement que Wallis - exprime plusieurs fois sa préférence pour la géométrie par rapport à l'arithmétique et l'algèbre ne constitue évidemment pas une critique. Dans sa lettre du 1 janvier 1659⁹⁴⁾ Wallis montre que Huygens s'était trompé en affirmant⁹⁵⁾ que l'‘arithmetica infinitorum’ ne pourrait probablement pas servir à calculer ce qu'il avait lui-même déterminé géométriquement, savoir les aires comprises entre certaines droites et la cissoide. Toutes ces choses, et beaucoup d'autres, peuvent avoir été exposées par Huygens en détail à l'Académie.

90) Voyez p.e. le début de la lettre du 6 septembre 1658 à la p. 210 du T. II.

91) T. I, p. 441, 459.

92) T. I, p. 477, lettre du 22 août 1656. Wallis ne se sert pas encore de ‘l'induction complète,’ consistant à démontrer que lorsque, pour une série de formules, la n^ième est bonne, la (n + l)^ième doit l'être également. Voyez encore sur ce sujet la note 4 de la p. 390.

93) A la p. 459 du T. I il appelle les démonstrations algébriques ‘compendiosas’. Voyez aussi la p. 211 du T. II.

94) T. II, p. 296.

95) Dernières lignes de la p. 212 du T. II.

Pièce VI et Appendices.

Pour ne pas trop allonger le présent Avertissement, nous ne nous étendons pas ici sur la polémique avec J. Gregory sur la question de la démonstrabilité de l'impossibilité de la quadrature du cercle, dispute à laquelle Wallis lui aussi prenait part: voyez surtout sa longue lettre à Brouncker du 14 novembre 1668⁹⁶⁾. Mieux vaudra revenir sur la recherche de la quadrature du cercle dans un autre Avertissement⁹⁷⁾. Il a d'ailleurs déjà été question de ce sujet dans cet Avertissement-ci, puisque nous avons citél ‘Opus Geometricum’ de Grégoire de St. Vincent en mettant en lumière l'influence de cet ouvrage sur d'autres chercheurs et en particulier sur Huygens.

96) T. VI, p. 282-289.

97) P. 369 qui suit.

Pièce VII.

Si d'une part les logarithmes proviennent de la nécessité d'abréger les calculs trigonométriques des astronomes, si d'autre part il fut remarqué que la théorie des capitaux croissants, ainsi que celle des intervalles musicaux, présentent avec celle

[p. 214]

des logarithmes des analogies frappantes de sorte que les tables de logarithmes peuvent servir dans ces deux cas, il n'en est pas moins vrai que la recherche des quadratures, telle qu'elle se trouve chez Grégoire de St. Vincent, était propre, elle aussi, à faire réfléchir les mathématiciens sur des problèmes logarithmiques. Mersenne, tout mucisologue qu'il était, avait été amené vers la fin de sa vie par les disputes sur l'oeuvre de Grégoire, et nullement par une question musicale, à poser un problème logarithmique qui, on l'a vu plus haut, a assez généralement attiré l'attention des savants.

Remarquons cependant en passant que dans les ‘Cogitata physico-mathematica’ de 1644 de Mersenne se trouve l'assertion ‘musicale’ que le rapport d'égalité correspond à zéro⁹⁸⁾; ce que Wallis, à la fin de son ‘Tractatus Elencticus’ contre Meibomius⁹⁹⁾, dit considérer comme pouvant avoir été le point de départ de la théorie des rapports de ce dernier.

Quoique N. Mercator¹⁰⁰⁾ connût le problème logarithmique de Mersenne, sa théorie à lui des logarithmes a un caractère plutôt musical¹⁰¹⁾; mais il s'est occupé aussi d'une quadrature, celle de l'hyperbole, et c'est à cette quadrature que la ‘Logarithmo-technia’ doit sa célébrité puisqu'il s'y agit d'une sommation de ce qu'on a voulu appeler des ‘indivisibles’ à l'aide du développement d'une fraction en une série convergente; et, comme l'hyperbole avait déjà été mise en rapport avec les logarithmes, ceci se trouva conduire au développement en série d'un logarithme.

On comprend que Huygens ait tenu à faire immédiatement connaître à Paris la quadrature de l'hyperbole par Mercator, la dispute avec Gregory se trouvant ainsi reléguée dans le passé¹⁰²⁾. Les Registres disent que Huygens, après que Wallis eut expliqué et réformé cette quadrature, ‘y a adiousté plusieurs choses pour en faciliter

98) ‘Praefatio generalis, De Rationibus atque Proportionibus’. On lit dans le n^o XIV: ‘Proportio aequalitatis nihili similitudinem refert: proportio maioris aequalitatis attollitur supra nihilum, & enti adsimilatur: proportio minoris aequalitatis deprimitur infra nihilum, & antienti comparari potest’.

99) Déjà cité dans la note 3 de la p. 13 qui précède.

100) Note 10 de la p. 201.

101) Voyez la p. 11 qui précède. Il mérite d'être observé que chez Mercator il n'est nullement question, à propos des ‘ratiunculae’, de la théorie des capitaux croissants, mais seulement de musique.

102) Voyez à la p. 276 du T. VI la fin de la Pièce de Huygens du 12 novembre 1668, plusieurs fois citée dans les Appendices à la Pièce VI (p. 303-327 qui suivent).

[p. 215]

l'intelligence’. Lorsqu'on compare la version de Huygens avec celle de Wallis¹⁰³⁾ on voit que Huygens a en effet le mérite de la simplicité et de la clarté qui chez Wallis est déjà plus grande que chez Mercator. Il a omis tout ce qui se rapporte à la série de Mercator et de Wallis 1 - A + A² - A³ etc. pour ne conserver que la série de Wallis 1 + A + A² + A³ etc. Mais nous ne voyons pas qu'il y ait rien ajouté (du moins dans la Pièce écrite; il peut avoir parlé plus longuement).

On ne peut pas en effet considérer comme une addition qu'au lieu de se servir de petites ‘areolae’ découpées, devant de nouveau être sommées pour obtenir l'aire totale, il dit, plus correctement que Mercator, prendre de petits parallélogrammes qui ‘surpassent de quelque chose l'espace’ considéré; ce qui donne évidemment, lorsque les parallélogrammes, comme les ‘areolae’, deviennent infiniment minces, la même somme. Ceci est en effet entièrement dans l'esprit de Wallis quoiqu'en cette occasion celui-ci n'indique pas les parallélogrammes dans la figure¹⁰⁴⁾. Dans la Pièce tirée des Registres (voyez les dernières lignes de cette Pièce) Huygens n'observe pas, bien que la chose dût être évidente pour Mercator, pour Wallis et pour lui-même, que lorsque les tranches ou parallélogrammes correspondant à une aire limitée deviennent ‘innumerae’ (Mercator), les ‘ratiunculae’ - le nombre dix millions (dernière ligne de la p. 11) est évidemment arbitraire - se rapprochent indéfiniment de la valeur 1/1 de sorte que les exposants des puissances de ces ‘ratiunculae’, c.à.d. les

103) On peut consulter la note 3 de la p. 261 qui suit.

104) Dans la Dédicace de son ‘De Sectionibus Conicis’ de 1655 (dédié à Seth Ward et à L. Rook) Wallis écrit: ‘Videbitis me, statim ab initio, Cavallerii Methodum Indivisibilium quasi jam à Geometris passim receptam, tam huic quam tractatui sequenti ... substernere; ut multiplici figurarum inscriptioni & circumscriptioni, quibus in ἀπαγωγαῖς aliàs utendum saepius esset, supersedere liceat; sed à nobis aliquatenus sive emendatam sive saltem immutatam: pro rectis numero infinitis, totidem substitutis parallelogrammis (altitudinis infinite exiguae) ut & pro planis, totidem vel prismatis vel cylindrulis; & similiter alibi’.
Ailleurs Huygens désigne, conformément à la terminologie de Cavalieri, les parties élémentaires d'une figure plane par les mots ‘lineae’ ou ‘rectae’; voyez p.e. la l. 6 (datant de 1664) de la p. 482 du T. XVI, et la note 6, se rapportant à un calcul de 1693 ou 1694, de la p. 379 du T. XVIII. Il est vrai qu'en ces endroits nous avons affaire, autrement que dans les ‘Theoremata de quadratura hyperboles etc.’ de 1651 (T. XI), à des pièces qui n'étaient pas destinées à la publicité; il ne s'agit donc pas dans ces pièces de démonstrations formelles. Voyez encore sur les démonstrations formelles, outre la p. 182 qui précède, les p. 348 du T. XVI et 50 du T. XVIII.
Consultez aussi sur Wallis, Huygens et les indivisibles de Cavalieri la note 1 de la p. 340 du T. XVI.

[p. 216]

logarithmes (si l'on veut s'en tenir à la définition du logarithme de la p. 11), tendent à devenir infiniment grands, ce qui à ses auditeurs eût pu sembler une difficulté sérieuse. Probablement - il est vrai que nous ne connaissons pas sa communication orale - il a cru bien faire de passer ce fait sous silence.

Pièce XI.

On a vu dans le T. XVIII¹⁰⁵⁾ que les théorèmes de Huygens de 1678 sur l'εὔϑυνσις¹⁰⁶⁾ de l'épicycloïde et la quadrature des espaces épicycloïdaux se rattachent tant à la rectification de la cycloïde - trouvée par Huygens en 1659, après Wren, suivant une méthode fort différente - qu'aux considérations de Descartes et de Vaumesle sur les figures roulantes. Depuis une dizaine d'années le problème de la rectification des courbes - que Descartes dans sa Géométrie de 1637 avait jugé insoluble¹⁰⁷⁾ - était à l'ordre du jour¹⁰⁸⁾.

Quelques mois plus tard de la Hire, devenu membre de l'Académie en cette année 1678, y parla sur le même sujet¹⁰⁹⁾.

En 1675 Römer avait déjà traité à l'Académie de l'usage de l'épicycloïde dans les engrenages, sujet auquel de la Hire et Huygens s'intéressèrent également, de la Hire peut-être en cette même année 1675 indépendamment de Römer¹¹⁰⁾.

105) P. 52 (A), p. 40-41 (B), p. 400-405. Le troisième livre de l'‘Horologium oscillatorium’ (T. XVIII) de 1673 traite ‘de linearum curvarum evolutione et dimensione’.

106) Expression de Wallis pour désigner la rectification; voyez la p. 285 qui suit.

107) Livre Second: ‘la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes ...’

108) Voyez encore sur le problème historique de la rectification des courbes la note 1 de la p. 210 du T. XVIII.

109) T. XVIII, p. 603, note 4 et T. XIX, p. 180, note 7.

110) T. XVIII, p. 602-603 et 607-616.

Pièces IX et X.

Ces Pièces - voyez sur la Pièce IX ce que nous disons un peu plus loin en parlant de la Pièce VIII - se rapportent aux équations de l'hyperbole et de la circonférence de cercle. C'est donc de la géométrie analytique, mais d'une tournure archaïque. Construire l'hyperbole d'après son équation s'appelle chez Huygens ‘constructio loci ad hyperbolam’¹¹¹⁾. L'on voit combien le problème de déterminer

111) De Witt (début du Lib. II de l'ouvrage cité dans la note 114) parlait aussi d'un ‘locus ad lineam rectam’ ou ‘ad curvam’. De la Hire - voyez sur lui la suite du présent Avertissement - s'exprime de la même manière.

[p. 217]

les éléments d'une conique d'après son équation - notons que dans l'Appendice de 1682 à la Pièce XII¹¹²⁾ Huygens parle simplement de l'‘aequatio parabolae’¹¹³⁾ - paraissait encore ardu malgré les travaux de Wallis et de Witt¹¹⁴⁾. Les fameux livres d'Apollonios¹¹⁵⁾ - nommé dans le titre de la Pièce X, cité aussi dans l'Appendice II à la Pièce VIII, dans celui à la Pièce XII et dans la Pièce XIII -, ne pouvaient être incorporés qu'avec difficulté dans un ensemble logique d'allure moderne¹¹⁶⁾. On voit que la construction de l'hyperbole de la Pièce IX se rattache à une construction de Florimond de Beaune, et que la Pièce X n'est guère autre chose que la construction d'une circonférence de cercle d'après son équation¹¹⁷⁾. Il faut remarquer que pour Huygens dans sa jeunesse, comme pour Apollonios, le mathématicien par excellence est le géomètre. Il n'a jamais abandonné cette préférence pour la géométrie: voyez p.e. la l. 5 de la p. 208 où il est question de ‘geometrie pure et arithmetique’ et les l. 4-6 de la p. 213 où nous citons ses observations sur les écrits de Wallis. Néanmoins l'étude d'autres auteurs - nous pouvons mentionner Viète (antérieur à Descartes) qu'il connaissait depuis longtemps¹¹⁸⁾ et dont l'algèbre ou, comme Viète s'exprime, l'‘Arithmetica speciosa sive symbolica’ a eu aussi tant d'influence sur Wallis¹¹⁹⁾ - l'ont amené peu à peut à attacher plus d'importance aux équations et même à regarder parfois, comme Girard¹²⁰⁾ et Descartes, certaines équations comme intéressantes en elles-mêmes et capables d'être interprétées par des figures géométriques.

112) Dernière ligne de la p. 339 qui suit.

113) Nous n'avons pas trouvé que de la Hire se serve où que ce soit de ce génitif qui est aujourd'hui d'un usage général: là où il s'exprime le plus brièvement il parle (‘Nouveaux Eléments’ p. 394) d'‘Equations aux Sections Coniques’.

114) Voir pour l'ouvrage de Wallis la note 104 qui précède. Le Lib. II des ‘Elementa Curvarum’ de Johan de Witt (1625-1672), grand-pensionnaire depuis 1653 de la province de Hollande, publiés en 1659 par F. van Schooten dans le T. II de la Collection ‘Renati Descartes Geometria’ - dans sa préface de 1658 de Witt parle de ‘ea ... quae à me quondam [nous soulignons] conscripta ac pene in ordinem redacta inveni’ - contient une discussion systématique des équations de deux variables (x et y) du premier et du deuxième degré.

115) Dont Wallis en 1655 ne connaissait encore que les quatre premiers; voyez p.e. la note 8 de la p. 41 du T. XVIII et les notes 2 et 3 de la p. 298 qui suit.

116) Voyez e.a. sur Huygens et Apollonios la note 8 de la p. 41 du T. XVIII.

117) Comparez la p. 231 du T. XIV (pièce de 1657).

118) Voyez à la p. 10 du T. I le titre des Oeuvres de Viète (1540-1603) telles qu'elles furent publiées en 1646 par F. van Schooten. Huygens les cite e.a. en 1652 (T. I, p. 213).

119) Voyez l'‘Oratio Inauguralis’ de 1649 par laquelle débute le T. I des ‘Opera Mathematica’ de 1695.

120) ‘Qui a commentè Stevin’ (T. I, p. 517). Huygens le cite seulement en 1691 (T. X, p. 187, 188); mais voyez aussi sur lui le T. XI, et consultez la p. 363 qui suit.

[p. 218]

Pièce VIII.

Le célèbre problème d'Alhazen avait d'ailleurs amené Huygens de bonne heure à bien saisir l'utilité de l'algèbre dans la résolution des problèmes géométriques: en août 1657¹²¹⁾ il écrit à de Sluse: ‘semper miratus sum illum [Alhazen] absque Algebrae auxilio id construere potuisse’. En ce moment de Sluse ne voulut pas encore s'occuper de ce problème; mais lorsqu' Oldenburg lui communiqua en 1670 la solution de Huygens de 1669¹²²⁾, il se mit lui aussi au travail. Les diverses solutions, proposées tour à tour par Huygens et par lui en 1671 et 1672, et qu'ils se faisaient connaître qar l'entremise d'Oldenburg - nous avons déjà parlé de ces lettres à la p. 196 qui précède - font preuve d'une concurrence acharnée entre les deux amis. Oldenburg publia des ‘Excerpta ex Epistolis nonnullis, ultrò citróque ab Illustrissimis Viris, Slusio & Hugenio, ad Editorem scriptis’ dans les ‘Philosophical Transactions’ de 1673¹²³⁾. En excerpant la lettre de Huygens du 1 juillet 1672 il omet l'endroit qui caractérise bien ce combat de finesse: Huygens dit que sur ce problème il lui ‘semble que nous rafinons de mesme que les deux peintres Grecs sur la diuision de la ligne’.

Nous ne pouvons ici réimprimer les lettres du T. VII. Voyez cependant un morceau qui s'y rattache dans l'Appendice I à la Pièce VIII. Ce qui mérite surtout d'être noté, c'est que, déjà en 1669, une solution du problème d'Alhazen amena Huygens à considérer avec attention la forme de l'équation du deuxième degré dans le cas où celle-ci correspond à une hyperbole. On voit dans le Manuscrit D que c'est cette considération qui l'a amené à écrire la Pièce IX dont nous avons déjà parlé plus haut.

121) T. II, p. 45.

122) T. VII, p. 89, 1 août 1671.

123) N^os. 97 et 98, 6 octobre et 17 novembre 1673.

Pièce XII.

Conformément à ce que nous avons dit à propos des Pièces X et XI, cette Pièce de 1680 est intitulée: ‘Sur les équations solides’. Quoique Huygens débute par le problème ‘des 2 moyenes proportionelles’, pour parler ensuite ‘de la perpendiculaire a une hyperbole d'un point donnè’, il ne désigne le calcul conduisant à la construction géométrique de ces moyennes ou de cette perpendiculaire que comme ‘quelques exemples’ de ‘cette methode’, c.à.d. de la méthode consistant, on le voit aussi dans l'Appendice¹²⁴⁾, dans l'introduction d'une nouvelle variable à l'effet de

124) P. 334 et suiv.

[p. 219]

substituer à l'équation donnée qu'il s'agit de résoudre un ensemble équivalent de deux équations plus maniables.

Or, ce long Appendice - que Huygens eût pu publier, paraît-il, dans le recueil ‘Divers ouvrages etc.’ de 1693¹²⁵⁾ - fait voir en même temps que la nature ‘tamen usque recurrit’¹²⁶⁾: c'est en fin de compte un géomètre plutôt qu'un amateur de l'algèbre qui a la parole.

125) Voyez sur cet Appendice les quatre dernières lignes de la p. 284 du T. VIII et les l. 3-6 de la p. 97 du T. IX (lettre à de la Hire du 26 septembre 1686).

126) Naturam expellas furca, tamen usque recurret. (Horace, Epist. lib. 1, ep. X, 24).

Pièce XIII.

La dernière Pièce académique sur les coniques, datant également de 1680, est bien de nature géométrique, quoique dans la démonstration du théorème, ou plutôt dans la première des deux propositions faisant office de lemmes, il soit fait usage - Huygens (ou du moins celui qui a écrit ces pages du Registre) ne fait qu'indiquer la démonstration, mais elle se trouve dans le brouillon du Manuscrit E (voyez l'Appendice) - de certaine propriété d'une équation du quatrième degré (‘équation quarré quarrée’), de sorte que cette proposition ‘se demontre .... par Algebre’. Cette proposition se rattache d'ailleurs à une proposition de van Schooten, également démontrée par algèbre (voyez l'Appendice). Plus tard Huygens réussit à trouver une preuve purement géométrique (même Appendice).

Nous avons signalé à propos de la Pièce VIII - et nous aurions pu le faire aussi à propos de la Pièce III sur les tangentes¹²⁷⁾ - la concurrence de Huygens avec René de Sluse¹²⁸⁾. A propos de la Pièce XII il faut signaler la même concurrence et aussi celle de Huygens avec Philippe de la Hire. Cette dernière concurrence apparaît encore bien plus clairement dans le cas de la Pièce XIII. Les solutions de Slusius du problème déliaque ont fait une grande impression sur Huygens. On peut consulter là-dessus la note 2 de la p. 334. Quant à de la Hire, nous avons mentionné plus haut à propos de la Pièce XI de 1678-1679 qu'il discourut sur le même sujet que Huygens peu de temps après lui. Dans l'Appendice de 1682 de la Pièce XII de 1680 Huygens nous

127) Voyez sur ce sujet, outre le recueil cité dans la note suivante, la note 1 de la p. 243 qui suit.

128) On peut consulter le livre dont nous avons déjà parlé brièvement à la p. III de notre T. I, savoir la ‘Correspondance de René-François de Sluse publiée pour la première fois et précédée d'une Introduction’ par M.C. le Paige, Rome, Impr. d. sc. math. et phys., 1885.

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apprend (en le désignant par les mots ‘gallus quidam geometra’) que de la Hire s'occupait vers le même temps que lui (il s'agit d'un livre de de la Hire de 1679) du problème déliaque (ou plutôt plus généralement de l'équation du troisième degré). Enfin la Pièce XIII, également de 1680, est immédiatement suivie dans les Registres par un discours de de la Hire sur le même sujet, savoir les coniques à axes parallèles ou perpendiculaires se coupant en quatre points¹²⁹⁾. On peut voir dans notre T. VIII que de la Hire prétendit même dans la séance où parla Huygens d'avoir traité avant lui dans l'Académie du sujet de sa communication ce qui toutefois ne sut pas confirmé par les Registres¹³⁰⁾.

Devenu membre de l'Académie en 1678 de la Hire y déployait une grande activité. On peut consulter la liste - d'ailleurs incomplète - de ses ouvrages dans l'‘Histoire de l'Académie Royale des Sciences depuis 1666 jusqu'à son renouvellement en 1699’¹³¹⁾. Nous avons cité jadis ses ‘Nouveaux élémens’ de 1679, auxquels nous faisions allusion dans l'alinéa précédent¹³²⁾, lesquels se rattachent aux ‘Elementa’ de 1659 de J. de Witt¹³³⁾. Il s'était occupé de coniques déjà depuis longtemps - comparez sa biographie dans le T. VIII¹³⁴⁾ - et devait publier en 1685 in folio ses ‘Sectiones conicae in novem libros distributae’¹³⁵⁾. C'est aussi, et peut-être surtout, à Desargues qu'il se rattache, lui et son maître le peintre et graveur Abr. Bosse. Notons que Huygens connaissait Bosse - et Desargues¹³⁶⁾ - personnellement, et probablement aussi leur grand livre d'architecture et de perspective¹³⁷⁾, longtemps

129) Dans ce discours (ou plutôt dans cette pièce, car nous ignorons s'il y eut une communication orale) de la Hire ne se sert pas d'équations en x et y: comparez les notes 135 et 138 qui suivent.

130) T. VIII, p. 284.

131) Publiée en 1733.

132) T. VIII, p. 283: ‘Nouveaux Elemens des Sections Coniques. Les Lieux Géometriques. La Construction ou Effection des équations’.

133) ‘Elementa curvarum linearum’, ouvrage cité à la p. 217 qui précède. De la Hire mentionne dans sa Préface cet ouvrage de de Witt, auteur ‘qui est estimé avec justice le plus excellent de tous ceux qui ont pris ce mesme chemin’.

134) T. VIII, p. 282, note I.

135) Cet ouvrage se rattache à celui de 1673 (fin de la note 138 qui suit). Il n'y est pas question d'‘équations’ (note 132): c'est plutôt de la géométrie synthétique que de la géométrie analytique.

136) Huygens ne rencontra Desargues, semble-t-il, qu'une seule fois. Voyez sur cette rencontre la p. 188 qui précède.

137) D'après la p. 114 du T. VII, Huygens acheta en 1671 à Paris pour son frère Constantyn un grand livre de perspective qui peut fort bien avoir été la ‘Manière universelle de Desargues, pour pratiquer la perspective par petit pied, comme le géométral, par M. Bosse, Paris, 1648’.

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avant d'avoir rencontré de la Hire¹³⁸⁾. Les mérites de de la Hire en ce qui concerne l'étude systématique des coniques sont évidemment supérieurs à ceux de Huygens¹³⁹⁾. Huygens, il est vrai, n'avait pas l'ambition - voyez la page citée dans la note 137 - de composer sur la perspective ou les coniques ‘de si grands livres’ de nature didactique. Quant aux relations personnelles des deux savants, en 1683, donc après le départ de Huygens de Paris, de la Hire, opposé en général aux candidatures à l'Académie

138) De la Hire n'est mentionné dans la Correspondance qu'à partir de 1680. Quant à Bosse, la lettre de Mylon de 1659 (T. I, p. 334) fait voir que Huygens avait déjà fait sa connaissance avant cette année, donc probablement lors de son séjour à Paris en 1655. La p. 4 du T. II fait voir que van Schooten le connaissait également. Dans son Journal de Voyage de 1660-1661 - nous ne faisons pas mention d'autres endroits - Huygens parle de plusieurs entretiens avec Bosse, et une fois d'une conversation sur un sujet de mathématique: il écrit le 4 janvier 1661: chez Bosse, problème en l'ovale (ovale est le nom que Desargues donne à l'ellipse).
Notons que c'est grâce à une copie de 1679 (retrouvée en 1845) par de la Hire de l'oeuvre principale de Desargues, son ‘Broüillon projet d'une atteinte aux évenemens de rencontres du Cone avec un plan’, que cette oeuvre a été conservée. Dans l'‘Avant-propos’ de son ouvrage de 1673, la ‘Nouvelle methode en geometrie pour les sections des superficies coniques, et cylindriques, qui ont pour bases des cercles, ou des paraboles, des elipses, & des hyperboles’, de la Hire cite le ‘Broüillon projet’ de Desargues ‘qui n'a point esté mis en sa perfection’. Outre Desargues il mentionne Apollonios (première ligne de l'‘Avant-propos’) et, vers la fin, Grégoire de S. Vincent. Comparez sur l'ouvrage de 1673 la note 135 qui précède. De la Hire ne dédaigne point, comme Desargues, la forme classique. Cependant, même dans son ouvrage de 1679 qui se rattache à celui de de Witt, il désigne, en disciple de Desargues, les coördonnées d'un point par les mots ‘tige’ et, ‘rameau’. Nous avons remarqué dans le Manuscrit H, à la p. 103, un endroit où, fort exceptionnellement, Huygens, en 1692, donc long temps après avoir quitté Paris, désigne les coördonnées par les mots ‘tige’ et ‘branche’.

139) Le lecteur hollandais peut consulter sur de la Hire et Desargues l'étude ‘Desargues’ de H. de Vries (dans ses ‘Historische studiën’, Noordhoff, Groningen-Batavia, 1934). Il faut observer qu'il n'est pas tout-à-fait exact de dire avec M. de Vries que Desargues rentra en 1650 pour tout du bon dans sa ville natale de Lyon, puisque Huygens le vit à Paris en 1661, un an avant sa mort.
Nous saisissons cette occasion pour remarquer (comparez la première ligne de la p. 4 du T. XIV) que, si Huygens a rencontré Desargues à Paris en 1661, il n'y a au contraire pas vu Fermat, comme le dit la note 3 de la p. 177 du T. III. Ceci a été signalé par P. Tannery comme une impossibilité - comme étant en contradiction avec le n^o 824, lettre de Fermat à Huygens de décembre 1660, quelque peu postérieure à la date de la prétendue rencontre - peu après l'apparition du T. III (1890): dans sa lettre du 30 avril 1891 à Moritz Cantor (‘Mémoires Scientifiques’, T. XIII, 1934, p. 340) Tannery dit que les éditeurs ont dû faire une erreur de lecture dans le déchiffrement du ‘Reys-verhael’; et en effet, à l'endroit du Journal de Voyage indiqué dans la note 3 nommée, on ne trouve pas le nom Fermat mais le nom Thevenot. Loin de l'avoir beaucoup fréquenté comme l'auteur de la note incriminée l'assure, Huygens n'a jamais rencontré Fermat († 1665).

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de savants étrangers, fait preuve d'une certaine animosité contre Huygens¹⁴⁰⁾; mais ceci ne fut qu'un incident; Huygens resta en correspondance avec lui jusqu'à la fin de sa vie et dans la Préface de son Traité de la Lumière de 1690 il parle du célèbre Monsieur de la Hire.

140) Voyez les p. 463-464 du T. VIII, faisant partie d'une lettre du 30 août 1683 de von Tschirnhaus à Huygens. Ce passage est aussi cité par H.L. Brugmans à la p. 95 de son livre de 1935: ‘Le séjour de Chr. Huygens à Paris et ses relations avec les milieux scientifiques français suivi de son Journal de Voyage à Paris et à Londres’.