Hoofdstuk 3
De inhoud van de rekenboeken: de basis van de rekenkunde
In dit en her volgende hoofdstuk gaat het om de rekenkundige inhoud van de Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw. Welke kennis willen de auteurs op hun lezers overdragen? Een representatieve beschrijving van het vakgebied geeft het antwoord op deze vraag. Omdat de rekenboeken die voor dit onderzoek beschikbaar zijn in grote lijnen dezelfde inhoud en opzet hebben, is het mogelijk een beeld van de rekenstof van een gemiddeld rekenboek uit het vermelde tijdvak te schetsen. Daarnaast is er in deze twee hoofdstukken aandacht voor opvallende en uitzonderlijke zaken die in de afzonderlijke rekenboeken voorkomen. Door nieuwontdekte details en door de vele voorbeelden en citaten vormen de hoofdstukken een aanvulling op de studie van Smeur.1 Dat geldt met name voor de uitvoerige behandeling van de rekenregels.
De volgorde van de onderwerpen in de beschrijving van de rekenkunde komt grotendeels overeen met de volgorde die in de meeste rekenboeken wordt aangetroffen. De splitsing van deze beschrijving in twee hoofdstukken is gebaseerd op de in de rekenboeken gangbare tweedeling van de rekenkunde. In dit hoofdstuk wordt de basis van de rekenkunde behandeld: het lezen en schrijven van de Hindoe-Arabische cijfers en de rekenkundige hoofdbewerkingen. Na deze basis volgen in hoofdstuk 4 de toepassingen van de rekenkunde in de vorm van rekenregels, waarvan de regel van drieën de belangrijkste is. De rekenregels worden gebruikt bij het oplossen van allerlei vraagstukken. In sommige rekenboeken komen nog onderwerpen voor als omrekentabellen, worteltrekken en penningrekenen; deze zullen in dit hoofdstuk aan de orde komen. Enkele auteurs behandelen onderwerpen als reeksen, verhoudingen, algebra en de Welsche of Italiaanse praktijk,2 deze worden in hoofdstuk 4 besproken.3
3.1 Proloog
Vrijwel alle rekenboeken beginnen met een voorrede waarin het belang van die edel conste arithmetica4 breed wordt uitgemeten. Van der Gucht schrijft bijvoorbeeld in zijn woord vooraf:
Arithmetica, ... twelcke is
een vanden zeven vrie consten+
ende het fondament van
mathematica zonder welcke de
andere drie als geometria,+
astronomia, ende musica niet
begrepen en moghen werden.+5
Vertalingen of parafrases van klassieke citaten moeten de lofprijzing kracht bijzetten. Erg populair zijn een citaat van Augustinus:
Niemant en can hemelsche noch
aertsche dinghen gheweten hij
en moet eerst wel connen die+
conste van den ghetale.6
en een van Aristoteles:
Die niet rasch en sijn inder
tellingen die worden
versteken van allen consten.+7
Petri8 gebruikt een citaat van Isidorus:
Neempt dat ghetal van den
dinghen, soe verghaen sij.9
Van der Schuere schrijft een uitvoerige berijmde Ode op het tal-constboeck.10
In de gedrukte rekenboeken volgt na de lofprijzing van de rekenkunde vaak nog
een eerbiedige opdracht aan een of meer belangrijke personen. Van der Gucht begint zijn zend-brief met:
De edele, wijse ende zeer
voorzienighe heeren bailliu,+
schout, burgh-meesters,
schepenen, raeden, trezoriers+
ende hooft-mannen der stede
van Brugghe, Adriaen vander
Gucht weynscht gheluck ende
wel-vaeren.11
Wentsel richt zich tot de notabelen van de wel-vermaerde coop-stadt Middelburg12 Van der Schuere richt zijn opdracht in het Frans aan Govaert Willemsz. marchant en la tres-renommee ville d'Amsterdam.13 Van den Dijcke schrijft Aen de achtbare eersame discrete ende seer voorsienighe ... cooplieden van Antwerpen myne goetgunstighe heeren ende vrienden.14
De opdracht is mogelijk bedoeld om het aanzien van het werk te verhogen en het is niet uitgesloten dat degenen aan wie de opdracht gericht is, de publicatie van het boek financieel ondersteund hebben.15 Soms is een rekenboek uit vriendschap of bewondering aan iemand opgedragen. Van den Hoecke draagt in een Latijnse passage zijn werk op aan Guilhelmus Rhetius of Willem van Rethy, een premonstratenzer, die van ±1535 tot 1540 prior van de St. Michielsabdij te Antwerpen is. Van den Hoecke prijst Rhetius om zijn grote wiskundige kennis en schrijft dat hij een aantal keren wiskundige vraagstukken met hem besproken heeft. Drie jaar later, draagt ook Gemma Frisius zijn rekenboek aan Rhetius op.16
Het werk van Van den Hoecke is het enige Nederlandstalige rekenboek dat aan een ‘geleerde’ wordt opgedragen. In de andere rekenboeken is, als er al van een opdracht sprake is, deze gericht aan kooplieden en notabelen. Dit komt overeen met de doelstelling van de boeken: men wil praktische rekenkunde voor koop- en ambachtslieden beschrijven en men heeft niet de pretentie een wiskundige verhandeling voor ‘geleerden’ te schrijven.17
De meeste auteurs dekken zich in hun inleiding bij voorbaat in tegen eventuele kritiek op hun werk. Van Varenbraken:
Ende [ic] bidde een
yeghelyc meester vander
selver conste, dat zij mij+
niet scimpelijc en blameren
al waert dat sij vonden+
eenighe fanten in dese selve
conste, als ic hope datmen
niet en sal, nochtans
leerkinders haest faelgieren.+18
Van Halle verdedigt zich op rijm:
Ick bidts u al hebdy+
schoonder ghesien,
tis myn begin tmach noch
beter ghescien.
Daromme leest vry, hoort ende+
besiet.
Al vindy fout en berispt my
toch niet.
Isser ghefaelgeert int+
scryven, stellen oft werken,+
beteret metter pennen als+
rustighe clerken.
Ten is niet soe quaet men
macht wel hooren.+
Niemant en is metter cunst
ghebooren.19
Niet alle fouten die in een rekenboek voorkomen zijn de schuld van de auteur. Soms heeft de drukker zijn werk niet goed gedaan. Petri:
Dat aen sommighe plaetzen
puncten, buchstaven,+
dwersstreecke ende+
dierghelijcken verset ende+
uytghelaeten, oock in die+
orthographye doer den setter+
vergreepen, hier inne+
ghevonden wordt, wil een+
yeder voor sichselfst merken+
ende te rechte brenghen.+20
Stockmans richt zich in zijn inleiding tot den schimpers met:
Laet blijven u schimpighe
woorden en bijten.+21
Wentsel vaart aan het eind van zijn rekenboek woedend uit naar zijn collega's Ludolf van Ceulen en Felix van Sambeke die beweerd zouden hebben, dat hij een be-
paald interestvraagstuk in zijn boek met interesttabellen22 verkeerd zou hebben opgelost.23 Wentsel heeft het vraagstuk inderdaad niet goed opgelost, maar hij wil zijn ongelijk niet bekennen en berispt ook zijn vriend Anthony Smyters, omdat deze hem niet steunt in de kwestie. Meskens merkt op dat dergelijke twisten de rekenmeesters stimuleren om hun argumenten zoveel mogelijk te verduidelijken en in die zin zijn ze een eerste aanzet tot een soort van bewijsvoering.24 Dit is mogelijk, maar in de Nederlandse rekenboeken worden verder geen sporen van twisten, debatten of discussies aangetroffen. Argumenten en bewijzen spelen in de rekenboeken geen enkele rol.
3.2 ‘Gehele’ getallen
In het eerste gedeelte van de rekenboeken worden de hoofdbewerkingen voor de ‘gehele’ getallen behandeld.25 Ook het rekenen met munten, maten en gewichten wordt in dit gedeelte uitgelegd. Het rekenen met breuken volgt later.26
Het aantal behandelde hoofdbewerkingen varieert per rekenboek.27 Enkele auteurs onderscheiden zeven hoofdbewerkingen: numeratie, optellen, aftrekken, halveren, verdubbelen, vermenigvuldigen en delen.28 In de meeste rekenboeken worden halveren en verdubbelen niet uitgelegd; er komen dan dus in het totaal vijf hoofdbewerkingen voor. Helmduyn29 merkt op:
Dit alsdan wetende, salmen+
seer lichtelijcken met die+
Specien leeren wercken, dier+
seven in ghetalle zijn, maer+
niet dan vijf principale.+30
Enkele auteurs tellen in hun rekenboeken slechts vier hoofdbewerkingen. Zij zonderen namelijk numeratie uit. Van Halle:
Int sypher syn 4 specien...+
ende niet 7 ghelijck als die+
andere boexkens hebben.31
3.2.1 Numeratie
In het hoofdstuk numeratie wordt uitgelegd hoe men de Hindoe-Arabische cijfers moet lezen en schrijven. Pijck:32
Numeratio, het beghinsel van+
arithmetica, leert alle
getalen ende sommen met hare+
behoorelycke figuren ende
letteren te schriven ende de+
selve sommen ofte getalen als
sy geschreven zijn, uut te
spreken of die te verstaen
wat sy weerdich zijn.+33
In Latijnse rekenboeken vindt men in het hoofdstuk numeratie herhaaldelijk stukjes getallenleer. Bijvoorbeeld een definitie van getal en een bespreking van de vraag of nul en een al dan niet getallen zijn. Ook worden er getallen in allerlei groepen ingedeeld.34 In de Nederlandstalige rekenboeken is dit niet gebruikelijk. Slechts Van der Schuere gaat kort op dit onderwerp in. Getallen definieert hij als volgt:
Ghetallen zijn daer door de
menichte van eenich dinck
verclaert wort. Als door een+
werdt verclaert de menichte
van een eenich, door twee de+
menichte van twee eenighen,
door drie de menichte van
drie eenighen ende soo voort
alle andere.35
Over het getal nul schrijft Van der Schuere:
O die men ‘nullo’ - dat is
gheen - noemt, gheen ghetal
ofte niet van haer selven,+
maer een behulp der ander+
ghetallen ende om te vollen+
de ledighe plaetse daer+
gheen ander figuer en comt+
te staen.36
Bij Van der Schuere is er echter geen sprake van een apart hoofdstuk over getal-
lenleer. De enige Nederlandstalige auteur die dit onderwerp wel uitgebreid, in een apart hoofdstuk, aan de orde stelt, is Van Halle.37
In de overige rekenboeken houdt numeratie uitsluitend het leren lezen en schrijven van Hindoe-Arabische getallen in. De enige indeling van getallen die in vrijwel alle rekenboeken wordt gemaakt is die in eenheden, tientallen en samengestelde getallen, respectievelijk digiten, articulen en compositen genoemd. Deze traditionele indeling speelt in de rest van de behandelde rekenkunde geen rol meer.38
De nul krijgt relatief veel aandacht, waarschijnlijk omdat het voor leerlingen die uitsluitend de Romeinse cijfers kennen een nieuw fenomeen is. Bij het traditionele rekenen met penningen en in het Romeinse cijfersysteem komt voor nul geen symbool voor. Bij het rekenen met Hindoe-Arabische getallen, waar de waarde van de cijfers door hun plaats bepaald wordt, wordt voor nul een symbool ingevoerd dat bovendien een dubbele betekenis heeft. Enerzijds betekent het niets, anderzijds kan de nul de waarde van een getal veranderen als deze daaraan toegevoegd wordt. In het voorgaande citaat van Van der Schuere is die dubbelfunctie vermeld. Van Varenbraken schrijft over de nul:
Ende tot desen dygyten oft+
neghen letteren doetmen een+
O, de welcke O in haer selven
niet en doet, maar sy doet+
dese neghen letteren doen+
-yeghelijc dit wel
verstaende- tien werf meer+
dan sy in haer selven doen+
ende dan heetmense articulen.+39
Door de nul in de articulen te vervangen door een van de digiten ontstaan de compositen:
Ende van dese digyten ende+
articulen worden ghemaect+
compositen. Ende men maectse+
aldus: men set die digiten in
die stede van der O.+40
Als het principe van het Hindoe-Arabische getalsysteem is uitgelegd, wordt het onmiddellijk toegepast op zeer grote getallen. Van Varenbraken legt bijvoorbeeld uit hoe een getal van 18 cijfers gelezen moet worden.41 Zie figuur 3.1. Van der Gucht behandelt zelfs een getal van 30 cijfers.42
Verschillende auteurs gebruiken de term duusentduust voor miljoen.43 Dat maakt het uitspreken van grote getallen nogal onoverzichtelijk, zoals bijvoorbeeld blijkt uit het volgende citaat van Van den Hoecke:
9876543210, segghet: neghen+
duysent duysentwerf duysent+
achthondertwerf duysentduysent+
sessentseventich werf
duysentduysent
vijfhondertduysent drie en
veertich duysent tweehondert
ende thiene.44
Figuur 3.1. Schema met de plaatswaarden van de cijfers in een getal.45
Struik onderzocht de wijze waarop het woord millioen in de Nederlandse taal is ingeburgerd.46 Volgens hem komt het pas in 1589 voor de eerste keer in een Nederlandstalig rekenboek voor. Dat zou in het rekenboek van Stockmans zijn, aangenomen dat de editie van 1589 met die van 1609 overeenstemt.47 Deze bewering is niet juist. Het woord millioen komt namelijk al in 1510 voor in het hoofdstuk over penningrekenen in D-Man-1510 en eveneens in de rekenboeken H-GeU-1532, H-BKB-1568, D-Guc-1569 en H-TSB-1578.
Volgens Struik blijven de geleerden zich langer tegen de term verzetten dan de rekenmeesters. In het Latijnse rekenboek van Gemma Frisius komt de term inderdaad niet voor. Mogelijk beschouwde hij, net als zijn collega's, het woord als een onwetenschappelijke volksterm. Cardanus schrijft in zijn Practica Arithmetica van 1537:
Milliaria millium quae vulgo
milliones appelantur.+48
Cardanus woonde in Italië, waar de term al halverwege de veertiende eeuw in de volkstaal voorkwam. Van Varenbraken verwerpt in zijn rekenboek het woord millioen om didactische redenen; duusentduust vindt hij duidelijker:
Nu tellen sommighe aldus ende
segghen: ‘Eenmilion tienmilion
hondertmilion duustmilion...’+
Maer dit en es mijn maniere
niet, maer mijn maniere+
machmen beter verstaen.+49
De auteurs die wel kiezen voor het woord millioen, hebben ook niet veel moeite met ‘nieuwe’ benamingen voor nog grotere getallen, zoals blijkt uit het volgende overzicht:
| D-Guc-1569 H-BSA-1584 |
H-TSB-1578 | D-Dij-1591 | D-Sch-1600 | |
|---|---|---|---|---|
| 1012 | miliote | milliart | billion | bimillioen |
| 1018 | milioen miliote | trillion | trimillioen | |
| 1024 | miliote miliote | quatrillion | quadrimillioen | |
| 1030 | quintillion | |||
| 1036 | sextillion | |||
| 1042 | septillion | |||
| 1048 | octillion | |||
| 1054 | novillion |
Pijck en Van Halle tekenen in grote getallen na elke 3 cijfers een verticaal streepje, om de leesbaarheid van het getal te vergroten.50 Van Halle schrijft hier over:
Aldus machmen voorts van alle
andere ghetalen ofte summen
doen, hoe groot dat sy oock+
souden moeghen weesen. Maer
ghemeyneleyken en coempt
egheene rekeninghe booven die
vier linikens.+51
In verschillende rekenboeken komen naast Hindoe-Arabische cijfers ook incidenteel Romeinse cijfers voor. In D-Man-1508 zijn de getallen van 1 tot en met 38 in Romeinse en Hindoe-Arabische cijfers genoteerd.52 Heyns gebruikt in zijn rekenboek op de linkerpagina Romeinse cijfers en rechts Hindoe-Arabische, vermoedelijk om zijn leerlingen met beide systemen vertrouwd te maken.53 Heyns, Van Halle, Van den Dijcke en Stockmans gebruiken in een schema een bijzondere mengvorm van de traditionele Romeinse cijfers met het ‘moderne’ plaatswaarde-systeem.54 Zie figuur 3.2.
Figuur 3.2. Het gebruik van Romeinse cijfers om de uitspraak van Hindoe-Arabisch getallen uit te leggen.55
Van der Gucht combineert telwoorden met Romeinse cijfers om de plaatswaarden van 1 tot en met 1030 uit te spreken. Zo geeft hij bijvoorbeeld 1030 weer met C.M. miliote miliote.56 Van den Hoecke gebruikt Romeinse cijfers uitsluitend in het colofon om het jaartal weer te geven.57
Figuur 3.3. De oude cijfervormen.58
Van Halle, Van der Gucht en Pijck geven voor de cijfers 4, 5, 7 en 8 nog een alternatieve schrijfwijze.59 Zie figuur 3.3. Het zijn de oudere cijfervormen, die aanvankelijk in West-Europa in gebruik waren. De cijfers 4, 5 en 7 kregen in de veertiende eeuw in Italië hun moderne vorm. Deze vorm heeft zich in de loop van de vijftiende eeuw mede door de boekdrukkunst in de overige landen van Europa verspreid.60 In het rekenboek van Van der Gucht verschijnen de oude vormen zelfs in
druk. Alle drie de auteurs laten de oude vormen zien, maar gebruiken ze verder niet.
3.2.2 Optellen
Vrijwel elke hoofdbewerking wordt ingeleid door een soort definitie. Van Varenbraken begint zijn uitleg over optellen als volgt:
Additio es... om te adderen,+
dats om te samen te bringhen
drie oft vier sommen tot+
eender sommen.61+
De zestiende-eeuwse methode van optellen komt overeen met de huidige manier van cijferend optellen. De getallen worden onder elkaar geplaatst en kolomsgewijs opgeteld. Sommige auteurs tellen van boven naar beneden, anderen van beneden naar boven, zoals bijvoorbeeld Van der Gucht:
... beghinnende ter
rechterhand ende van onder
upwaerts.+62
Stockmans telt ook van beneden naar boven, maar bij het controleren van zijn berekeningen werkt hij in omgekeerde richting.63
De meeste auteurs beginnen hun uitleg met een eenvoudige optelling waarbij nog niet onthouden hoeft te worden. Daarna volgt een moeilijker voorbeeld. Petri behandelt de navolgende optelling waarin wel onthouden moet worden:
Omme te addeeren 457 met 683,+
soo settet deene somme recht+
onder dander.64
Figuur 3.4. Optelling.
De som van de cijferkolommen overschrijdt de 9 en er moet dus een getal naar de volgende kolom getransporteerd worden. De voorbeelden worden geleidelijk aan moeilijker, dat wil zeggen dat er meer en grotere getallen opgeteld worden.
Als het optellen met ‘kale’, dat wil zeggen onbenoemde getallen genoeg geoefend is, volgen de berekeningen met munten, maten en gewichten. Deze berekeningen kunnen door het ontbreken van decimale munten en maten soms behoorlijk ingewikkeld zijn. Van Varenbraken telt bijvoorbeeld vier geldbedragen op die Jan, Pieter, Willem en Wouter schuldig zijn.65 Zie figuur 3.5.
Figuur 3.5. Optelling van vier geldbedragen.
Op de eerste regel staat: Jan es my sculdich 32 ponden 12 schellingen 9 penningen 16 miten. Om deze optelling uit te kunnen voeren, worden eerst alle muntsoorten afzonderlijk opgeteld. Dat levert de proefsomme op van 131 ponden 64 schellingen 38 penningen en 75 miten. Deze proefsomme wordt eerst gecontroleerd op rekenfouten en daarna gereduceerd, dat wil zeggen dat de verschillende muntsoorten in grotere eenheden omgerekend worden. Daarvoor gebruikt men de volgende gegevens: 1 penning = 24 miten, 1 schelling = 12 penningen, 1 pond = 12 schellingen. Uiteindelijk blijkt na reductie van de proefsomme dat de totaalsomme in deze optelling gelijk is aan: 134 ponden, 7 schellingen, 5 penningen en 3 miten.
De meeste auteurs maken geen gebruik van proefsommen. Nadat een kolom is opgeteld, wordt er meteen overgedragen naar de volgende kolom.
Het optellen met munten, maten en gewichten wordt in de meeste rekenboeken intensief geoefend. Stockmans geeft bij zijn uitleg over optellen acht vraagstukken met verschillende muntsoorten, zes vraagstukken met verschillende inhoudsmaten en zestien vraagstukken met verschillende gewichten.66 Van der Schuere geeft zelfs een voorbeeld waarin tijd wordt opgeteld.67 Zie figuur 3.6.
Figuur 3.6. Optelling van tijden.68
Van den Hoecke behandelt het optellen en aftrekken van munten, maten en gewichten in een apart hoofdstuk. Hij begint daarmee als de hoofdbewerkingen voor de gehele getallen alle vier behandeld zijn.69
Pijck is de enige auteur die optellingen behandelt waarbij de som gegeven is en een van de termen gevraagd wordt:70
Vindt mij een getal alsmen
daer toe doet 17 dat maken+
31.+71
Enkele auteurs behandelen voor elke hoofdbewerking de manier waarop die hoofdbewerking tijdens het rekenen benoemd wordt.72 Van den Hoecke schrijft over het taalgebruik bij optellen:
Die maniere van te Spreken:+
Hebt altijt inden mont dat
woort ‘ende’ oft ‘tot’, als+
3 tot 4, oft 4 ende 3, maken 7.73
Evenals het optellen wordt ook het aftrekken op dezelfde wijze uitgevoerd als thans gebruikelijk is. De aftrekker wordt onder het aftrektal geplaatst en kolomsgewijs van rechts naar links afgetrokken. Van Varenbraken schrijft:
Set die betalinghe recht met+
elcker letter onder elck+
letter vander scult, zo dat
elc een, elc tien, elc+
hondert onder mercanderen+
compt.75
Het aftrekken wordt in de meeste rekenboeken geoefend met vraagstukken waarin van het aflossen van schuld sprake is. Van Varenbraken behandelt bijvoorbeeld het volgende vraagstuk:
Jan Niemant es my sculdich
8684 ponden grote ende hier
op heeft die selve man my+
betaelt 5462 ponden grote.+
Ic vraghe nu, hoe veel my
dese man nu noch sculdich
blijft.
Scult 8684
Betaelt 5462
Reste 322276
Na het eenvoudige aftrekken volgen aftrekkingen waarin geleend moet worden. Raets berekent 5428 - 436. Zie figuur 3.7.
Om te substraheren 436 van+
5428 sedt... 5428 boven 436
... Nu beghint te substraheren
Figuur 3.7. Aftrekking.
6 van 8 ende daer sullen
resteren 2, die sedt onder 6.
Daer na substraheert 3 van 2,
dwelc is onmoghelijc. Daerom
soo trect van het naeste
ghetal 4 een, soo doen die 2
waer aen ghesedt 1, 12. Hier+
van substraheert die 3 ende
daer sullen resteren 9, die
sedt onder 3. Ende omdatter
van 4 afghetrocken is 1, so
en is die 4 maer 3. Hier van
substraheert 4 ende tis ooc
onmogelijc. Daerom doet als
voren: trect 1 van het naeste
getal, te weten van 5, ende
die selfste 1 sedt aen die 3,+
aldus 13. Hier van trect die
4, soo resteerter 9, die set
onder 4. Ende om datmen van
die 5 heeft getrocken 1, soo
salmen voor die reste setten+
4 onder de 5. Soo is de reste+
4992.77
In de meeste rekenboeken gebeurt het lenen door in de naaste kolom het aftrektal met 1 te verminderen, zoals in het voorgaande citaat. In andere rekenboeken gebeurt het ook wel door in de naaste kolom de aftrekker met 1 te vermeerderen.78 Van der Gucht en Pijck behandelen beide methodes.79 Van der Gucht:
Maer alzo dicwils als dat
gheschiet, so dicwils moetmen+
an de naestvolghende onderste
een meer rekenen dan zy
weerdich is, ofte an zijn
upperste een min.+80
Bij Van den Hoecke wordt het complement van de aftrekker bij het aftrektal opgeteld en 1 bij de aftrekker in de volgende kolom. Bijvoorbeeld bij de berekening van 9721 - 6892:
Nu trect 2 van 1. Dat en mach
niet zijn. Maer ic neme 2 van+
10, so blijft 8. Ende 1, dat
is tghetal van welck ghi 2
niet en const ghetrecken,
daeraf coemt 9. Die sedt+
onder 2. Voort addeert 1 tot
9, coemt 10.+81
Tevens behandelt Van den Hoecke nog een voorbeeld waarin het aftrektal van links naar rechts wordt afgetrokken.
Het aftrekken van munten, maten en gewichten krijgt in de meeste rekenboeken uitgebreid aandacht. Het lenen is bij dit soort vraagstukken gecompliceerder omdat het afhangt van de waarde van de munt, de maat of het gewicht hoeveel er geleend wordt. Van Varenbraken trekt bijvoorbeeld twee geldbedragen van elkaar af, die elk uit vier verschillende muntsoorten bestaan:82
Schult 334 ponden 13 schellingen 9 penningen 13 miten
Betaelt 298 ponden 19 schellingen 10 penningen 16 miten
Reste
Voordat de aftrekking kan plaatsvinden, moet er eerst geleend worden. 1 pond = 20 schellingen, 1 schelling = 12 penningen, 1 penning = 24 miten. Vervolgens wordt dan de aftrekking aldus:
Schult 333 ponden 32 schellingen 20 penningen 37 miten
Betaelt 298 ponden 19 schellingen 10 penningen 16 miten
Reste 35 ponden 13 schellingen 10 penningen 21 miten
Uit figuur 3.8 blijkt dat Van Varenbraken in zijn berekening een fout heeft gemaakt. Hij houdt 11 penningen in de Reste over, terwijl het er 10 moeten zijn.
Figuur 3.8. Aftrekking van geldbedragen.
Het taalgebruik bij aftrekken is als volgt. Pijck:
Ende dit es spreeckwoort van
dese specie: ‘van’ oft ‘uut’.+
Seggende: twee van ses blijft
4, oft 2 uut 6 blijft 4.+83
Negatieve getallen spelen in de rekenboeken geen rol. Van den Hoecke vermeldt bij het aftrekken:
Het onderste getal en sal
niet meerder zijn dan dat
opperste, maer si mach haer
wel ghelyc zijn.+84
Van der Gucht adviseert om in het geval dat het bovenste getal kleiner is dan het onderste, de zaak om te keren en het bovenste getal van het onderste af te trekken, zodat men kan zien - indien er sprake is van het aflossen van een schuld - hoe groot het bedrag is dat te veel is betaald:
Ware zy minder, zoo zoude zy+
zelve vanden ondersten
behouven ghetrocken te zijne,+
waeraf overschot commen zoude.+85
Zie bijvoorbeeld figuur 3.9.86
Figuur 3.9. Aftrekking waarbij een ‘negatieve’ uitkomst ontstaat.87
Pijck behandelt ook bij het aftrekken weer een aantal vraagstukken die in geen enkel ander rekenboek zijn aangetroffen:
Vindt mij een getal dwelck
alsmen aftrecke 17, dat
blijve 15. Dwelck es 32.88
Int jaer ons heeren 1581 een
man gevraecht zijnde hoe out
hij ware, heeft geantwoort:
‘Ick ben geboren int jaer ons
heeren 1542, inde selfste
maent daer wij nu in zijn’.
Vrage, hoe out hij was.89
3.2.4 Halveren en verdubbelen
De hoofdbewerkingen halveren en verdubbelen komen slechts in enkele rekenboeken voor. Van Varenbraken en Van der Gucht behandelen eerst halveren en daarna verdubbelen.90 Anderen beginnen met verdubbelen. Creszfelt91 ziet niet in waarom hij halveren en verdubbelen als aparte hoofdbewerkingen zou behandelen, omdat...
...dubelyren niet anders is+
dan mit twee multiplicyren+
unde medieren niet anders als+
mit 2 dividieren.+92
Van Halle sluit zich hier bij aan:
Waert dat saeke dat duplatio
een verscheiden spetie [ware]
van der multiplicatie, soo+
soude oock triplatio,+
quadruplatio, quintuplatio+
ende alsoo voorts verscheyden+
spetien sijn.+93
Desondanks behandelt hij een aantal verdubbelingsvraagstukken. Ook Van der Gucht onderkent de overeenkomst met vermenigvuldigen en delen, maar vindt het blijkbaar toch belangrijk om apart aandacht te besteden aan halveren en verdubbelen:
De vierde specie es ghenaemt+
mediatie ende es eensdeels+
een maniere van divisie+94
Wentsel behandelt het halveren en verdubbelen niet:
Wanttet onder de handt,+
ontrent den exempelen,
genoechsaem gheleert wordt+
aldaer tselve nootsakelicken
voorvalt.+95
Situaties waarin halveren of verdubbelen nootsakelicken voorvalt liggen in de rekenboeken niet voor het oprapen.96 Het behandelen van halveren en verdubbelen als aparte hoofdbewerkingen is mogelijk een kwestie van traditie.97
Van Varenbraken begint zijn uitleg over halveren als volgt:
Mediatie en es anders niet,+
dan een somme te middelen oft+
in tween te deelend.98
En bij verdubbelen schrijft hij:
Duplicatio... en es anders
niet te segghen, dan om te+
dobbileren alle sommen alzo+
hooghe ende menich werf als+
men wille.99
Halveren gebeurt van links naar rechts. Bij deze bewerking speelt het onderscheid tussen even en oneven getallen een rol. Van Varenbraken gaat ervan uit dat zijn leerlingen dit onderscheid wel kennen. In D-Man-1508 wordt het uitgelegd:
Oft dye somme ghescreven es
met cyffren die effen ghetal
beteekenen, als .2.4.6. oft+
.8., so suldy dye somme
medieren als ic u boven+
geleert hebbe.100
Als er een oneven cijfer in het getal voorkomt, wordt de ongedeelde 1 als 10 bij het volgende cijfer opgeteld. Van Varenbraken:
Jan ende Pieter moeten elck
hebben die helft van deser
sommen: 3579 waghen caes. De+
vraghe es, hoe veel elc sal
moeten hebben voor sijn+
paert... Exemplum, doet die+
lettere 3, so neempt die+
helft van 2 ende is 1. Ende
dus rester 1 van 3 ende die
eene set boven die selve 3.+
Welcke onghedeelde 1 doet in
haer selven 10. Nu addeert+
oft neempt die naeste 5 tot
die 10 ende compt 15 tsamen.+101
Als een oneven getal gehalveerd wordt, ontstaat er een breuk.
In het rekenboek van Van Varenbraken is dat geen probleem, daar zijn namelijk al eerder breuken aan de orde geweest, maar in verschillende rekenboeken komen bij halveren breuken voor, voordat ze ‘officieel’ behandeld zijn. Soms kan dit voortijdig rekenen met breuken al tamelijk ingewikkeld zijn, bijvoorbeeld in vraagstukken waarin sprake is van herhaald halveren.
Herhaald halveren en herhaald verdubbelen worden vaak aan het eind van de uitleg van halveren en verdubbelen behandeld. Als de som van een reeks halveringen of verdubbelingen moet worden bepaald, wordt er eigenlijk al vooruit gelopen op het hoofdstuk over reeksen, Progressio. Pijck berekent bijvoorbeeld de som van een reeks verdubbelingen met een regel die in moderne notatie uitgedrukt kan worden door:
n
∑ 2k = 2n+1 - 1
k=0
Additie van dobbeleringen+
... is maer noch eens te
dobbeleren de onderste somme
ende 1 min.+102
Herhaald halveren en herhaald verdubbelen worden vaak toegepast in vraagstukken die qua inkleding nogal gekunsteld aandoen. Zoals bijvoorbeeld dit vraagstuk uit het rekenboek van Van der Gucht:
Een man vraechde eenen
anderen, hoe veel hy zynen
tabbaert ofte keerle wilde+
vercoopen, up zulcke
conditien dat hy vande somme+
die hy nomen zoude, altijts+
de helft afcorten zoude tot
32 reysen toe ende datter dan+
resteerde, datzoude hy voor+
zijn keerle hebben. Ende den
man gafze voor 1491308 ponden+
1 schelling 9 grooten ende 8
myten Vlaemsch. Nu is de
vraghe, hoe vele die man voor
zijn keerle moeste hebben.103
Het volgende voorbeeld is afkomstig uit het rekenboek van Van Halle:
Daer is een joncker die
gheerne wat fraijs hadde van
een jonckfrauwe, de welke hem
antwoordet dat sijt gheerne
doen soude, maer dat die+
joncker ierst doen sal dat+
die jonckvrauwe Op hem
begheert. Te weeten, dat hy+
ghaen sal in eenen hof daer 3+
poorten syn ende aen elke
poorte eenen portier ende
haelen haer daer uut een+
roose. Die welke ghaet ende+
pluckter soe veele als hi
wilt. Int wederom coemende,
den iersten portier heischt
van hem die drije vieren
deelen, segghende: ‘Gheeft+
my de helft van tghene dat
ghi draecht ende de helft van
dander helft’. Daer naer den
tweeden ende den derden
heebben ghedaen desghelijcx+
ende als die joncker uut die
poorten quam en brenght hi
maer juyst een roose. Nu is+
te wetene hoe veel roosen dat+
hij inden hof plucte.104
Van Varenbraken behandelt het volgende vraagstuk:
Een man heeft ghecocht een
keerlelaken voor 512 ponden+
grote, de selve somme 9 werf
de helft afghesleghen ende+
datter daer en tenden bleve,+
soude de vercooper hebben
voor zyn laken. Ic vraghe:
Hoe veel soude die somme+
bedraghen? Solutio: medieert+ die selve somme 9 werf.+105
Figuur 3.10. Een bedrag wordt negen keer gehalveerd.106
Vraagstukken over herhaald verdubbelen en halveren met een meer realistische context komen in de rekenboeken niet voor.
3.2.5 Vermenigvuldigen
Van den Hoecke beschrijft vermenigvuldigen als volgt:
Multiplicatie is deen ghetal+
vermenighen met een ander+
ghetal. Dat is also veel als
den multiplicateur oft
multipliceerder in hem selven
bevangt, so menichwerf te+
augmenteren oft
menichfuldighen den nommer+
den welcken ghemultipliceert
moet werden.+107
Voorafgaand aan de uitleg van vermenigvuldigen worden de tafels van vermenigvuldiging gegeven. In de meeste rekenboeken worden de tafels in een vierkant schema weergegeven. De afmetingen variëren van 10 × 10 tot 13 × 13.108 Het ge-
bruikelijkst is het schema waarin de tafels tot 12 × 12 zijn opgenomen zoals bij Van Varenbraken.109 Zie figuur 3.11.
Figuur 3.11. Tafels van vermenigvuldiging.110
In H-GeU-1592 komt een rechthoekig schema voor van wel zeer bijzondere afmetingen. Het bevat de tafels tot 17 × 27 en ook hier krijgt de lezer het advies deze tafels uit het hoofd te leren.111
Van der Gucht en Pijck geven vier verschillende vierkante schema's.112 Het eerste is het bekende met de tafels tot 12 × 12. Het laatste bevat de tafels van 13 tot en met 20. Tamelijk overbodig lijken de middelste twee schema's. In het ene staan de tafels van 10, 20, 30, ...., 90. In het andere de producten van 10 × 10, 10 × 20, 10 × 30, ..., 90 × 90, in sommige rekenboeken komen de tafels van vermenigvuldiging in kolomvorm voor.113 Zie figuur 3.12.
Figuur 3.12. Tafels van vermenigvuldiging in kolomvorm.114
Van Halle geeft ook nog een driehoekige tabel.115 Zie figuur 3.13. Het vermenigvuldigen gebeurt in de meeste rekenboeken cijferend onder elkaar op de manier zoals dat thans nog steeds gebruikelijk is. Het enige verschil is dat rechts van de tussenproducten in de berekening geen nullen genoteerd worden, maar plaatsen opengelaten worden, wat in principe op hetzelfde neerkomt.
Figuur 3.13. Tafels van vermenigvuldiging in een driehoekig schema.116
Van der Schuere vermenigvuldigt bijvoorbeeld als volgt:
Multiplicatio met twee+
figueren. Als ghy met+
d'eerste ghemultipliceert
hebt, soo vooren gheleert is,+
multipliceert dan insghelijcx+
met de tweede, maer stelt het+
product een figuere+
innewaerts, nae de
slinckerhandt. Addeert dan+
beyde de producten t'samen.+
Op sulcker maniere doet ooc
met 3. 4. ofte meer figueren,+
stellende t'elcken een
figuere innewaerts.117
Zie figuur 3.14.
Figuur 3.14. Vermenigvuldiging met ‘proef’.
Berekeningen met munten, maten en gewichten die in het hoofdstuk over vermenigvuldigen voorkomen, zijn er alle op gericht om grotere eenheden om te rekenen in kleinere. Van der Schuere:118
345 ponden 13 schellingen 6 penningen.
Hoeveel penningen zijn dat?
Figuur 3.15. Een geldbedrag omrekenen in een kleinere munteenheid.119
In sommige rekenboeken wordt het complementaire vermenigvuldigen uitgelegd. Het voordeel van deze methode is dat men slechts de tafels tot en met 5 × 5 uit het hoofd hoeft te kennen. De methode van Van der Gucht zou men met de volgende regel kunnen weergeven: ab = 10(a + b - 10) + (10 - a)(10 - b).
Hij berekent 7 × 7 aldus:
Om dit te doene, zo stelt
alle beede de figuren vanden
ghetale onder elckanderen+
ende zeght van 7: ‘Wat rester
tot 10?’ Dats 3. Daeromme+
stelt 3 neffens 7 ter+
rechterhand. Inschelijcx doet+
met de tweetste figure. Dan
multipliceert deerste 2
figuren onder elckanderen
staende ter rechterhand,+
twelck zijn 3/3 ende comt 9.
Stelt die daer onder ende+
dan addeert dander 2 figuren
onder elckanderen staende ter
slijnckerhand, dats 7/7, comt+
14. Daeraf cort de 10, comt 4.+
Die stelt onder neffens de 9
ter slijnckerhand ende zo
vele es 7 reysen 7 ende es+
ghemaeckt. Doet alzo van
allen anderen als ghi de
tafelen niet wel en weet van
buten of datze ghij bij u+
niet en hebt.120
In figuur 3.16 is te zien hoe de berekening eruitziet.
Figuur 3.16. Complementair vermenigvuldigen van 7 × 7.121
Van Halle schrijft dat deze methode geschikt is voor factoren die groter dan of gelijk aan 5 zijn:
Men moet weeten dat die
vingherghetalen tsamen thien+
doen moeten Oft meer, anders+
en is die reghule niet goet.122
Ondanks deze waarschuwing berekent hij toch 5 × 4.123 Zie figuur 3.17.
Figuur 3.17. Complementair vermenigvuldigen van 5 × 4.
Wellicht heeft hij de regel aangepast.
In moderne notatie: ab = 10(a + b) + (10 - a)(10 - b) - 100.
Maar dan zou de vermenigvuldiging 2 × 3 ook complementair mogelijk moeten zijn. Van Halle schrijft echter:
Twee mael drye... ten duech
niet.+124
Het voordeel dat de tafels boven 5 × 5 niet gekend hoeven worden, valt weg als men, zoals Van Halle, het complementair vermenigvuldigen gaat toepassen als beide factoren 5 of minder zijn, of als dat geldt voor een van de factoren.
Van der Gucht125 behandelt nog vijf andere vermenigvuldigmethoden, die alle op hetzelfde basisprincipe neerkomen. Het onderscheid zit hem in de notatie. In de eerste variant zijn de cijfers van de vermenigvuldiger van links naar rechts ge-
bruikt zodat het grootste tussenproduct bovenaan staat. Van den Hoecke126 behandelt deze variant ook. In de tweede en de derde variant zijn de tussenproducten diagonaal genoteerd. Ten slotte zijn in de rechthoekige schema's van de vierde en vijfde variant alle tussenproducten volledig genoteerd zodat er tussentijds geen cijfers onthouden hoeven worden, zoals te zien is in figuur 3.18.127
Figuur 3.18. Vermenigvuldiging: 678678 × 545456 = 370188987168. Elk tussenproduct wordt in het schema genoteerd.
Deze manier van vermenigvuldigen komt ook in H-TSB-1578 voor. Het is daar de enige methode die geleerd wordt.
Wentsel behandelt naast de gebruikelijke vermenigvuldigmethode nog een andere, waarbij de tussenproducten voluit boven de factoren worden opgeschreven en men dus eveneens niets hoeft te onthouden.128 Zie figuur 3.19.
Figuur 3.19. Vermenigvuldiging 72 × 264 = 19008. Elk tussenproduct wordt boven de factoren genoteerd.
Als er in de vermenigvuldiger een nul voorkomt, noteert Van Halle als tussenproduct een rijtje nullen. Bijvoorbeeld als hij 402 guldens in stuivers wil omrekenen.129 Zie figuur 3.20.
Figuur 3.20. Vermenigvuldiging: 402 × 20. In de vermenigvuldiger komt een nul voor.
Later bij multipliceren int corte slaat hij de nul in de vermenigvuldiger over:
Alser inde middele van dat+
onderste ghetal ofte
multiplicatuer ghevonden wort+
een sijpher ofte meer, soe+
suldi die voorbij gaen ende+
voorts werken met die+
navolgende letteren.+130
Jaartallen spelen in het hoofdstuk over vermenigvuldigen vaak een rol. Het rekenboek van Van Varenbraken is volgens een mededeling op fol. 185r in 1532 voltooid.131 Bij de uitleg van vermenigvuldigen komt het volgende vraagstuk voor:
Men mocht vraghen hoe
menighen dach dat compt in
1531 jaren.+132
Vraagstukken met een vergelijkbare context zijn ook in andere rekenboeken te vinden. Zo vraagt bijvoorbeeld Van Halle in zijn rekenboek van 1568:
Aldus maectmen hoeveele+
clopkens dat die ureclocke
geslaghen heeft van dat ons+
heere ghebooren was tot nu
toe, te wetene totten jare
1567 toe.133
Pijck geeft in H-BSA-1584 een vergelijkbaar vraagstuk met het jaartal 1585. Wentsel gaat in D-Wen-1599 uit van het jaartal 1598. Van den Dijcke vraagt in zijn rekenboek van 1591 hoeveel dagen, uren en minuten er zijn in 1591 jaren. In de herdruk van 1600 is het aantal jaren in dit vraagstuk veranderd in 1600. Van Maanen suggereert dat het jaartal in dit type vraagstukken soms een aanknopingspunt kan bieden voor het dateren van ongedateerde rekenboeken.134 Uit voorgaande voorbeelden blijkt dat de jaartallen die in vraagstukken voorkomen inderdaad herhaaldelijk overeenkomen met de datering van het rekenboek waaruit ze afkomstig zijn, maar bij het trekken van conclusies op basis van dit gegeven blijft uiteraard voorzichtigheid geboden.135
Enkele auteurs behandelen het taalgebruik bij vermenigvuldigen. Van der Gucht:
Zegghende: 6 reysen 7 es 42,+
of 7 werf 8 es 56.+136
Van Halle:
Een maniere om te wetene
wanneer dat multiplicatie is,+
ofte wanneer datmen een werck
metter multiplicatie behoert
te doene: alser coemt+
‘werven’ ofte ‘mael’,+
ghelijck als ses werven ofte
ses mael 8 coempt 48, alsdan
eest multiplicatie.137
3.2.6 Delen
Van Varenbraken begint zijn uitleg over delen als volgt:
Divisio, die sevenste specie,+
es om te leeren deelen een
somme in alzo veel deelen als+
men wille, oft deen somme
duer dander te deelen.138
Van den Hoecke begint met:
Divisio oft deelinghe gheeft+
te kennen hoe dickwils een
somme in een ander wert
besloten.+139
Van der Gucht is de enige auteur die erop wijst dat het ook voor delen van belang is de tafels van vermenigvuldiging uit het hoofd te kennen:
Hier toe dient oock wel van
buten gheweten het voorzeyde+
eerste tafelken der+
multiplicatien.+140
De deelmethode die in de meeste rekenboeken wordt aangetroffen heeft veel overeenkomsten met de staartdeling die tegenwoordig gebruikt wordt,141 maar
wijkt er op bepaalde punten van af. De deler wordt links onder het deeltal geplaatst en bij iedere stap in de berekening doorgestreept en opnieuw, een plaats verder naar rechts genoteerd. Het quotiënt verschijnt rechts van het deeltal en de resultaten van de tussenstappen worden boven het deeltal geschreven. Petri behandelt het volgende voorbeeld:
Omme te deelen 27648 doer 36
... settet 3 onder 7 ende 6
onder 6... Neempt die 3 soe
menichmael in 27 datter so
veele restet omme te hebben
die 6 oock so menichmael.+142
| 7 voldoet hier aan. Eerst wordt 7 × 3 = 21 van 27 | |
| afgetrokken, de rest is 6, die wordt | 2 |
| boven de 7 van 27 geschreven en vormt samen | 64 |
| met de 6 uit het deeltal: 66. Vervolgens | 27648 (7 |
| wordt 7 × 6 = 42 van 66 afgetrokken, de rest | 36 |
| is 24, die wordt boven 66 geschreven. | |
| De deler 36 wordt een plaats verder naar | 2 |
| rechts opgeschreven. Het volgende cijfer | 26 |
| in het quotiënt is 6: | 648 |
| 6 × 3 = 18, 24 - 18 = 6, | 27648 (76 |
| noteer 6 boven de 4 van 24 | 366 |
| 6 × 6 = 36, 64 - 36 = 28, | 3 |
| noteer 28 boven 64. |
De deler 36 wordt weer een plaats verder naar rechts
opgeschreven. Het laatste cijfer van het quotiënt is 8:
8 × 3 = 24, 28 - 24 = 4, noteer 4 boven de 8 van 28.
8 × 6 = 48, 48 - 48 = 0.
Voor de uiteindelijke berekening zie figuur 3.21.143
Figuur 3.21. Deling: 27648:36 = 768.144
Bij grotere delingen kan men in de vorm van de berekening een zeilschip herkennen. Zie figuur 3.22.145
Figuur 3.22. Delingen in de vorm van een zeilschip.
Luca Pacioli noemt deze manier van delen galea vel batello.146 In H-GeU-1584 staat bij een deling dat deze galeye wordt genoemd.147 Zie figuur 3.23.
Figuur 3.23. Deling in de vorm van een zeilschip.148
Verschillende auteurs noteren het quotiënt niet rechts van het deeltal, maar tussen twee horizontale lijnen onder het deeltal.149
Van Halle hanteert een manier van delen waarbij onder de steeds voortschuivende deler de tussenproducten worden genoteerd die van het deeltal worden afgetrokken:
Daer leet een in sijnen+
dootbedde ende heeft 4
kinderen, de welke ghelijck+
deelen moeten 489 guldens.
Vraeghe, hoeveel elck hebben
sal.150
Figuur 3.24. Deling: 489:4 = 122¼.
Een staartdeling met de ‘staart’ naar beneden komt uitsluitend voor in het rekenboek van Wentsel:151
Andere maniere van
Italiansche divisie. Willende+
divideren 68547 door 123,+
doet aldus:
Zie figuur 3.25.
Figuur 3.25. Staartdeling.152
Na de delingen met ‘kale’ getallen komen ook in dit hoofdstuk de berekeningen met munten, maten en gewichten aan de orde. Het zijn berekeningen waarin kleinere eenheden omgerekend worden in grotere. Van der Schuere:
Om te maken van penningen
stuyvers, oft stuyvers tot+
guldens, divideert door soo
veel alsser penningen in
eenen stuyver oft alsser+
stuyvers in eenen gulden zijn.
Alsoo oock van alle andere+
ghelden, maten ende+
ghewichten.153
Hij berekent bijvoorbeeld hoeveel guldens er zijn in 394880 penningen.
394880:16 = 1234 guldens.154
Als er bij delen een rest overblijft, wordt die als breuk geschreven, dat wil zeggen de rest is de teller en het deeltal is de noemer.155 Van den Hoecke:
3726303 ghedeylt doer 4826
coemt den quocient 772 ende
rest 631. Dit stelt op hem
selven ende den divisor daer
onder ...772 631/4826.+156
Is er in de deling sprake van een geldbedrag, dan verloopt de behandeling van de rest anders. Van der Gucht behandelt het volgende vraagstuk:
Het zijn 5 persoonen, de
welcke hebben te deelen de
somme van 4395 ponden ende ⅗+
van een pont.157
4395⅗ ponden: 5 = 879 ponden rest ⅗
⅗ pond wordt omgerekend naar een kleiner muntsoort en dan alsnog door 5 gedeeld. ⅗ pond = 12 schellingen, 12:5 = 2 schellingen rest 2
De ongedeelde rest van 2 schellingen wordt omgerekend naar penningen:
2 schellingen = 24 penningen, 24:5 = 4 penningen rest 4
4 penningen = 96 miten, 96:5 = 19 miten rest 1
Kortom: 4395⅗ ponden: 5 = 879 ponden 2 schellingen 4 penningen 19⅕ miten
Wat betreft het taalgebruik bij delen schrijft Pijck:
De maniere van Spreken in
desen specie is eenighe van
desen: hoeveil, oft hoeveil+
reysen, hoe menich mael, hoe+
dickmael, hoe menichwerff,+
hoe dickwils hebbe ick, etc.158
Van Halle:
Alser in eenighe somme coempt+ ‘hoe dicwils’ oft ‘hoe
meenichmaele’ soe eest
divisie.+159
3.3 De proeven
Bij elke hoofdbewerking wordt uitgelegd hoe de berekening gecontroleerd kan worden. Dit gebeurt met de proeven. De oorsprong van de proeven ligt in het feit dat men aanvankelijk gewend was tijdens berekeningen de cijfers die voortkwamen uit de tussenstappen uit te wissen of door te strepen. Dat laatste komt ook
nog in verschillende rekenboeken voor.160 Narekenen van de berekening is dan vrijwel onmogelijk. Bij penningrekenen worden de penningen steeds verlegd zodat het ook daar onmogelijk is om na afloop de gemaakte berekening na te lopen op zoek naar eventueel gemaakte fouten. Een proef is dan de enige controlemogelijkheid.
In de meeste rekenboeken worden berekeningen gecontroleerd met de negenproef. Ook het uitvoeren van de inverse bewerking is gebruikelijk. Soms wordt de zevenproef161 gehanteerd. Een enkele keer wordt er gecontroleerd met de preuve bij 3.162 Bij het penningrekenen wordt alleen met de inverse bewerkingen gecontroleerd. De negen-, zeven- en drieproef kunnen niet worden uitgevoerd omdat bij het penningrekenen zelfs de begingetallen, termen en factoren, verdwenen zijn aan het eind van de berekening.
De negenproef bij de controle van een optelling is gebaseerd op de gelijkheid (a + b) mod 9 = (a mod 9 + b mod 9) mod 9. Van der Schuere beschrijft de methode als volgt:
Proeve: Werpt alle de negenen
uyt de getallen die
gheaddeert moeten wesen ende+
wat u overblijft stelt boven
een streepken ..., ende wat u+
over de neghenen blijft van
de uytcomende somme, onder
t'selve streepken. So dan+
onder ende boven t'streepken
eenerley figuere comt,+
t'betoont dat ghy recht
geaddeert hebt. Anders so ist+
qualijc.163
In figuur 3.26 staat een voorbeeld van een optelling met een controle door de negenproef uit het werk van Van der Schuere.164
Figuur 3.26. Optelling met ‘proef’.
Eerst worden de negens uit de termen weggeworpen: 5 + 7 + 8 rest 2, 4 + 0 + 2 rest 6, 3 + 9 + 6 rest 0. De gezamenlijke rest is 8. Deze 8 wordt rechts van de optelling
boven het streepje genoteerd. Dan worden de negens uit de som weggeworpen: 1 + 3 + 7 + 6 rest 8. Deze 8 wordt onder het streepje genoteerd. Zowel boven als onder het streepje staat 8 en daaruit blijkt dat de optelling waarschijnlijk correct is uitgevoerd.
In de meeste rekenboeken wordt niet uitgelegd hoe dat uytwerpen van alle de negenen, ofwel dat uitzoeken van wat u over de neghenen blijft, in zijn werk gaat. Slechts een enkele auteur maakt duidelijk dat de termen uit de optelling niet gewoon door 9 gedeeld worden, maar dat de losse cijfers van elke term worden opgeteld en dat 9 steeds wordt afgetrokken zodra dat mogelijk is.165
Van Varenbraken legt uit:
Nu trect alle die 9en uut die
miten van der proef sommen,+
die welcke compt 75 miten.
Die welcke cijffer letteren+
75 en sulstu maer rekenen elc
lettere in hem selven,+
segghende: ‘7 ende 5 compt
tsamen 12. Nu trecter af 9 zo
tester 3.’+166
Bij vermenigvuldigen is de controle van de negenproef gebaseerd op de gelijkheid: (ab) mod 9 = ((a mod 9)(b mod 9)) mod 9. Van der Schuere:
Proeve. Daer ghy mede+
ghemultipliceert hebt, stelt+
onder (int cruys) ende dat
ghemultipliceert is boven (de+
negenen uytghetelt).+
Multipliceert dat door
malcanderen. Wat daer over de+
9 uytcomt, stelt achter in.+
Wat in 't product over de
neghenen comt, stelt voor in.+
Comt dan voor ende achter een+
ghelijcke figuere te staen,+
soo hebdy recht
ghemultipliceert.+167
In figuur 3.27 staat een vermenigvuldiging uit het werk van Van der Schuere met rechts daarvan in het kruis een controle met de negenproef.168
Figuur 3.27. Vermenigvuldiging met ‘proef’.
Onderin het kruis: de vermenigvuldiger 7 rest 7. Boven in het kruis: het vermenigvuldigtal 2 + 9 + 6 + 8 + 4 + 7 + 5 rest 5. Rechts in het kruis: het product van wat boven en onder in het kruis staat 5 × 7 rest 8. Links in het kruis: het product van de vermenigvuldiging 2 + 0 + 7 + 7 + 9 + 3 + 2 + 5 rest 8. Zowel links als rechts in het kruis staat 8. De vermenigvuldiging is dus waarschijnlijk correct uitgevoerd.
Van Varenbraken controleert ook een deling met de negenproef. Dat wil zeggen, hij controleert eigenlijk de inverse berekening. Hij heeft berekend 301:20 = 15 rest 1 en hij controleert met de negenproef de berekening 20 × 15 + 1 = 301.169
De negenproef is niet waterdicht. Fouten die een veelvoud van 9 zijn, nullen te veel of te weinig en fouten in de volgorde van de cijfers worden er niet mee ontdekt. Sommige auteurs zijn zich dat bewust.170 Van der Gucht noteert:
Het mach oock wesen, dat u+
die prueve van 9 mach wel
wijsen, nochtans zout wel+
qualick ghewrocht zijn.+
Maer alst wel ghedaen es, zo
zalt u die prueve van 9
altijts wel ghewrocht wijzen.+171
Het controleren met behulp van de inverse bewerking is zekerder. Van der Gucht merkt op:
De warachtichste, zekerste
ofte natuerlicste prueve van+
additie es substractie, maer+
tes meerder moeyte.+172
Sommige andere auteurs verkiezen de negenproef boven de inverse bewerking omdat de eerste eenvoudiger zou zijn. Stockmans schrijft:
Daer sijn menigherley ende
diversche manieren van
preuven oft probatien, maer+
ghemerct wy niet den+
gheleerden en schrijven maer+
tot dienste der eenvuldighen,
slechten ende ongheleerden,+
mede der ghener die den
middel, tijdt oft+
gheleghentheyt niet en hebben
om ter scholen te ghaen, soo
willen wy de slechste, de+
lichtste ende de eenvuldichste+
probatie voor ons nemen, de+
welcke gheschiet met 9.173
Een andere reden om de negenproef te gebruiken ligt in het feit dat men een berekening nog niet kan controleren met de inverse bewerking zolang die inverse bewerking nog niet geleerd is. Bovendien wordt het controleren van een optelling door middel van de inverse bewerking aftrekken ingewikkeld, wanneer de optelling uit meer dan twee termen bestaat.
Van Halle behandelt voor elke bewerking drie verschillende controlemogelijkheden: de inverse bewerking, de zeven- en de negenproef.174 Van Varenbraken controleert de hoofdbewerkingen als volgt:175
| - | optellen met de negenproef; |
| - | aftrekken, halveren en verdubbelen met de inverse bewerking; |
| - | vermenigvuldigen en delen met beide methodes. |
Van der Schuere en Pijck controleren ook het worteltrekken.176 Pijck doet dat met de negenproef en de inverse bewerking:
Multipliceert den gevonden
wortel in hem selven. Tot het+
product addeert het overschot,
soo verre daer eenighe is.+
Ist dat daer deerste somme,
daermen die wortel aff gesocht
heeft, weder compt, soo ist
wel gewrocht anders niet.+177
Bij het rekenen met breuken komen minder regelmatig proeven voor dan bij de gehele getallen. Als er wordt gecontroleerd, gebeurt dat door middel van de inverse bewerkingen. Berekeningen die met de regel van drieën zijn uitgevoerd, worden gecontroleerd met de omgekeerde regel van drieën.178 Petri controleert geen enkele berekening.179
Opvallend is dat de auteurs die de zevenproef gebruiken dit doen voordat de bewerking ‘delen’ is uitgelegd, terwijl delen door 7 een belangrijke handeling in deze proef is. Van Halle is de enige auteur die zich dit blijkbaar realiseert. Hij begint de zevenproef met de tafel van 7, daarna volgen tabellen waarin de rest na deling door 7 is af te lezen. Zie figuur 3.28.180
3.4 Breuken
Van Halle begint met een rijmpje:
Breect uwe geheelen in+
stucken, tsy groot of cleyn.+
Die stucken heeten dan
gebroken, al int gemeyn.+181
Van Varenbraken introduceert het begrip ‘breuk’ als volgt:
Soe moety weten dat den
teller boven staen moet ende+
den noemer onder ende
tusschen beeden een strepe.+
Het opperste, den teller,+
telt hoe veel die broke es+
ende het onderste gheeft den+
naem.+182
De breukstreep was niet algemeen verplicht. In D-Man-1508 staat:
3.4.1 Basisvaardigheden
Voordat de leerling toe is aan het uitvoeren van de hoofdbewerkingen met breuken, moet hij eerst een aantal basisvaardigheden beheersen. Van der Schuere heeft die het overzichtelijkst en volledigst ondergebracht in de hoofdstukjes abbreviatio en reductio. In abbreviatio worden breuken vereenvoudigd:
Abbreviatio, vercortinghe,+
leert de rechte maniere om+
ghebroken ghetallen te+
vercorten ofte minderend.+185
Om een breuk te vereenvoudigen worden teller en noemer door hetzelfde getal gedeeld:
Wat is t'minste ghetal van+
3993/5324? Divideert den teller+
ende noemer elck door 1331
ende sal comen ¾.+186
Enkele auteurs behandelen bij het vereenvoudigen van breuken het delingsalgoritme van Euclides om de grootste gemeenschappelijke deler van teller en noemer te vinden.187 Zo gebruikt Van der Gucht het delingsalgoritme om de breuk 1573/1859 te vereenvoudigen:
Neemt den nominatuer oft
divisor onder ende gaet die+
deelen duer den numeratuer
boven. Als 1859 deelt duer+
1573 ende blijft reste+
onghedeelt 286. Hier mede
divideert 1573, den laetsten+
divisor, ende blijft oock+
reste 143. Hier mede+
divideert 286. Comt effen uut.+
Soo blijcket dat 143
expedient ... wesen sal om+
te minderen 1573/1859. Daeromme+
deelt beede die nommers ofte
ghetalen duer 143, comt 11/13.+
Twelck is also vele als 1573/1859.+188
Reductio is bij Van der Schuere de verzamelnaam voor vijf verschillende basishandelingen met breuken.189
Twee procedures zijn algemeen:
| - | het gelijknamig maken van ongelijknamige breuken; |
| - | het vaststellen welke van twee breuken de grootste is. |
Drie procedures hebben betrekking op het rekenen met munten, maten en gewichten:
| - | het herleiden van een hoeveelheid kleine munten, maten of gewichten tot een grotere munt-, maat- of gewichtseenheid; |
| - | het herleiden van een gedeelte van een munt, maat of gewicht tot een kleinere munt-, maat- of gewichtseenheid; |
| - | het berekenen van de waarde van een gehele munt of maat, of een geheel gewicht als de waarde van een gedeelte gegeven is. |
Bij het gelijknamig maken van twee of meer breuken wordt een gemeenschappelijk veelvoud van de noemers gezocht. Slechts zelden is dat het kleinste gemeenschappelijke veelvoud. Petri beschrijft het gelijknamig maken als volgt:
Omme te reduieren veel
diversche broocken onder
eenen noemer, als ½ ⅔ ¾ ⅝,+
soo multipliceert alle die+
noemers te saemen, ... coempt+
192 voor haeren gheneralen
noemer. Die selvighe 192+
divideert doer elcx synen
noemer ende multipliceert het
product met elcx synen teller,+
compt 96/192 128/192 144/192 120/192.+190
Slechts in een enkel rekenboek wordt getoond dat men soms ook een kleiner gemeenschappelijk veelvoud kan vinden.191 Pijck schrijft bijvoorbeeld:
Oft canmen een getal gevinden+
welcke door alle de noemers
effen uut gedivideirt can
worden sonder reste, dat+
selfde mach men oock houden
voir den gemeynen noemer...+
Als ic beghere te reduceren+
⅓, ¼, ⅙ en ⅛, soo neme ick+
24 voir den gemeynen noemer...+
ende compt 8/24, 6/24, 4/24 en 3/24.+192
Het kunnen bepalen welke van twee breuken de grootste is, heeft later voordelen bij de bewerking aftrekken. Daar moet steeds de kleinste breuk van de grootste worden afgetrokken om een negatieve uitkomst te voorkomen. Het is dus nodig
dat de leerling te weten kan komen welke breuk de grootste is. Petri behandelt het als volgt:
Omme te erkennen welcke+
broocke die grootste sy onder+
¾ ende, ⅘ multipliceert 3 met+
5, compt 15. Die settet boven+
3. Ende daerna multipliceert
4 met 4, coempt 16. Die+
settet boven 4. Soe siet ghy
opentlyck dat ⅘ grooter is.+193
Figuur 3.29. ⅘ is groter dan ¾.
Om te laten zien hoe men kleinere munten kan omrekenen in grotere, rekent Van der Schuere 16 stuivers om in ⅘ gulden:
Om cleene gelden, maten ende
ghewichten tot deelen van
haare groote te brenghen; als+
16 stuyvers, wat deel ist van+
een gulden? Stelt 16 stuyvers
als teller ende 20 stuyvers,+
de weerdije van een gulden,+
als noemer ende mindertse
tegen malcanderen. Soo comt+
16 stuyvers te wesen ⅘ gulden.194
Figuur 3.30. Zestien stuivers = ⅘ gulden.
De weg terug, een gedeelte van een grote eenheid omrekenen naar een kleinere eenheid, wordt door Van der Schuere genoemd:
Deelen van ghewichten, gelden+
ofte maten tot hare weerdij+
te brenghen.195
Stockmans geeft onder andere het volgende voorbeeld:
¾ van eenen gulden, hoe veel+
stuyvers maecken die?
Multipliceert de 3 ... met 20+
ende komt 60, want 20+
stuyvers maecken eenen gulden.+
Divideert 60 met 4 ... ende+
komt 15 ... ende alzoo veel
stuyvers zijn de ¾ guldens.196
Als een van de weinigen behandelt Van der Schuere ook nog:
Wetende de weerdije des deels,
te soecken de weerdije des
gheheels. Multipliceert de+
weerdije des deels met sijnen+
noemer ende divideret met+
sijnen teller ... Als 16
stuyvers is ⅘ gulden, hoe
veel stuyvers heeft den
gulden dan?+197
Van der Schuere berekent: 16 × 5/4 = 20 stuivers.
Hoewel Van der Schuere een groot aantal vaardigheden behandelt als voorbereiding op het rekenen met breuken, ontbreekt bij hem een onderwerp: het berekenen van een breuk van een breuk. Dat onderwerp komt bij de meeste van zijn collega's uitvoerig aan de orde.
Wildy weten wat ghebroken van
gebroken is, als ⅔ van ¾, ten+
eersten multipliceert die+
overste figueren met+
malcanderen. Dats 2 werf 3+
es 6. Ende die onderste oock
met malckanderen ende segt:+
‘3 werf 4 es 12’. Maect 6/12,+
dat is ½.198
Rekenkundig gezien is hier sprake van een vermenigvuldiging maar de meeste auteurs maken toch onderscheid tussen het berekenen van een breuk van een breuk en het vermenigvuldigen van breuken. Ze behandelen het als een apart onderwerp, voorafgaand aan de hoofdbewerkingen. Van der Gucht:
Om te reduceren een ghebroken+
van een ander ghebroken, so
moetmen de tellers met
elckanderen multipliceren+
ende t'product es uwen teller.
Voort zoo multipliceert de
nommers tsamen ende datter+
uut comt es uwen nommer.+199
Bij het berekenen van een breuk van een breuk doen veel auteurs een poging om enig rekenkundig begrip bij te brengen. Dat komt elders in de rekenboeken vrijwel niet voor. Slockmans:
Om te verstaen wat dat het is+
‘een gebroocken van een
ghebroocken’; het is alzoo+
veel als oft yemandt waer die+
hadde 4 kinderen (oft ooc min+
oft meer) ende hy hadde een
helft (oft oock min oft meer)
van een schip. Ende komende
te sterven, zoo laet hy elc+
kindt ¼ van sijn ½ van den
schepe, twelc alsdan is ¼ van
½ van den schepe. Ende komt ⅛
van den heelen schepe voor
elck kindt.200
Pijck vertelt een vergelijkbaar verhaal over een man die 5 kinderen heeft en ¼ huis. Bovendien schrijft hij:
Gebroken van gebroken en is
anders niet dan een ofte meer+
deelen van een ander gedeelte+
des geheels.201
Het nut van het begrip breuk van een breuk blijkt als er binnen een vraagstuk verschillende hoofdbewerkingen voorkomen. Geen van de auteurs bespreekt de volgorde waarin dan de hoofdbewerkingen uitgevoerd moeten worden. Nergens wordt expliciet meegedeeld dat vermenigvuldigen voor optellen en aftrekken gaat. Breuk van een breuk beschouwt men echter als één getal. Bij vraagstukken waarin naast vermenigvuldigen nog andere bewerkingen voorkomen, zijn er dankzij dit uitgangspunt geen problemen in de volgorde:
Alser ghebroeken der
ghebroeken coempt in eenighe
3.4.2 Breuken optellen en aftrekken
Bij het optellen en aftrekken van breuken behandelen de meeste auteurs eerst een voorbeeld met gelijknamige breuken. Gebruikelijk is om bij aftrekken de aftrekker na het aftrektal te noteren. Sommige auteurs doen het andersom.204 Bijvoorbeeld Petri:
⅔ van ¾ blijft 1/12.+205
Na de gelijknamige breuken volgen de ongelijknamige. Gebruikelijk is de methode van het kruiselings vermenigvuldigen. Stockmans legt het als volgt uit:
Om te adderen gebroken die
van onghelijcke noemers zijn,+
als ½ ende ⅔, zoo
multipliceert kruyswijs. Te+
weten: den eersten teller
metten tweeden noemer ende
den eersten noemer met den
tweeden teller. Aldus:
eenmaels 3 maecken 3 ende 2
maels 2 maecken 4. Addeert
nu de 3 ende de 4 tsamen ende+
komt 7. Daer naer
multipliceert beyde de
noemers tsamen, als 2 maels 3+
maecken 6. Dese 6 stelt onder
de 7 ende komt 7/6. D'welck een
gheheel ende ⅙ maeckt.+206
Veel auteurs onderscheiden bij de hoofdbewerkingen allerlei afzonderlijke situaties voor breuken, ‘breuken van breuken’ en gemengde getallen. Bij iedere situatie wordt een voorbeeld uitgewerkt. Stockmans onderscheidt bij optellen:207
| - | gemengd getal + breuk, 4⅚ + ¾ |
| - | gemengd getal + gemengd getal, 4 4/7 + 3⅗ |
| - | breuk van breuk + breuk, (¾ van ⅕) + ⅞ |
| - | breuk + breuk van breuk, (⅔ + ¼) van ½ |
| - | breuk van breuk + breuk van breuk, (⅔ van ¼) + (¾ van ⅓) |
| - | gemengd getal van gemengd getal + breuk, (3⅓ van 2¾) + ⅞ |
| - | gemengd getal van gemengd getal + gemengd getal, (3⅔ van 2½) + 4⅘ |
| - | gemengd getal van gemengd getal + gemengd getal van gemengd getal, (4½ van 3⅘) + (8¼ van 7¾) |
Ook Van den Hoecke, Van der Gucht en Pijck onderscheiden allerlei afzonderlijke situaties bij optellen en aftrekken, maar bij de bewerkingen vermenigvuldigen en delen behandelen ze al de situaties in één keer met een algemene regel.208
Slechts zelden wordt meer dan één oplosmanieren voor een vraagstuk behandeld. Uitzondering op de regel is Van den Hoecke die 2⅔ + ⅘ op twee manieren berekent:209
So reduceert 2⅔, coemt 8/3. Dit+
addeert tot ⅘. Doet als vooren+
cruyswijs, coemt 52/15... Deelt+
52 doer 15, coemt 37/15... Ghi
moecht ooc wel versamen sonder+
2⅔ te reduceren in sijn broke.+
Ghi moecht adderen te samen ⅔+
ende ⅘, facit 1 7/15. Dit+
addeert tot 2, coemt 3 7/15 als
vooren.210
3.4.3 Breuken halveren en verdubbelen
Het halveren en verdubbelen van breuken wordt alleen bij Van Varenbraken, Creszfelt en Pijck behandeld.211 Van Varenbraken:
Die wil leeren medieren+
eenich ghebroken ghetal, die+
moet dupliceren altijt den+
noemer sonder iet meer daer
toe te doene. Exemplum, wildy+
medieren ¼, zo dupliceert die+
4 ende maecter af 8.212
Pijck geeft aan dat een breuk ook gehalveerd kan worden door de teller door 2 te delen. Ook voor het verdubbelen van een breuk geeft hij verschillende mogelijkheden:
Om te doubleren ⅜, soo+
divideirt duer ½, compt 6/8.+
Oft anders: men mach den
telder dobbeleren sonder den+
noemer te veranderen, ofte
den noemer medieren, indient+
doenelycken is, sonder ter+
telder te veranderen.213