Oeuvres complètes. Tome XXI. Cosmologie

[p. 489]

Appendice I
Au discours de la cause de la pesanteur.

À la p. 173 du Discours (voyez la note 54 de la p. 482 qui précède) Huygens disait pouvoir démontrer l'identité de sa courbe avec celle de Newton dans le cas du jet dans un milieu qui résiste proportionnellement à la vitesse. Il nous est évidemment impossible de reconstruire sa démonstration. C'est pourquoi nous croyons pouvoir nous borner, sans considérer la construction de Newton, à faire voir que la courbe de Huygens s'accorde avec celle qu'on trouve par l'intégration des équations différentielles du mouvement.

Voyez aussi sur ces constructions la note 35 de la p. 499 qui suit.

[Fig. 137]

Soit v_o [Fig. 137] la vitesse initiale avec laquelle le corps (ou plutôt le point pesant) part de O, ses composantes horizontale et verticale étant v_ox et v_oy. Nous avons pris l'axe des x vers la gauche pour nous conformer tant à la Fig. 134 de la p. 481 qui précède qu'aux Fig. 64 et 65, datant de 1668, des p. 117 et 119 du T. XIX, lesquelles sont reproduites un peu plus loin. Les équations différentielles (comparez la p. 83 et suiv. du T. XIX) sont

Il en résulte pour les distances parcourues en un temps t

L'élimination de t donne pour l'équation de la courbe du jet

La différentielle de y s'annule pour

.... (2)

abscisse qui correspond au sommet de la courbe.

[p. 490]

L'asymptote verticale se trouve à une distance x_o = v_ox/k de l'origine O.

On peut modifier ces expressions en y introduisant la ‘vitesse finale’ (d'une chute verticale) V = g/k.

L'équation (1) fait voir que l'ordonnée y est la différence y₁ - y₂ des ordonnées

[Fig. 138]

De ces équations la première représente [Fig. 138, partie supérieure] une droite passant par O, la deuxième une logarithmique possédant la même asymptote que la courbe du jet.

Pour obtenir la courbe du jet il faut donc faire descendre sur l'axe des x toutes les petites droites verticales aa: la courbe cherchée passera alors par leurs sommets.

Dans les figures de Huygens il en est à peu près de même; seulement la droite et la logarithmique y ont une autre position; c'est celle qu'on obtient, comme nous l'indiquons dans la figure, en prenant l'image ou inverse de la droite et de la logarithmique par rapport à OX, ce qui évidemment ne modifie pas les longueurs des droites aa qu'on peut faire descendre, comme le fait Huygens, sur une horizontale plus basse.

ce qui correspond à une équation de Huygens suivant laquelle le rapport v_oy : V est égal à AK : KD [Fig. 134]; ou bien, dans les Fig. 63 et 64 de la p. 117 du T XIX, ϑχ : ζ = CA : BA.

Mais la droite et la logarithmique des figures de Huygens ne sont cependant pas identiques avec celles considérées ici; puisqu'il construit d'abord une autre courbe [Fig. 64] qui ne se change en courbe du jet que lorsque toutes les ordonnées sont multipliées par un facteur constant.

Désignant le ‘latus rectum’ de la logarithmique de Huygens par λ, comme il le

[p. 491]

fait à la p. 117 du T. XIX, et prenant les axes comme dans la présente figure 139, l'équation de cette courbe est

ou .... (5)

[Fig. 139]

AN [Fig. 64] étant la tangente à cette courbe en A, on a, en annulant y dans dy/dx = λ/x₀ e^y/λ, . Or, AB = x_o; donc NB = λ. ; les coördonnées du point D sont donc

et la direction de la tangente E D O en D à la logarithmique est déterminée par l'équation

Fig. 64
de la p. 117 du T. XIX

Fig. 65
de la p. 119 du T. XIX

[p. 492]

Comme la direction de la droite (3) était déterminée par

ou

on voit que le facteur conctant dont il était question plus haut devra se montrer égal à x_o/λ · V/v_ox.

L'équation de la droite A G Z [Fig. 64 et 65] parallèle à E D O sera ... (6).

D'après les équations (5) et (6) la courbe considérée par Huygens (l'‘analogistica luxata’) qui devra se changer en courbe du jet sera

... (7)

tandis que l'équation (1) était

...(1′)

en appelant λ′ le ‘latus rectum’ g/k² de la logarithmique qui y figure.

Les expressions et sont identiques puisque v_ox = kx_o.

Multipliant ensuite l'un et l'autre terme du second membre de l'équation (7) par x_o/λ · V/v_ox ou g/k²λ on obtient, comme il le fallait, le second membre de l'équation (1′).

Reste à faire voir que ce facteur est bien celui dont parle Huygens. Dans la Fig. 65 il l'indique par GM/GN. Comme dans cette figure HM est la direction de la vitesse initiale, autrement dit que c'est la tangente à la courbe du jet, on a GM/GH = v_oy/v_ox. D'autre part en désignant par α et α′ les angles que font respectivement avec l'axe des x les droites AZ et AN. C.à.d.

[p. 493]

Dans la Fig. 134 de la p. 481 le facteur est désigné par TL/BP, ce qui, vu l'équation SP : PB = RL : LT, correspond à RL/SP. Or, en comparant les figures, on voit que RL est la même chose que MG de la Fig. 65 et SP la même chose que NG.

Nous avons donc constaté l'identité qu'il s'agissait d'établir¹⁾.

1) Comme nous l'avons dit dans la note 6 de la p. 119 du T. XIX, la droite UN est tangente à l'‘analogistica luxata’. C'est ce qui résulte aussi des équations du présent Appendice. En effet, la tangente en H à cette courbe a une direction déterminée par dy/dx, où y est la différence des ordonnées de là logistique et de la droite AZ auprès du point A.C.à.d. ce comparez l'équation (8) du texte - ce qui, multiplié par le facteur trouvé x_o/λ · V/v_ox, donne v_oy/v_ox, rapport qui détermine la direction de la tangente HM à la courbe du jet. C.Q.F.D.
Mais nous nous sommes trompé en disant dans la note nommée que l'angle NHG [Fig. 65] est égal à l'angle NAG: la construction, comme le calcul, montre que cette égalité n'existe pas.