Wisconstighe gedachtenissen. Deel 1: van 't weereltschrift

[p. 119]

Eerste onderscheyt des tvveeden bovcx vande wisconstighe uytmiddelpunticheyts handel int gemeen.

Cortbegryp deses 1 Ondersheyts.

TIs te weten datmen deur eens Dwaelders drie plaetsen daer hy in sijn wech gheweest heeft, vinden can deur ghetalen de uytmiddelpunticheytlijn, met ander omstandighen daer toe noodich: Maer want de reghel daer af over alle Dwaelders ghemeen is, soo beschrijven wy hier van desen handel twee Voorstellen int ghemeen voor allen dienende, sulcx dat als wy tot soodanighe leering der Dwaelders commen, niet int langhe en bree en sullen verhalen de rekeninghen tottet werck behoorende na d'oude gebruyck, maer anwijsing doen tot dese Voorstellen, om deur soodanighe wijse ghewrocht te worden: Alsoo dergelijcke ghemeen is met meer ander Wisconstighe voorstellen diemen dickwils besighen moet. En hoewel Ptolemeus met sommighe ander sulcx inde beschrijving van verscheyden Dwaelders telckemael int langhe verhalen, doch heeft my ghedocht dat ick aldus corter en bequamelicker mijn voornemen verclaren sal, en dat oock sulcke oirden gherievigher totte daet en voor den leerlinck sal sijn. By de boveschreven twee Voorstellen, sullen noch vervought worden twee Vertooghen de stof der uytmiddelpunticheyt oock angaende, en daer uyt spruytende, t'een vande grootste^* voorofachtring, t'ander vande everedenheyt tusschen grijphoucken en verheden der Dwaelders.

* Prostaphaeresi.

[p. 120]

1 Bepaling.

Met stelling eens vasten Eertcloots vvort hier verstaen Son en Maen elck in een uytmiddelpuntich rondt te loopen, en d'ander vijf boven het uytmiddelpuntichront noch in een inront.

Hier me wort te kennen ghegeven dat soo dickwils wy in dit tweede bouck segghen sullen van wisconstighe wercking ghegront op stelling eens vasten Eertcloots, soo wortter by verstaen dat daer in niet vermengt en sullen sijn eenige ander verdochte roersels dan die de eenvoudighe stelling eens vasten Eertcloots mebrengt, en dat om de redene int voorgaende cortbegrijp beschreven.

2 Bepaling.

Den houck der tvvee sichtstralen die een vveereltlicht an beyde sijn uytersten gheraken, vvort^⋆ grijphouck ghenoemt.

⋆ Diameter visualis.

3 Bepaling.

Anvangtijt is op vvelcke men sich voorstelt de rekeninghen⁺ van der Dvvaelders loopen te vvillen beginnen.

Alsmen wil berekenen waer eenighe Dwaelders op een ghegheven tijt sijn sullen, of gheweest hebben, t'is oirboir haer plaets op eenighen sekeren tijt bekent te wesen, om van daer af voorwaert of achterwaert de rekening an te vanghen, die wy daerom anvangtijt heeten, waer toe men gemeenelick neemt een merckelicke tijt, welcke veel menschen of groote ghemeenten als anvang ghebruycken, ghelijck Ptolemeus die daer toe vercoos t'begin der jaren van Nabonassarus, de Christenen t'begin der Iaren van Christus, of t'einde van ettelicke honderden der selve, waer toe wy t'sijnder plaets voorbeeltsche wijse nemen sullen t'einde des jaers 1600.

+ Radix annorum. Aera. Apocha.

1 Voorstel.

Wesende ghegheven een uytmiddelpuntichront, en daer in drie punten, mette grootheyt der bogen daer tusschen: Voort de grootheyt der houcken veroirsaect deur drie linien ghetrocken van die drie punten tot het uytmiddelpuntichpunt, daer na een dier linien voortgetrocken en verlangt tot inden omtreck: Te vinden de reden der tvvee onverlangde linien.

[p. 121]

T'ghegheven. Laet A B C een uytmidpelpuntichront sijn diens middelpunt D, en daer in drie punten A, B, C, sulcx dat de booch A B sy van	120 tr. 15.
B C	90 tr. 41.
En C A als rontschil moet nootsakelick doen	149 tr. 4.
Voort sy E inde booch A B het verstepunt, F t'naestepunt, en G daer in het uytmiddelpuntichpunt, tottet welck getrockē sijn de drie linien A G, B G, C G, en de grootheyt der drie houcken daer deur veroirsaeckt is als volght: A G B	117 tr. 11.
B G C	90 tr. 37.
En C G A als rontschil moet nootsakelick doen	152 tr. 12.

Daer na sy een dier drie linien A G, B G, C G, voortghetrocken tot inden omtreck, ick neem A G tot H, sulcx dat G H t'verlangsel is, A G de verlangde. T'begheerde. Wy moeten vinden de reden der twee onverlangde B G, C G.

Twerck.

Om tottet begheerde te commen, soo moet ick eerst vinden de twee redens van t'verlangsel G H tot elck der onverlangde B G, C G: Latet eerst sijn de reden des verlangsels G H tot d'onverlangde B G, tot welckē einde ick aldus segh:

Den helft van 120 tr. 15 ① des boochs A B tusschen de verlangde A G en d'onverlangde B G daer de redē nu af gesocht wort, doet	60 tr. 7.
Diens houckmaet voor de onverlangde B G	8670.
Ghetrocken 60 tr. 7 ① eerste in d'oirden, vanden houck A G B 117 tr. 11 ① tusschen de verlangde A G en d'onverlangde B G, blijft	57 tr. 4.
Diens houckmaet voor t'verlangsel G H	8393.
Sulcx dat d'eerste reden van d'onverlangde B G, tottet verlangsel G H, is als van 8670 tweede in d'oirden, tot 8393 vierde in d'oirden, en deur verkeerde reden ghelijck G H tot B G, alsoo 8393 tot 8670. Nu even ghelijck d'eerste reden ghevonden is, alsoo vintmen oock de tweede van G H tot C G: Doch wy sullen meerder claerheytshalven de wercking die hier na dickwils ge-

[p. 122]

volght moet worden int langhe beschrijven. Ick segh dan aldus: Den helft van 149 tr. 4 ① des boochs C A tusschen de verlangde A G en d'onverlangde C G daer de reden af ghesocht wort, doet	74 tr. 32.
Diens houckmaet voor d'onverlangde C G.	9638.
Ghetrocken 74 tr. 32 ① vijfde in d'oirden, vanden houck A G C 152 tr. 12 ① tusschen de verlangde A G en d'onverlangde C G, blijft	77 tr. 40.
Diens houckmaet voor t'verlangsel G H	9769.
Sulcx dat de tweede redē van d'onverlangde C G, tottet verlangsel G H is als van 9638 seste in d'oirden, tot 9769 achtste in d'oirden, en deur verkeerde reden ghelijck G H tot C G, also 9769 tot 9638. Nu dan dit verlangsel G H in sulcken reden sijnde tot d'onverlangde B G, als 8393 vierde in d'oirden, tot 8670 tweede in d'oirden, en in sulcken reden tot d'onverlangde C G als 9769 achtste in d'oirden, tot 9638 seste in d'oirden, en om hier me te vinden de begheerde reden van d'onverlangde B G tot d'onverlangde C G ick segh aldus: Wesende t'verlangsel G H ghestelt op 8393 vierde in d'oirden, soo doet d'onverlangde B G 8670 tweede in d'oirden, wat sal B G doen wesende G H ghestelt op 9769 achtste in d'oirden? Comt voor de selve B G	10091.
En dat in sulcke deelen alsser C G doet 9638 seste in d'oirden: Inder voughen dat de begeerde reden der twee onverlangde B G, C G, is van 10091 tot 9638.

T'bereytsel. Laet ghetrocken worden de twee rechte linien A B, H B. T'bewys. Den houck B H A, is even anden helft des houcx diens booch of grootheyt A B 120 tr. 15 ① deur het 20 voorstel des 3 boucx vā Euclides, daerom dē houc B H A, dats oock B H G doet 60 tr. 7 ① eerste in d'oirdē: Die ghetrocken vanden houck A G B 117 tr. 11 ① deur t'ghegheven, blijft den houck H B G 57 tr. 4 ① deur het 32 voorstel des 1 boucx van Euclides. Sulcx dat de driehouck H B G twee bekende houcken heeft, B H G 60 tr. 7 ①, en H B G 57 tr. 4 ①, wiens houck maten 8670 en 8393 inde reden sijn van haer teghenoversijden B G, H G, deur het 1 voorstel der platte driehoucken. En sghelijcx sal oock t'bewijs sijn vande tweede reden. Voort segh ick, sulcke deelen alsser G H doet 9769, sulcke doetter B G 10091 deur het 9 des oirdens: En sulcke doetter C G 9638 deur het 8 en 6 des oirdens: Daerom B G is tot C G, als 10091 tot 9638. T'beslvyt. Wesende dan ghegheven een uytmiddelpuntichront, en daer in drie punten &c.

2 Voorstel.

Wesende ghegheven een uytmiddelpuntichront, en inden omtreck drie punten, mette grootheyt der bogen daer tusschen begrepen: Voort verclaert sijnde in vvelcke dier drie boghen t'verstepunt is, daer na getrocken drie linien vant uytmiddel puntichpunt totten omtreck, en ghegeven sijnde de grootheyt der drie houcken daer tus-

[p. 123]

schen begrepen: Te vinden ten eersten de uytmiddelpunticheytlijn in sulcke deelen alsser de halfmiddellijn 10000 doet: Ten tvveeden de schijnbaer verheyt van een dier drie punten tottet verstepunt, ghesien uyt het middelpuntichpunt: Ten derden de booch vant verstepunt, tot een der drie ghegheven.

Want onder de drie ghegheven boghen en drie houcken, eenighe connen sijn van 180 tr. en oock 90 tr. of niet, soo vallender verscheyden werckinghen d'een corter als d'ander, daer af ick vier voorbeelden sal beschrijven. Merckt noch dat hoewel twee houcklinien gheopent tot op 180 tr. alsdan eyghentlick gheen houck en maken, maer in een rechte lini commen te legghen, nochtans om lichticheyt der leerings wille, soo sullense in dit voorstel int ghemeen als d'ander, houcken ghenoemt worden.

1 Voorbeelt met drie ghegheven boghen en drie houcken, sonder een van 180 tr. of 90 tr.

T'ghegheven. Laet A B C een uytmiddelpuntichront sijn diens middelpunt D, en daer in drie punten A, B, C, sulcx dat de booch A B sy van	120 tr. 15.
B C	90 tr. 41.
En C A als rontschil moet nootsakelick doen	149 tr. 4.
Voort sy E inde booch A B het verstepunt, F t'naestepunt, en G daer in het uytmiddelpuntichpunt, tottet welck getrocken sijn de drie linien A G, B G, C G, en de grootheyt der drie houcken daer deur veroirsaeckt is als volght: A G B	117 tr. 11.
B G C	90 tr. 37.
En C G A als rontschil moet nootsakelick doen	152 tr. 12.

T'begheerde. Wy moeten vinden ten eersten de uytmiddelpunticheytlijn



D G in sulcke deelen alsser de halfmiddelijn B D 10000 doet. Ten tweeden de schijnbaer verheyt van een der drie punten A, B, C, latet sijn B, tottet verstepunt E, gesien van het uytmiddelpuntichpunt G, dat is den houck E G B. Ten derden de booch van t'verstepunt E, tot eē der drie punten A B C, latet sijn tot B.

T'bereytsel. Ick verlang eē der drie linien A G, B G, C G, latet sijn A G tot inden omtreck an H, sulcx dat G H t'verlangsel is, A G de verlangde, en B G, C G, de twee onverlangde, daer na trec ick de rechte B C tusschen de uytersten der twee onverlangde.

[p. 124]

T'werck.
Ick souck de reden der twee onverlangde B G, C G, en vinde deur het 1 voorstel dat doende B G	10091.
Soo doet C G	9638.
De driehouck B G C heeft drie bekende palen, te wetē den houck B G C 90 tr. 37 ① deur t'ghegeven, B G 10091 eerste in d'oirden, en C G 9638 tweede in d'oirden: Hier me ghesocht de sijde B C, en den houck C B G, worden gevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken, te weten de sijde B C	14027.
En den houck C B G	43. tr. 23.
Van altijt 180 tr. (om dat soo veel t'samen doen de drie houcken des driehoucx B D C) ghetrocken den houck B D C, doende deur t'ghegheven 90 tr. 41 ①, blijft voor de twee houcken D B C, D C B, 89 tr. 19 ①: Den helft van dien maeckt voor den houck C B D	44 tr. 39.
T'verschil tusschen de selve C B D 44 tr. 39 ①, en C B G 43 tr. 23 ① vierde in d'oirden, is voor den houck D B G	1 tr. 16.
De rechte B C 14027 derde in d'oirden, gheeft B G 10091 eerste in d'oirden, wat sal de selve B C gheven wanneermense stelt te doen t'getal der peez des boochs B C 90 tr. 41 ①, doende t'selve ghetal deur het 13 voorstel des houckmaetmaecksels 14224? Comt voor B G	10233.
En alsdan doet de halfmiddellijn B D	10000.
De driehouck D B G heeft drie bekende palen, te wetē den houck D B G 1 tr. 16 ① seste in d'oirden, B G 10233 sevende in d'oirden, B D 10000 achtste in d'oirden. Hier me ghesocht d'ander drie onbekende palen, worden bevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken, te weten de sijde D G wesende de begheerde uytmiddelpunticheytlijn van	323.
Den houck D G B, dat oock is den houck E G B voor begheerde schijnbaer verheyt van B tottet verstepunt E	43 tr. 14.
En den houck B D G	135 tr. 30.
Die ghetrocken van 180 tr. blijft den houck E D B, of begheerde booch van t'verstepunt E tot B	44 tr. 30.

1 Merck.

Anghesien het vry staet de letter A soo wel inde volgende voorbeelden deses voorstels als int voorgaende, te stellen an sulcken punt der drie alsmen wil, soo acht ickt oirboir en lichticheyt te sullen veroirsaken, datmen int navolgen deses voorstels de twee letters A en B altijt an sulcke twee punten der drie vervought, dattet verstepunt E daer tusschen comme, voort dat de begeerde booch van t'verstepunt E tot een der drie, altijt ghenomen worde met sulcke letters alsse in elck voorbeelt staen, oock dat achter A na t'vervolgh der trappen altijt B eerst comme, daer na C, om alsoo int werck van alle voorbeelden selve letters van een selve beteyckening te hebben, en somwijlen gheen vergaring te moeten doen daer t'navolghelick voorbeelt aftrecking inhoudt, noch aftrecking in plaets van vergaring.

[p. 125]

2 Merck.

Ymant in dese stof ervaren, mocht dencken waerom hier int ghegeven verclaert moest worden in welcke der drie boghen t'verstepunt is, ghemerckt by anderen sulcx ghemeenelick ghevonden wort deur der Dwaelders vertragende of versnellende traghe of snelle loop, diemen in haer drie ghegheven plaetsen merckt: Hier op antwoorde ick dat anghesien sulcx deur voorgaende ervaringhen moet geweten worden, diemen deur ervarings dachtafels crijcht, daer int 4 voorstel des 1 boucx eyghentlick af gheschreven is, soo houden wy dit daer deur voor bekent.

2 Voorbeelt met drieghegheven boghen sonder een van 180 tr. en drie houcken onder vvelcke een is van 180 tr. en gheen van d'ander tvvee 90 tr. doende.

De cortheyt in dit tweede voorbeelt volght daer uyt, datmender niet en behouft te soucken de reden der twee onverlangde linien als int eerste voorbeelt.

T'ghegheven. Laet A B C een uytmiddelpuntich rondt sijn diens middelpunt D, en daer in drie punten A, B, C, sulcx dat de booch A B sy van	120 tr. 15.
B C	63 tr. 22.
En C A als rontschil moet nootsakelick doen	176 tr. 25.
Voort sy E inde booch A B het verstepunt, F t'naestepunt, en G daer in het uytmiddelpuntichpunt, tottet welck getrocken sijn de drie linien A G, B G, C G, en de grootheyt der drie houcken daer deur veroirsaeckt sijn als volght: A G B	117 tr. 11.
B G C	62 tr. 49.
En C G A als rontschil moet nootsakelick doen	180 tr.

T'begeerde. Wy moeten ten eersten vinden de uytmiddelpunticheytlijn D G, in sulcke deelen alsser de halfmiddellijn 10000 doet. Ten tweeden de schijnbaer verheyt van een der drie puntē A, B, C, latet sijn C tottet verstepunt E, gesien uyt het uytmiddelpuntichpunt G, dat is dē houck E G C. Ten derden de booch van t'verstepunt E, tot een der drie punten A, B, C, latet sijn tot C.

T'bereytsel. Laet getrocken worden de drie rechte linien A B, B C, A C, welcke A C vallen moet deur G, omdat den houck C G A 180 tr. doet deur het ghegheven.

[p. 126]

T'werck.
Anghesien de booch A B of houck A D B doet deur t'ghegheven 120 tr. 15 ①, soo is den helft van dien voor den houck A C B, dats oock G C B	60 tr. 7.
De driehouck G C B heeft drie bekende palen, te wetē den houck G C B 60 tr. 7 ① eerste in d'oirden, B G C 62 tr. 49 ① deur t'ghegheven: En de sijde B C 10504, als peez des boochs B C doende deur t'ghegheven 63 tr. 22 ①. Hier me ghesocht de sijde C G, wort bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken van	9911.
De booch C A ofhouck C D A doende deur t'ghegheven 176 tr. 23 ①, ghetrocken van 180 tr. der drie houcken des driehoucx C D A, blijft voor de twee houckē D C A, D A C 3 tr. 37 ①, diens helft voor den houck D C A, dats oock D C G	1 tr. 48.
De driehouck D C G heeft drie bekende palen, te weten de sijde C G 9911 tweede in d'oirden, C D 10000, en dē houck D C G 1 tr. 48 ① derde in d'oirden. Hier me ghesocht de drie onbekende palen, worden bevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken te weten D G als begeerde uytmiddelpunticheytlijn	325,
En den houck D G C, t'welck oock is den begeerdē houck E G C	104 tr. 59.
En den houck C D G 73 tr. 13 ①, die getrocken van 180 tr. blijft den houck E D C, dats oock den begheerden booch E C	106 tr. 47.

3 Voorbeelt met drie gegeven boghen sonder een van 180 tr. en drie houckē onder vvelcke een is van 180 tr. en tvvee elck vā 90 tr.

Dit derde voorbeelt can op de wijse vant tweede ghewrocht worden: Maer om dat na Ptolemeus wijse wat corter te doen (doch wat onsekerder, ghelijck t'sijnder plaets gheseyt sal worden) soo beschrijfickt hier als volght.

T'ghegheven. Laet A B C een nytmidelpuntich rondt sijn diens middelpunt D, en daer in drie punten A, B, C, sulcx dat

[p. 127]

de booch A B sy van	92 tr. 18.
B C	91 tr. 17.
En C A als rontschil moet nootsakelick doen	176 tr. 25.
Voort sy E inde booch A B het verstepunt, F t'naestepunt, en G daer in het uytmiddelpuntichpunt, tottet welcke ghetrocken sijn de drie linien A G, B G, C G, en de grootheyt der drie houcken daer deur veroirsaeckt sijn als volght: A G B	90 tr.
B G C	90 tr.
En C G A als rontschil moet nootsakelick doen	180 tr.

T'begheerde. Wy moeten vindē ten eersten de uytmiddelpunticheytlijn D G, in sulcke deelen alsser de halfmiddellijn B D 10000 doet. Ten tweeden de schijnbaer verheyt van een der drie punten A, B, C, latet sijn B, tottet verstepunt E, gesien uyt het uytmiddelpuntichpunt G, dat is dē houck E G B. Ten derden de booch vant verstepunt E, tot een der drie punten A, B, C, latet sijn tot B.

T'bereytsel. Laet ghetrocken worden de rechte linien A C, B G, en H I deur D, evewijdich met A C, en sniende B G in K, daer na L D evewijdeghe met B G.

t'Werck.
Ghetrocken de booch C A doende deur t'gegeven 176 tr. 25 ①, vant halfront I F H 180 tr. blijft voor de twee boghen H A, I C, 3 tr. 35 ①, diens helft voor I C	1 tr. 48.
Wiens houckmaet, t'welck oock is voor K G	314.
Van A B, doende deur t'ghegheven 92 tr. 18 ①, ghetrocken A H 1 tr. 48 ① eerste in d'oirden, met H L 90 tr. blijft voor L B	0 tr. 30.
Wiens houckmaet voor K D	87.
De driehouck K D G heest drie bekende palen, te weten de sijde K G 314 tweede in d'oirden, de sijde K D 87 vierde in d'oirden, en den houck G K D recht. Hier me ghesocht de sijde D G, en den houck D G K, worden bevonden deur het 6 voorstel der platte driehoucken, te weten de begheerde uytmiddelpunticheytlijn D G (in sulcke deelen alsser de halfmiddellijn D B 10000 doet, uyt oirsaeck dat K G 314 en K D 87 oock sulcke deelen sijn)	326.
En den houck D G K, t'welck oock is den houck E G B, als begheerde schijnbaer verheyt van E tot B.	15 tr. 29.
Den houck E D L even sijnde met D G K, soo doet den selven houck E D L of booch E L ghelijck D G K oock 15 tr. 29 ①. Waer toe vergaert L B 30 ① derde in d'oirden, comt voor de begheerde booch E B	15 tr. 59.

Merckt.

De meerder sekerheyt daer vooren af gheseyt is te wesen inde wercking na de wijse des 2 voorbeelts, dan na de wijse van dit derde, volght uyt oirsaeck dat de uytmiddelpunticheytlijn D G hier deur cleender ghetalen ghevonden wort dan daer, om dat dese twee sijdē K G 314 en K D 87 des driehoucx K D G, corter sijn dan die twee sijden C D 10000 en C G 9911 des driehoucx C D G.

[p. 128]

4 Voorbeelt met drie boghen onder uvelcke een is van 180 tr. en drie houcken hebbende een van dien 180 tr.

T'ghegheven. Laet A B C een uytmiddelpuntichront sijn, diens middelpunt D, en daer in drie punten A, B, C, sulcx dat de booch A B sy van	43 tr. 49.
B C	136 tr. 11.
En C A als rontschil moet nootsakelick doen	180 tr.
Voort want ick sie dat den houck van d'eerste plaets totte derde doen sal 180 tr. en daer uyt merck ick A t'verstepunt te moeten wesen, en C t'naestepunt deur het 4 voorstel des 1 boucx deses Hemelloops, soo treck ick de lini A C, stel daer in tusschē D C t'punt E als uytmiddelpuntichpunt, vant welck getrocken is de lini E B, en de grootheyt der drie houckē sijn als volght: A E B	42 tr. 35.
B E C	137 tr. 25.
En C E A als rontschil moet nootsakelick doen	180 tr.

T'begheerde. Anghesien de begheerde schijnbaer verheyt, dats den houck A E B 42 tr. 35 ① vierde in d'oirden, en de booch vant verstepunt A, tot een der drie als B 43 tr. 49 ① vierde in d'oirden, bekent sijn deur t'ghegheven, soo en behouftmense niet te soucken, maer alleenelick de uytmiddelpunticheytlijn D E.

t'Werck.

Den driehouck D B E heeft drie bekende palē, te weten dē houck B D E 136 tr. 11 ① tweede in d'oirden, D E B 42 tr. 35 ① vierde in d'oirden, en de sijde B D 10000. Hier me ghesocht de sijde D E, wort bevonden deur het 4 voorstel der platte driehoucken voor begheerde uytmiddelpunticheytlijn.

318.

T'beslvyt. Wesende dan ghegheven een uytmiddelpuntichront, en inden omtreck drie punten &c.

[p. 129]

3 Voorstel.

Wesende ghegheven de vvechlangde eens Dvvaelders of punts, mette reden der uytmiddelpunticheytlijn totte vvechs halfmiddellijn: Te vinden de lini tusschen den Dvvaelder of punt, en des Eertcloots middelpunt, in sulcke deelē alsser des vvechs halfmiddellijn 10000 doet, daer na des Dvvaelders of punts voorofachtring, deur vvisconstighe vvercking ghegront op stelling eens vasten Eertcloots.

In dit voorstel wort gheseyt wechlangde eens Dwaelders of punts, de oirsaeck is, op dattet ghemeen soude wesen soo wel over Dwaelders in weghen loopende, ghelijck Son en Maen, als middelpunten der inronden van d'ander Dwaelders, die oock in haer weghen gaen.

Tghegheven. Laet A B C den wech sijn diens middelpunt D, en E het uytmiddelpuntichpunt, of den Eertcloot, A t'verstepunt, C t'naestepunt, B den Dwaelder of een punt sulcx dat sijn wechlangde A B doet 30 tr. en de reden der uytmiddelpunticheytlijn D E, totte halfmiddellijn D B, sy als van 323 tot 10000, en den houck D B E is de voorofachtring, welcke hier int eerste halfrondt sijnde achtring moet wesen.

T'begeerde. Wy moeten vinden de lini E B, mette achtring D B E.

Twerck.

De driehouck D B E heeft drie bekende palen, te weten D E 323, D B 10000 deur t'ghegheven, en den houck D B E 150 tr. want ghetrocken de ghegheven houck A D B 30 tr. van 180 tr. blijft alsboven voor B D E 150 tr. Hier me ghesocht de sijde E B, en den houck D B E, worden bevonden deur het 6 voorstel der platte drie houcken te weten de begheerde lini E B van	10281.
En den begheerden houck der achtring D B E van	54 ①.

Waer af t'bewijs deur t'werck openbaer is. T'beslvyt. Wesende dan gegheven de wechlangde &c.

[p. 130]

Vertooch. 4 Voorstel.

Des uytmiddelpuntichronts grootste voorofachtring, is ten einde der lini die vant uytmiddelpuntich punt op de uytmiddelpunticheytlijn rechthouckich comt.

Tgegeven. Laet A B C D E een uytmiddelpuntichront sijn diens middelpunt F, en t' punt daer buytē G, en F G de uytmiddelpunticheytlijn, waer op G C rechthouckich comt. T'begeerde. Wy moetē bewijsen dat de grootste voorofachtring dieder int ront geschien can is an C, ten einde der lini G C. T'bereytsel. Laet F G an beydē sijdē voortgetrockē wordē tot indē omtreck, vallende neem ick in A ant verstepunt, en in E ant naestepunt, daer na F B, F C, F D, G B, G D, en F H rechthouckich op B G, oock F I rechthouckich op de voortgetrock en D G. En om hier me t'begeerde noch breeder te verclaren, ick segh den houck G C F grooter te sijn dan G B F, of G D F, of eenighe soodanige ander. T'bewys. F B, F C, F D sijn alle drie evegroote^* schoensche



der drie recht houckighe driehoucken F B H, F C G, F D I, daerom de grootste rechthoucksijde der drie F H, F G, F I, is tegenoversijde vandē grootstē houck der selve drie driehoucken: Maer F G is de grootste, so wy terstont verclaren sullē, daerom haer teghenoverhouck F C G is dē grootsten. Maer dat F G grooter is dā F H, of F I, blijckt daer an dat F G schoēsche is des rechthouckighen driehoucx F H G, daer F H rechthoucksijde af sijnde cleender is dan F G: Sghelijcx is F G schoensche des rechthouckigē driehoucx F G I, daer af F I rechthoucksijde wesende cleender is dan F G. T'beslvyt. Des uytmiddelpuntichronts grootste voorofachtring dan, is ten einde der lini die vant uytmiddelpuntichpunt op de uytmiddelpunticheytlijn rechthouckich comt, t'welck wy bewijsen moesten.

* Hypothenusae.

Vervolgh.

Anghesien den houck F C G drie bekende palen heeft, te weten den houck F G C recht, F C als halfmiddellijn 10000, en F G 323 deur het 2 voorbeelt

[p. 131]

des 2 voorstels, waer mede den houck F C G bevonden wort van 2 tr. 23 ① deur het 5 voorstel der platte driehoucken, soo ist openbaer de grootste voorofachtring te wesen vande selve 2 tr. 23 ①.

Vertooch. 5 Voorstel.

Wesende een Dvvaelder ghesien uyt den Eertcloot op verscheen verheden: Ghelijck sijn cleender grijphouck gesien uyt sijn langer verheyt, tot sijn grooter grijphouck ghesien uyt sijn corter verheyt: Alsoo na ghenouch die corter verheyt totte langher.

T'gegeven. Let A B C D E F eē Dwaelderwech sijn diens middelpunt G, den Eertcloot H, en deur G H sy getrocken de middellijn B G H E, soo dat B t'verstepunt is, E t'naestepunt: Voort sy op B als middelpunt beschrevē het ront A C beteyckenende een Dwaelder, ick neem de Maen ant verstepunt, daer na getrocken A H, en C H, soo is de Manens grijphouck A H C daer dadelick bevonden, neem ick, van 30 ①: Sghelijcx is tot eenighe ander plaets ick neem op E als middelpunt, beschreven het rondt D F even an A C, beteyckenende de Maen tot die naerder plaets: Daer na ghetrocken F H, en D H, soo is de grijphouck



F H D daer dadelick bevondē neem ick vā 32 ①, en H B is de Manens langher verheyt, H E de corter.

T'begheerde. Wy moeten bewijsen dat gelijck des Dwaelders cleēder grijphouck A H C 30 ①, gesien uyt de langher verheyt H B, totten grooter grijphouck F H D 32 ①, ghesien uyt de corter verheyt H E; Alsoo na ghenouch die corter verheyt H E, totte langher H B.

T'bewys. Soomen ansiet de cleynheyt des boochs A C van bycans 30 ①, sy mach sonder hinderlicke dwaling voor rechte lini genomen worden, en daerom oock A B H voor een rechthouckich driehouck recht an B. Dit soo sijnde, en anghesien A H C doet 30 ① deur t'ghegheven, soo sal A H B doen den helft van dien dats 15 ①, daerom heeft den driehouck A B H twee bekende houcken, waer me ghesocht den derden B A H,

wort bevonden deur het 3 voorstel der platte driehoucken van	89 tr. 45.
Nu nemende des driehoucx A B H sijde A H voor gront, ick segh deur het 1 voorstel der platte driehoucken, dat gelijck rechterhoucx A H B, houcmaet 43632 tot slijnckerhoucx B A H 89 tr.

[p. 132]

45 ① houckmaet 9999905 (ick ghebruyck hier om bekende reden al de letters der tafels) alsoo de slijnckersijde A B totte rechtersijde B H: Sulcx dat A B is tot B H inde reden van	43632.
Tot	9999905.
En doende derghelijcke metten driehouck F H E, diens houck F H E 16 ①, men sal E F bevinden tot H E inde reden van	46541.
Tot	9999892.
Ick segh nu voort wesende A B ghestelt op 43632 tweede in d'oirden, soo doet B H 9999905 derde in d'oirden, wat sal B H doen wesende A B ghestelt op 46541 vierde in d'oirden? comt alsdan voor H B	10666611.

En dat in sulcke deelen alsser E H doet 9999892 vijfde in d'oirden. Dit soo sijnde, ick segh dat gelijck 30 ① tot 32 ①, also na genouch 9999892 tot 10666611 seste in d'oirden, want segghende 30 ① gheven 32 ①, wat 9999892? comt 10666558. Welck seer na is, overmidts de twee laetste letters van elck verlaten wesende, soo sijn 30 ① in sulcken reden tot 32 ①, als 99999 tot 106666, en dat in heel ghetal ten naesten gheen eenheyt verschillende.

En deur t'bewijs hier ghedaen mette Maen, canmen derghelijcke versoucken en verstaen van d'ander Dwaelders. T'beslvyt. Wesende dan gesien een Dwaelder uyt den eertcloot op verscheen verheden: Ghelijck sijn cleender grijphouck ghesien uyt sijn langher verheyt, tot sijn grooter grijphouck ghesien uyt sijn corter verheyt: Alsoo na genouch die corter verheyt totte langher, t'welck wy bewijsen moesten.

6 Voorstel.

Wesende gegeven den grijphouck eens Dvvaelders als hy ten versten vanden Eertcloot is, mette reden dier langste lini tusschen hem en den Eertcloot, tot een corter lini tusschen hem en den Eertcloot: Sijn grijphouck op die corter te vinden.

T'ghegheven. Laet den grijphouck eens Dwaelders ten versten vanden Eertcloot wesende als inde form des 3 voorstels an t'verstepunt A, sijn van 30 ①, die ick neem dat deur dadelicke ervaring soo bevonden is: En de langste lini sy E A doende 10323 (te weten A D 10000 met E D 323) De corter E B 10287 (ghelijckse int selve 3 vooorstel bevonden wiert.)

T'begheerde. Wy moeten vinden des Dwaelders grijphouck op die corter lini E B, dat is wesende den Dwaelder an B in sijn wechs 30 tr.

t'Werck.

Ick segh de corter lini E B 10287, gheeft de langste E A 10323, wat den ghegheven grijphouck 30 ①? Comt voor be gheerde grijphouck 30 ① 6 ②.

Ende alsoo is kennelick hoemen des D w aelders grijphouck vinden sal tot alle ghegheven plaets sijns wechs, waer af het bewijs deur het werck openbaer is.

[p. 133]

Merckt.

Int voorstel wort aldus gheseyt: Wesende ghegheven den grijphouck eens Dwaelders als hy ten versten vanden Eertcloot is: Doch is kennelick de reghel ghemeen te wesen met alle ghegheven grijphouck die hy tot een bekende plaets sijns wechs heeft, maer sy schijnt by ghemeene reghel ant verstepunt of naestepunt bequaemst ghenomen om tottet maken van tafels der grijphoucken en ander rekeninghen altijt een selve ghetal te ghebruycken. T'is openbaer dese reghel ghemeen te sijn oock over Dwaelders in inronden loopende, anghesien t'begheerde deur hun verheden vanden Eertcloot ghevonden wort.

T'beslvyt. Wesende dan ghegheven den grijphouck eens Dwaelders &c.