Wisconstighe gedachtenissen. Deel 1: van 't weereltschrift
(1608)–Simon Stevin–
AuteursrechtvrijNv de voorstellen.1 Vertooch. 1 Voorstel.Ghelyck des platten driehoucx rechtersijde totte slinckersijde, alsoo slinckerhoucxGa naar margenoot⋆ houckmaet, tot rechterhoucx houckmaet.
Want d'een der verleken houckmaten, is of van een scherphouck, rechthouck, of plomphouck, soo sullen wyder drie verscheyden voorbeelden af stellen. | ||||||||||||||||||||||||
1 Voorbeelt alvvaer beyde de verleken houckmaten van scherphoucken sijn.Tghegheven. Laet A B C een platte driehouck wesen, diens verleken houcken B, C, beyde scherp sijn, ende opt punt B alsGa naar margenoot* middelpunt, sy beschreven met B A alsGa naar margenoot* halfmiddellijn, den booch A D, diens houckmaet sy A E, | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 145]
| ||||||||||||||||||||||||
rechthouckich op C B: S'ghelijcx opt punt C als middelpunt, sy beschreven met C F even an A B als halfmiddellijn, den booch F G, diens houckmaet F H oock rechthouckich op C B is. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat gelijck de rechtersijde A B, totte slincker sijde A C, alsoo de slinckerhoucx houckmaet F H, totte rechterhoucx houckmaet A E. Tbewys Want inden driehouck A C E tweeGa naar margenoot* evewijdeghe sijn, als F H met A E, soo heeft A C sulcke reden tot A E, ghelijck F C tot F H. Maer A B is even an F C door t'ghegheven, Daerom Ghelijck A C tot A E, alsoo A B tot F H: Ende deurGa naar margenoot* overanderde reden, Ghelijck A B tot A C, alsoo F H tot A E. | ||||||||||||||||||||||||
2 Voorbeelt alvvaer d'een der verleken houckmaten van eenrechthouck is.Tghegheven. Laet A B C een platte driehouck sijn, diens houck Brecht is, ende opt punt B als middelpunt, sy beschreven met A B als halfmiddellijn, den booch A D, diens houckmaet sijn moet A B: S'ghelijcx opt punt C als middelpunt, sy beschreven met C E even an A B als halfmiddellijn, den booch E F, diens houckmaet E G. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen dat ghelijck de rechtersijde A B, totte slinckersijde A C, alsoo de slinckerhoucx houckmaet E G tot de rechterhoucx houckmaet A B, alwaer te bedencken staet, dat een selve A B, hier voor sijde ende houckmaet verstreckt. Tbewys. Want inden driehouck A B C tweeGa naar margenoot* evewijdeghe sijn, als E G met A B, soo seg ick Ghelijck A C tot A B, alsoo E C tot E G. Maer A B is even an E C door t'ghegheven, daerom Ghelijck A C tot A B, alsoo A B tot E G. Ende door verkeerdeGa naar margenoot* reden: Ghelijck A B tot A C, alsoo E G tot A B. | ||||||||||||||||||||||||
3 Voorbeelt alvvaer d'een der verleken houckmaten van een plomphouck is.Tghegheven. Laet A B C een platte driehouck wesen, diens houcken der verleken houckmaten sijn C, ende A B C, waer af den houck A B C plomp is, ende opt punt B alsGa naar margenoot* middelpunt, sy beschreven met A B alsGa naar margenoot* halfmiddellijn, den booch A D, diens houck maet si A E, rechthouckich opde voortghetrocken C B: S'ghelijcx opt punt C als middelpunt, sy beschreven met G F even an A B als halfmiddellijn, den booch F G, diens houckmaet F H oock rechthouckich op C B comt. Tbegheerde. Wy: moeten bewijsen dat ghelijck de rechtersijde A B, totte slinckersijde A C, alsoo de slinckerhoucx houckmaet F H, | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 146]
| ||||||||||||||||||||||||
totte rechterhoucx houckmaet A E. Tbereytsel. Laet gheteyckent worden A I op de voorghetrocken C B, alsoo dat den houck A I B, even sy an den houck A B I. Tbewys. Anghesien den houck A I B, even is an den houck A B I, soo moet de lijn A I, even sijn an A B: Maer A B is even an C F door t'ghegheven, daerom A I is even an C F, ende A E is oock houckmaet des houcx I: Daerom segh ick deur het 1 voorbeelt deses voorstels, dat Ghelijck de rechtersijde A I, des driehoucx A C I, Totte slinckersijde A C, Alsoo de slinckerhoucx houckmaet F H, Totte rechterhoucx houckmaet A E. Maer A B is even an A I, ende A E is oock houckmaet des houcx A B C vande driehouck A B C deur t'ghegheven, Daerom Ghelijck de rechtersijde A B, Totte slinckersijde A C, Alsoo de slinckerhoucx houckmaet F H, Totte rechterhoucx houckmaet A E. Tbeslvyt. Ghelijck dan des platten driehoucx rechtersijde totte slinckersijde, alsoo slinckerhoucx houckmaet tot rechterhoucx houckmaet, t'welck wy bewijsen moesten. | ||||||||||||||||||||||||
2 Vertooch. 2 Voorstel.Een driehouck drie onbekende sijden hebbende, en drie houcken bekent sijnde: Men can daer deur de drie onbekende sijden niet vinden.
Tghegheven. Laet A B C een driehouck wesen, diens drie sijden onbekent sijn, maer de drie houcken bekent. Tbegheerde. Wy moeten bewijsen datmen daer deur de drie onbekende sijden niet vinden en can. Tbereytsel. Laet ghetrocken worden eenigheGa naar margenoot* evewijdeghe lini met een der drie sijden, als DE evewijdeghe met A B.  Tbewys. De driehouck DEC is ghelijck metten driehouck A B C, waer deur de drie ghegheven ghetalen (alsser eenighe sijn) der drie houcken, soo wel dienen voor de driehoucken des driehoucx D E C, als voor de driehoucken des driehoucx A B C, ende voor oneindelicke ander driehoucken van sulcken ghedaente, waer uyt blijckt vande drie sijden gheen seker besluyt te connen ghegheven worden: Maer want deGa naar margenoot* reden der sijden 'de selve blijft, soo canmen alleenlick die reden vinden, als int volghende 7 voorstel. | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 147]
| ||||||||||||||||||||||||
Tbeslvyt. Een driehouck dan drie onbekende sijden hebbende, en drie houcken bekent sijnde, men can daer deur de drie onbekende sijden niet vinden, t'welck wy bewijsen moesten. | ||||||||||||||||||||||||
1 Werckstvck. 3 Voorstel.VVesende bekent des platten driehoucx tvvee houcken: Den derden houck te vinden.
De twee bekende palen sijn, int ghemeen gheseyt, van deser ghedaente.  Tghegheven. Laet A B C een platte driehouck sijn, diens houck B doet 50 tr. en̄ C 60 tr. Tbegheerde. Wy moeten den derden houck A vinden. | ||||||||||||||||||||||||
Twerck.Ick vergaer de gheheveu 50 tr. en 60 tr. maken 110 tr. die ghetrocken van 180 tr. blijft voor den begheerden houck A 70 tr. Tbewys. De driehoucken van yder driehouck sijn even an twee rechthoucken, Dacrom de twee houcken B, C, ghetrocken van twee rechthoucken, dats van 180 tr. de rest moet voor den derden houck A sijn. Merckt wyder dat deen ghegeven houck recht sijnde, datmen om cortheyts wil d'ander houck van 90 tr. mach trecken, de reste is voor den derden houck. Laet by voorbeelt d'een van 90 tr. wesen, d'ander van 30 tr. ick treck die van 90 tr. blijft voor den derden houck 60 tr. t'welck om bekende reden soo veel gheeft als vergarende 90 met 30, ende die ghetrocken van 180 tr. Tbeslvyt. Wesende dan bekent twee houcken des platten driehoucx, wy hebben den derden houck ghevonden, na den eysch. | ||||||||||||||||||||||||
2 Werckstvck. 4 Voorstel.VVesende bekent des platten driehoucx tvvee houcken, ende een sijde: Den derden houck met d'ander tvvee sijden te vinden.
De drie bekende palen vallen op dusdanighen driederley wijse.  | ||||||||||||||||||||||||
Merckt.De vinding der onbekende palen eens driehoucx, soo wel vanGa naar margenoot* clootsche als platte, can op veelderley wijse gheschien: Doch wy en sullen tot yder voor- | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 148]
| ||||||||||||||||||||||||
beelt maer een manier ghebruycken, ende daer toe die verkiesen, welcke ons doen wy dit beschreven de aldercortste ende bequaemste docht, niet dat wy verachten den nutten arbeyt der ghene die op een selve voorbeelt veel manieren stellen, wantmen daer deur siet hoe seltsaem t'menschelick verstant van over oude tijden in dese stof ghearbeyt heeft, Maer hebben hier me willen ons voornemen verclaren, t'welcke is dat wy trachten na corte claerheyt, bequaem totteGa naar margenoot* daet. Ende soo ymant daer benevens kennis dier verscheydenheden begheert, mach ander schrijvers deursien daer af handelende, ende sijn best doen om daer uyt noch corter en claerder manieren te versamen dan dese. Tis oock te weten dat wy inde volghende werckinghen, soo wel van clootsche als platte driehoucken, tot gheen kleender ghedeelten der boghen en commen, ten waer om eenighe besonder verclaerde reden, dan tot ①. Hier toe sullen wy vande halfmiddellijn die inde tafelen der houckmaten, raecklijnen, en snylijnen ghestelt is op 10000000, alleenlick ghebruycken 10000, achterlatende drie letters vande selfde halfmiddellijn, en oock van elck gheral der tafels, want meer letters nemende, daer soude moeylicker rekening uyt vallen sonder merckelicke meerder sekerheyt int besluyt, En min letters nemende t'soude wel lichticheyt gheven, doch onsekerheyt int besluyt veroirsaken. Maer want dit tot hier toe een voudelick gheseyt is sonder bewijs, soo sullen wy verclaring doen der reden. Vande menichte der letters diemen de halfmiddellijn behoort te gheven, int soucken der onbekende palen eens driehoucx. Om dan in alle ontmoetende voorbeelden de halfmiddellijn haer behoirlicke menichte der letters te gheven, het is te weten dat elck kleenste ghedeelte der halfmiddellijn, ten naesten by even behoort te sijn met elck kleenste ghedeelte des vierendeclronts, daermē sich voorstelt me te willen rekenen: Of soo t'voornaemste opsicht totte rechte linien streckte, dat alsdan elck kleenste gedeelte des vierendeelronts, ten naesten by even behoort te sijn met elck kleensle ghedeelte der halfmiddellijn, daermen sich voorstelt me te willen rekenen. Om t'welck by voorbeelt te verclaren, latet voornemen sijn met gheen kleender ghedeelten des vierendeelronts te rekenen dan met ①, ghelijck meest in ghemeene rekeninghen ghebeurt. De vraghe is wat ghetal of hoe veel letters datmen de halfmiddellijn gheven sal? Om dit te weten, ick sie hoe veel eersten het vierendeelronts begrijpt, wort bevonden 60 mael 90, dats 5400 ①, segh daer na 11 gheeft 7 (in sulckeGa naar margenoot⋆ reden is seer na de booch des vierendeelronts totte halfmiddellijn, na t'bewijs van Archimedes) wat 5400? Comt 3436, daerom de halfmiddellijn ghedeelt in 3436 even deelen, elck van dien sal seer na even sijn met elck deel des vierendeelronts in 5400 ghedeelt, Om nu voor de halfmiddellijn te nemen de letters die dit ghetal ten naesten en meerder sijn, de selve moeten openbaerlick wesen 10000: Sulcx dat dit een behoorlick ghetal der halfmiddellijn is, daermen tot in eersten des vierendeelronts me wercken mach. Maer soot voornemen waer tot op ② sekerheyt te willen hebben, de voortganck is alsboven. Doch wy sullen die met een beschrijven als volcht: Het vierendeelronts heest 324000 ②, hier me segh ick, 11 gheeft 7, wat 324000? Comt 206182, daerom in soo veel de halfmiddellijn ghedeelt, elck deel der selve, sal seer na even sijn met elck deel des vierendeelronts in 324000 ghedeelt: | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 149]
| ||||||||||||||||||||||||
Om nu voor de halfmiddellijn te nemen de letters die dit ghetal ten naesten en meerder sijn, de selve moeten openbaerlick wesen 10000000. Sulcx dat dit een behoorlick ghetal der halfmiddellijn is, daermen tot in ② des vierendeelronts me wercken mach. Laet ten derdemael het voornemen sijn tot op ③ sekerheyt te willen hebben, Ick bevinde het vierendeelronts te hebben 19440000 ③, hier me segh ick, 11 gheeft 7, wat 19440000? Comt 12370909, Daerom in soo veel de halfmiddellijn ghedeelt, elck der selve soude seer na even sijn met elck deel des vierendeelronts in 19440000 ghedeelt: Om nu voor de halfmiddellijn te nemen de letters die dit ghetal ten naesten en meerder sijn, de selve souden moeten openbaerlick wesen 100000000, maer t'grootste des tafels en is maer van 10000000, Doch men soude sich int wercken met derden daer me meughen behelpen, want hoe wel elck deel der halfmiddellijn bycans dobbel is an elck deel des vierendeelronts, soo is dat hier voor kleen verschil te achten. Maer om met dese tafels diens halfmiddellijn 10000000, in vierden te wercken; soude t'verschil te groot vallen om ghenouchsaem sekerheyt te hebben, want volghende de boveschreven reghel, men soude de halfmiddellijn van 1000000000 behouven. Deur t'verkeerde van t'ghene wy tot hier gheseyt hebben, is ghenouch te verstaen hoemen totte halfmiddellijn van ghedeelten met begheerde kleenheyt, nemen sal ghedeelten vanGa naar margenoot* trappen des vierendeelronts na t'behooren. Tot hier toe hebben wy vande saeck sonder bewijs ghesproken, Maer om by voorbeelt te verclaren de reden waer in sulcx bestaet, soo laet A B C D een platte rechthouck wesen, diens sijde A B ghemeten wort neem ick met roen, als kleenste maet, en bevonden van 12 roen, angaende een halfve roe of ⅓ diet meer of min mach sijn, daer en houdtmen hier af gheen rekening, ghemerckt der roe deur t'ghestelde de kleenste maet is diemender ghebruyckt? Maer de sijde A D wort, neem ick, veel nauwer ghemeten, als tot op duymen toe, daer af de 144 een roe maken, en bevonden 30 roen 1 duym, dats 30 1/144 roen, Nu volghende dit ghegheven, t'plat wort bevonden van 360 1/12 roen. Maer dat ghebroken van 1/144 achterlatende t'plat wort dan bevonden van 360 roen, welck besluyt van t'eerste alleenlick verschilt 1/12. Dit verstaen sijnde, ick segh onnodich te wesen datmen A D soo nau meet alsmen A B niet ghelijckelick oock soo nau en meet: want ghenomen A B ½ roe meer of min te doen dan 12 (t'welck bedecktelick sijn can om datmen daer af gheen rekening en houdt) soo sal t'plat dan sijn van 375 25/281, ofte 345 23/288, t'welck over de 15 meer of min is dan t'eerste besluyt, daerom wat helpet deur groote moeyelicke rekening 1/12 meer te vinden, daert bedecktelick wel over de 15 meer of min bedraecht? Hier uyt verstaetmen de reden waerom de kleenste deelinghen van d'een en d'ander sijde als A B en A D, ten naesten by behooren te overcommen: En vervolghens de reden waerom de kleenste ghedeelten des boochs en der halfmiddellijn, ten naesten by behooren evegroot te wesen, ghemerckt haer ghedeelten inde wercking met malcander ghemenichvuldicht worden als hier boven A B met A D. | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 150]
| ||||||||||||||||||||||||
1 Voorbeelt vanden 1 driehouck deser ghedaente. Tghegheven. Laet A B C een platte  driehouck sijn, diens houck C doet 36 tr. 52 ①, ende B 67 tr. 23 ①, en̄ de sijde A C 20. Tbegheerde. wy moeten den derden houck A, met d'ander twee sijden A B, B C vinden. | ||||||||||||||||||||||||
Twerck.
| ||||||||||||||||||||||||
Tbewys.De vinding des houcx A is deur t'werck openbaer ende der twee sijden A B, B C is opt eerste voorstel ghegront. | ||||||||||||||||||||||||
2 Voorbeelt vanden 2 driehouck deser ghedaente. Ick vinde den derden houck devr het 3 voorstel, ende heb dan een driehouck vande ghedaente des 1 voorbeelts, te weten met twee bekende houcken ende een bekende sijde teghenover een der bekende houcken, waer mede de begheerde onbekende palen ghevonden worden na de maniere des selfden 1 voorbeelts. | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 151]
| ||||||||||||||||||||||||
3 Voorbeelt vande 3 driehouck deser ghedaente.  Tghegheven. Laet A B C een platte driehouck sijn, diens houck B recht is, C van 53 tr. 8 ①, ende de sijde tusschen beyde B C 12. Tbegheerde. wy moeten den derden houck A, met d'ander twee sijden A B, A C vinden. | ||||||||||||||||||||||||
Twerck.
| ||||||||||||||||||||||||
Vervolgh.Soo een der rechthoucksijden, als neem ick B C, dede 10000, ghelijck in rekening des hemel-loops dickwils te vooren can commen: Tis kennelick dat A B en A C, ghevonden worden sonder eenighe groote rekening van menichvulding of deeling te moeten doen, wantGa naar margenootb7 raecklijn des houcx C, die inde tafelen ghevonden wort van 13335, is voor A B, enGa naar margenoot* snylijn des selven houcx doende 16668, is voor A C. | ||||||||||||||||||||||||
Merckt.Want ymant dencken mocht, waerom dese A B hier niet ghesocht en wiert deur de selve ghemeene reghel des 1 voorbeelts, soo sullen wy de reden verclaren: Welcke is datmen aldus deur eenGa naar margenoot* menichvulding t'begheerde crijcht, daermen anders beneven de menichvulding eenGa naar margenoot* deeling moet doen, t'welck teghen ons voornemen gheen cortste wech vercoren en waer. | ||||||||||||||||||||||||
Tbewys.Soomen C B neemt voorGa naar margenoot* halfmiddellijn des rondts doende 10000, ende | ||||||||||||||||||||||||
[pagina 152]
| ||||||||||||||||||||||||
A B voor haer raecklijn, sy sal (om dat haer houck C van 52 tr. 8 ① is) doen 13335: Daerom segghende C B 10000 die oock is rechthouckmaet, gheeft A B 13335, Wat C B 12? t'ghene daer uyt comt te weten 2/1000 moet voor A B, sijn in sulcke deelen alsser B C 12 doet. Tbeslvyt. Wesende dan bekent des platten drie houcx twee houcken, en̄ een sijde, wy hebben den derden houck met d'ander twee sijden ghevonden, na den eysch. | ||||||||||||||||||||||||
Merckt.Van drie onbekendeGa naar margenoot* palen des driehoucx een of twee ghevonden sijnde, men heefter dan vier of vijf bekent, sulcx dat de drie bekende daermen een onbekende me souckt, dan op verscheyden manieren meughen ghenomen worden, Doch wantmen dickwils indeGa naar margenoot* daet maer een pael en begheert, soo sullen wy over al soo wel in clootsche als platte driehoucken, de vinding van yder begheerde pael beschrijven, al ofter gheen ander dan de ghegheven drie bekent en waer, op datmen int navolghenden altijt een voorbeelt hebbe, hoemen yder begheerde pael vinden sal. | ||||||||||||||||||||||||
3 Werckstvck. 5 Voorstel.VVesende bekent des platten driehoucx een houck met tvve sijden een onbekenden houck begrijpende: De derde sijde met d'ander tvvee houcken te vinden.
De drie bekende palen sijn int ghemeen gheseyt van deser ghedaente.  | ||||||||||||||||||||||||
1 Merckt.De ghemeene reghel der wercking is dusdanich: Men stelt de onbekende sijde als grondt, ende t'sy datmen begheert de bovenhouck of derde sijde, men souckt eerst den rechterhouck of slinckerhouck dieder onbekent is, segghende (soo de rechterhouck onbekent waer) rechtersijde gheeft slinckersijde, wat slinckerhoucx houckmaet? t'ghene daer uyt comt is voor rechterhoucx houckmaet, diens booch des selven rechterhoucx grootheyt verclaert. Maer of t'ghetal der boveschreven houckmaet t'welckmen inde tafel vindt sijn moet voor een scherphouck, ofte voor haer halfrontvervulling t'welck is een plomphouck, dat is in sommighe voorbeelden ghewis, in sommighe onghewis: Sulcx dat onbekent wesende of de rechterhouck scherp of plomp is, soo sijnder twee besluyten. Maer om die driehoucken van ynckel of dobbel besluyt te onderkennen, soo sullen wy de volghende twee reghelen beschrijven. |
|