Die conste vanden getale

Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen

[p. 13]

Inleiding

Onderzoek op het gebied van de geschiedenis van de wiskunde richt zich vaak op de grote wiskundigen en hun belangrijke werken, die een duidelijk zichtbare bijdrage hebben geleverd aan wiskundige ontwikkelingen. Hoe waardevol dit onderzoek ook is, het zou tekortschieten als men daarnaast niet ook de blik zou richten op de wiskundige werken die geen spectaculaire nieuwigheden bevatten, maar wel inzicht kunnen verschaffen in de oorzaken en gevolgen van belangrijke wiskundige ontdekkingen. Zij hebben immers de weg bereid voor de grote ontdekking en eraan meegewerkt dat de nieuwe vondst onder een breder publiek verbreid werd. Dat maakt de ‘kleine’ werken tot een minstens even belangrijk onderwerp van studie als de ‘grote’.

De Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw behoren tot de ‘kleine’ werken. Deze boeken zijn niet geschreven door grote wiskundigen, ze bevatten geen nieuwe wiskundige ontdekkingen en hun rekenkundige inhoud maakt in de loop van de zestiende eeuw slechts een zeer geringe ontwikkeling door. Toch hebben deze rekenboeken een belangrijke rol gespeeld in de geschiedenis van de wiskunde.

In de eerste plaats hebben ze een nieuwe wiskundige ontwikkeling verbreid. De auteurs onderwijzen het rekenen met Hindoe-Arabische getallen en leggen uit hoe men deze rekenmethode kan toepassen bij het oplossen van vraagstukken in de handel en allerlei technische, administratieve en financiële beroepen. Deze rekenboeken dragen ertoe bij dat de nieuwe cijfers en de nieuwe rekenmethode op den duur de plaats gaan innemen van de Romeinse cijfers en het traditionele penningrekenen.

Tevens kan men de auteurs van de Nederlandse rekenboeken zien als wegbereiders van nieuwe wiskundige ontwikkelingen, want hoe groter de groep wordt die in staat is om met de nieuwe getallen te rekenen, hoe groter de kans is dat er zich onder deze rekenaars mensen zullen bevinden die de nieuwe rekenmethode gaan toepassen op nieuwe wiskundige terreinen. Zo wordt bijvoorbeeld in de Italiaanse rekenboeken door het oplossen van steeds complexere rekenkundige vraagstukken de basis gelegd voor algebraïsche oplosmethoden. Ook in de Nederlandse rekenboeken creëren dergelijke vraagstukken een toenemende behoefte aan andere, algebraïsche, oploswijzen, maar over het algemeen speelt algebra in de Nederlandse boeken nog maar een zeer bescheiden rol.

Een ander voorbeeld betreft wiskundige notaties. De modere wiskundige symbolen, zoals + - × : = √ ontbreken nog vrijwel geheel in de Nederlandse rekenboeken, maar de auteurs zijn wel op zoek naar een alternatieve schrijfwijze waarmee ze hun uitvoerige volzinnen kunnen verkorten. Hun experimenten maken de weg vrij voor de latere symbolische wiskunde.

[p. 14]

Ook op het gebied van de Nederlandse rekenwoordenschat leveren de zestiende-eeuwse auteurs een belangrijke bijdrage. Bij hun pogingen om de nieuwe rekenmethode zo begrijpelijk en duidelijk mogelijk aan hun leerlingen te onderwijzen, gaan ze op zoek naar geschikte rekentermen, die aanvankelijk in het Nederlandse taalgebied met beschikbaar zijn. Ze verbasteren en vertalen Latijnse en buitenlandse rekentermen en vormen vele nieuwe Nederlandse rekenwoorden.

De auteurs van de rekenboeken kan men dus enerzijds zien als verbreiders van een nieuwe wiskundige ontwikkeling en anderzijds als wegbereiders van toekomstige wiskundige ontwikkelingen. Dat maakt een nader onderzoek van hun boeken zeer de moeite waard. Tevens kan een onderzoek van deze historische bronnen nieuw licht werpen op zaken als het rekenonderwijs in de zestiende eeuw, didactische opvattingen die im- of expliciet door de auteurs van de rekenboeken gehanteerd werden, de soorten vraagstukken waar kooplieden en beoefenaars van technische, administratieve en financiële beroepen in hun praktijk mee geconfronteerd werden, het bronnengebruik van de auteurs en de onderlinge relaties tussen de rekenboeken.

Al deze aspecten zullen in deze studie aan bod komen. De centrale onderzoeksvraag is tweeledig:

-	Welk rekenonderwijs blijkt uit de rekenboeken? Dat wil zeggen, wat werd onderwezen, aan wie, door wie en op welke wijze?
-	Welke bijdrage hebben de rekenboeken geleverd aan de ontwikkeling van de wiskunde, het onderwijs, de didactiek en de rekenterminologie in het Nederlandse taalgebied?

Voor het onderzoek waren 36 Nederlandstalige rekenboeken beschikbaar: 12 handschriften en 24 gedrukte boeken. Drie van deze rekenboeken dateren uit de vijftiende eeuw, de overige 33 zijn uit de zestiende eeuw afkomstig. De oudste tekst is geschreven in 1445, de jongste is gedrukt in 1600. Het jaartal 1600 is als een kunstmatige scheidslijn gekozen om de omvang van het onderzoek enigszins binnen de perken te houden, maar er zijn ook in de zeventiende eeuw nog veel vergelijkbare rekenboeken geschreven. Elf van de 36 rekenboeken zijn een herdruk of een woordelijk afschrift van een eerder werk uit het corpus. Van de overige 25 rekenboeken is geen woordelijk overeenkomstige voorganger gevonden, maar er zijn vaak wel een of meer relaties gesignaleerd met werken binnen of buiten het corpus. Een groot aantal auteurs heeft bij de samenstelling van hun werk fragmenten uit eerdere rekenboeken afgeschreven, vertaald of bewerkt. Een overzicht van het corpus is achter in deze studie te vinden in bijlage II.

De beschrijving van de resultaten van het onderzoek is als volgt ingedeeld:

De eerste twee hoofdstukken schetsen het historische decor waarin de rekenboeken een rol gespeeld hebben. In het eerste hoofdstuk gaat het om de verbreiding van de Hindoe-Arabische cijfers en de bijbehorende rekenmethode in Europa. Het tweede hoofdstuk geeft een beeld van scholen en onderwijs, met name van het rekenonderwijs waarbinnen de rekenboeken gebruikt zijn.

In de hoofdstukken 3 en 4 wordt het wiskundige gedachtegoed van de auteurs gepresenteerd zoals dat uit hun rekenboeken valt af te leiden. Hun doelstelling is, hun leerlingen te leren rekenen met Hindoe-Arabische cijfers en vervolgens die

[p. 15]

rekenvaardigheid toe te passen op allerlei vraagstukken. In deze hoofdstukken wordt beschreven welke onderwerpen daarbij aan de orde komen, welke vraagstukken opgelost worden en welke wiskundige oplosmethoden worden gehanteerd.

Om de lezer van deze studie de gelegenheid te geven zoveel mogelijk rechtstreeks in contact te treden met het wiskundig denken van de auteur, is ervoor gekozen om een zeer groot aantal citaten en afbeeldingen uit de rekenboeken op te nemen.

De vele citaten zijn voor een zo objectief mogelijke presentatie van het wiskundig denken van de rekenmeesters onontbeerlijk, maar ze vormen een probleem. De interpretatie van vijftiende- en zestiende-eeuwse rekenteksten is voor de moderne lezer uitermate lastig. Dat zit hem niet in het niveau van de wiskunde, maar in de voor hedendaagse lezers ongebruikelijke wijze waarop de rekenkunde weergegeven is. Zelfs als alle woorden verklaard zijn, blijft het moeilijk om uit de volzinnen zonder symbolen en formules af te leiden welke rekenkundige handelingen er beschreven worden.

In deze studie is geprobeerd dit probleem zoveel mogelijk te ondervangen. Het wiskundige gedachtegoed in de rekenboeken wordt uitvoerig beschreven. De structuur van deze beschrijving komt grotendeels overeen met de ordening van de onderwerpen in de rekenboeken, zodat de lezer in staat wordt gesteld in nauw contact te treden met de historische bronnen. Vandaar dat deze beschrijving ook in twee delen is gesplitst. Net als in de rekenboeken behandelt het eerste deel - hoofdstuk 3 - de basis van de rekenkunde, dat wil zeggen de hoofdbewerkingen voor ‘gehele’ getallen en breuken, en gaat het tweede deel - hoofdstuk 4 - over de rekenregels waarmee allerlei vraagstukken opgelost worden. Voor de beschrijving van de rekenkunde is gebruik gemaakt van moderne wiskundige bewoordingen, notaties, symbolen, formules, letters voor onbekenden, enz. Ook al doen deze moderne aspecten op het eerste gezicht misschien weinig recht aan de wijze waarop de historische auteurs hun gedachten genoteerd hebben, het is voor de hedendaagse lezer een herkenbare en toegankelijke aanduiding van de wiskunde, die het meest verwant is aan wat in de oorspronkelijke bronnen tot uiting komt. Vervolgens worden elk wiskundig onderwerp en elke wiskundige regel en oplosmethode die in de rekenkundige beschrijving aan de orde komen, onmiddellijk gevolgd door een citaat en/of afbeelding uit een van de bronnen. Zo is het mogelijk de voorgaande interpretatie te staven, een voorbeeld ter illustratie te raadplegen en vooral de eigen bewoordingen van de auteur over deze kwestie te vernemen. Aldus wordt het verschil met de huidige manier van denken en noteren duidelijk.

De citaten staan steeds na de beschrijving van een bepaald rekenkundig onderwerp. Het nadeel daarvan is dat van een volkomen objectieve weergave van het historisch materiaal geen sprake kan zijn: de voorafgaande beschrijving, ook al is deze nog zo zorgvuldig en behoedzaam opgesteld, richt de blik van de lezer. Toch is bewust voor deze volgorde gekozen omdat deze verschillende voordelen biedt:

-	de voorafgaande informatie geeft steun bij het interpreteren van het citaat, waardoor de toegankelijkheid ervan aanmerkelijk vergroot wordt;
-	aard en functie van het citaat worden vooraf verduidelijkt. Soms geeft een citaat

[p. 16]

een bepaalde rekenregel in algemene bewoordingen weer. De lezer herkent dan in de woorden van de historische auteur de voorafgaande beschrijving. Veel vaker is het citaat een voorbeeld van een berekening die vooraf in algemene moderne bewoordingen is weergegeven. Soms representeert een citaat een stukje wiskundig denken dat in veel bronnen is aangetroffen, dan weer is het een opvallende uitzondering.

Een lezer die weet wat de functie van een citaat is en op het spoor is gezet van het wiskundig denken dat erin aangetroffen wordt, zal dat citaat ervaren als een verhelderend contact met de oorspronkelijke bron.

Overigens zijn er in de citaten in deze studie verschillende ingrepen gedaan om de toegankelijkheid te vergroten:

-	de spelling van u, v en w en van i en j is aangepast aan het hedendaags gebruik;
-	moderne interpunctie is toegevoegd;
-	het gebruik van hoofdletters is gemoderniseerd;
-	abbreviaturen zijn opgelost en niet aangeduid;
-	als in een citaat een woord ontbreekt, wordt het tussen rechte haken, niet-gecursiveerd toegevoegd;
-	drie punten in een citaat duiden aan dat op die plaats tekst is weggelaten;
-	als een zin aan het eind van een citaat wordt afgebroken, wordt dat citaat met drie punten afgesloten en als een citaat in het midden van een zin begint, wordt dat citaat met drie punten geopend;
-	moeilijk te begrijpen woorden en uitdrukkingen worden rechts van het citaat verklaard.

De beschrijving van de rekenkundige inhoud van de rekenboeken in de hoofdstukken 3 en 4 maakt duidelijk wat er onderwezen werd. Daaruit rijzen nieuwe vragen, zoals: door wie werd de rekenkunde onderwezen? Aan wie? Op welke wijze? Deze vragen vormen het uitgangspunt van hoofdstuk 5.

Veel auteurs waren zelf rekenmeester en maken in hun rekenboek melding van hun doelgroep. Uit de ordening en opbouw van hun werk, hun wijze van instrueren, uitleggen en repeteren, hun keuze van voorbeelden, vraagstukken en oplosmethodes en hun manier van noteren, kan men afleiden welke doelstellingen zij nastreefden en welke didactische opvattingen zij bewust of onbewust hanteerden. Soms is het zelfs mogelijk om uit de rekenboeken iets af te leiden over de gang van zaken tijdens de rekenles in de klas. Zo blijkt bijvoorbeeld dat het memoriseren van kennis hoog in het vaandel stond.

Wie de rekenboeken met elkaar vergelijkt, vindt opvallend veel overeenkomstige fragmenten en vraagstukken. De aard en omvang van die overeenkomsten variëren. Soms is er sprake van een enkele overeenkomstige alinea of een overeenkomstig vraagstuk, dan weer blijkt de overeenkomst zich over vele tientallen bladzijden en vraagstukken uit te strekken. Soms zijn de fragmenten woordelijk gelijk, dan weer zijn er onderling kleine of grote verschillen. Er bestaan hoe dan ook relaties tussen de rekenboeken. Deze worden in hoofdstuk 6 onderzocht en beschreven. Over de aard van de relaties kan men slechts met grote behoedzaamheid

[p. 17]

uitspraken doen, maar één ding is duidelijk: vrijwel elke auteur heeft bij het schrijven van zijn rekenboek op een of andere manier gebruik gemaakt van het werk van een of meer voorgangers.

De auteurs van de rekenboeken schreven hun werk in de volkstaal. Dat is bijzonder, omdat in de Middeleeuwen het Latijn de taal van onderwijs en wetenschap was. Bovendien schreven ze over een nieuwe rekenmethode. Dit bracht een probleem met zich mee: er bestond geen Nederlandse rekenwoordenschat om over dit onderwerp te schrijven. Het is fascinerend om te zien hoe de auteurs dit probleem oplossen. Sommige rekenkundige begrippen worden alleen maar omschreven en krijgen verder geen benaming, de meeste begrippen worden juist op allerlei verschillende manieren benoemd. Die benamingen variëren van zuiver Latijnse rekentermen tot nieuw gevormde Nederlandse woorden. In hoofdstuk 7 wordt beschreven hoe de Nederlandse rekenwoordenschat in de zestiende eeuw wordt uitgebreid. Synoniemen stapelen zich op, maar voor de overdracht van de rekenkunde blijkt dat niet bezwaarlijk te zijn. Veel van de hedendaagse rekentermen hebben hun oorsprong in de zestiende-eeuwse rekenboeken.

Wie op zoek is naar de herkomst of betekenis van een zestiende-eeuwse rekenterm, zoekt over het algemeen tevergeefs in het Middelnederlandsch Woordenboek of in het Woordenboek der Nederlandse Taal. Van de overvloedige voorraad van zestiende-eeuwse rekentermen is maar een uiterst klein deel in deze woordenboeken terug te vinden. Om dit hiaat te vullen, is aan deze studie een diskette toegevoegd waarop zich een glossarium van rekentermen bevindt, afkomstig uit de rekenboeken van het corpus. Van elke rekenterm zijn betekenis, vindplaatsen, citaten, e.d. opgenomen, waardoor het glossarium een aanvulling op de bestaande woordenboeken vormt. Tevens maakt de weergave van het glossarium op diskette met het daaraan toegevoegde computerprogramma het mogelijk, om het materiaal van het glossarium ook op andere wijze te ordenen en te onderzoeken, zodat daarmee het antwoord op allerlei vragen snel verkregen kan worden. Nadere informatie volgt in hoofdstuk 8.

In deze studie is een verzameling van historische documenten vanuit zeer verschillende perspectieven bestudeerd en onderzocht. De resultaten werpen nieuw licht op deze werken en het tijdvak waaruit ze afkomstig zijn en kunnen in de toekomst het uitgangspunt vormen van nieuw onderzoek op verschillende terreinen van wetenschap.